模塊二常見模型專練

專題27倍長(zhǎng)中線模型

O氟題四究

甌（2021?黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題）已知，如圖1,若A。是ABC中/BAC的內(nèi)角平

分線，通過證明可得要=黑，同理，若AE是一ABC中/84C的外角平分線，通過探究

也有類似的性質(zhì).請(qǐng)你根據(jù)上述信息,求解如下問題:如圖2,在MC中，BD=2,CD=3,AD

是ABC的內(nèi)角平分線，則ASC的BC邊上的中線長(zhǎng)/的取值范圍是

125

【答案］7<Z<∈Γ

22

ARO

【分析】根據(jù)題意得到黑=彳，設(shè)A8=2%,AC=3k,在aABC中，由三邊關(guān)系可求出我

z?（?z5

的范圍，反向延長(zhǎng)中線AE至尸，使得AE=EF,連接C尸，最后根據(jù)-：角形三邊關(guān)系解題.

【詳解】如圖，反向延長(zhǎng)中線AE至尸，使得AE=EF,連接CT,

8O=2,CD=3,A。是ABC的內(nèi)角平分線，

ABBD_2

'AC^CD-3

可設(shè)A8=2&,AC=3k,

在aA5C中，BC=5,

Λ5Λ>5,ZV5,

Λl<?<5,

BE=EC

<ZAEB=ZCEF

AE=EF

,ABE^FCE(SAS)

:.AB=CF

由三角形三邊關(guān)系可知，

AC-CF<AF<AC+CF

:.k<AF<5k

125

故答案為：r∕<τ.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)

系等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

甌（2021?貴州安順?統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，在四邊形ABCf）中，AB〃CD,點(diǎn)、E

是BC的中點(diǎn)，若AE是-34）的平分線，試判斷A3,AD,OC之間的等量關(guān)系.

解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AE交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,易證ΔAE8四AREC得到

AB=FC,從而把A3,AD,OC轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷.

AB,AD,OC之間的等量關(guān)系；

（2）問題探究：如圖②，在四邊形ABCO中，AB//CD,"與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,

點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是NBA尸的平分線，試探究AB,AF,CF之間的等量關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

A

【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得A。=DF,再根據(jù)AAS證得

?CEF?β?4,于是AB=CF,進(jìn)一步即得結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)AE交。尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖②，先根據(jù)AAS證明AGEC,可得

AB=CG,再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得FA=FG,進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)AD=AB+DC.

理由如下：如圖①，;AE是的平分線，.?.NZME=NS4E

,/ABDC,：.ZF=ZBAE,ΛZDAF=ZF,.,.AD=DF.

；點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，.?.CE=BE,

又,：NF=ZBAE,ZAEB=NCEF

：.NCEFABEA(AAS),ΛAB=CF.

：.AD=CD+CF=CD+AB.

故答案為AD=AB+DC.

(2)AB=AF+CF.

理由如下：如圖②，延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

,.?ABDC,：.ABAE=AG,

乂,.?BE=CE,ZAEB=NGEC,

/.ΔAEβ^ΔGEC(AAS),.,.AB=GC,

：AE是NBAF的平分線，；.ZBAG=ZFAG,

?/ZBAG=ZG,：.ΛFAG=ZG,：.FA=FG,

YCG=CF+FG,：.AB=AF+CF.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對(duì)等

邊等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

甌(2021?山東東營(yíng)?統(tǒng)考中考真題)已知點(diǎn)。是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線/上的任意

一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線/的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D我們定義垂足與中點(diǎn)之

間的距離為“足中距

(1)［猜想驗(yàn)證］如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”。C和

0。的數(shù)量關(guān)系是.

(2)［探究證明］如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”0C和。力的數(shù)量關(guān)系

是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)［拓展延伸］如圖3,①當(dāng)點(diǎn)尸是線段84延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”0C和0。

的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由;

②若NCOD=60。，請(qǐng)直接寫出線段AC、BD,OC之間的數(shù)量關(guān)系.

≡1

【答案】(1)OC=OD,(2)仍然成立，證明見解析；(3)①仍然成立，證明見解析；

@AC+BD=y/3OC

【分析】(1)根據(jù)三角形全等可得；

(2)方法一:過點(diǎn)。作直線EFHCD,交BD于點(diǎn)F,延長(zhǎng)AC交EF于點(diǎn)E,證明VCOE絲VOOF

即可，

方法：：延長(zhǎng)CO交丁點(diǎn)E,證明AOegJ5OE即可；

(3)①方法r過點(diǎn)。作直線EF〃8,交BO于點(diǎn)凡延長(zhǎng)C4交E尸于點(diǎn)E,證明

,COE=ΔDOF,

方法一延長(zhǎng)。。交。B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,證明AAoC絲.3OE；

②延長(zhǎng)C。交。8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)證明二AOCgzi3。石，根據(jù)已知條件得出。E=G8.

