8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

【考試要求】

1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.

2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單的應(yīng)用.

【知識梳理】

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果直線/與平面ɑ內(nèi)的任意二條直線都垂直，就說直線/與平面α互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

/∏Ua

判定一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直tnC?∏=zP>

定理線都垂直，那么該直線與此平面垂直7ILn

=/_La

a~b

性質(zhì)a-La

垂直于同一個平面的兩條直線平行>0aJ/b

定理Z7

2.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

一個平面過另一個平面的垂線,“U√∣

判定定理

那么這兩個平面垂直?￡7aLβ?〃

、

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂aLβ

αG￡=〃

性質(zhì)定理直于交線的直線與另一個平面>=/_La

I-La

乖H

力%√IUB,

【知識拓展】

1.三垂線定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也

和這條斜線垂直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射

影垂直.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J"或‘'X'')

⑴直線/與平面ɑ內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則/La.(X)

(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.(X)

(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.(X)

⑷若直線平面α,直線6,平面α,則直線“〃直線A(√)

【教材題改編】

1.下列命題中錯誤的是()

A.如果平面α,平面外那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面5

B.如果平面a不垂直于平面尸，那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面4

C.如果平面a_L平面y,平面SJ_平面y,aC?β=l,那么/_!_平面y

D.如果平面心，平面“，那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面￡

答案D

解析對于D,若平面a,平面“，則平面a內(nèi)的直線可能不垂直于平面夕，即與平面夕的關(guān)

系還可以是相交、平行或在平面夕內(nèi)，其他選項均是正確的.

2.“直線a與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面a垂直”的條件.

答案必要不充分

3.在三棱錐?一ABC中，點P在平面ABC上的射影為點0.

⑴若PA=PB^PC,則點O是448C的心；

(2)若出_LpB,PBLPC,PCYPA,則點。是aABC的心.

答案⑴外⑵垂

解析(1)如圖1,連接。4,OB,OC,OP,

在RtΔPOA,RtAPOB和Rt△尸OC中，

PA=PC=PB,

：.OA=OB=OC,

即。為aABC的外心.

PP

圖1圖2

(2)如圖2,延長AO,BO,CO分別交BC,AC,AB于點H,D,G.

"JPCLPA,PBLPC,PA∏PB=P,

PA,PBU平面PAB,

.,.PC_L平面B4B,又ABU平面以8,

：.PCA.AB,

,：ABA.P0,PORPC=P,PO,PCU平面PGC,

...AB,平面PGC,又CGU平面PGC,

.?ABLCG,即CG為AABC邊AB上的高.

同理可證B。，A”分別為AABC邊AC,BC上的高，即。為AABC的垂心.

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1(2021?全國甲卷)已知直三棱柱A8C-A∣8∣G中，側(cè)面44山歸為正方形，AB=BC=2,

E,F分別為AC和CG的中點,BFLAiBi.

(1)求三棱錐F-EBC的體積;

(2)已知。為棱AIBl上的點，證明：BFYDE.

(I)M如圖，取BC的中點為M,連接EM,由已知可得EM〃A8,AB=BC=2,

CF=LEM=%B=1,

AB∕∕AlBl,

由BF±AiBi得EMLBF,

又EMJ_CF,BFCCF=F,

所以EML平面BCF,

^?×^×2×1X1=∣.

故V∕?SF-EBC-V三根里E-FBC=3義C義CF義EM=

(2)證明連接4E,B?M,

由(1)知EM//AiBi,

所以EZ)在平面EMBlAl內(nèi).

在正方形CGS8中，由于F,M分別是Ce1,BC的中點，

所以由平面幾何知識可得BFL8∣M,

又3F_LAMB∣M∩A∣B=B∣,

所以8凡L平面EMB↑Ai,

又OEU平面EMBIAI,所以BZtLQE

【備選】

如圖，在四棱錐「一ABCO中，四邊形ABCQ是矩形，AB_L平面∕?Q,AD=AP,E是PD的

中點，M,N分別在AB,PC上，且MVl.AB,MAMPC.證明：AE//MN.

