04平面向量-2023屆天津市高考數學二輪復習專題練習【2023

高考模擬題精選】

一、單選題

1.（2023?天津?一模）下列選項中說法正確的是

A.若非零向量α,6滿足α?b>0,則α與匕的夾角為銳角

B.“切∈R,xi-x°≤0"的否定是“VreR,x2-x≥0"

C.直線∕∣:2ox+y+l=0,l2tx+2ay+2=0,//4的充要條件是α=g

D.在ΔABC中，“若SinA>sin3,則H>夕的逆否命題是真命題

二、填空題

2.（2023?天津?一模）在中，已知AB?AC=9,SinB=COSA?sinC,SABC=6,P

CACB34x

為線段A3上的點，且CP=X+,百，則一+丁的最小值為___________.

?CA??CB?X3y

3.（2023?天津?二模）已知函數/（x）=sin（0x+2）?>O）圖象上相鄰的兩個最高點為

P,R,點。為尸,R之間的最低點,且尸Q?QR=f-4,若f（x）在［%,引和［W,x∕上單

調遞增，在［々,電］上單調遞減，且々-X=（（X3-%），則/（%）的值為.

4.（2023?天津?三模）設A,B,C是.ABC的三個內角，..ABC的外心為。，內心為

11

/?O∕≠0且。/與BC共線.若“^∑^^β+~^C,則A=.

IaH—ιaπ—

22

三、雙空題

5.（2023?天津?統(tǒng)考二模）在JIBC中，AB=3√∑,角A為銳角，且向量AB在向量AC

上的投影向量的模是3,則A=:若AC=6,則函數

/（x）=xAB~AC+xAB-^AC（x∈R）的最小值為.

6.（2023?天津和平?統(tǒng)考二模）在平行四邊形ABer）中，NBAO=三，邊AB,A。的長分

別為2與1,則A。+AB在AB上的投影向量為（用AB表示）；若點M,N分別是

BMCN

邊8C,8上的點，且滿足1則AM?AN的取值范圍是.

BCCD

7.（2023?天津河西?統(tǒng)考二模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民

間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示

意圖.如圖2,正八邊形48CZ）E尸GH中，若通=2瓦+'而（4〃wR）,則彳+〃的值

為；若正八邊形ABCnE『G"的邊長為2,P是正八邊形ABCoEFG”八條邊上的

動點，則Q?前的取值范圍是.

8.（2023?天津河北?統(tǒng)考一模）在矩形ABC。中，若ΛB=1,BE=gBC,且

AB-AE=AD-AE^則卜。|的值為，AE?AC的值為.

9.（2023?天津南開?統(tǒng)考一模）在平面四邊形ABCQ中，

∣AB∣=∣BC∣=∣CD∣=DA?DC=↑,BA?BC=g,則∣AC∣=；

BDCD=.

10.（2023,天津河東?一模）已知等邊三角形ABC的邊長為1,射線43、AC上分別有

一動點M和N（點C在點A與N之間），當AM=CN=g時，CM?BN的值為;

當AΛY=2C7V時，CMBN的最小值為.

11.（2023?天津紅橋?統(tǒng)考一模）如圖所示，在乂BC中，點。為BC邊上一點，且

BD=IDC，過點。的直線EF與直線相交于E點，與直線AC相交于廠點（E,F交

兩點不重合）.AD=mAB+nAC，則機〃=,AE=λAB,AF=pAC,則4+〃

的最小值為__________

12.（2023?天津?統(tǒng)考一模）在..ABC中，。為AB的中點，CE=2ED,過點E任作一

試卷第2頁，共4頁

條直線，分別交線段AC、JBC于F、G兩點，設C4=α,C?=?,若用°、b表示CE,

則CE=;若C戶=ma，CG-ni＞（mn≠O）,則〃?+3〃的最小值是.

13.（2023?天津和平?統(tǒng)考一模）已知四邊形

ABCD,DC=tAB,AB=6,AD=4,ZDAB=60,且4O?CZ）=-6,點E為線段BO,上一

2

點，且AE=（I+4AQ+§C8,則2=,過E作防〃BC交AB于點F,則

FDFC=.