【詳解】⑴。是線段AB的中點(diǎn)

OA=OB

AClhBDll

.?ZACO=ZBDO

在ZXACO和ABDO中

OA=OB

<ZACO=ZBDO

ZAOC=NBoD

???ΛACO絲∕?BDO(AAS)

圖1

OC=OD

(2)數(shù)量關(guān)系依然成立.

證明（方法一）：過點(diǎn)。作直線曾7/CO,交BD于點(diǎn)F,延長(zhǎng)AC交石廠于點(diǎn)￡

,.?EFHCD

：?ZDCE=ZE=ZCDF=90°

???四邊形CE尸。為矩形.

/.AOFD=90o,CE=DF

由（1）知，OE=OF

：.-CoE緣DOF（SAS）,

OC=OD.

證明（方法二）：延長(zhǎng)C。交8。丁點(diǎn)E,

，ACHBD,

；?ZA=ZB,

；點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，

.,.AO=BO,

又：ZAoC=NBOE,

：..AOC^..BOE（ASA）,

OC=OE.

,:NCDE=90°,

OD=OC.

（3）①數(shù)量關(guān)系依然成立.

證明（方法一）：

過點(diǎn)。作直線砂〃Cz）,交BD于點(diǎn)、F,延長(zhǎng)。交E尸于點(diǎn)E.

/.ZDCE=ZE=NCDF=90o

???四邊形CMD為矩形.

.,.NoFD=90。,CE=DF

由(1)知，OE=OF

Λ；COEPOF(SAS),

ΛOC=OD.10分

證明(方法二)：延長(zhǎng)C。交。8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

VAC±CD1BDA-CD1

：.ACHBD,

/.ZACO=NE,

???點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

???AO=BO,

又YZAOC=ZBOE,

ΛAOCBOE(AAS),

：?OC=OE,

???ZCDE=90°,

.*.OD=OC.

②如圖，延長(zhǎng)。。交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

VACA-CDiBDLCD,

：?AC∕∕BD,

.*.ZACO=ZE,

???點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，

/.AO=BOf

又「ZAOC=NBOE,

：.AC=BEf

:.AC+BD=BE+BD=DE

???/CDE=90o,ZCOD=60°

/.OD=OC

.?ZCOD=60o

.?.ZDCE=60°

DFL

—=tanNDCE=tan60o=√3

CD

:.DE=y∕3CD

，AC+BD=6OC?

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，根

據(jù)題意找到全等的二角形，證明線段相等，是解題的關(guān)鍵.

厚命題矗曲

倍長(zhǎng)中線模型概述：當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長(zhǎng)中線或類中線，使得延長(zhǎng)

后的線段是原中線的二倍，從而構(gòu)造一對(duì)全等三角形(SAS),并將已知條件中的線段和角進(jìn)

行轉(zhuǎn)移。A

倍長(zhǎng)中線模型模型：

【倍長(zhǎng)中線】已知點(diǎn)D為AABC中BC邊中點(diǎn)，延長(zhǎng)線段AD到點(diǎn)E使AD=DE_Λc

?/D

1)連接EC,則AABDgAECD,AB〃CE\//

2)連接BE,則△ADC名△EDB,AC〃BE

證明：a

點(diǎn)D為△ABC中BC邊中點(diǎn)

，BD=DC\

在4ABD和4ECD中'廠”

\，/

AD=ED>

E

Z1=Z2/.ΔABD^ΔECD(SAS).?ZABD=ZECD.'.AB//CE

BD=DC

在AADC和AEDB中

AD=ED

ZADC=ZBDE.,.ΔADC^ΔEDB(SAS)ZEBD=ZACD.?.AC∕7BE

BD=DC

【倍長(zhǎng)類中線】已知點(diǎn)D為AABC中BG邊中點(diǎn)，延長(zhǎng)線段DF到點(diǎn)E使DF=DE,

連接EC,則ABDFWACDE

總結(jié)：

【變式D（2021?浙江湖州■統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，ABHCD,ABYBD,AB=5,

BD=4,CQ=3,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則BE的長(zhǎng)為（）.

【答案】C

【分析】延長(zhǎng)BE交C。延長(zhǎng)線于P,可證AAEB/zλCEP,求出DP,根據(jù)勾股定理求出BP

的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng).

【詳解】解：延長(zhǎng)8E交CO延長(zhǎng)線于P,

?.,AB∕∕CD,

.?.NEAB=NECP,

在aAEB和中，

ZEAB=ZECP

-AE=CE

NAEB=NCEP

：.AAEBmACEP(ASA)

：.BE=PE,CP=AB=5

又?.?Cf>=3,

.,.PD=2,

"：BD=4

二BP=y∣DP1+BD2=2√5

：.BE=WBP=B

【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是得恰當(dāng)作輔助線構(gòu)造全

等，依據(jù)勾股定理求出8P?