證明：AB_L平面PAD,AEU平面PAD,

P

：.AELAB,2

叉AB"CD,：.AELCD.∕Λ?/

∕β?"2χ?"——^yc

"：AD=AP,E是尸。的中點，.?AE±PD.[//χ/

AMB

XCDCPD=D,CD,PoU平面PC。，

；.AE_L平面PCD.

,：MNA.AB,AB//CD,：.MN1CD.

又YMNLPC,PCΠCD=C,PC,CnU平面PCQ,

MNj_平面PCD,：.AE//MN.

思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

⑴證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理;②垂直于平面的傳遞性(a〃"a，a=?，a);

③面面平行的性質(zhì)(a_La,a//β^aA,β)?,④面面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在四棱錐P—4BC。中，密，底面ABC￡>,A8_L4￡),4CL8,ZABC

=60o,PA=AB=BC,E是PC的中點，證明：

(I)CDlAE;

(2)Pz)_L平面ABE

證明(1)在四棱錐P-ABCD中,

，底面ABCD,CnU平面ABCD,

：.PAlCD,

?'ACLCD,PAHAC=A,PA,ACU平面∕?C,

...CD,平面B4C.而AEU平面PAC,

.'.CDLAE.

(2)由B4=AB=BC,ZABC=60°,

可得AC=∕?.

是PC的中點，J.AEVPC.

由(1)知AE_LC￡),

且PCnCD=C,PC,CDU平面PCD,

.?.AE_L平面PCD.而PZ)U平面PCD,

LPD：朋1.底面ABCZ),：.PAlAB.

XVAB±AD且∕?CAQ=A,

PA,ADU平面PAD,

；.AB_L平面∕?L>,而PDU平面必。，

：.ABA.PD.

XVAB∩AE=A,AB,AEU平面ABE,

平面ABE.

題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例2(2021?全國乙卷)如圖，四棱錐尸一A8CQ的底面是矩形，PD±MABCD,M為8C的

中點，且PB_LAM.

(1)證明：平面平面尸8。；P

(2)若PD=DC=I,求四棱錐P-ABCD的體積.Λγ?

⑴證明：PO，平面ABCO,AMU平面ABCQ,/：ξV?

-∕??xc

,JPBYAM,且尸B∩PQ=P,PBU平面PBO,PDU平面PBD,AB

平面PBD.

又AMU平面PAM,

平面B4M_L平面PBD.

(2)解為BC的中點，

：.BM=^AD.

由題意知AB=DC=L

：AM_L平面PBQ,BCU平面P8。，

.?AM±BD,

由NB4M+NΛMD=90°,ZΛ∕ΛD+ZΛDB=90o,得NBAM=NAOB,

ADALf

?w1

即一\一=彳75，得AD=y2

1ALf∣f

.?.S^AβCD=AD-DC=y∣2×I=√2,

則四棱錐P-ABCD的體積％-ABco=;S近陽ABCD?尸。=(X也Xl=乎.

【備選】

(2020?全國I)如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，^ABC是底面的內(nèi)接正三角形,

尸為。。上一點，ZAPC=90o.

(1)證明：平面B43_L平面B4C；

(2)設(shè)。O=√L圓錐的側(cè)面積為√5π,求三棱錐尸一ABC的體積.

⑴證明為圓錐頂點，。為底面圓心,

L平面ABC,

：尸在D。上，OA=OB=OC,

.".PA=PB=PC,

「△ABC是圓內(nèi)接正三角形，

.,.AC=BC,XPkglXPBC,

/APC=/8PC=90。，

即PBLPC,PAI.PC,

PACtPB=P,

平面以8,PCU平面處c,

.?.平面BAB，平面PAC.

