第04講空間向量及其運(yùn)算【題型歸納目錄】【知識點梳理】知識點一：空間向量的有關(guān)概念1、空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識點詮釋：（1）空間中點的一個平移就是一個向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2、幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點二：空間向量的線性運(yùn)算(1)向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運(yùn)算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運(yùn)算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點詮釋：（1）空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；（2）向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識點三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。知識點四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。知識點五：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識點詮釋：（1）由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識點六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當(dāng)a⊥b時，a·b＝0.知識點七：夾角問題1、定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個向量、的夾角的余弦。知識點詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2、利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角。知識點八：空間向量的長度1、定義：在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2、利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解?！镜湫屠}】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算【例1】（2024·山東日照·高二校考階段練習(xí)）下列命題中為真命題的是（

）A．向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【答案】A【解析】選項A：因為空間向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確；選項B：將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，所以B錯誤；選項C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤；選項D：兩個空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量與的模相等，所以D錯誤；故選：A.【變式1-1】（2024·新疆·高二?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，互為相反向量，則C．空間中兩平行向量相等 D．在四邊形ABCD中，【答案】D【解析】對于A，向量不可以比較大小，所以A錯誤；對于B,若，互為相反向量，則，故B錯誤；對于C，兩向量相等需要向量的方向相同，且長度相同，故C錯誤；對于D，四邊形ABCD中，，故D正確.故選：D【變式1-2】（2024·云南文山·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在四面體中，，，，點在上，且，為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以,故選：B【變式1-3】（2024·湖南益陽·高二南縣第一中學(xué)校考期末）在三棱柱中，為中點，若，，，則下列向量中與相等的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，在三棱柱中，，，依題意，故選：A.題型二：共線向量定理的應(yīng)用【例2】（2024·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是不共線的向量，已知，，，若A，B，D三點共線，則實數(shù)k為．【答案】【解析】由，，得，由A，B，D三點共線，得，而，因此，解得，所以實數(shù)k為.故答案為：【變式2-1】（2024·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知分別為四面體的面與面的重心，為上一點，且.設(shè).

(1)請用表示；(2)求證：三點共線.【解析】（1）．（2）；則，又有公共起點，，，三點共線．【變式2-2】（2024·高二課時練習(xí)）在正方體中，G為的重心，證明：三點共線.【解析】設(shè)的中點為，連接GB，GD，，，，因為G為的重心，所以，所以，所以，即三點共線.【變式2-3】（2024·高二課時練習(xí)）設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A，B，D三點共線，求實數(shù)k的值．【解析】因為，，則有，又A，B，D三點共線，于是，即，而不共線，因此，解得，所以實數(shù)k的值是.題型三：共面向量及應(yīng)用【例3】（2024·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）已知O，A，B，C為空間中不共面的四點，且，若P，A，B，C四點共面，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為P，A，B，C四點共面，所以，所以.故選:C．【變式3-1】（2024·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中，點M是上靠近點C的三等分點，點N滿足，若N為AM與平面的交點，則t＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正方體中，由點M是上靠近點C的三等分點，得，于是，由N為AM與平面的交點，得點共面，則，所以.故選：C【變式3-2】（2024·山東菏澤·高二菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知三點不共線，對平面外的任一點O，下列條件中能確定點共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】平面外的任一點O，點共面的充要條件是，且，對于A，由，得，點不共面，A不是；對于B，由，得，點不共面，B不是；對于C，由，得，點不共面，C不是；對于D，由，得，點共面，D是.故選：D題型四：空間向量的數(shù)量積【例4】（2024·山東日照·高二校考階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，，E，F(xiàn)分別為，的中點.計算：(1)；(2)；(3).【解析】（1）如圖，設(shè)，，，則，，，..（2）.（3）.【變式4-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考期中）如圖，在三棱錐中，，，，，，，分別是，的中點，點在上，且，記，，．(1)試用基底表示向量，，；(2)求和的值．【解析】（1）因為，分別是，的中點，所以，，，又，所以，則.（2）因為，，，，，所以，又，所以.【變式4-2】（2024·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設(shè).(1)試用向量表示向量；(2)若，求的值.【解析】（1）因為，所以，所以，因為點E為的中點，所以.（2）因為，，所以=【變式4-3】（2024·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)?？计谥校┮阎谡忮FP－ABC中，點M，N分別是線段AB，PC的中點，記，，.

