河北省保定市花塔中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理月考試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

荔11t茄

1.已知O為銳角△ABC的外接圓的圓心，=若,

則m的值為（）

直空避空

A.3"B.~5~C.3D.3

參考答案：

B

【分析】

取/笈的中點(diǎn)的中點(diǎn)用，連接利用向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，可得

…|可_______|可

22,再由正弦定理，得到

畫=2Jt*C.國=2或3且國r代入得

jiaCBsA+BsCsiaA=嫉中+。）=成4=.，最后利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即

可求解.

【詳解】如圖所示，取山溝中點(diǎn)與用的中點(diǎn)芭，連接皿吸

則。D_LMOfiL4C；

_-r-ti-I阿______|可

所以mii22,

三萬十二￡怒=加高

所以由，

設(shè)2UJC的外接圓半徑為雇，則國“，

s.a=M

由正弦定理得4C

所以畫=2=C.圖卜”立3且畫〃

代入可得2cosAi?CA)，2(?50成衣

所以dnCcnsA+cosCsiiiA=?(jl+C)=sin/二nr

又因?yàn)閁QZ=2,故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓圓心的概念，向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，以及三

角函數(shù)恒等變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，

屬于中檔試題.

2.某種計(jì)算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的，表格是某公司前5天監(jiān)測到的數(shù)據(jù):

第X天12345

被感染的計(jì)算機(jī)數(shù)量y（臺(tái)）12244995190

則下列函數(shù)模型中能較好地反映在第x天被感染的數(shù)量y與x之間的關(guān)系的是（）

2x

A.y=12xB.y=6x-6x+12C.y=6?2D.y=121og2x+12

參考答案:

C

【考點(diǎn)】線性回歸方程.

【專題】函數(shù)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】根據(jù)表格中y的增長速度進(jìn)行判斷.

【解答】解：由表格可知，每一天的計(jì)算機(jī)被感染臺(tái)數(shù)大約都是前一天的2倍，故增長速

度符合指數(shù)型函數(shù)增長.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不同函數(shù)模型的增長速度問題，屬于基礎(chǔ)題.

3.下列命題正確的是（）

11

A.若原功，貝ijabB.若則

C.若">3，c<d,則a-K-dD.若Orf,貝iJooM

參考答案：

C

【分析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，選出正確的答案.

11

【詳解】A.若a2,則ab，取anLA：-1不成立

B.若a必，則取。=0?5=_1不成立

C.若a>b,c<d,則a-c>b-d,正確

D.若石，c>d,則ac>W,取a=Lb=-Lc=Ld=-2不成立

故答案選C

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，找出反例是解題的關(guān)鍵.

4.在等差數(shù)列｛恁｝中，則a,=（）

A.2B.3C.4D.5

參考答案：

C

【分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得

丐+.=乜=8,解得?:4

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，需熟記若■?"=2/,則屬于基礎(chǔ)

題.

5.我校有高一學(xué)生850人，高二學(xué)生900人，高三學(xué)生1200人，學(xué)校團(tuán)委欲用分層抽樣

的方法抽取30名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則下列判斷正確的是（）

A.高一學(xué)生被抽到的概率最大

B.高二學(xué)生被抽到的概率最大

C.高三學(xué)生被抽到的概率最大

D.每名學(xué)生被抽到的概率相等

參考答案：

D

【分析】

根據(jù)抽樣的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可

【詳解】由抽樣的定義知，無論哪種抽樣，樣本被抽到的概率都相同，

故每名學(xué)生被抽到的概率相等，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查抽樣的應(yīng)用，結(jié)合抽樣的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

6.下列各式中S的值不可以用算法求解的是（）

A.S=l+2+3+4B.S=1+2+3+4+...

￡I1

C.S=l+2+3+...+100D.S=l2+22+32+...+1002

參考答案：

B

【考點(diǎn)】算法的概念.

【分析】由算法的概念可知：算法是在有限步內(nèi)完成的，結(jié)果明確性，每一步操作明確

的，即可判斷A,B,C,D的正誤.

