2023年北京國際學(xué)校高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的

1,設(shè)集合$=卜歸2]>"1={*1<*<<1詞.55=區(qū)，則a的取值范圍是

()

A.-3<a<-lB.

C.aW—3或aN-lD,3或

參考答案：

A

試題分析：因?yàn)镾=k|X-2|>3]=k[”<-lJ^>5}.：r={g"<a'8).SUT=R,

av-L

所以1"+8>5,所以-3<a<—1.故選A.

考點(diǎn)：1、集合運(yùn)算；2、絕對值不等式.

【方法點(diǎn)睛】留的幾何意義是實(shí)數(shù)x在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)離開原點(diǎn)。的距離，所以

*>0)的解集是{x|-a<x<a),不等式㈤>a(a>0)的解集是

卜卜<<或x>a}.把不等式國<<”>6與國>麗》>0)中的x替換成ax+b,就可

以得到H?司<“c>6與|皿>畤>°)型的不等式的解法.本題考查含有絕對值的

不等式的解法和集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.圓12+y2+2x+6y+9=0與圓j^+y1-6x+2y+l=0的位置關(guān)系是()

A.相交B.外切C.相離D.內(nèi)切

參考答案：

C

【分析】把兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩點(diǎn)間的距離公

式，求出兩圓心的距離d,然后求出R-r和R+r的值，判斷d與R-r及R+r的大小關(guān)系

即可得到兩圓的位置關(guān)系.

【解答】解：把圓x2+y2+2x+6y+9=0與圓x?+y2-6x+2y+l=0的分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：

(x+1)2+(y+3)2=1,(x-3)2+(y+1)2=9,

故圓心坐標(biāo)分別為(-1,-3)和(3,-1),半徑分別為r=l和R=3,

?.?圓心之間的距離d=Y(3+1)」+(-1+3)2=2泥,R+r=4,R-r=2,

4<2粕，；.R+r<d,

則兩圓的位置關(guān)系是相離.

故選：C.

3.如果在一次實(shí)驗(yàn)中，測得數(shù)對(x,y)的四組數(shù)值分別是A(1,2),B(2,3),C

(3,6),D(4,7),則y與x之間的回歸直線方程是()

A.y=x+l.9B.y=1.8xC.y=0.95x+l.04D.y=1.05x-0.9

參考答案：

B

【考點(diǎn)】線性回歸方程.

【專題】函數(shù)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】求出數(shù)據(jù)中心(W,V),逐個驗(yàn)證即可.

_1+2+3+4_2+3+6+7

【解答】解：x=4=2.5,V=4=4.5.

，線性回歸方程經(jīng)過點(diǎn)(2.5,4.5).

對于A,當(dāng)x=2.5時,y=2.5+1.9=4.4W4.5,

對于B,當(dāng)x=2.5時，y=l.8X2.5=4.5,

對于C,當(dāng)x=2.5時,y=0.95X2.5+1.04=3.415W4.5；

對于D,當(dāng)x=2.5時，y=l.05X2.5-0.9=1.725^4.5.

故選B.

【點(diǎn)評】本題考查了線性回歸方程的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知向量。勺X反向，下列等式中成立的是()

A|-h(1-bBJ+-A|<1-b

C.aHIA-id-A|D,a|-|A-d+6|

參考答案：

c

5.已知直線1，平面a,直線m?平面B,有下面四個命題，其中正確命題是

①。〃6?l±m(xù)

②a_L6?l〃m

③l〃m?a±B

@l±m(xù)?a//B

A.①與②B.①與③C.②與④D.③與④

參考答案：

B

【考點(diǎn)】平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.

【分析】①a可由線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷；②可以由面面垂

直的性質(zhì)進(jìn)行判斷；③l〃m?a^6面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷；④l，m?a〃6,可由

面面平行的判定定理進(jìn)行判斷.

【解答】解：對于①l，a,a〃B,正確；

對于②l_La,m?6,a_LB?l〃m；1與m也可能相交或者異面；

對于③l〃m,1±a?m_La,又因?yàn)閙?B則Q_L8正確；

對于④l_Lm,IXa則m可能在平面a內(nèi)，也可能不在平面a內(nèi)，所以不能得出

Q〃6；

綜上所述①③正確，

故選B.

‘23+1,x<0

6.(5分)已知函數(shù)f(x)=1Ix2-2x-l|,x)0,若方程f(x)+2a-l=0恰有4個

實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

1133

A.(-2,0]B.[-2,0]C.[1,2)D.(1,2]

參考答案:

A

考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷.

