2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題

第I卷選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

I.計(jì)算（T）x（-3）的結(jié)果為（）.

A.3B.-C,-3D.-4

3

【答案】A

【解析】

分析】根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解：（T）X（-3）=3.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘法，掌握“同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)”的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

2.全民閱讀有助于提升一個(gè)國家、一個(gè)民族的精神力量.圖書館是開展全民閱讀的重要場所.以下是我省

四個(gè)地市的圖書館標(biāo)志，其文字上方的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）

QO

太原圖書館晉中市圖書館陽泉圖書館臨汾市圖書館

TianyuanlibraryJinzhongcitylibraryYangquanlibraryLinfenlibrary

【答案】C

【解析】

【分析】如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后，直線兩旁的部分能夠重合，則稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，這條

直線叫做對(duì)稱軸；根據(jù)這個(gè)概念判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念知，C選項(xiàng)中文字上方的圖案是軸對(duì)稱圖形,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形，理解此概念是關(guān)鍵.

3.下列計(jì)算正確的是（）

11βb2β32

A.a-a=aB.（-o?）^=-abC.a÷a=a

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)累乘除法法則、積的乘方及幕的乘方法則逐一計(jì)算即可得答案.

【詳解】A?故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意,

B.(-aib^=(^b1,故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，

C.*÷α3=/,故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，

D.(α2)3=a6,故該選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)辱乘除法、積的乘方及基的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

4.山西是全國電力外送基地，2022年山西省全年外送電量達(dá)到1464億千瓦時(shí)，同比增長18.55%?數(shù)據(jù)

1464億千瓦時(shí)用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.1.464XIOis千瓦時(shí)B.1464x108千瓦時(shí)

C.1.464x10"千瓦時(shí)D.1.464xl0∣2千瓦時(shí)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法表示規(guī)則寫出即可.

［詳解］1464億=146400000000=1.464?10">

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是熟悉科學(xué)記數(shù)法規(guī)則(a×10,,(l≤p∣<10)).

5.如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于Oo,AC,8。為對(duì)角線，30經(jīng)過圓心O.若NB4C=40°,則/08C

度數(shù)為()

A.40oB.50oC.60oD.70o

【答案】B

【解析】

【分析】由同弧所對(duì)圓周角相等及直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：：BC=BC，

：.ABDC=ABAC=AOo,

,/BD為圓的直徑，

；.NBCD=90。,

.?.ZDBC=90?！猌BDC=50°；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余，

掌握它們是關(guān)鍵.

6.一種彈簧秤最大能稱不超過IOkg的物體，不掛物體時(shí)彈簧的長為12cm,每掛重Ikg物體，彈簧伸長

0.5cm.在彈性限度內(nèi)，掛重后彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式為()

Q

3

A.y=12-0.5xB,y=12+0.5xC,y=10+0.5χD.y=0.5x

【答案】B

【解析】

【分析】掛重后彈簧長度等于不掛重時(shí)的長度加上掛重后彈簧伸長的長度，據(jù)此即可求得函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】解：由題意知：y=12+0.5x;

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)關(guān)系式，正確理解題意是關(guān)鍵.

7.如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心。的光線相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)

F為焦點(diǎn).若Nl=155。,/2=30。，則/3的度數(shù)為（）

A.45oB.50oC.55oD.60°

【答案】C

【解析】

【分析】利用平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：YAB〃?？?

.,.Zl+ZBFO=ISOo,

：.NBFO=180°-155°=25°,

,/NPoF=N2=30°,

.?.Z3=APOF+ABFO=300+25°=55°；

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

4

8.已知4（一2,。）,8（-1/）,。（3,。）都在反比例函數(shù)〉=一的圖象上，則外尻C的關(guān)系是（）

X

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中Z>O判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)即可

得出結(jié)論.

4

【詳解】解：；反比例函數(shù)y=—中Z>0,

X

函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨X的增大而減小.

*.*—2<0,-1<0,

.?.4—2,0）,3（—1,。）位于第三象限,

.?.a<0,i><0,

—2<—1<0,

0>a>b.

'：3>0,

.?.點(diǎn)C（3,c）位于第一象限，

c>0,

b<a<c.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函

數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵.

9.中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志.如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓曲線（即

圓?。哞F列車在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為A,曲線終點(diǎn)為B,過點(diǎn)AB的兩條切線相交于點(diǎn)C,列車在從A

到B行駛的過程中轉(zhuǎn)角α為60。.若圓曲線的半徑。4=1.5km,則這段圓曲線的長為（）?