⑵解設(shè)圓錐的母線為/,底面半徑為r,

圓錐的側(cè)面積為π”=<5π,

r∕=√3,

Of)2=∕2-r2=2,解得r=[,

∕=√3,AC=2/sin60。=√5,

在等腰直角三角形APC中，

三棱錐P—ABC的體積為VP-ABC=！PO&ABC=!又嘩義乎義3=申.

jJZqo

思維升華(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直

線”.②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.

跟蹤訓(xùn)練2在矩形ABC。中，A8=2AO=4,E是A8的中點，沿OE將AAOE折起，得到

如圖所示的四棱錐P-BCDE.

⑴若平面POE_L平面3Cf>E,求四棱錐「一88E的體積；

(2)若PB=PC,求證：平面尸￡>E_L平面8C￡)E.

AJiEB

(1)解如圖所示，取OE的中點連接PM,

由題意知，PD=PE,

.?PM±DE,

又平面PCEj_平面BCDE,平面PDErl平面AiEBBCDE=DE,PMU平面

PDE,

平面BCDE,

即PM為四棱錐P—8CDE的高.

在等腰Rt△「￡>E中，PE=PD=AD=2,

ΛPM=∣DE=√2,

而直角梯形BeCE的面積

S=^BE+CD)?BC=^×(2+4)×2=6,

四棱錐P-BCDE的體積

V=∣PΛ∕?5=∣×√2×6=2√2.

⑵證明取BC的中點N,連接PN,MN,

則BCLMN,

;PB=PC,JBCLPN,

,.?MN∩PN=N,MN,PNU平面PMN,

平面PMN,

,：PMU平面PMN,二BCVPM,

由(1)知，PMLDE,

又BC,DEU平面BCDE,且8C與OE是相交的,

平面BCDE,

YRWU平面PDE,

平面P￡>E_L平面BCDE.

題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3在四棱錐「一ABCQ中，Z?∕?3是等邊三角形，且平面以。，平面A8CQ,AD=2AB

=2BC,/BAO=/ABC=90°.

(1)在4。上是否存在一點M,使得平面PCM，平面ABCz),若存在，請證明；若不存在，請

說明理由；

(2)若APCD的面積為8√7,求四棱錐P-ABCD的體積.

解(1)存在，當(dāng)M為AO的中點時，平面PCMl,平面ABCD

證明：取AD的中點M,連接CM,PM,

由△必。是等邊三角形，

可得PMLAD,

由平面附。_1_平面ABC。，PMU平面用。，平面∕?D∩平面ABCD=AD,

可得PM_L平面A2CQ,

由PMU平面PCM,

可得平面PCML平面ABCD.

(2)設(shè)A8=",可得BC=a,AD=2a,

可得MC-AB=MD-a,

則CD=@a,PD=2ct'PM=小a,

由PMLMC,

可得PC=^y∣PM2+MC2=√3α2+a2-2a,

由SΔPCD2=2"2=8I?∕^,

可得α=4,

所以四棱錐P-ABCD的體積V=∣Saa?Aβco?PW=∣×∣×(4+8)×4×4√3=32√3.

【教師備選】

如圖，在四棱錐S-48C。中，四邊形ABCZ)是邊長為2的菱形，ZABC=GOo,△SAO為正

三角形.側(cè)面SAOJ_底面ABaXE,尸分別為棱40,SB的中點.

⑴求證：AF〃平面SEC

(2)求證：平面4SB，平面CSB；

(3)在棱SB上是否存在一點“，使得平面MAC?若存在，求需的值；若不存在，請說

明理由.

⑴證明如圖，取SC的中點G,連接FG,EG,

VF,G分別是SB,SC的中點,

J.FG∕∕BC,FG=TBC,

：四邊形ABCD是菱形，E是AO的中點，

.".AE//SC,AE=TBC,

：.FG//AE,FG=AE,四邊形AFGE是平行四邊形,

.".AF∕/EG,又A囪平面SEC,EGU平面SEC,

.?.A尸〃平面SEC.