【變式2］（2021.貴州遵義?校聯(lián)考二模）如圖，DE是AABC的中位線，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，

CF的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)G,若ACEF的面積為12cπ√,則SADGF的值為（）

【答案】A

【分析】取CG的中點(diǎn)H,連接EH,根據(jù)三角形的中位線定理可得EH//AC,再根據(jù)兩直線

平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NGoF=然后利用“角邊角”證明△力FG和△EFH全等，根據(jù)

全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FG=全等三角形的面積相等可得SzEFH=S∕DGF,再求出

FC=3FH,再根據(jù)等高的三角形的面積比等于底邊的比求出兩三角形的面積的比，從而得解.

【詳解】解：如圖，取CG的中點(diǎn)4,連接E4,

A

AE

BC

???七是4C的中點(diǎn)，

JE”是△ACG的中位線，

：.EHHAD,

：?NGDF=NHEF,

。尸是DE的中點(diǎn),

LDF=EF,

在^DFG和^EFH中,

NGDF=ZHEF

<DF=EF,

ZDFG=ZEFH

C.∕?DFG^∕?EFH(ASA),

：.FG=FH,SΔEFH=SΔDGF,

又??FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH,

.?SΔCEF=3SΔEFH,

.?SΔCEF=3SΔDGF,

2

ΛSzlDGF=∣×12=4(cm).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線性質(zhì).利用

倍長(zhǎng)類中線構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換面積和線段關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【變式3](2022.四川成都.統(tǒng)考一模)在二ABC中，AB=6,AC=4,A。是BC邊上的中

vnχ—1I

線，記4)="且m為正整數(shù).則機(jī)使關(guān)于X的分式方程竽—+4=—=有正整數(shù)解的概率

3-xx-3

為.

【答案W

【分析】延長(zhǎng)A。至IjE,使AD=OE,連接BE,iιE?ADC^?EDB,得至IJAC=8E=4,在AABE

中，根據(jù)三邊關(guān)系可知A8-8E<AE<AB+BE,代入求出〃?的取值范圍，解分式方程得到有正

整數(shù)解時(shí)，”的值有2個(gè)，再利用概率公式求解.

【詳解】延長(zhǎng)A。到E，使AO=QE,連接BE,如圖

A

??,AD是BC邊上的中線，

LBD=CD,

在△4。。和4EDB中，

AD=DE

ZADC=ZEDB

DC=BD

：.?ADC^AEDB(SAS)

：?AC=BE=4,

?ΔABEAB-BE<AEvAB+BE,

Λ6-4<2ΛD<6+4,

Λ1<ΛZX5,

即IVznV5,

/.m=2,3,4,

AZtr-I，1

解分式方程--------+4=-------

3-XA1-3

12

..X--

ZZ7-4

?.”為正整數(shù),

.,.∕π-4<0,

Λm<4,

/.tn=2,3,

.??m使關(guān)于X的分式方程竽心+4=?有正整數(shù)解的概率為：.

3-xx-33

【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式、解分式方程、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

【變式4］（2021?河南周口?統(tǒng)考二模）如圖，在一ABC中，AB=4,ZBAC=I35。，D為邊BC

的中點(diǎn)，若A。=1.5,則AC的長(zhǎng)度為.

A

【答案】2√2+l

［分析】延長(zhǎng)AD到E,使得AD=DE,證明△ADB^?EDC,得CE=ΛB=4,過點(diǎn)E作EWJ_AC

于H,分別求出CH和AH的長(zhǎng)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：延長(zhǎng)A。到E,使得AC=DE,如圖，

,/。為邊BC的中點(diǎn)，

.".BD=CD

在^AoB和4EOC中，

AD=DE

■ZADB=ZEDC

BD=CD

：.4ADB咨AEDC

.?.ZB=NDCE,CE=AB=4

：.ABHCE

?,.ZBAC+ZACE=ISO°

：.ZACE=I80°-135°=45°

過點(diǎn)E作EHLAe于H

在RtΔE"C中，CE=4,NHCE=45"

CH=EH=2√2

在MΔA∕7E中，A￡=24)=3,HE=2-/1

?-?AH=?∣AE2-EH2=1

AC=AH+HC=2y∕2+l

故答案為：2√Σ+1?

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以

及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

【變式5](2022?山東泰安?校考二模)已知,ABC中，ZBAC=60o,以AB和BC為邊向外作

等邊A8。和等邊BCE.