圓心O

A.—kmB.—kmC.——kmD.——km

4248

【答案】B

【解析】

【分析】由轉(zhuǎn)角α為60?？傻肗ACB=I20。，由切線的性質(zhì)可得/。4。=/。8。=90。，根據(jù)四邊形的

內(nèi)角和定理可得ZAOB=360o-ZACB-ZOAC-ZOBC=6()°,然后根據(jù)弧長公式計(jì)算即可.

VNa=60。，

.?.ZAcB=I20。，

,/過點(diǎn)AB的兩條切線相交于點(diǎn)C,

：.ZOAC=ZOBC=90°,

.?.ZAOB=360o-ZACB-ZOAC-ZOBC=60°,

60°χ%χ2χl.5π.

：.-------------------=—km.

36002

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的性質(zhì)、弧長公式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意求得NAQB=60°是解答本題的

關(guān)鍵.

10.蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個(gè)全等的正六

邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸,2,M均為正六邊形的頂點(diǎn).若點(diǎn)RQ的坐標(biāo)分

別為卜2。,3),(0,—3),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()

A.(3√3,-2)B.(3√J,2)C.(2,-3√3)D.(-2,-3^)

【答案】A

【解析】

【分析】連接Pb,設(shè)正六邊形的邊長為〃，由正六邊形的性質(zhì)及點(diǎn)尸的坐標(biāo)可求得”的值，即可求得點(diǎn)M

的坐標(biāo).

【詳解】解：連接PR,如圖，設(shè)正六邊形的邊長為α,

,/NABC=I20。，

ZAfiO=60°,

?.?ZAaB=90°,

/.ZBAO=30°.

；.OB=La,OA=-，

22

?'?AC=CE=?∣3a，OF=OB+BF=—,

Y點(diǎn)P的坐標(biāo)為卜2班,3),

?.?-3-a--J，

2

即4=2;

?OE=OC+CE==3√3.EM=2,

2

.?.點(diǎn)"的坐標(biāo)為(36,—2卜

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角直

角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

第∏卷非選擇題(共90分)

二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分)

11.計(jì)算(√∑+6)(J∑-G)的結(jié)果為

【答案】-1

【解析】

【分析】此題用平方差公式計(jì)算即可.

【詳解】（忘+6）（人一6）

=（可-㈣2

=2-3

=-1

12.如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成.第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖

案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，…依此規(guī)律，第〃

個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片（用含"的代數(shù)式表示）

￠88?88W888W8-

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

【答案】（2+2〃）

【解析】

【分析】由于第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片4=2+2χl,第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片6=2+2x2,第3

個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片8=2+2χ3,第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片10=2+2x4,…，可得第

個(gè)圖案中有白色圓片的總數(shù)為2+2”.

【詳解】解：第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片4=2+2χl,

第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片6=2+2χ2,

第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片8=2+2χ3,

第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片10=2+2x4,

***>

.?.第〃（〃>1）個(gè)圖案中有（2+2〃）個(gè)白色圓片.

故答案為:（2+2”）.

【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過從-一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，

然后推廣到一般情況.解題關(guān)鍵是總結(jié)歸納出圖形的變化規(guī)律.

13.如圖，在YA3CD中，No=60°.以點(diǎn)B為圓心，以區(qū)4的長為半徑作弧交邊BC于點(diǎn)E,連接AE.分

別以點(diǎn)AE為圓心，以大于LAE的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射線BP交AE于點(diǎn)。，交邊AD

2

于點(diǎn)F,則"的值為

OE

【答案】√3

【解析】

【分析】證明8O?LAE,AO=OE,ZBAO=ZMO=60°.再利用正切函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：：在YABC￡＞中，ZD=60%

ΛZABC=60°,AD//BC,

由作圖知6P平分/ABC,BA=BE,

：.,ABE是等邊三角形，ZABF=ZEBF=?ZABC=30°,

2

；.Bol.AE,AO=OE,

?.?AD//BC，

.?.ZAFB=NEBF=30。,

：.ZAFB=ZABF=30°,

?,?AB=AF，

?：BOA-AE9

：.ZBAO=ZFAO=∣(180o-30o-30。)=60°,

OFOFI-

：.—=——=tanZFAO=tan30o=√3,

OEAO

故答案為：?∣3■

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，尺規(guī)作圖一作角平分線，等邊三角形的判定和

性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，求得NB4O=NfXO=60°是解題的關(guān)鍵.