14.（2023?天津河東?統(tǒng)考二模）如圖，在JIBC中，ZBAC=^,AD=2DB,P為Co上

一點，且滿足AP=m4C+g4B,則m的值為；若-Λ5C的面積為2港，網

的最小值為.

15.（2023?天津?二模）如圖,在AABC中,。是BC上的一點,滿足IAq?怛。=IABHea.例

在AO上且IAM卜;Mq,延長B例交AC于點”，I叫=ICDI,tanZDAC=1,則

AC?_?AH?_

~AD?~--------，^?AC?~-----------------

16.（2023?天津?統(tǒng)考一模）如圖，在邊長1為正方形ABa）中，M,N分別是3C,CD

的中點，則AM?AC=,^AC=λAM+μBN,貝!∏+"=.

DC

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.D

【解析】利用“"同向的情況判斷A；利用特稱命題的定義判斷B:利用∕lHl2等價于a=

判斷C；利用正弦定理邊角互化以及原命題與其逆否命題的等價性判斷。.

【詳解】對于A,〃同向時?，”與人的夾角為0,不是銳角，故不正確；

?i,,

對于8,3x0∈R,X：-%≤0''的否定應該是”Vx∈A,√-x>0,故不正確；

對于C,/J%等價于44=1,BPa=±p得4/4的充要條件是。=±；，故不正確；

對于。，SinA>si∏β,由正弦定理可得α>b,由于大邊對大角，.?A>B,即原命題

正確，二逆否命題是真命題，故正確，故選D.

【點睛】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查向量的夾角、特稱命題的否定、兩直線

平行的充要條件以及正弦定理邊角互化的應用，屬于中檔題.做這類題目更要細心、多讀題,

盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的、自己已經掌握的知識點入手，然后

集中精力突破較難的命題.

2.3

【分析】首先由sin8=cosA?SinC及SirL6=sin(A+C)得出C=5,再由A8?AC=9得出

IAq=3,由S,阮.=6得出BC=4,ι^CP=kCA+(↑-k)CB,?∈∣0,l],結合已知得出

Xy)

網畫='根據基本不等式求解即可.

【詳解】因為SinB=CosA?SinC,且SinB=Sin為+C),

所以Sin(A+C)=COSASinC,即sinA?cosC+cosAsinC=cosA?sinC,

所以SinA?cosC=O,

因為A∈(0,π),

所以SinA≠O,

TT

所以COSC=O,由Ce(O,π)得C=,,

由A3?AC=9得"?AC=卜硝AC∣?cos4=9,

因為∣AB∣?cosA=kc∣,

所以,8|?,4式0$/1=卜(71=9,即IAq=3,

答案第1頁，共15頁

由SABC=Jx?βCχAC=6及4C=3得8C=4,

設CP=ZeA+(1T)C8,?e[O,l],

iCACB

因為Cf日+)'.阿

所以向f]?i=(i),

所以向+向…I=I

將Ied=3,∣C8∣=4代入得，→^=1,即4x+3y=12,

34x312-3y3434Xy3y4x

所以一+丁=一+工一=-+——!=(-+-)-(-+^)-1=1+—+—,

X3yX3yxyXy344x3y

因為羋+?22,當且僅當芋=￥，即x=],y=2時，等號成立，

4x3y4x3y2

故答案為：3.

【分析】令OX+3=W+2E優(yōu)eZ)可求得最高點的橫坐標，貝何取4=0和&=1,得到尸,R

坐標，并由此得到。點坐標，利用向量數量積的坐標運算可構造方程求得0=2,由此可得

T=π-,根據/(x)單調性可確定毛-迎=W且巧為最高點，結合最高點橫坐標和誘導公式可

Jr

知F(Xi)=-COS2迎=-COS-,從而得到結果.