(1)分別用，，來表示向量，；(2)若，，是兩兩垂直的單位向量，求向量與的數(shù)量積.【解析】（1）由題意可知，；（2）由（1）可知，若，，是兩兩垂直的單位向量，則，所以.題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角【例5】（2024·江蘇無錫·高二江蘇省太湖高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是為與的交點.若，

(1)用表示；(2)求；(3)求此平行六面體的體積.【解析】（1）在中，.（2）...（3），到底面的距離，所以平行六面體的體積.【變式5-1】（2024·四川綿陽·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為2，且.求：

(1)的長；(2)直線與所成角的余弦值.【解析】（1）因為,所以.（2）,,,,所以,因為直線與所成角，所以直線與所成角的余弦值為.【變式5-2】（2024·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為．記，，．

(1)求的長；(2)求與夾角的余弦值．【解析】（1）由題意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的長為，（2）∵，∴，∴，，∴，即與夾角的余弦值為．【變式5-3】（2024·浙江·高二蕭山二中校聯(lián)考期中）在平行六面體中，底面是正方形，，，設(shè)．(1)用向量表示，并求；(2)求直線與所成角的余弦值．【解析】（1）作出平行六面體，如圖，因為，又底面是正方形，，，所以，所以.（2）因為，所以，又，設(shè)直線與所成角為，所以，即直線與所成角的余弦值為.題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度【例6】（2024·浙江湖州·高二湖州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，分別是上的點，且.設(shè).

(1)試用表示向量；(2)若，求的長.【解析】（1），又，，，∴．（2）因為，．，．，，，．【變式6-1】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，，，，，，為中點．(1)用空間的一組基表示，；(2)求，的值．【解析】（1）由題意可得：，.（2）由題意可得：，因為，.【變式6-2】（2024·福建福州·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長為4，且與的夾角都等于60°，是的中點，設(shè)，，.(1)用基底表示向量；(2)求的長.【解析】（1）由題意得;（2）由已知，得，，，,，,所以,所以的長為.【變式6-3】（2024·四川成都·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，點為的中點，點在線段上且．

(1)用向量，，表示向量；(2)求的長．【解析】（1）因為點為的中點，所以，所以；（2）因為點在線段上且，所以，所以，所以，因為在四棱錐中，底面為正方形，底面，底面所以，，，則，，．【變式6-4】（2024·廣東中山·高二中山市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，．用向量法解下列問題：(1)求長度；(2)求證：；(3)若點M，N分別在直線和上運(yùn)動，當(dāng)且時（MN為公垂線段，這樣的MN只有一條），求MN的長度．【解析】（1）設(shè)，，，，（2）∵，，∴，∴.（3）由（2）得，∵∴，∴MN的長度即為在上的投影向量的模，∴.題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直【例7】（2024·吉林長春·高二統(tǒng)考期中）已知空間四邊形中，，且分別是的中點，是的中點，用向量方法證明．【解析】設(shè)，由題意得，，，因為，所以，又，所以，所以.【變式7-1】（2024·山西太原·高二統(tǒng)考期中）如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，是的中點，是的中點，記．

(1)用向量表示向量；(2)利用向量法證明：．【解析】（1）連接，則（2），所以，所以.【變式7-2】（2024·廣東廣州·高二廣州市第六十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，M為與的交點．若．