14.中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學(xué)》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統(tǒng)文化

的重要組成部分，若從這四部著作中隨機(jī)抽取兩本(先隨機(jī)抽取一本，不放回，再隨機(jī)抽取另一本)，則抽

取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率是

【答案】?

6

【解析】

【分析】用樹狀圖把所有情況列出來，即可求出.

開始

孟子大學(xué)中廟論語大學(xué)中席論語孟子中庸論語孟子大學(xué)

總共有12種組合，

《論語》和《大學(xué)》的概率L=,，

126

故答案為：—.

6

【點(diǎn)睛】此題考查了用樹狀圖或列表法求概率，解題的關(guān)鍵是熟悉樹狀圖或列表法，并掌握概率計(jì)算公

式.

15.如圖，在四邊形ABCD中，ZBCD=90°,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。.若

AB=AC=5,BC=6,ZADB=24CBD,則AD的長為.

【答案】x21tt?l√97

33

【解析】

【分析】過點(diǎn)A作A"?LBC于點(diǎn)H,延長AO,BC交于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出

BH=HC=3BC=3,根據(jù)勾股定理求出AH={AC2-CH2=4，證明NeBz)=Ne￡￡),得出

Ur)CFR

DB=DE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出CE=BC=6,證明C得出——=—,求出C。=一,

AHHE3

根據(jù)勾股定理求出力E=JCE2+=卜+(g)=2?，根據(jù)CD〃AH,

得出ΠF匕=C匕E，即

ADCH

2√97

??e,求出結(jié)果即可.

AD^3

【詳解】解：過點(diǎn)A作A”,BC于點(diǎn)H,延長A。，BC交于點(diǎn)E,如圖所示:

則NAHC=NAHB=90°,

?.?AB=AC=5,BC=6,

：.BH=HC=LBC=3,

2

AH=^AC1-CH-=4'

?/ZADB=ZCBD+NCED，ZADB=2ZCBD，

...ZCBD=ZCED,

.?.DB=DE,

?：/BCD=90°,

：.DClBE,

.*?CE=BC=6，

：.EH=CE+CH=9,

VDClBE,AHlBC,

.?.CD//AH,

：.JECD~_EHA>

CDCE

~AH~~HE

即嘰g

49

Q

解得：CD=—,

3

???DE=y∣CE2+CD2=k2+(&=

：CD//AH,

.DECE

??一，

ADCH

2√97

即三~6,

AD~3

解得：AD—‘9、"

3

故答案為：叵.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比

例，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線分線段成比例

定理及相似三角形的判定與性質(zhì).

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

(1A2

16.(1)計(jì)算：∣-8∣×一一-(-3+5)×2^';

\2>

(2)計(jì)算：X(X+2)+(x+1)--4x.

【答案】(1)1；(2)2X2+1

【解析】

【分析】(1)分別計(jì)算絕對(duì)值、乘方、加法及負(fù)整數(shù)指數(shù)基，再計(jì)算有理數(shù)的乘法與減法即可;

(2)分別利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式展開后，再合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】G)解：原式=8χL-2χL

42

=2—1

=1.

(2)解：原式=x?+2χ+d+2χ+i-4X

=2X2+1.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，涉及負(fù)整數(shù)指數(shù)基、絕對(duì)值、多項(xiàng)式的乘法、完全

平方公式等知識(shí)，掌握運(yùn)算順序、多項(xiàng)式的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

13

17.解方程：-----Fl-------

x-l2x—2

3

【答案】X=-

2

【解析】

【分析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗(yàn)即可得出答案.

113

【詳解】解：原方程可化為7π+ι=G?

方程兩邊同乘2(x-l),得2+2(x-l)=3.

3

解得X——?

2

檢驗(yàn)：當(dāng)X=3時(shí)，2(X-1)H0.

3

???原方程的解是x=一.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵.

18.為增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展,某校計(jì)劃建立小記者站，有20名學(xué)生報(bào)名參加選拔.報(bào)

名的學(xué)生需參加采訪、寫作、攝影三項(xiàng)測試，每項(xiàng)測試均由七位評(píng)委打分(滿分IOO分)，取平均分作為該

項(xiàng)的測試成績，再將采訪、寫作、攝影三項(xiàng)的測試成績按4：4：2的比例計(jì)算出每人的總評(píng)成績.