(2)證明；ASAD是等邊三角形，E是A。的中點，

.?SE±AD,

：四邊形ABCr)是菱形，ZABC=60°,

.?.△AC。是等邊三角形，又E是Ao的中點，

ΛADlCE,又SEnCE=E,SE,CEU平面SEC,

.,.AO_L平面SEC,又EGU平面SEC,

.?ADLEG,

又四邊形4~GE是平行四邊形，

四邊形AFGE是矩形，.?AF±FG,

XSA=AB,尸是SB的中點，：.AFLSB,

又FGCSB=F,FGU平面SBC,SBU平面SBC,

.?.AF1,平面SBC,

又AFU平面ASB,

平面ASBJ_平面CSB.

(3)解存在點M滿足題意.假設(shè)在棱SB上存在點使得BOL平面MAC,

連接M0,BE,則8￡)_LOM,

；四邊形ABCD是邊長為2的菱形，NABC=60。，ASAO為正三角形，

；.BE=S'

SE=√3,BD=2OB=2小,SD=2,SE±AD,

：側(cè)面SADL^ABCD,

側(cè)面SADrI底面ABCD=AD,SEU平面SAD,

：.SEL^ABCD,.?SEΣBE,

：.5B=√SE2+βfi2=√lδ,

2i1

.Z7f7nSB+BD-Sb3√30

..cosNB”"-2SBBD~20，

.OB3√3O.2√10

?,BM-20，iM—3，

.BMJI

?'~BS=S

思維升華對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下,利用線面

關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證.

跟蹤訓(xùn)練3如圖(1),在RtAABC中，ZC=90o,D,E分別為AC,A8的中點,點尸為線

段CD上的一點，將E沿。E折起到AAQE的位置，使A∣FLCD,如圖(2).

(1)求證：OE〃平面AC8；

⑵線段AB上是否存在點Q,使AC，平面DE0?請說明理由.

⑴證明因為。，E分別為AC,AB的中點，

所以DE//BC.

又因為QEQ平面AlC8,BCu平面AIC2,

所以O(shè)E〃平面AiCB.

(2)解線段4出上存在點。，使AC，平面QE。.

理由如下：

如圖，分別取AC,AIB的中點P,Q,連接尸Q,PQ,QE,則PQ〃BC

4

因為DE//BC,所以DE//PQ.

所以平面DEQ即為平面DEQP.

因為Z）E_LAl。，DELDC,AiDHDC=D,AiD,OCU平面AloC,

所以O(shè)EL平面A?DC,

又AiCu平面AiDC,

所以DEYA1C.

又因為P是等腰4D4ιC底邊Ac的中點，

所以4C_LOP.

因為。E∩OP=O,DE,OPU平面OEQP,

所以4CJ_平面DEQP.

從而AICj_平面DEQ.

故線段4B上存在點Q,使得AIcL平面。EQ.

課時精練

1.（2022?哈爾濱模擬）設(shè)機，〃是兩條不同的直線，α是平面，，”，〃不在α內(nèi)，下列結(jié)論中錯

誤的是（）

A.∕M-Lα,n//a,則

B.m?ot,n?ɑ,則，〃〃〃

C.WJ-La,，“_!_〃，則n∕∕a

D.ZnJ_〃，n//a,則mJ_a

答案D

解析對于A,???”〃明由線面平行的性質(zhì)定理可知，過直線"的平面P與平面a的交線/

平行于〃，

V∕M±ct,ZCct,

Λ∕n±∕ι,故A正確；

對于B,若機_La,∕7±a,由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得加〃"，故B正確；

對于C,若,〃_La,ml,n,則"〃a或〃Ua,又〃Ca,.'.n//a,故C正確；

對于D,若Znj_〃，n//a,則〃z〃a或Zn與a相交或∕nUa,而MJa,則〃z〃a或/n與a相交，

故D錯誤.