(1)連接AE、CD,如圖1,求證：AE=CDi

(2)若N為CO中點(diǎn)，連接AM如圖2,求證：CE=IAN

(3)若A8LBC,延長(zhǎng)A8交OE于M,DB=42,如圖3,則(直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)見解析

(2)見解析

喈

【分析】(1)先判斷出Nf)BC=NABE,進(jìn)而判斷出△QBCgZsABE,即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出AACW絲Z^FCM得出CF=A￡),NNCF=NAND,進(jìn)而判斷出/BAC=/AC尸,

即可判斷出△A8C嶺Z?C7?,即可得出結(jié)論；

(3)先判斷出△ABC絲4"E8(ASA),得出8H=AC=2&，AB=EH，再判斷出

ADM^AHEM(AAS),得出AM=即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：?.?Z?ABC和△8CE是等邊三角形，

：.BD=AB,BC=BE,ZA8D=ZCBE=GQo,

：.ZABD+ZABC=ZCBE+ZABC,

：.ZDBC=ZABE,

：.∕?ABE^ΛDBC(SAS),

."E=CO;

(2)解：如圖，延長(zhǎng)AN使NF=AM連接FC,

???N為CQ中點(diǎn)，

：?DN=CN,

YZAND=ZFNCf

：.AADN學(xué)AFCN(SAS),

：.CF=ADfZNCF=ZAND9

9：ZDAB=ZBAC=6Qo

???ZACD+ZADN=60o

：.ZACF=ZACD+Z∕VCF=60o,

."BAC=NACF,

V?ABD是等邊三角形，

：.AB=ADf

：.AB=CFf

VAC=CA,

Λ?ABC^?CM(SΛS),

：.BC=AFf

???△3CE是等邊三角形，

：?CE=BC=AF=2AN；

(3)解：?.?Z?A8O是等邊三角形，

?'?AB=AD=DB=y/2ZBΛZ>60o,

在RmABC中，ZACB=90o-ZBAC=30o,

?'?AC=2AB=2^,

如圖，過點(diǎn)E作EH〃AO交AM的延長(zhǎng)線于從

???△3CE是等邊三角形,

,BC=BE,NCBE=60。,

???NABC=90。，

JZEBH=90o~NCBE=30。=NaC8,

/.NBEH=I80。-NEBH—NH=90。=NABC,

：.?ABC^?HEβ(ASA)t

?**BH=AC=2√2，AB=EH,

：.AD=EH1

,.?/AMD=NHME,

：.4ADMm∕?HEM(AAS),

：.AM=HM,

.*.BM=AM-AB=-AH-AB=-(AB+BH)-AB=-BH--AB=-(BH-AB)

22v7222v7

VBH=2血，AB=6，

,√2

??BM=-.

2

故答案為：立.

2

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，含3()。角的直角三角形的性

質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

AD=3?AC=4,則48的長(zhǎng)的取值范圍是()

B.2<AB<?0C.3<AB<5D.2<AB<7

【答案】B

【詳解】解：延長(zhǎng)A。至點(diǎn)E使Z?E=AZ)，連接5E,

A

：A。為&ABC的中線，

.?.BD=CD,

在ABDE與，CDA中，

BD=CD

-NBDE=NCDA,

ED=AD

：..BDE-CDA(SAS),

BE=AC,

:在-ABE中，AE-BE<AB<AE+BE,又A￡)=3,AC=4，

Λ6-4<Λβ<6+4,

2<AB<10,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，添加輔助線構(gòu)造全等三角

形是解答的關(guān)鍵.

2.如圖，在√1BC中，AB=6,BC=IO,8。是邊AC上的中線，則Bo的長(zhǎng)度可能為()

【答案】C

【分析】延長(zhǎng)BO至點(diǎn)E,使%>=r>E,連接CE,證明aABO絲Z?CE3,得至IJCE=45,

利用三角形的三邊關(guān)系，即可得到80的取值范圍.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)5D至點(diǎn)E,使BD=DE,連接CE,

,.?BD是邊AC」二的中線，

，AD=CD,

又：ZADB=NCDE,

：.△ABD^ACfD(SAS),

,CE=AB=6

：.BC-CE<BE<BC+CE,

.?.10-6<BE<10+6,即：4<BE<16,

2<BD<8,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形的三邊關(guān)系.解題的關(guān)鍵是：倍長(zhǎng)

中線法，證明三角形全等.

3.如圖，ABC中，AO為中線，ADlAC,ZBA￡>=30o,AB=3,貝IJAC長(zhǎng)()

A.2.5B.2C.1D.1.5

【答案】D

【分析】延長(zhǎng)A。到E,使AD=ED,連接8E,證明△8EDgZ?C4D,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)可得BE=AC,ΛBED=ZCAD=90o,在RtZ?AE8中，ZBΛE=30o,AB=3,根據(jù)30。角直

角三角形的性質(zhì)即可求得AC的長(zhǎng).