(1)求；(2)求證：直線平面．【解析】（1）由題意得，，所以，，，所以.（2），，，因為，，所以，，因為，平面，所以平面.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中，點M是上靠近點C的三等分點，點N滿足，若N為AM與平面的交點，則t＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正方體中，由點M是上靠近點C的三等分點，得，于是，由N為AM與平面的交點，得點共面，則，所以.故選：C2．（2024·山東棗莊·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四面體中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，點G是線段上靠近點E的一個三等分點，令，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】連接，.故選：A.3．（2024·福建莆田·高二仙游一中校聯(lián)考期末）如圖，平行六面體中，點在上，點在上，且，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故，，，.故選：A4．（2024·上?！じ叨虾Ｊ袇卿林袑W(xué)校考階段練習(xí)）已知空間非零向量，則下列命題中正確的是（

）A．若共面，那么中至少存在一對向量共線B．若共面，那么存在一組實數(shù)對，使得C．若不共面，那么所在直線中至少存在兩條直線異面D．若不共面，那么所在直線中不可能存在兩條直線異面【答案】B【解析】A：當(dāng)共面時，這時相當(dāng)于這個平面內(nèi)的三個平面向量，因此這三個平面向量可以都不共線，所以本選項命題是假命題；B：根據(jù)共面向量定理可以知道本選項命題是真命題；C：設(shè)，若彼此兩兩互相垂直時，顯然所在直線中沒有直線異面，因此本選項命題是假命題；D：如下圖所示：若，顯然異面，所以本選項命題是假命題，故選：B5．（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，M為的中點，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，如下圖所示，因為，，所以，所以．故選：A.6．（2024·全國·高二專題練習(xí)）八十年代初期，空間向量解決立體幾何問題的思路得到了長足的發(fā)展，已知A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若，則P，A，B，C四點（）A．不共面 B．不一定共面C．無法判斷是否共面 D．共面【答案】D【解析】對于空間任意一點和不共線三點、、，若點滿足：，且，則、、、四點共面.而，其中，所以四點共面.故選：D7．（2024·山東威?！じ叨？茧A段練習(xí)）在正四面體中，棱長為2，且是棱中點，則的值為（

）A． B．1 C．3 D．7【答案】A【解析】將正四面體放在正方體中，如圖，因為在正四面體中，棱長為2，兩兩夾角為，所以，因為是棱中點，所以，又，所以.故選：A.二、多選題8．（2024·河南濮陽·高二范縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題不正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點，則有=B．“”是“共線”的充要條件C．若共線，則與所在直線平行D．對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點共面【答案】BCD【解析】對A，四點恰好圍成一封閉圖形，根據(jù)向量的多邊形法則可知，正確；對B，根據(jù)向量的三角不等式等號成立條件可知，同向時，應(yīng)有，即必要性不成立，錯誤；對C，根據(jù)共線向量的定義可知，所在直線可能重合，錯誤；對D，根據(jù)空間向量基本定理的推論可知，需滿足x+y+z=1，才有P、A、B、C四點共面，錯誤．故選：BCD．9．（2024·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）在平行六面體中，，則（

）A．為棱的中點 B．為棱上更靠近的三等分點C． D．平面【答案】ABD【解析】因為，所以，則為棱的中點，A正確.因為，所以，則為棱上更靠近的三等分點，B正確.因為為棱的中點，為棱上更靠近的三等分點，易得，C錯誤.因為平面平面平面，所以平面，D正確.故選：ABD.10．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）如圖，空間四邊形中，，分別是邊，上的點，且，，點是線段的中點，則以下向量表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】空間四邊形中，，，點是線段的中點，，，所以選項D正確；對于選項A，，所以選項A錯誤；對于選項B，，所以選項B錯誤；對于選項C，，所以選項C正確，故選：CD.11．（2024·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┰谡襟w中，下列結(jié)論中正確的是（

）A．四邊形的面積為 B．與的夾角為C． D．【答案】AC【解析】A選項：由正方體可知平面，所以，所以四邊形為矩形，，A選項正確；B選項：由正方體可知，所以與的夾角即為與的夾角，又，所以，所以與的夾角為，B選項錯誤；C選項：由設(shè)正方體的棱長為，則，，所以成立，C選項正確；D選項：由