2.已知小，/是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平面，則下列可以推出aJ_￡的是（）

A.∕n±/,InUβ,l_La

B.mJLLaCβ=l,機Ua

C.m//Lm-Lafltβ

D.∕±a,m//1,m//β

答案D

解析對于A,有可能出現(xiàn)α,夕平行這種情況，故A錯誤；對于B,會出現(xiàn)平面a,夕相交

但不垂直的情況，故B錯誤；對于C,m∕∕l,mVa,lLβ^a∕∕β,故C錯誤；對于D,La,

tn〃I=mLa,又由zn〃/=a_L/f,故D正確.

3.如圖，在斜三棱柱ABC-AlBICl中，ZBAC=90o,BGXAC,則Cl在底面ABC上的射影

H必在（）

A.直線AB上

B.直線BC上

C.直線AC上

D.1?48C內(nèi)部

答案A

解析由ACl?A8,ACjLBC1,ABΠBC↑=B,AB,BelU平面4BC”得4C1■平面4BC∣?

因為ACU平面ABC,

所以平面ABGJ_平面ABC.

所以G在平面ABC上的射影”必在兩平面的交線AB上.

4.在正方體4BCO-A∣BlcQl中，下列命題中正確的是（）

A.AC與BC是相交直線且垂直

B.AC與AI。是異面直線且垂直

C.BO∣與BC是相交直線且垂直

D.AC與8。是異面直線且垂直

答案D

解析如圖，連接A8,則4ABC為等邊三角形，則AC與8C是相交直線且所成角為60。,

故A錯誤;

因為4D〃5C,所以AC與4。是異面直線且所成角為60。，故B錯誤；

連接CQ,因為BcL平面COD∣C∣,所以BCLSi,所以BDl與BC所成角為/OiBC,為

銳角，故C錯誤；

連接8。，因為AC_LB￡）,ACLDDi,且BD∩QD∣=O,BD,QnlU平面BCO∣,

所以AC，平面BOE>∣,則AC"L8O∣,則AC與BA是異面直線且垂直，故D正確.

5.（2022?武漢調(diào)研）如圖，AC=2R為圓。的直徑，NPcA=45。，以垂直于圓。所在的平面，

B為圓周上不與點A,C重合的點，ASLPC于S,ANLPB于N,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.平面ANSj?平面PBCp

B.平面ANS_L平面B48??s

C.平面以8_1_平面PBC?Λ?

D.平面ABC，平面7?C

答案BB

解析...BA,平面ABC,∕?U平面∕?C,

平面ABCL平面RIC,二D正確；

BCU平面ABC,.".PALBC,

又AC為圓。的直徑，

B為圓周上不與點A,C重合的點，

：.AB±BC,

又∕?Γ∣4B=A,PA,ABU平面∕?B,

.?.BC，平面PAB,又BCU平面PBC,

平面以B_L平面PBC,

：.C正確；

又ANU平面出8,：.BCLAN,

又AN1PB,BCCPB=B,

BC,PBU平面PBC,

."ML平面PBC,

又PCU平面PBC,C.ANLPC,

PC.LAS,ASHAN=A,

AS,ANU平面ANS,

；.PCJ-平面ANS,

又PCU平面PBC,；.平面ANSL平面PBC,

A正確.

6.（2021?新高考全國Il改編）如圖，在正方體中，。為底面的中心，戶為所在棱的中點，M,

N為正方體的頂點.則滿足MN_LOP的是（）

N

A.①②B.①③

C.②③D.③④

答案C

解析設(shè)正方體的棱長為2,

對于①，如圖(1)所示，連接AC,貝UMN〃AC,

故/POC(或其補角)為異面直線OP,MN所成的角，

在RtAiOPC中，圖(1)

0C=√2,CP=I,

故tanNPOC=忑=專

故MNLoP不成立.