【詳解】令5+F=E+2E(%eZ),解得：???+-(?eZ),

62369ω

答案第2頁，共15頁

2為2/?之間的最低點，；.2醫(yī)，-1),.?2=(3，-2),然=32

,=

PQ?QR=?--4=——4,又G>0,.?ω=2f??/(?)s???[÷-|,

ω4kθ√

則/(x)最小正周期T=B=兀；

/(x)在［x∣,??］和［Λ3,X∕上單調遞增，在上,鼻］上單調遞減，

.?.X=七與X=X3分別為/(x)的相鄰的最高點和最低點，；.W-、2=弓=S，

2/、ππ

/.X2-X1=-(χ3-χ2)=y,AX,=X2-y

2ππ

?'?/(x)=sin=-COS2X,

12362

又％=畀等=>國0Z),"&)=-8Sπ1

-+2kπ=-cos—=——

32

故答案為：-g

【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據三角函數性質求解函數解析式及函數值的問題；解題關

鍵是能夠根據/(x)的單調性確定々，當分別對應函數的最高點和最低點，從而々的取值及

飛,弓之間的關系.

4.2

【分析】由0,/分別是三角形的外心和內心，利用0/與BC共線得到線段的長度關系，用

設內切圓半徑為〃過O,/分別作8C的垂線，垂足分別為M,D,

貝嚴=7,CD=『

tan—tan——

22

因為。/與8C共線，所以OM=/D=八又因為NBoC=2NA,ZBOM=ZAf

所以BM=rtanZA,

因為2BM=BD+CD,所以"3人=不+；3,

22

答案第3頁，共15頁

即2tanA=1\+￡,所以％=

tan—tan——

22

故答案為：2

5.f∕45°√13

4

【分析】根據投影向量的定義求出CoSA,即可求出A,以點A為原點，建立平面直角坐標

系，在AC上取2E,使得AO=[AC,AE=^AC,在AB上取點P使得AP=XA8，求出點

E關于直線AC的對稱點F的坐標，再結合圖象即可得解.

【詳解】由向量AB在向量AC上的投影向量為IAqCoSAAC

,阿

得向量48在向量AC上的投影向量的模為IA8∣cosA=3,

所以CoSA=—,

2

又因角A為銳角，所以A=J,

4

如圖，以點A為原點，建立平面直角坐標系，

則A(0,0),3(3,3),C(6,0),

在AC上取DE,使得A。=；AC,AE=^AC,則E(2,θ),θ(3,θ),

在AB上取點P使得AP=xAB，

則〃X)=xAB-^AC+xAB-^AC=∣EP∣+∣DP∣

直線AC的方程為y=X,設點￡(2,0)關于直線AC的對稱點F(a,b),

∩—2Itz—O

則:?，解得A所以尸0,2,

/?_α÷2[b=2

^2~~2~

貝IJ網+M=網+1M≥∣M=如，當且僅當D,p,F三點共線時取等號,

所以“X)=xAB-^AC+xAB-^AC(XeR)的最小值為相.

答案第4頁，共15頁

故答案為：vr?.

【點睛】關鍵點點睛：以點A為原點，建立平面直角坐標系，在AC上取。,E,使得

11.

AD=-ACyAE=-AC,在48上取點尸使得AP=戈48，求出點E關于直線AC的對稱點尸

的坐標，則/(X)=網+|。PI=網+加斗間是解決本題的關鍵.

6.那[2,5]

【分析】建立平面直角坐標系，求得平行四邊形各頂點坐標，利用向量的坐標運算求得

BMCN

40,48的坐標，利用數量積的投影向量概念求解即可;---=幾，可得

CD

AM-AN=-λ2-2λ÷5，然后利用二次函數的性質即得.

TT

【詳解】在平行四邊形ABCD中，ΛBAD=^,邊AB,A。的長分別為2與1,

建立如圖所示的直角坐標系,則B(2,0),4(0,0),D，C

卜2,

AD+AB[ABAB_5λd

所以AO+A8在48上的投影向量為M網-Z；

BMCN

設=4,λ∈[0,l],則BM=4BC，CN=ACD,

BCCD

答案第5頁，共15頁

所以M2+gg,N--2λ,

所以AM?AN=2+∣,^j∣∣-2λ,y-j=-λ2-2λ+5,

因為力e[O,I],函數y=-λ?-2λ+5的對稱軸為4=-1,

所以y=-λ2—2λ+5在[0,1]上單調遞減，

所以4∈[0,l]時，y=-λ2-2λ+5∈[2,5],即AM?AN的取值范圍是[2,5].