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：作出函數(shù)的圖象，方程f(x)+2a-1=0有4個不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)

與函數(shù)y=l-2a的圖象有4個不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖形即可得到答案.

小，x<0

解答：由f(x)=[IX2-2X-1|,x)0,要使方程f(x)+2a-1=0有4個不同的實(shí)

根，

即函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=l-2a的圖象有4個不同的交點(diǎn)，如圖，

由圖可知，使函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=l-2a的圖象有4個不同的交點(diǎn)的1-2a的范圍是

[1,2),

1

故選A.

點(diǎn)評：本題考查了根的存在性與根的個數(shù)的判斷，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考

查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的解題思想，是中檔題.

7.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的表面上，4ABC是邊長為1的正三角形，SC

為球0的直徑，且SC=2,則此三棱錐的體積為（）

_1V2V2V2

A.1B.4C.6D.12

參考答案：

C

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用截面圓的性質(zhì)即可求出00“進(jìn)而求出底面ABC上的高

SD,即可計(jì)算出三棱錐的體積.

【解答】解：根據(jù)題意作出圖形：

設(shè)球心為0,過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為01,則00」平面ABC,

延長CO】交球于點(diǎn)D,則SDL平面ABC.

2XV3V3

VC0i=32=3,

.?.00,=Fl逢

2巫

.?.高SD=200尸3,

,/△ABC是邊長為1的正三角形，

V3

SAABC_4，

1XV3X276V2

***V三棱錐s-ABC—343=6.

故選：C.

s

1

【點(diǎn)評】本題考查棱錐的體積，考查球內(nèi)接多面體，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)s到面ABC的距

離.

8.一個長方體共一頂點(diǎn)的三個面的面積分別是加，M,氓,這個長方體對角線的長是

()

A.2MB.372C.6D.V6

參考答案：

D

【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【分析】設(shè)出長方體的三度，利用面積公式求出三度，然后求出對角線的長.

【解答】解：設(shè)長方體三度為x,y,z,

則"壇，zx=F，xy=%.

三式相乘得x1%2=6,xyz=&，xr/5,y=y[2>z=L,Vx2+y2+z2=A/3+2+l=V6.

故選D.

9.在AABC中，NA=30,a=b=4,滿足條件的

△ABC()

A.無解B.有解C.有兩解D.不

能確定

參考答案：

C

略

10.兩個相關(guān)變量滿足如下關(guān)系:

23456

y25■505664

根據(jù)表格已得回歸方程：y=9.4x+9.2,表中有一數(shù)據(jù)模糊不清，請推算該數(shù)據(jù)是()

A.37B.38.5C.39D.40.5

參考答案:

C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知函數(shù)f(x)=lg(x2-2mx+m+2),若該函數(shù)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是—.

參考答案：

(-1,2)

【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可.

【解答】解：?.?函數(shù)f(x)=lg(x2-2mx+m+2)的定義域?yàn)镽,

x2-2mx+m+2>0在R上恒成立，

△=4m2-4(m+2)<0,BPm2-m-2<0,解得：-l<m<2,

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-1,2),

故答案為：(-1,2).

12.已知圓Cl+y=1與圓G(X-2)，(J-4)2=1,過動點(diǎn)尸包b)分別作圓C\、圓

G的切線尸放、尸”、及分別為切點(diǎn))，若尸好=即，貝百+9+1)2的最小

值是.

參考答案：

2石

—

析】

試量分析，由于與點(diǎn)M.MC：中，PM.PN.MC「NC『t*附入RtaMCKHtyNCj生

%廝3有y=y，到產(chǎn)在耽C￡；的安■平分電匕惻8G(O.O)G(2.4)可求得其垂?平分線為

x+"-5=0,因?yàn)?。-5"(5+『寂示P{a,b\。⑸-I)兩制?的距胤時位小flttt是QN

x+2y-5-0的距離，利用點(diǎn)H?雄的距離公式可求出■,卜■獨(dú).

西點(diǎn)間距離公式.點(diǎn)刎直線的距離公式.*<■*化.

13.已知函數(shù)/(x),g(x)分別由下表給出：

X123X123

於)211g(x)321

則當(dāng)/(g(x))=2時，x=—,____________.

參考答案：

、3;

HV3.

14.已知cos(a+6)=3,則sin(2a-6)=

參考答案：

1

3

【考點(diǎn)】二倍角的正弦；兩角和與差的正弦函數(shù).