對于②，如圖⑵所示，取AN的中點8,連接尸8,OB,

圖⑵

則OP=?√i+柩2=小,PB=正,OB=NI2+22=小,

所以O(shè)P2+PB2=OB2,

所以O(shè)PVPB,

入PBaMN,所以O(shè)PLMM

對于③，如圖(3)所示，取AO的中點C,連接。C,PC,BD,因為P,C分別是DE,AD的

中點，所以CP?1BO,又。Cj_平面ADE8,B。U平面ADE8,

圖⑶

所以O(shè)C_LBO,又OCCCP=C,OC,CPU平面。CP,所以BZ)_L平面。CP,所以BQ_LOP,

又BD//MN,

所以O(shè)PLMM

對于④，如圖(4)所示，取AN的中點B,ME的中點F,連接PB,BF,OF,

若OPJLMM又OFL平面MENA,所以0尸_LMN,所以MN上平面OFBP,

所以MNJ_BF,顯然，MN與BF不可能垂直，所以0P_LMN不成立.

7.已知AABC在平面α內(nèi)，NA=9（T,D4_L平面a,則直線CA與DB的位置關(guān)系是.

答案垂直

解析：D4J_平面α,CAU平面α,；.D4_LC4,

在aABC中，VZA=90o,.'.ABLCA,

且DA∩BA=A,DA,BAU平面。AB,

,CAI.平面DAB,又OBU平面DAB,

：.CA±DB.

8.如圖所示，在四棱錐P-ABCO中，物，底面4BCE>,且底面各邊都相等，”是PC上的一

動點，當(dāng)點M滿足時，平面MB。_L平面尸CD（只要填寫一個你認為正確的條

件即可）

答案OM_LPC（或BM_LPC等）

解析?.?∕?J>底面A8C。，

：.BDLPA,連接AC（圖略），

貝∣JBO_LAC,且∕?∩AC=4,PA,ACU平面％C,

平面∕?C,：.BDLPC.

當(dāng)QM_LPC（或2M_LPO時，即有PC_L平面M3。，

而PCU平面PCD,

平面MBDL平面PCD.

9.如圖所示，在四邊形ABC。中，AD//BC,AD=AB,NBCD=45。，ZBΛD=90o.W?ΛBD

沿對角線BO折起，記折起后A的位置為點P,且使平面「8。，平面BCD

(A)P

求證：(1)CnJ"平面PBO；

(2)平面PBCJ_平面PDC.

證明(1)在四邊形ABC。中，

AD=AB,NBAo=90。，

則∕A8D=NAO8=45°,

又AO〃8C,即有/O8C=45。，

而/OCB=45。，于是得NBoC=90。，

在折后的幾何體P-Bs中，BDDC,

因為平面尸8。_1_平面8CZ),平面尸BO∩平面8CD=BO,CDU平面BCD,

所以CC平面PBD.

(2)由(1)知CoJ_平面P8。，PBu平面尸8。，

于是得CDLBP,

又5P_LPO,PDHCD=D,PQU平面PDC,CDU平面POC,

則BP_L平面PDC,又BPU平面PBC,

所以平面PBC，平面PDC.

10.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCO是邊長為2的菱形，/540=60。，側(cè)面布。

為等邊三角形.

⑴求證：ADLPB；

(2)若平面布。，平面A8CZ),點E為PB的中點，求三棱錐尸一ADE的體積.

⑴證明如圖，取4力的中點0,連接08,OP,BD,

因為az?f＞為等邊三角形，0是AO的中點，所以。RLAQ,

因為底面ABCO是菱形，NBAD=60。，

所以aABQ是等邊三角形，08_LAQ,

因為OP∩OB=O,OP,OBu平面尸OB,

所以AO_L平面POB,

因為PBu平面POB,

所以AC_LPB.

(2)解因為底面ABC。是邊長為2的菱形，△以。為等邊三角形，

所以Z?=PD=AZ)=2,P0=√3,

底面ABCZ)的面積為2√5,

因為平面以。，平面ABC。，平面∕?OC平面ABCD=AO,POLAD,

所以PoJ"平面ABCD,

因為E為PB的中點，

所以Vp-ADE-VB-ADE-^^yP~ABD~~^P-ABCD

=^×∣×V3×2√3=∣.