故答案為：IAB；[2,5]

7.歷[θ,4+4√2]

【分析】以點A為坐標原點，分別以48,AB所在直線為軸，建立平面直角坐標系，由

AE=λAC+μAF,列出方程組，求得λ,μ,從而得到/1+〃；設P(x,y),則AP-BC=√2(x+y),

由線性規(guī)劃可求得ARBC的取值范圍.

AFYAB,以點A為坐標原點，分別以AB,AF所在直線為x,y軸，建立平面直角坐標系,

正八邊形內角和為(8-2)*180。=1080°,則NHAB=-×]080°=135°,

8

所以，A(0,0),β(2,0),C(2+√2,√2),EQ,2+2√2),F(0,2+2√2),W(-√2,0),

AE=(2,2+2√2),AF=(0,2+2√2),AC=(2+0^,√Σ),

因為AE=λAC+μAF,貝∣J(2,2+2√2)=λ(2+√2,√2)+//(0,2+2√2),

2=(2+√2)ΛLr-

所以LLL，解得4=2-Λ∕Σ,∕Z=2?V∑-2,

2+2√2=√22+(2+2√2)//

所以2+〃=0；

答案第6頁，共15頁

設P(X,y),貝IJAP=(X,y),8C=(√Σ,√Σ),則APBC=&(x+y),

令Z=X+)，，即y=-χ+z,由線性規(guī)劃知平行移動直線y=-x+z,當此直線經過A,4時Z有

最小值0,當此直線經過2E時Z有最大值4+2五，

所以，4「.8(7取值范圍［0,4+4忘］.

故答案為：血，［0,4+4應］.

【點睛】方法點睛：在解決向量數量積、向量的模、向量的夾角等有關問題，以及在求有關

最大、最小值問題時，常常會碰到某些難以突破的幾何關系.在題目所給出的幾何條件、幾

何關系或所隱藏的幾何關系相對較難尋找的情況下，運用數量積的定義、向量的幾何意義難

以完成解題思路時，可建立直角坐標系、運用坐標法解決問題的意識、運用向量的坐標運算、

尋找出變量與變量之間的關系、運用函數與方程求最值的方法、基本不等式等解決問題的方

法是一種非常好的思想方法.

8.√32

【分析】建立平面直角坐標系，設IAq=%利用坐標法求出Aβ?AE、AD-AE即可求出

。的值，最后利用坐標法求出平面向量數量積.

【詳解】如圖建立平面直角坐標系，設IAq=”,則A(0,0),3(1,0),D(0,a),C(l,α),

因為BE=^BC,所以

所以AB=(1,0),4E=(1,]],AZ)=(O,“)，

2

所以AB?AE=1,AE-AD=^-,因為AB?AE=AZ)?AE，

2

所以1=5,解得〃或α=-√i(舍去)，

所以AC=(I,有)，AE=1,乎，所以AC?AE=lxl+6x*=2?

答案第7頁，共15頁

故答案為：G；2

9.11+3

2

【分析】根據BA?BC=g求出8的大小，從而可判斷AABC的形狀，從而求出卜百；再求

出。C?4C,從而求出/AC。的大小，再根據BZ)?8=(BC+CQ)?CO即可求出BD?CQ?

【詳解】VIAβ∣=∣BC∣=∣CD∣=1,BA-BC=^,

又BA?BC=IBA∣∣BC∣cosB=1,故cosB=?,

V0<B<π,故B=],

??..AfiC為等邊三角形，則IAcI=1；

1

VICDI=>CD2=I-又QAgC=1,?CD1=DA-DC'

^DC2-DA-DC=DC(DC-DA^=DCAC=O,

.?.ACLCD,

根據以上分析作圖如下:

則/8CD=I50。，

則8。CZ)=(8C+CD)。=BCez)+CO2=-QTCO+CO'

,,(2+√3

=-l×l×-----+1=---------.