小記者

小悅、小涵的三項(xiàng)測試成績和總評(píng)成績?nèi)缦卤恚@20名學(xué)生的總評(píng)成績頻數(shù)直方圖(每組含最小值，不含

最大值)如下圖

測試成績/分

選手總評(píng)成績/分

采訪寫作攝影

小悅83728078

小涵8684

67,72,68,69,74,69,71.這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)是.分，眾數(shù)是分，平均數(shù)是,分;

(2)請(qǐng)你計(jì)算小涵總評(píng)成績;

(3)學(xué)校決定根據(jù)總評(píng)成績擇優(yōu)選拔12名小記者.試分析小悅、小涵能否入選，并說明理由.

【答案】(1)69,69,70

(2)82分(3)小涵能入選，小悅不一定能入選，見解析

【解析】

【分析】(1)從小到大排序，找出中位數(shù)、眾數(shù)即可，算出平均數(shù).

(2)將采訪、寫作、攝影三項(xiàng)的測試成績按4：4：2的比例計(jì)算出的總評(píng)成績即可.

(3)小涵和小悅的總評(píng)成績分別是82分，78分，學(xué)校要選拔12名小記者，小涵的成績在前12名，因此

小涵一定能入選；小悅的成績不一定在前12名，因此小悅不一定能入選.

【小問1詳解】

從小到大排序,

67,68,69,69,71,72,74,

中位數(shù)是69,

眾數(shù)是69,

Ty67+68+69+69+71+72+74”

平均數(shù)：-------------------------------=70

7

69,69,70

【小問2詳解】

中-86×4+84×4+70×2CC八、

解：X=--------------------=82(分).

4+4+2

答：小涵的總評(píng)成績?yōu)?2分.

【小問3詳解】

結(jié)論：小涵能入選，小悅不一定能入選

理由：由頻數(shù)直方圖可得，總評(píng)成績不低于80分的學(xué)生有10名，總評(píng)成績不低于70分且小寧80分的學(xué)生

有6名.小涵和小悅的總評(píng)成績分別是82分，78分，學(xué)校要選拔12名小記者，小涵的成績在前12名，因

此小涵一定能入選；小悅的成績不一定在前12名，因此小悅不一定能入選.

【點(diǎn)睛】此題考查了中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟悉相關(guān)概念.

19.風(fēng)陵渡黃河公路大橋是連接山西、陜西、河南三省的交通要塞.該大橋限重標(biāo)志牌顯示，載重后總質(zhì)量

超過30噸的車輛禁止通行.現(xiàn)有一輛自重8噸的卡車，要運(yùn)輸若干套某種設(shè)備，每套設(shè)備由1個(gè)A部件和

3個(gè)B部件組成，這種設(shè)備必須成套運(yùn)輸.已知1個(gè)A部件和2個(gè)8部件的總質(zhì)量為2.8噸，2個(gè)A部件和

3個(gè)B部件的質(zhì)量相等.

（1）求1個(gè)A部件和1個(gè)B部件的質(zhì)量各是多少；

（2）卡車一次最多可運(yùn)輸多少套這種設(shè)備通過此大橋？

【答案】（1）一個(gè)A部件的質(zhì)量為1.2噸，一個(gè)8部件的質(zhì)量為0.8噸

（2）6套

【解析】

【分析】（1）設(shè)一個(gè)A部件的質(zhì)量為X噸，一個(gè)8部件的質(zhì)量為y噸.然后根據(jù)等量關(guān)系“1個(gè)A部件和2

個(gè)B部件的總質(zhì)量為2.8噸”和“2個(gè)A部件和3個(gè)8部件的質(zhì)量相等”列二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)該卡軍一次可運(yùn)輸加套這種設(shè)備通過此大橋.根據(jù)“載重后總質(zhì)量超過30噸的車輛禁止通行”列

不等式再結(jié)合〃?為整數(shù)求解即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)一個(gè)A部件的質(zhì)量為X噸，一個(gè)8部件的質(zhì)量為V噸.

x+2y-2.8X-1.2

根據(jù)題意,得C?C,解得《

I2x=3yU=0.8

答：一個(gè)A部件的質(zhì)量為1.2噸，一個(gè)8部件的質(zhì)量為0.8噸.

【小問2詳解】

解：設(shè)該卡軍一次可運(yùn)輸機(jī)套這種設(shè)備通過此大橋.

根據(jù)題意，得（1.2+0.8χ3）m+8≤30.解得加〈一.

因?yàn)榧訛檎麛?shù)，機(jī)取最大值，所以%=6.

