6.1.2空間向量的數(shù)量積一、空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個(gè)非零向量、，則叫做向量與的數(shù)量積，記作，即．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為02、數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：（1）；（2）（交換律）（3）（分配律）二、空間向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，是單位向量，則①；②；③或；④；⑤三、空間向量的夾角1、定義：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：.那么空間兩個(gè)向量、的夾角的余弦.2、求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：方法一：（1）結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來(lái)求，但要注意向量夾角的范圍角的大?。?）先求，再利用公式求，最后確定.方法二：①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量)②異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大小四、投影向量的概念1、向量在向量上的投影對(duì)于空間向量任意兩個(gè)非零向量，，設(shè)向量，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，上述由向量得到向量的變換稱(chēng)為向量向向量的投影，向量稱(chēng)為向量在向量上的投影向量。與平面向量的情形類(lèi)似，我們有2、向量在平面上的投影向量，過(guò)，作平面的垂線，垂足為，，得到向量，我們把向量稱(chēng)為向量在平面上的投影向量，此時(shí)數(shù)量積有五、求空間向量數(shù)量積的步驟1、將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式，2、利用向量的運(yùn)算規(guī)律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積，3、代入求解.六、利用空間向量求模長(zhǎng)在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：。將其推廣：題型一求空間向量的數(shù)量積【例1】已知向量，向量與的夾角都是，且，試求：（1）；（2）．【答案】（1）11；（2）【解析】∵向量，向量與的夾角都是，且，∴（1）=＝1+16+9+0-3-12=11；（2）=＝0--8+18=【變式1-1】如圖，在三棱錐中，，、分別是的中點(diǎn)、則_____．【答案】【解析】連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，是異面直線，所成的角，，，，，同理得：，又，，，設(shè)與的夾角為，由圖可知與互補(bǔ)，則，.【變式1-2】已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?根據(jù)向量的減法法則，得，所以.故選：C.【變式1-3】已知正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)都為1，所以，故.【變式1-4】如圖，四棱錐中，垂直平分.，則的值是__．【答案】【解析】設(shè)的中點(diǎn)為,因,,所以,即,所以,又因?yàn)?即,所以題型二利用數(shù)量積求角度【例2】空間四邊形中，，，則的值是（）A．0B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，故選：A.【變式2-1】已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)榕c垂直，所以，即，所以.又，所以.故選：D.【變式2-2】⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?AB、?BC的對(duì)角線都分別相互垂直且相等，若AB＝a，求異面直線與AC所成的角.【答案】60°【解析】如圖所示.因?yàn)楣室驗(yàn)锳B⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，故故又故.而，故可得，又∵異面直線所成的角是銳角或直角，∴異面直線BA1與AC成60°角.【變式2-3】若空間四邊形的四個(gè)面均為等邊三角形，則的值為（）A．B．C．D．0【答案】D【解析】依題意空間四邊形的四個(gè)面均為等邊三角形，設(shè)棱長(zhǎng)均為.而，則所以.【變式2-4】平行六面體，，，若，則______.【答案】【解析】如圖知：，所以，故.題型三利用數(shù)量積求長(zhǎng)度【例3】已知空間中單位向量、，且，則的值為_(kāi)_______.【答案】【解析】，故.【變式3-1】如圖，在三棱柱中，與相交于點(diǎn)，，，，則線段的長(zhǎng)度為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，即線段的長(zhǎng)度為.故選：D.【變式3-2】如圖，在棱長(zhǎng)為6的正四面體中，點(diǎn)在線段上，且滿足，點(diǎn)在線段上，且滿足，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)槭抢忾L(zhǎng)為6的正四面體，所以，故選：A【變式3-3】在平行六面體中，其中，，，則（）A．25B．5C．14D．【答案】B【解析】，所以，所以，故選：B.【變式3-4】如圖，已知線段平面，平面，且，D與A在的同側(cè)，若，求A，D兩點(diǎn)間的距離.【答案】.【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以與的夾角為，因?yàn)?，，所以，所以，即A，D兩點(diǎn)間的距離為.題型四利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系【例4】已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn).求證：MN為AB和CD的公垂線.【解析】如圖，設(shè)，，由題意，可知，且、、三向量?jī)蓛蓨A角均為60°，∴∴MN⊥AB，同理可證MN⊥CD，∴MN為AB與CD的公垂線【變式4-1】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是中點(diǎn)，在棱上，，為的中點(diǎn)，求證：；【解析】設(shè)，則，∵，∴∴【變式4-2】如圖，在空間四邊形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求證：OA⊥BC．【答案】見(jiàn)解析【解析】證明：∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAB≌△OAC．∴∠AOB＝∠AOC．∵∴.即OA⊥BC．【變式4-3】如圖，在四面體中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)．若，，求證：.【解析】因?yàn)椋?，所以，所以．題型五空間投影向量的計(jì)算【例5】四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】四棱錐如圖所示，底面是矩形，∴，底面，底面，∴，過(guò)向量的始點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，過(guò)向量的終點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，在向量上的投影向量為，由底面是矩形,，故選：B【變式5-1】在棱長(zhǎng)為的正方體中，向量在向量方向上的投影向量的模是______．【答案】【解析】棱長(zhǎng)為的正方體中向量與向量夾角為，所以向量在向量方向上的投影向量是向量在向量方向上的投影向量的模是.【變式5-2】如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于____.【答案】【解析】平面，則，向量在上的投影向量為【變式5-3】如圖，在三棱錐中，平面，，，