假如今天是星期一，7天后是星期幾？16天后是星期幾？82022天后是星期幾？怎樣準(zhǔn)確快速地得到答案？導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的特定項(xiàng)二、系數(shù)的最值問題三、整除和余數(shù)問題內(nèi)容索引一、兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的特定項(xiàng)例1

(1)(1＋2x)3(1－x)4的展開式中，含x項(xiàng)的系數(shù)為A.10 B.－10C.2 D.－2√解析(1＋2x)3(1－x)4的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是由兩個(gè)因式相乘而得到的，即第一個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)分別乘第二個(gè)因式的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中，含x2的項(xiàng)的系數(shù)為5，則a等于A.－4 B.－3 C.－2 D.－1√所以a＝－1，故選D.反思感悟求多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)的方法——“雙通法”所謂的“雙通法”是根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展開式中一般項(xiàng)為Tk＋1·Tr＋1＝

，再依據(jù)題目中對(duì)指數(shù)的特殊要求，確定r與k所滿足的條件，進(jìn)而求出r，k的取值情況.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為A.12 B.16 C.20 D.24√方法二∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系數(shù)為1×4＋2×4＝12.(2)(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為_____.(用數(shù)字作答)解析由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知，－20二、系數(shù)的最值問題例2

已知

的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).即n2＋n－156＝0.解得n＝－13(舍去)或n＝12.設(shè)Tk＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，解得9.4≤k≤10.4.又∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第11項(xiàng)，反思感悟求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式(組)、解不等式(組)的方法求解.一般地，如果第(k＋1)項(xiàng)的系數(shù)最大，則與之相鄰兩項(xiàng)第k項(xiàng)，第(k＋2)項(xiàng)的系數(shù)均不大于第(k＋1)項(xiàng)的系數(shù)，由此列不等式組可確定k的范圍，再依據(jù)k∈N來確定k的值，即可求出最大項(xiàng).跟蹤訓(xùn)練2已知

的展開式中，求該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解設(shè)第Tk＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，∵0≤k≤10，k∈N，∴k＝7，∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.三、整除和余數(shù)問題例3

(1)試求201910除以8的余數(shù)；解201910＝(8×252＋3)10.∵其展開式中除末項(xiàng)為310外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴201910除以8的余數(shù)與310除以8的余數(shù)相同.又∵310＝95＝(8＋1)5，其展開式中除末項(xiàng)為1外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴310除以8的余數(shù)為1，即201910除以8的余數(shù)也為1.(2)求證：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除.證明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9①式中的每一項(xiàng)都含有82這個(gè)因數(shù)，故原式能被64整除.反思感悟利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練3

求證：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N＋)能被25整除.證明原式＝4·6n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4以上各項(xiàng)均為25的整數(shù)倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除.1.知識(shí)清單：(1)兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的特定項(xiàng).(2)系數(shù)的最值問題.(3)整除與余數(shù)問題.2.方法歸納：

雙通法.3.常見誤區(qū)：項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)等概念的辨析.課堂小結(jié)隨堂演練1.的展開式的常數(shù)項(xiàng)為A.25 B.－25 C.5 D.－51234√令6－2k＝－2，或6－2k＝0，分別解得k＝4或k＝3.12342.(1－2x)5的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是A.第3項(xiàng) B.第4項(xiàng)C.第5項(xiàng) D.第6項(xiàng)√即k＝0,2,4，對(duì)應(yīng)的系數(shù)分別為1,40,80，故k＝4時(shí)，即第5項(xiàng)是展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng).12343.(x＋1)4(x－1)的展開式中x3的系數(shù)是__.2解析(x＋1)4(x－1)的展開式中含x3的項(xiàng)由以下兩部分相加得到：②(x＋1)4中的三次項(xiàng)乘以(x－1)中的常數(shù)項(xiàng)－1，所以(x＋1)4(x－1)的展開式中x3的系數(shù)是6＋(－4)＝2.12344.230－3除以7的余數(shù)為__.解析230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－35又∵余數(shù)不能為負(fù)數(shù)(需轉(zhuǎn)化為正數(shù))，∴230－3除以7的余數(shù)為5.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.的展開式的常數(shù)項(xiàng)是A.－3 B.－2 C.2 D.3√令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.123456789101112131415162.(1－x)4的展開式中x2的系數(shù)是A.－6 B.－3C.0 D.3√∴x2的系數(shù)是－12＋6＝－6.123456789101112131415163.1.026的近似值(精確到0.01)為A.1.12 B.1.13C.1.14 D.1.20√解析1.026＝(1＋0.02)6≈1＋0.12＋0.006≈1.13.123456789101112131415164.(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是A.56 B.84 C.112 D.168√所以x2y2的系數(shù)為28×6＝168.12345678910111213141516A.0 B.8 C.7 D.2√所以除以9的余數(shù)為0.123456789101112131415166.(多選)的展開式中A.x3的系數(shù)為40 B.x3的系數(shù)為32C.常數(shù)項(xiàng)為16 D.常數(shù)項(xiàng)為8√√解析(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展開式中x3的系數(shù)分為兩部分，所以含x3的系數(shù)是8＋32＝40，故A正確；展開式中常數(shù)項(xiàng)只有(2＋x)4展開式的常數(shù)項(xiàng)24＝16，故C正確.123456789101112131415167.在

的展開式中常數(shù)項(xiàng)等于___.9123456789101112131415168.的展開式中含x的項(xiàng)為_____.10x123456789101112131415169.用二項(xiàng)式定理證明1110－1能被100整除.證明1110－1＝(10＋1)10－1顯然上式括號(hào)內(nèi)的數(shù)是正整數(shù)，所以1110－1能被100整除.1234567891011121314151610.求

的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解設(shè)展開式中第k＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，又因?yàn)?≤k≤5，k∈N，所以k＝4，所以展開式中第5項(xiàng)系數(shù)最大..12345678910111213141516綜合運(yùn)用A.0 B.2 C.7 D.8√除最后兩項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都是9的倍數(shù).因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余數(shù)為7.1234567891011121314151612.若(x2－a)的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于√12345678910111213141516解得a＝2.1234567891011121314151613.設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512020＋a能被13整除，則a等于A.0 B.1C.11 D.12√解析512020＋a＝(13×4－1)2020＋a，被13整除余1＋a，結(jié)合選項(xiàng)可得當(dāng)a＝12時(shí)，512020＋a能被13整除.1234567891011121314151614.中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)a，b，m(m>0)為整數(shù)，若a和b被m除所得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為a≡b(modm).若a＝

，a≡b(mod10)，則b的值可以是A.2021 B.2022C.2023 D.2024√12345678910111213141