I2J2

故答案為：1；紀叵

【分析】確定CM=(AB-AC,BN=-AB+^AC,再計算即可，設ICNI=機，則

..3

CM=ImAB-AC,BN=-AB+{?+n{)AC,CM-BN={m-?9?得到最值.

13

【詳解】CM=CA+AM=-AB-AC,BN=BA+AN=-AB+-AC,

22

答案第8頁，共15頁

CM?BN=?-AB-AC?↑-AB^-AC?=--ABL^-AB?AC--AC

(2八2J242

17139

=+-X-----------=?

24228,

設ICN卜機，

則CM=CA+AM=2〃?AB-AC，BNBA+AN=-AB+(?+m)AC,

CMBN=h,mAB-AC)?(-AB+(1+∕M)AC)

=-ImAB2+(1+2∕M+Inv]AB-AC-(?+in)AC=-2m+g(1+2m+2m2)-(1+m)

=nv-Im---=(∕>ι-l)^--,

2l'2

3

當機=1時，CM?8N有最小值為一

93

故答案為：-j；--

o2

11.22∕∣+逑

933

【分析】由向量的線性表示，利用三角形法則及已知可求解；

根據（1）的結論，轉化用AE,A尸表示A。，根據￡＞、E、F三點共線

找出等量關系，再由基本不等式可求2+〃的最小值.

2

【詳解】在AASO中，AD=AB+BD，且Bz)=2OC，則8O=,8C,

22

π^^AD=AB+BD=Aβ+jBC=AB+-(AC-AB)

2212

=AB——AB+-AC=-AB+-AC

3333

2

所以加〃=,；

?一2

又由AO=-A8+-AC,已知4E=2AB,AF=∕MC,

33

I112

^^AB=-AE,AC=-AF,可得AO=—AB+一AC,

丸μ323〃

因為。、E、尸三點共線，且點A在線外，

12

所以7?+丁=L(九〃>。)，

3Λ3μ

πl(wèi)Λ+∕∕=(A+χ∕)(-^-+—)=L2+上_+絲≥1+2

則,"323〃33343μ

答案第9頁，共15頁

21+母

Λ=--------

U2λ

當且僅當導次時，即3L等號成立,

2+√2

μ=--------

3

所以好的最小值為1+手

故答案為：I；1+^.

93

IC1??,4+2√3

12.-a+-b--------—

333

2

【分析】求出Co關于〃、〃的表達式，再由已知條件可得出CE=：C。，可得出CE關于

6的表達式，求出EF、EG關于〃、6的表達式，根據EF//EG可得出,+1=3,將代數式

mn

1(_?_+與〃?+2〃相乘，展開后利用基本不等式可求得rn+2n的最小值.

31根nJ

【詳解】如下圖所示:

因為D為AB的中點，貝IJCD=C4+Af)=C4+,AB=C4+L(CB-C4)='a+'"

22''22

211

因為CE=2ED,則CE=Ie￡>=§4+丁，

因為CF=Zna，CG=〃b，則EF=Cf-CE=+=(，w-g)a-；b,

EG=CG-CE="6一(gα+3)=—++(〃一；)/?,

因為E、F、G三點共線，則EF〃EG，

所以，存在實數々使得EF=ZEG,

1

m——?,βpmn=^mΛ-n),

3

mnmn

因為過點E任作一條直線，分別交線段AC、BC于F、G兩點，且〃加≠0,

答案第10頁，共15頁

則O<m<1,O<H<1,

由基本不等式可得，+=+=+W+4+2J——]=4+^

3?tnnJ3?mn)31?mn)3

[1∣,l+√3

當且僅當?n時，即當3時，等號成立.

3”_機3+

—--^n=----

mn9

因此，帆+3〃的最小值是上叵.

3

故答案為：4+2、

3

13.-10

3

IULUUUUULaU

【分析】由AO?CO=-6,可得F=/,進而可得AE=(m+l)4O+2mC8(0<m<l),由題意

1+2=w+1

可得C2,求解即可得第一空答案；取A8中點用，連接。0,根據向量的數乘及

2m=—

I3

加減運算可得

cur1IUnIurUlr?UumUiIr

FC=~AB+AD,FD=-：A8+A，再根據向量的數量積運算即可得第二空答案.