答：該卡車一次最多可運(yùn)輸6套這種設(shè)備通過此大橋.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確列出二元一次方

程組和不等式是解答本題的關(guān)鍵.

20.2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動(dòng)河湖名單（2022—2025年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、

洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選.在推進(jìn)實(shí)施母親河復(fù)蘇行動(dòng)中，需要砌筑洛種駁岸（也叫護(hù)

坡）.某?！熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間

完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下活動(dòng)報(bào)告.請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)報(bào)告計(jì)算BC和AB的長度（結(jié)果精確到

0.1m.參考數(shù)據(jù)：√3≈1.73.?^≈1.41

課

母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算

題

調(diào)

查

資料查閱、水利部門走訪、實(shí)地查看了解

方

交

流

展

示

【答案】BC的長約為L4m,AB的長約為4.2m.

【解析】

【分析】過點(diǎn)E作EElCZ)于點(diǎn)/，延長AB,。C交于點(diǎn)”，首先根據(jù)ZED/的三角函數(shù)值求出

EF=EDSinNEDF=36，F(xiàn)D=EDCoS/EDF=3,然后得到四邊形AEEH是矩形，進(jìn)而得到

CH=HF-CF=L5-05=1,然后在RtABCH中利用ZBCH的三角函數(shù)值求出

BC=———=√2≈1.4(m),進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)E作EFIC。于點(diǎn)/，延長A氏。C交于點(diǎn)H,

由題意得，在RtEFD中,NEDF=6。。,ED=6,sinNEDF=——,cosZEDF=——.

EDED

???EF=ED?sinZEDF=6xsin60。=6x3=.

2

.?.FD=EDCoSNaF=6xcos60°=6χL3.

2

由題意得，NH=90。，四邊形田H是矩形.

.,.AH=EF=3底HF=AE=1.5.

???CE=CD-FD=3.5-3=0.5,

/.CH=HF-CF=l.5-0.5=l.

：.在RtABCH中，NH=90o,ZBCH=180o-ZBCD=180o-l35°=45°.

?.?cosNBCH=—,tanNBCH=-

BCCH

.?.BH=CHtanZBCH=↑×tan45o=?,

：.Aβ=A∕∕-BH=3√3-l≈3×1.73-l≈4.2(m).

答：BC的長約為l?4m,AB的長約為4.2m.

【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形的應(yīng)用，考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是理解坡度的含

義，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線便于在直角三角形中求得相關(guān)線段.

21.閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形ABC。中，點(diǎn)E,E,G”分別是邊AB,BC,CD,的中點(diǎn)，順次連接

E,F,G,H,得到的四邊形EfGH是平行四邊形.

圖1

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形EPG”被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

Rezrel654—1722)是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對(duì)角線的長度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接AC,分別交E",FG于點(diǎn)P,Q,過點(diǎn)。作OMIAC于點(diǎn)M,交用于點(diǎn)N.

；”,G分別為4),0的中點(diǎn)，.?."G"AC,"G=LAC?(依據(jù)1)

2

D

G

圖2

.DNDG：

'：DG=GC,.DN=NM=LDM.

"~NM~~GC2

???四邊形EFG〃是瓦里尼翁平行四邊形，.?."E"GE,即"尸〃GQ.

VHG//AC,即〃G〃PQ,

.?.四邊形HpQG是平行四邊形.（依據(jù)2）.?.Sm>QG=HG?MN=g"G?DW.

心如同理

Ys?^oe=/AC?OM=HG?DΛ∕,S=,SΔAz）c.，…

任務(wù)：

（1）填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

（2）請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫一個(gè)四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EPG”,使得四邊

形EFG”為矩形：（要求同時(shí)畫出四邊形ABeD的對(duì)角線）

（3）在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3,請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形EFG”的周長與對(duì)角線

ACBD長度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖3

【答案】（1）三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的

定義（或兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）

（2）答案不唯一，見解析

（3）平行四邊形EFGH的周長等于對(duì)角線AC與B。長度的和，見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；

（2）作對(duì)角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)即可；

（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對(duì)邊和等于四邊形的一條對(duì)角線，即可得如1結(jié)論.

【小問1詳解】

解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）

平行四邊形的定義（或兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）

【小問2詳解】

解：答案不唯一，只要是對(duì)角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可.例如：如圖即

為所求

【小問3詳解】

B

瓦里尼翁平行四邊形EFG”的周長等于四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC與30長度的和,

證明如下：：點(diǎn)、E,F,G,H分別是邊AB,8C,CDD4的中點(diǎn),

.*.EF=AC,GH.