11.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉席”.在如圖所示的四棱

錐P-ABCQ中，PZ)_L平面ABCQ,底面ABCQ是正方形，且PD=CD,點E,F分別為PC,

PD的中點，則圖中的鱉膈有()

P

A.2個B.3個

C.4個D.5個

答案C

解析由題意，因為PDJ_底面ABCr>,

所以P/UDC,PDlBC,

又四邊形ABCD為正方形,所以BCLCD,

因為PDCCD=D,

所以BC_L平面PCD,BC±PC,

所以四面體P—QBC是一個鱉腌，

因為DEU平面PeD,所以BCJ_￡)E,

因為PC=CC,點E是PC的中點，所以。ELPC,

因為PCrIBC=C,所以。E_L平面尸BC,

可知四面體E-BCD的四個面都是直角三角形，即四面體E-BC。是一個鱉腌，

同理可得，四面體P-ABO和尸一48。都是鱉腌.

12.(2022.玉溪模擬)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，POJ_底面ABC。，AD=?,PD

=AB=2,點E是PB的中點，過A,D,E三點的平面α與平面PBC的交線為/,則下列結(jié)

論正確的有.(填序號)

①/〃平面PAD；

②AE〃平面PCD-,

③直線PA與/所成角的余弦值為小;

3

④平面ɑ截四棱錐P-ABCD所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為］

答案①③?

解析如圖，取PC的中點F,連接DF,

則AO〃EF,即A,D,E,F四點共面，即/為EF,

對于①，EF//AD,AE)U平面力力，EfU平面∕?O,

所以EF〃平面∕?O,即/〃平面∕?Q,故①正確；

對于②，由E/〃40,若AE〃平面PC￡),則必有AE〃OF,即四邊形ADFE為平行四邊形,

則AO=EE矛盾，故②錯誤；

對于③，以與/所成的角，即物與EF所成的角，即附與所成的角，

由PoJ_底面ABC。，所以POLAD,

CoSN∕?O=^j3=W?,故③正確；

r?r?

對于④，連接B。，

VPABCD-^PDS^ABCD--×2×2-^,

VABCDEF-VΛ-BDE^^^VD-BCFE

3√2

+×2__5

4×^×?3×4√2^6J

4_5

Vp-ADFE363

故④正確.

VABCDEF55'

6

13.如圖，在三棱柱/wc—AiBG中，已知AA］，平面ABC,BC=CCif當(dāng)?shù)酌鍭S。滿足

條件時，有A8∣,BG.（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的

情況）

答案A∣C∣XBICI

解析當(dāng)?shù)酌鍭lBlCl滿足條件AlCl_LBlCl時，

有AB∣±BCι.

理由如下：

：/141_1平面48。，BC=CG,

四邊形BCGBl是正方形，.?.BC∣"LBιC,

VCCi/7AAi,ΛA∣Cι±CC∣,

又AICJ8∣Cι,CC∣∩BiCi=G,

CCi,3ClU平面BCGS,

...AC平面BCC↑Bi,

?,AC∕∕A↑Ci,；.AC_L平面BCG囪，

5

VBCι?FWBCClBt,ΛBC∣±AC,

?'ACC?BiC=C,AC,BlCU平面ACBi,

.?.8Cι?L平面ACBi,

又ABiU平面ACB∣,

：.ABiA.BCi.

14.（2022,廣州模擬）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形,SA_L平面ABCD,

P，。分別是線段BS,AO的中點，點R在線段S。上.若AS=4,A0=2,ARLPQ,則AR

答案羋

解析如圖，取SA的中點￡,連接PE,QE.

：SA，平面ABCD,ABU平面ABCD,

.?SA±AB,

而A8_LA。，AO∩SA=A,AD,SAU平面SAD,

平面SAD,故PE_L平面SAD,