63

【詳解】解：如圖所示：

因為r>C=fA8,

所以Ce〃林,即有OC〃AB,

又因為Ao?CO=-6,

UUUUUU

所以AO?DC=6,

UULILUJUl

即f?AQ?AB=6,

UUUIIUuI

MADIIAB∣?cos60o=6,

解得f=J,

所以DC=

答案第??頁，共15頁

Uir?LLin

所以IoCI=個A81=3,

2

UUUUUUULiUUUU1

又因為AO+t>C+C8+84=0,

tin1tunULlnniffr

即AD+-AB+CB-AB=O

2f

UUUlULLIliU

所以AB=2AO+2C8;

又因為AE=A￡>+OE

UUUIlU

=AD+mDB

ULCiLLVlULRI

=AD+tn(AB-AD)

UUUUUUL<.IUUuU

=AD+m(2AD+2CB-AD)

UUULLIU

=(nι+↑)AD+2mCB(S)<m<?),

2

又因為AE=(I+2)AD+§CB,

1+4="?+1m=—

由題意可知DC〃MB且DC=M3=3,

所以四邊形DCBM為平行四邊形，

所以E>N//BC,

又因為E尸〃BC,

所以DW//EF,

Hir1Uir

又因為Z)E=

所以DE=

所以MF=；MB=1,FB=2,

答案第12頁，共15頁

IIL1Π1IL≡

所以尸B=3A8,

UUUlUUUUUU,?]

由AB=2AD+2CB可得BC=A。-/AB,

LUIULinULlf1ILUTIur1ILIH1IUlIu?r

所以尸C=M+BC=-A8+A0一一AB=一一AB+AD,

326

airtunUULr?ULIffLUr

FD=FA+AD=——AB+AD,

3

ULlTULlf2ul≡LUr1ILI∏UlT

所以尸。?bC=(一一A8+AO)?(——AB+AD)

36

1ILM?5UUlDUULrULlLr)

=-AB~——ABAD+AD

96

=」x62——X6X4X'+42

962

=10.

故答案為：—；10

【點睛】關鍵點睛：對于向量的線性運算，關鍵是將所求向量表示成同一組基底的數量積,

然后再進行求參、數量積等運算.

14.∣∕0.25√3

【分析】由平面向量共線定理求解加，由數量積的運算律，結合三角形面積公式與基本不

等式求解，

313

【詳解】由題意得A8=1AO,IjIlJAP=mAC+-AB=mAC+

而CR。三點共線，得加+；3=1,m二1：,

44

2

AP=^AC+^ABt則網=衣AC?+；IA5IlACIcosZBAC+；AB?,

而SAfic=?AB?AC?sinZBAC=273,得AB?AC=8,

由基本不等式得AAC2+∣AB2≥2A×→82=2,當且僅當AC=4,AB=2時等號成立，

2

?∣AP∣≥2+1×8X^=3,∣AP∣的最小值為6，

故答案為：—;-Ji

4

15.^^/-√io?

5541

【分析】(1)由tan∕D4C=;,求出CoSC,在ZW)C中，利用余弦定理即可求得；

答案第13頁，共15頁

ICDI

(2)在一ABC中，利用正弦定理，求出局P利用平面向量基本定理和三點共線建立方程組,

解出?A曷H?

【詳解】???AC?-?BD?=?AB?.?CD?J^=^,

???由角平分線的性質定理知AD是/84C的角平分線，，NBA。=NQACe(O微

V∣ΛZ^=∣CD∣,ΛZC=ZZMC.

*.*ta∏-×DAC=—,二.可得Sin/DAC=,—,cosNDAC=.—,

3√io√10

3

/.cosC=cos/DAC=-j=

√10,

?AOC中，由余弦定理得：=|AC「+|@2-2|ACHcDlCosC,

即IAel=2∣C。喘=扁卬

.ACAC_63√10

??布一而一旃一5.

I3

在ABC中，SinNC=SinNZMC=-J=,cosC=cos∠fDAC=-=

√10√i10

,/Ao是/54C的角平分線,