(詳解】延長(zhǎng)AO到E,使AD=ED,連接BE,

YA。為中線，

LBD=CD,

在4BE。和△CAc中,

BD=CD

NBDE=NCDA

ED=AD

.'.△BEDqACAD(SAS),

：.BE=AC,NBED=NCAD,

?/ADLAC,

：.ZCAD=90o,

NBEO=NC4Z>90。，

在RtAAE8中，ZBAE^30o,AB=3,

；.AC=LAB=I.5.

2

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、30。角直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線,

構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵.

4.對(duì)于任意4ABC（見示意圖）.若AO是4A8C的邊BC上的中線，NADB、NADC的

角平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,連接所，那么ERBE、C尸之間的數(shù)量關(guān)系正確的

是（）

A.BE+CF=EFB.BE+CF≥EF

C.BE+CF<EFD.BE+CF>EF

【答案】D

［分析］延長(zhǎng)FD到G,使DG=FD,根據(jù)角平分線和平角定義證得/EDF=90。，即ED_LFD,

則ED垂直平分GF,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得EF=EG,再證明ABDGgaCDF,則

有BG=CF,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得BE+BG>EG即可解答.

【詳解】解：延長(zhǎng)FD到G,使DG=FD,

:NADB、N">C的角平分線分別交A8、AC于點(diǎn)E、F,

：./ADE=/BDE=TZADB,NADF=NCDF=∣?ZADC,

：/ADB+/ADC=I80°,

.?.ZEDF=ZADE+ZADF=?(ZADB+ZADC)=90°,

ΛEDlFD,又DG=DF,

ED垂直平分GF,

ΛEF=EG,

,.?AD是4ABe的邊BC上的中線，

BD=DC,又NBDG=NCDF,DG=DF,

Λ?BDG^ΔCDF(SAS),

.?.BG=CF,

在△BEG中，：BE+BG>EG,

ΛBE+CF>EF,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角

形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，延長(zhǎng)FD使DG=FD是解答的關(guān)鍵.

5.如圖，/BC中，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，線段45平分NBAC?8F//AC,在￡＞的延長(zhǎng)線交AC

于點(diǎn)E,且AE=2BF.下列結(jié)論：

?ADlBC-.@DElAC-,③DE=DF;?AB=3BF.

正確的個(gè)數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【分析】延長(zhǎng)A。，BF交于點(diǎn)G,如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)和AAS可證AGBQ且"CD,可

得BG=CA,易得BG=BA,于是有C4=8A,然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可判斷

①；

根據(jù)ASA易證ABDF絲ACOE,進(jìn)而可根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷③；

由AE=2班"，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)即可判斷④；

而QElAC無法證明，繼而可判斷②，于是可得答案.

【詳解】解：延長(zhǎng)月3、8尸交于點(diǎn)G,如圖，VBF//AC,...NG=NCAD,NGBD=NC,

：點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，.?.BD=CD,

Λ?GBD^?ΛCD(AAS),，BG=CA,

：A。平分∕BAC,ΛZBAD=ZCAD,,NBAD=NG,

：.BG=BA,：.CA=BA,

；點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，...AQ13C,所以①正確；

*：NGBANC,BD=CD,NBDF=NCDE,

,△BDF冬4CDE(ASA),：.BF=CE,DE=DF,所以③正確;

VAE=2BF,BF=CE,.".AC=AE+CE=3BF,

,：CA^BA,：.AB=3BF,所以④正確；

而OE上4C無法證明，所以②錯(cuò)誤.

綜上，正確的是①③④，有3個(gè)，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，屬于?？碱}型,

倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形、熟練掌握全等三角形和等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.在“A3C中，AB=8,AC=6,則BC邊上的中線A。的取值范圍是.

【答案】KAEXl

【分析】延長(zhǎng)AO至E,使DE=AD'然后證明二ABr)四一￡8(SAS),根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)

邊相等可得n=AB,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出

AE的取值范圍，然后即可得解.

【詳解】解：延長(zhǎng)AD至E,使DE=4),連接CE.

在△ABD和4ECD中，

DE=AD

<AADB=NCDE

DB=DC

ABD^ECD(SAS),

.*.CE=AB,

在ZSACE中，

CE-AC<AE<CE+AC，

即2<2AZX14

故1<ACX7.

故答案為：IVADV7.

E

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點(diǎn)加倍延，作輔助

線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在ABC中，Ao為中線，且AC=5,AD=6,則AB邊的取值范圍是.

【分析】延長(zhǎng)AO至E,使得AO=OE,連接先證明VΛT>C慫VE￡出，由此可得，

AC=BE,再根據(jù)三角形存在性，求得AE-BE<ABVAE+BE,即得到AB邊的取值范圍.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)A￡)至E，使得AO=OE,連接8E,

：在ABC中，A。為中線，

CD=BD,

在ZxADC與△口汨中，

AD=DE

'：?ZADC=NEDB,

CD=DB

：.AADC名八EDB(SAS),

：.AC=BE.