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值.

.V3

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知可得sin(a-T)=-T,由誘導(dǎo)公式及倍角公式化簡

2￡a.2￡

所求可得sin(2a-6)=1-2sin2(3),從而即可計(jì)算得解.

JTJTnITV3

【解答】解：Teos(a+6)=sin[2-(a+6)]=sin(3-a)=3,可得：sin

.V3

(a-3)=-3,

J-I-n--J-i-?-n-兀--

.".sin(2a-6)=cos[2-(2a-6)]=cos[2(3)]=1-2sin2(3)=1

31

-2X9=3.

1

故答案為：3.

【點(diǎn)評】該題主要考查誘導(dǎo)公式和余弦的二倍角公式，還要求學(xué)生能夠感受到COS(T-

n

a)與sin(6+a)中的角之間的余角關(guān)系，屬于中檔題.

15.已知函數(shù))'=/歐+2(a<0)在區(qū)間(一8』上恒有意義,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

參考答案:

1-2,0)

16.若/⑴是奇函數(shù)，g㈤是偶函數(shù)，且"°+虱目=二1,貝1)/00

參考答案：

X

../8)+式外=占,以-0+KT=Jn一——

即-/八(x)'+g6(r)=x+1,兩式聯(lián)立，消去

家，)得人

17.若直線11：ax+2y+6=0與直線I2：x+(a-1)y+(a2-1)=0平行則實(shí)數(shù)a=

參考答案:

-1

【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系.

【分析】由直線的平行關(guān)系可得a的方程，解方程驗(yàn)證可得.

【解答】解：???直線I]：ax+2y+6=0與直線12：x+(a-1)y+(a2-1)=0平行,

/.a(a-1)-2X1=0,解得a=-l或a=2,

經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)a=2時，直線重合，a=-1符合題意,

故答案為：-1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知f(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，且滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.

(1)求證：f(8)=3(2)求不等式f(x)—f(x—2)>3的解集.

參考答案：

(1)由題意得A8)=r(4X2)=f(4)4-/(2)=Z(2X2)+f(2)=

f⑵+f⑵+f⑵=3/(2)

又〈H2)=l二f(8)=3

(2)不等式化為*q>f(L2)+3

VA8)=3:.M+f(8)=16)

丁丑由是(g+8)上的增感數(shù)

.,?叫2)>附等2〈水華

[x>8(x-2)7

略

10

19.已知實(shí)數(shù)x滿足3?…-3?3—+9W0,且

,-

f(x)=log2ylog2-y

(1)求實(shí)數(shù)X的取值范圍；

(2)求f(x)的最大值和最小值，并求此時x的值.

參考答案：

【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義.

【分析】(1)轉(zhuǎn)化為二次不等式求解即可.

(2)根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，化簡f(x),利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解值域.

10

【解答】解：(1)由？-?3—+9WO,

W32X-4-10?3X-2+9^0,

即(3X-2-1)(3X-2-9)WO,

???1W3"2<9,

???2WxW4,

?,?實(shí)數(shù)x的取值范圍

f(x)=log—*1ng——

22

(2)V22=(log2x-1)(2log2x-1)=2(log2x-1)(log2x

-2),

設(shè)10g2X=t,則te,

1113_1

：.f(t)=萬(t-1)(t-2)二萬(t2-3t+2)=2(t--2),一瓦

3_

Vf(t)在上遞減，在［E,2］上遞增，

213_

**.f(x)min二f(t)min=f(2)=-8,此時log2X=2,解得X=2血,

f(X)max=f(t)max=f(1)=f(2)=0,此時當(dāng)l_0g2X=l或10g2X=2,即X=2或X=4時.

2-1

20.設(shè)函數(shù)f(X)=2(log2x)-2alog2x+b>已知當(dāng)然時，f(x)有最小值-8.

(1)求a與b的值；

(2)求不等式f(x)>0的解集.

參考答案：

【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；指、對數(shù)不等式的解法.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；換元法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】(1)令t=logzx,則y=2/-2at+b,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得a與b的

值；

(2)由2t2+4t-6>0得：t<-3,或t>l,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得原不等式

f(x)>0的解集.

【解答】解：(1)令t=log2X,則尸2t2-2at+b的圖象是開口朝上，且以直線廿2為對稱

2

_a_a日

軸的拋物線，故當(dāng)t=E時，函數(shù)取最小值