.?.EF+GH=AC.

同理EH+FG=BD.

；?四邊形EEG”的周長=+G"+EW+EG=AC+30.

即瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于對(duì)角線AC與BO長度的和.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線.熟練掌握三角形中位線定理是解題的

關(guān)鍵.

22.問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全等

的三角形紙片，表示為JlBC和ZkDEE,其中NACB=NoEF=90°,NA=Nr>.將_ABC和z?DFE按

圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)尸重合（標(biāo)記為點(diǎn)B）.當(dāng)NAgE=NA時(shí)，延長OE交AC于點(diǎn)G.試

判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由.

(I)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；

(2)深入探究：老師將圖2中的q∕58E繞點(diǎn)6逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在一ABC內(nèi)部，并讓同學(xué)們提

圖2

①“善思小組”提出問題：如圖3,當(dāng)NABE=NBAC時(shí)，過點(diǎn)A作4V/_LBE交BE的延長線于點(diǎn)

與AC交于點(diǎn)N.試猜想線段AM和BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.請(qǐng)你解答此問題；

圖3

②“智慧小組”提出問題：如圖4,當(dāng)NCBE=NB4C時(shí)，過點(diǎn)A作A”,DE于點(diǎn)”，若BC=9,AC=12,

求A”的長.請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

圖4

【答案】(1)正方形，見解析

27

(2)①AM=BE,見解析；②;一

【解析】

【分析】(1)先證明四邊形BCGE是矩形，再由乙AcBM.DE8可得ZJC=BE,從而得四邊形BCGE

是正方形；

(2)①由已知NABE=NB4C可得AN=BN,再由等積方法SZMBN=LAN?3C=LBN?AM,再結(jié)

合己知即可證明結(jié)論；②設(shè)AB,DE的交點(diǎn)為M,過"作MGLBD于G,則易得MZ)=MB,點(diǎn)G是

BD的中點(diǎn)；利用三角函數(shù)知識(shí)可求得Z)M的長，進(jìn)而求得AM的長，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得

結(jié)果.

【小問1詳解】

解：四邊形BCGE為正方形.理由如下：

???NBED=90。，

/.ABEG=180o-ZBED=9()°.

,.?ZABE=ZA,

.*.AC//BE.

/./CGE=/BED=第。.

'：ZC=90o,

四邊形BCGE為矩形.

Y.ACBgDEB,

???BC=BE.

矩形BCGE為正方形.

【小問2詳解】

:①AM=B￡.

證明：VZABEABAC,

：.AN=BN.

?.?NC=90°,

；?BCLAN.

'：AMVBE,即AM_LBN,

LANBC=LBN?AM.

22

,.?AN=BN,

??.BCAM.

由（1）得BE=BC,

AM=BE.

②解：如圖：設(shè)A3,OE的交點(diǎn)為M,過M作MG，8。于G,

???“ACB=DEB,

.?.BE=8C=9,r>E=AC=12,ZA=Zf>,ZABC=NDBE,

；?NCBE=NDBM；

?.?/CBE=ZBAC,

??.ZD=ZBAC,

：?MD=MB,

'：MG±BD,

，點(diǎn)G是3。的中點(diǎn);

由勾股定理得48=√AC2+BC2=15,

：.DG=-BD=-

22

DG_DE

?：CosZD=

~DM~~BD'

15”

.?.wDGBDy×1°75

一8

DE12

75竺

.?.AMAB-BM^15--8

8

?:AHIDE,BELDE,ZAMH=ZBME，

?AMHBME，

.AHAM_3

'~BE~~BM~~5,

332727

.?.AH=JBE="9=——即AH的長為亍.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定

與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，適當(dāng)添加的輔助線、構(gòu)造相似三角形是

解題的關(guān)鍵.

23.如圖，二次函數(shù)y=-f+4X的圖象與X軸的正半軸交于點(diǎn)A,經(jīng)過點(diǎn)Λ的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)

B（l,3）,與V軸交于點(diǎn)C.

""y

圖1圖2圖3

（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線PE_LX軸于點(diǎn)E,與直線AB交于

點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為加.

①當(dāng)Po=Ioe時(shí)，求用的值：

2

②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，連接0P,過點(diǎn)8作BQLx軸于點(diǎn)Q,BQ與OP交于