"."AC=5,AD=6,

又,：AC=BE,AD=DE,

：?BE=5,AE=2AD=12,

在Z?A1叩中，

：AE-BE<AB<AE^BE,

PBE=5,ΛE=12,

.?.7<AB<17,

故答案為：7VABV17.

【點(diǎn)睛】本題考查了倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形以及三角形存在性，掌握倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等

三角形是解題的關(guān)鍵.

8.如圖,在△ABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是AO上一點(diǎn),BE=AC.若ZC=10o,ZDAC=SOo,

則ZEBD的度數(shù)為.

【答案】10°##10度

【分析】根據(jù)題目中的圖形和已知條件，可以求得NFBE和NFB。的度數(shù)，從而可以得到

/EBO的度數(shù).

【詳解】解：延長(zhǎng)4。到R使得DF=AD,連接8尸，如圖，

；點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，

；.BgCD

在ABDFCDA中，

BD=CD

-NBDF=ZCDA

AD=FD

.?.?BDF^?CDΛ(SAS)

：.AF=ΛDAC,ZFBD=ZC,AC=FB,

VZC=70o,ND4C=50°,BE=AC

，NFBD=70°,ZF=50o,BE=BF

.,.ZF=ZBEF

：.NBEF=50。

：.NFBE=8。。

.?ZEBD=ZFBE-ZFBD=SOo-IOo=1Oo

故答案為：10。.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用三角形全等

的判定和性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合的思想解答.

9.如圖，在AfiC中，A。是BC邊上的中線.延長(zhǎng)AO到點(diǎn)E,使OE=4),連接BE.

⑴求證：AACD咨AEBD；

(2)AC與BE的數(shù)量關(guān)系是：,位置關(guān)系是：；

(3)若NB4C=90。，猜想AO與BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【答案】(1)見解析

(2)AC=BE,AC//BE

(3)2AD=BC,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)三角形全等的判定定理SAS,即可證得；

(2)由AACD經(jīng)AEBD,可得AC=8E,NC=NEBC,據(jù)此即可解答；

(3)根據(jù)三角形全等的判定定理SAS,可證得AA40ABE,據(jù)此即可解答.

【詳解】(1)證明：A￡＞是BC邊上的中線，

.-.BD=CD,

在AACD與AEBD中

AD=ED

/ADC=/EDB,

BD=CD

:.ACD^,EBD(SAS)；

(2)解：.-ACD—EBD,

:.AC=BE,ZC=ZEBC,

:.ACBE,

故答案為：AC=BE,AC//BE；

(3)解：2AT>=3C

證明：ACD^EBD,

:.AC=BE,ΛC=AEBC.

:.ACBE,

ZBAC=90o

.?ZBAC=ZABE=90o

在C和ZVUS石中，

AB=BA

<NBAC=NABE=90。

AC=BE

ΛBAC^ABE(SAS),

.?.BC=AE=2AD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用全等

三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

10.課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

如圖1,ABC中，若A3=8,AC=6f求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)

過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)EDE=AD,請(qǐng)根據(jù)小明的方法思

考：

⑴由已知和作圖能得到AADC之△互出的理由是___.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得AO的取值范圍是

A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1<AD≤7

(3)如圖2,AO是C的中線，BE交AC于E,交Ao于F,h,AE=EF.求證：AC=BF.

【答案】(I)B

⑵C

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)AD=DE?ZADC=ZEDB,BD=DC推出ZXAOC和全等即可，據(jù)

此即可判定；

(2)根據(jù)全等得出BE=AC=6,AE=2AD,由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6<2AD<8+6,

求出即可；

(3)延長(zhǎng)AO到例，使AO=Zw,連接BM,根據(jù)SAS證得△4￡)C絲Z?MD8,推出BM=AC,

ZC4D-ZM,根據(jù)AE=瓦'，推出NC43=NAFE=NBEO,求出N3ED=∕M,根據(jù)等

腰三角形的性質(zhì)即可證得.

【詳解】(1)解：A￡>是ABC中線，

.,.BD=DC>

在A4Z)C與△￡￡■中，

AD=ED

ZADC=NEDB

CD=BD

.??ADC^ΔEZ)B(SAS),

故選：B；

(2)解：由⑴知：AADC@AEDB,

.-.BE=AC=6,AE^2AD,

由三角形三邊之間的關(guān)系可得：AB-BE<AE<AB+BE,

即8-6<2AZ><8+6,

解得1<AD<7,

故選：C；

(3)證明：如圖：延長(zhǎng)Ar)到M,使AE>=DM,連接BM,,

A￡>是ABC中線，

√.BD=DC,

在∕?ADC?∕?MDB中，

AD=MD

<ZADC=NMDB

CD=BD

.???ΛDCAJWDB(SAS),

:.AC=MB,NCW=ZM,

AE=EF,

NCAD=ZAFE,

ZAFE=ZBFD,

:.NBFD=NCAD=NM,

.-.BF=BM=AC,

即AC=BF.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角

形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力.

