第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差*協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)學(xué)期望的引例MathematicalExpectation例如：某7人的高數(shù)成績(jī)?yōu)?0，85，85，80，80，

75，60，則他們的平均成績(jī)?yōu)橐灶l率為權(quán)重的加權(quán)平均數(shù)學(xué)期望E(X)MathematicalExpectation定義設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作E（X），即XP41/451/261/4數(shù)學(xué)期望的計(jì)算已知隨機(jī)變量X的分布律：例求數(shù)學(xué)期望E（X）解連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)連續(xù)型隨機(jī)變量定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),則即數(shù)學(xué)期望的計(jì)算已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為例

求數(shù)學(xué)期望。解

數(shù)學(xué)期望的意義試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，X的觀測(cè)值的算術(shù)平均值在E(X)附近擺動(dòng)數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值(ExpectedValue)，均值(Mean)E(X)反映了隨機(jī)變量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相應(yīng)概率的加權(quán)平均。二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為例(1)求k(2)求X和Y的邊緣密度(3)求E(X),E(Y).(1)由解所以所以得113時(shí)(2)（３）時(shí)113113（３）另解無(wú)需求邊緣分布密度函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1：一維情形設(shè)是隨機(jī)變量X的函數(shù),離散型連續(xù)型概率密度為服從

已知上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。因?yàn)?/p>

所以

例解隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理2：二維情形聯(lián)合概率密度為設(shè)是隨機(jī)變量X，Y的函數(shù),連續(xù)型離散型15例設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y的密度函數(shù)分別為

求E（XY）解

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)相互獨(dú)立時(shí)當(dāng)隨機(jī)變量.C為常數(shù)..設(shè)（X,Y）在由4個(gè)點(diǎn)（0，0）（3，0），（3，2),(0,2)決定的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).302練一練答案：0-1分布的數(shù)學(xué)期望X服從0-1分布，其概率分布為P(X=1)=pP(X=0)=1-pXP011-pp若X服從參數(shù)為p的0-1分布，則E(X)=p分布律數(shù)學(xué)期望IfX~B(n,p),thenE(X)=np二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望分布律X服從二項(xiàng)分布，其概率分布為數(shù)學(xué)期望二項(xiàng)分布可表示為個(gè)０－１分布的和其中則泊松分布的數(shù)學(xué)期望If,then

分布律數(shù)學(xué)期望均勻分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望X~N(μ，σ2）正態(tài)分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望指數(shù)分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用AnapplicationofExpectedValueinMedicine考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個(gè)人一組，把這10個(gè)人的血液樣本混合起來(lái)進(jìn)行化驗(yàn)。如果結(jié)果為陰性，則10個(gè)人只需化驗(yàn)1次；若結(jié)果為陽(yáng)性，則需對(duì)10個(gè)人在逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問(wèn)：這種分組化驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比，是否能減少化驗(yàn)次數(shù)？分析：設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為X我們需要計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律。(X=1)=“10人都是陰性”（X=11)=“至少1人陽(yáng)性”結(jié)論：分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)注意求X期望值的步驟！

1、概率p對(duì)是否分組的影響問(wèn)題的進(jìn)一步討論若p=0.2，則當(dāng)p>0.2057時(shí)，E(X)>10

2、概率p對(duì)每組人數(shù)n的影響當(dāng)p=0.2時(shí)，可得出n<10.32，才能保證EX<10.當(dāng)p=0.1時(shí)，為使例獨(dú)立地操作兩臺(tái)儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為p1

+

p2設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為X則X的所有可能取值為0，1解所以方差大數(shù)定律方差的引入E(X1)=5X2P235781/81/81/21/81/8E(X2)=5X1P4561/41/21/4設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：

兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品2的偏差大，如果需要使用直徑為5的產(chǎn)品，則產(chǎn)品1較產(chǎn)品2理想。方差（Variance）的定義定義均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）與有相同的量綱設(shè)是一隨機(jī)變量，如果存在，則稱為的方差，記作或即方差的計(jì)算公式Proof.一維隨機(jī)變量的方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為離散型連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為f(x)其中方差的計(jì)算E(X1)=5X2P235781/81/81/21/81/8E(X2)=5X1P4561/41/21/4例設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：求D(X1),D(X2)解0-1分布的方差XP011-pp分布律方差其中二項(xiàng)分布的方差I(lǐng)fX~B(n,p),thenD(X)=np(1-p)分布律方差X~B(n,p)其中推導(dǎo)？泊松分布的方差I(lǐng)fthen分布律方差推導(dǎo)？均勻分布的方差分布密度方差正態(tài)分布的方差分布密度方差指數(shù)分布的方差分布密度方差常見(jiàn)分布及其期望和方差列表P84分布名稱數(shù)學(xué)期望E（X）方差D（X）0-1分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布方差的計(jì)算步驟Step1:計(jì)算期望E(X)Step2:計(jì)算E(X2)Step3:計(jì)算D(X)離散型連續(xù)型離散型連續(xù)型方差的性質(zhì)相互獨(dú)立時(shí)當(dāng)隨機(jī)變量C為常數(shù)

a為常數(shù)證明二維隨機(jī)變量的方差(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量

二維隨機(jī)變量的方差

(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為求.練一練解因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以而所以例

某地出產(chǎn)的某品種的蘋(píng)果的總量X服從正態(tài)分布。若E(X)=148,D(X)=162.寫(xiě)出X的分布律和概率密度，并用積分表示解若隨機(jī)變量X服從均值為2，方差為σ2的正態(tài)分布，且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。練一練所以解若隨機(jī)變量X服從均值為2，方差為σ2的正態(tài)分布，且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。練一練所以得所以例

已知一批玉米種子的發(fā)芽率是75％，播種時(shí)每穴種三粒，求每穴發(fā)芽種子粒數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差及均方差.,

,

.設(shè)發(fā)芽種子數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布，且解設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射擊命中的概率為0.4，求X的數(shù)學(xué)期望。練一練所以例某動(dòng)物的壽命X（年）服從指數(shù)分布，其中參數(shù)＝0.1，求這種動(dòng)物的平均壽命及標(biāo)準(zhǔn)差.所以這種動(dòng)物的平均壽命為10年，標(biāo)準(zhǔn)差為10年.解因?yàn)榉闹笖?shù)分布，且練一練設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求解X的密度函數(shù)為

練一練設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求所以而所以解X的密度函數(shù)為

練一練設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求所以證畢證明

證畢證明

大數(shù)定律大數(shù)定律在大量的隨機(jī)現(xiàn)象中，隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性

大量的隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性

概率論中用來(lái)闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理，稱為大數(shù)定律（lawoflargenumber)切比雪夫（Chebyshev)不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有有限數(shù)學(xué)期望EX和方差DX，則對(duì)于任意正數(shù)，如下不等式成立?！斜妊┓虿坏仁?/p>

證明設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為則證畢切比雪夫（Chebyshev)不等式的應(yīng)用在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對(duì)X的概率分布進(jìn)行估值。例已知正常男性成人血液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率。解設(shè)X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個(gè)數(shù)，則則而所以練一練設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率

練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率解

樣本平均數(shù)穩(wěn)定性定理

定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，且服從同一分布，并具有數(shù)學(xué)期望及方差，則對(duì)于任意正數(shù)，恒有觀測(cè)量X在相同的條件下重復(fù)觀測(cè)n次，當(dāng)n充分大時(shí)，“觀測(cè)值的算術(shù)平均值接近于期望”是一大概率事件。即依概率收斂于即n充分大時(shí)，——辛欽大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性）

定理設(shè)是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)恒有

定理的應(yīng)用：可通過(guò)多次重復(fù)一個(gè)試驗(yàn)，確定事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率中心極限定理（Centrallimittheoem)客觀背景：客觀實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個(gè)微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來(lái)，卻對(duì)總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。

概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，服從同一分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)滿足如下極限式定理的應(yīng)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，不管服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和近似地服從正態(tài)分布例一部件包括10部分，每部分的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是2mm，均方差是0.05mm，規(guī)定總長(zhǎng)度為20±0.1mm時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。解設(shè)部件的總長(zhǎng)度為X，每部分的長(zhǎng)度為Xi（i=1,2,…,10)，則由定理4.5可知：X近似地服從正態(tài)分布即續(xù)解則產(chǎn)品合格的概