11.（1）閱讀理解：

如圖①，在ΛBC中，若A8=8,AC=12,求BC邊上的中線相＞的取值范圍，并說明理由.

解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)E使。E=AD,再連接8E（或?qū)CD繞著點(diǎn)

。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到AEBD）,把Afi、AC,2A￡）集中在中，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的

數(shù)學(xué)思想，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.

A

A

JV

/?

BDC

圖①圖②

(2)問題解決：

如圖②，在二4BC中，。是BC邊上的中點(diǎn)，DMLDN于點(diǎn)、D,Z)M交AB于點(diǎn)M,DN交

AC于點(diǎn)N,連接MN,求證：BM+CN>MN；

【答案】(1)2<ΛD<10,詳見解析；(2)詳見解析

【分析】(1)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使OE=AD,連接8E,證明ZXACOqAEBD得至∣]BE=AC=12,

再利用三角形三邊的關(guān)系即可求解；

(2)延長(zhǎng)Nz)至點(diǎn)凡使ED=MD,連接BRMF,證明一8ED四一CN。得到5尸=CN,再

利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到MF=MN,再根據(jù)三.角形的三邊關(guān)系即可證得結(jié)論.

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=4),連接5E,

：A。是BC邊上的中線，

二BD=CD,

在“AC￡>和AEBD中，

CD=BD

"ZADC=NEDB,

AD=ED

：.ACD^^EBD(SAS),

：.BE=AC=12,

在“ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE-AB<AE<BE+AB,

二12-8<AE<12+8,即4<2AE><20,

.,.2<AD<10;

(2)問題解決：

證明：延長(zhǎng)NO至點(diǎn)片使FD=ND,連接8/、MF,如圖1所示：

A

N

MZ/?

?

//,?s.J??

b?~:/bc

?y

、I'

圖1

???。是BC邊上的中點(diǎn)，

二BD=CD,

在4BFD和ACND中，

BD=CD

"ZBDF=NCDN,

FD=ND

BFD^CND(SAS),

BF=CN,

'：DM?DN,FD=ND,

：.MF=MN.

在，BRW中，由三角形的三邊關(guān)系得：BM+BF>MF,

：.BM+CN>MN.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，

添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形解決問題是解答的關(guān)鍵.

12.某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí):老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖，在ABC中，AB=6,

AC=8,。是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)力。到E,使。E=AD，請(qǐng)補(bǔ)充完

整證明”ABD^.EeD”的推理過程.

(1)求證：ABD^ECD

證明：延長(zhǎng)Af)到點(diǎn)E,使Z)E=Af)

在AABD和；Ea)中

VAD=ED（已作）

ZADB=ZEDC（對(duì)頂角相等）

CD=（中點(diǎn)定義）

.,.ABg,.ECD（）

（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出A3的取值范圍是；

【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線''等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形,

把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.

（3）【問題解決】如下圖，4?C中，?B90?,AB=2,AO是.45C的邊BC上的中線，

CElBC,CE=A,且ZAD￡=90。，求AE的長(zhǎng).

【答案】(I)BO,SAS

(2)1<AD<7

⑶AE=6

【分析】（1）由“SAS”可證，AB*.ECD：

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得CE=AB=6,由三先形的三邊關(guān)系可求解：

（3）由“ASA”可證BDFqCDE,則BF=CE=4,Ez）=￡>F,可求AF=6,根據(jù)線段垂

直平分線的性質(zhì)可得AE的長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使OE=AD

在AABD和CEa）中，

VAD=ED（已作），

ZADB=ZEDC（對(duì)頂角相等），

CD=BD（中點(diǎn)定義），

Λ..ABD^,.ECD（SAS）,

故答案為：BD，SAS：

（2）解：Y.ABD^.ECD,

：.CE=AB=6,

在ZkACE中，AC-AE<AE<AC+CE,

???2<2AD<14,

Λ1<AO<7.

故答案為：1<AD<7;

(3)解：如圖3,延長(zhǎng)EDA8交于點(diǎn)尸,

ZECD=90°,

：.ZABD=ZDBF=ZECD=90°,

：A。是中線，

BD=CD,

'：NBDF=NCDE,

ABDF沿ACDE(AS0,

；.BF=CE=4,ED=DF,

??AF=2+4=6,

VZADE=90°,DF=ED,

AO是E尸的垂直平分線，

AE=AF=6.

【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題和倍長(zhǎng)中線問題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角

形的三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，并運(yùn)用類比的

方法解決問題.

13.課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

圖2

如圖1,ABC中，若AB=8,AC=6,求BC邊上的中線Af)的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過

合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)E,使DE=AD,請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考:

(1)由已知圖能得到C必EDB的理由是.

(2)求得AD的取值范圍是.

(3)如圖2,Az)是；ABC的中線，BE交AC于E,交AZ)于F,JiAE=EF.求證：AC=BF.

【答案】(D必S

(2)1<AD<7

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)三角形全等的判定定理即可進(jìn)行解答；

(2)根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可進(jìn)行

解答；

(3)延長(zhǎng)AO至點(diǎn)G,使Gz)=Ar>,連接BG,先證明aADC也4GDB,即可得出

BG=AC,ZG=ΛDAC,再根據(jù)A￡=￡7L得出NAFE=最后根據(jù)等角對(duì)等邊，即

可求證AC=BF.

【詳解】(1)解：?；A。為BC邊上的中線，

.?.BD=CD,

在/MDC和Z?EZ)3中，

BD=CD

<ZADC=NEDB,

AD=ED

：.∕?ADC^ΛEDB(SAS),

故答案為：SAS.

(2)由(1)可知，AADC迫乙EDB,

：.BE=AC=6,

"：AB=S,

Λ8-6<AE<8+6,即2<AE<14,

?.'DE=AD,

.?.AD=-AE.

2

Λ1<AD<7.

故答案為：1<4)<7.

(3)延長(zhǎng)AO至點(diǎn)G,使GO=AD,連接BG,

A

G

???A。為BC邊上的中線，

JBD=CD,

在zMDC和Z?GΓ>3中，

BD=CD

ZADC=NGDB,

AD=GD

：.i.ADC^,GDB(SAS),

,BG=ACZG=ZDAC,

'/AE=EF,

JZAFE=AFAE>

J/DAC=ZAFE=/BFG,

：.ZG=ZBFGf

：.BG=BF,

：.AC=BF.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確做出作輔

助線，構(gòu)造全等三角形.

14.在_ABC中，ZABM=45o,AMVBM,垂足為M,息C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AC.

(2)如圖②，點(diǎn)。是線段AM上一點(diǎn)，MD=MC,點(diǎn)E是二ABC外一點(diǎn),EC=ACf連接ED

并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)尸，且點(diǎn)”是線段BC的中點(diǎn)，求證：ZBDF=ZCEF.

【答案】(1)拒

(2)證明見解析

【分析】(1)在等腰直角=角形“4WB，AM=BM,AB=M,由勾股定理可求出

AM=BM=3,再由勾股定理可求AC的長(zhǎng)；

(2)延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G,使得FG=E尸，連接BG,證,BMD會(huì).AMC(?S4S)得AC=BO,再

證明BFG名一CFE(SAS)可得BG=CE,NG=NE,從而得到BD=BG=CE,即可得出

NBDF=NCEF

【詳解】(1)解：VZABM=45°,AMVBM,

：.AM=BM

：.AM2+BM2=AB2=↑8,解得ΛM=BM=3

貝IJaW=BC-BM=5—3=2,

AC=y∣AM2+CM2=√32+22=√13；

(2)證明：延長(zhǎng)E尸到點(diǎn)G,使得FG=EF,連接8G?如圖所示：

在和AMC中，

DM=CM

-NBMD=ZAMC,

BM=AM

.?.一BMD^cAMCCSAS),

：.BD=AC,

又「CE=AC,

：.BD=CE,

在,BAG和,,CFE中，

BF=FC

NBFG=NEFC,

FG=FE

BFG-CFE(SAS),

:.BG=CE,NG=NCEF,

：.BD=CE=BG,

：.ABDF=ZG=NCEF.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)，解

題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

15.數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，老師給出以下問題：

圖3

(1)如圖1,在一A8C中，。是邊BC的中點(diǎn)，若AB=5,AC=9,則中線AO長(zhǎng)度的取值范

(2)如圖2,在ABC中，。是邊BC的中點(diǎn)，過。點(diǎn)的射線DE交邊AB于E,再作DF_LZ)E

交邊AC于點(diǎn)尸，連結(jié)EF,請(qǐng)?zhí)剿魅龡l線段BE、EF、CP之間的大小關(guān)系，并說明理由.

(3)已知：如圖3,AB=AC,/a4。=/。?！?90。且。。=?！?F是線段8E的中點(diǎn).求

證：AFVFD.

【答案】(1)2<4)<7

(2)CF+BE>FE,證明見解析

(3)見解析

【分析】(1)延長(zhǎng)4。到E,使AD=DE,連接CE,證.ADB^EDC,推出EC=A8,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出即可；

(2)延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G使。G=RD,連結(jié)GE,GB,就有FE=GE,連結(jié)EG、BG,可證

DCF-DBG,則BG=CF,即可得出結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)所到G使/G=AF,連接GEGD,證明ABF^GEF(SAS),

MCDgGED(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出A。=GD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可

得證.

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)AD到E,使4)=r>E