【解答】解：由算法的概念可知：求解某一類問題的算法必須是有限步的，

對(duì)于A,S=1+2+3+4,可四步完成；

對(duì)于B,S=l+2+3+...,不知其多少步完成；

111

對(duì)于C,S=l+2+3+...+100,可100步完成;

對(duì)于D,S=l2+22+32+...+1002,可100步完成;

所以S值不可以用算法求解的是B.

故選：B.

7.某扇形的半徑為1cm,它的弧長為2cm,那么該扇形的圓心角為（）

A.2°B.4radC.4°D.

2rad

參考答案：

D

A.6k+4B,127r+4

c.6不+12D,12^+12

參考答案：

A

由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)半圓柱和一個(gè)三棱錐拼接而成，且半圓柱的底面是半徑

$=-x^-x23=2/r

為2的半圓，高為3,其底面積為"2,

故其體積為彳=5■=2?rx3="

^=lx4x2=4

三棱錐的底面是一個(gè)直角三角形，三棱錐的高也為3其底面積為2，故

其體積為6==所以該幾何體的體積為"=4+%=6k+4,故選A.

9.已知函數(shù)y=f(x)是(-1,1)上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-1,0)上是單調(diào)遞增的，

A,B,C是銳角三角形4ABC的三個(gè)內(nèi)角，則下列不等式中一定成立的是()

A.f(sinA)>f(sinB)B.f(sinA)>f(cosB)C.f(cosC)>f(sinB)

D.f(sinC)>f(cosB)

參考答案：

C

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合；解三角形.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】由于f(x)定義在(-1,1)上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增，可

得f(x)在(0,1)上是減函數(shù).而銳角三角形中，任意一個(gè)角的正弦要大于另外角的余

弦，由此對(duì)題中各個(gè)選項(xiàng)依此加以判斷，可得本題的答案.

【解答】解：對(duì)于A,由于不能確定sinA、sinB的大小，

故不能確定f(sinA)與f(sinB)的大小，可得A不正確；

對(duì)于B,,:A,B,C是銳角三角形AABC的三個(gè)內(nèi)角，

/.A+B>2\,得A>2-B

注意到不等式的兩邊都是銳角，兩邊取正弦，

得sinA>sin(2-B),即sinA>cosB

Vf(x)定義在(-1,1)上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增

Af(x)在(0,1)上是減函數(shù)

由sinA>cosB,可得f(sinA)<f(cosB),故B不正確

對(duì)于C,,:A,B,C是銳角三角形AABC的三個(gè)內(nèi)角，

/.B+O2,得C>2-B

注意到不等式的兩邊都是銳角，兩邊取余弦，

7T

得cosCVcos(2-B),即cosCVsinB

Vf(x)在(0,1)上是減函數(shù)

由cosCVsinB,可得f(cosC)>f(sinB),得C正確;

對(duì)于D,由對(duì)B的證明可得f(sinC)<f(cosB),故D不正確

故選：C

【點(diǎn)評(píng)】本題給出抽象函數(shù)，求用銳角三角形的內(nèi)角的正、余弦作為自變量時(shí)，函數(shù)值的

大小關(guān)系.著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和銳角三角形中三角函數(shù)值的大小比較等知

識(shí)，屬于中檔題.

10.定義在R上的偶函數(shù)凡力滿足+且在區(qū)間［-3,-2］上是減函數(shù)，若

A、B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則

A、/(snu4)>/(cosB)B、

/(smA)c/(cos￡)

C、/(5>nA)>AsmB)D、

f(cosA)<f(cosB)

參考答案：

A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.若f(x)=x+在xN3時(shí)有最小值4,則a=

參考答案:

2

12.(5分)圓x2+y2-4=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的長為

參考答案：

2^2

考點(diǎn)：相交弦所在直線的方程.

專題：計(jì)算題；直線與圓.

分析：兩圓方程相減求出公共弦所在直線的解析式，求出第一個(gè)圓心到直線的距離，再由

第一個(gè)圓的半徑，利用勾股定理及垂徑定理即可求出公共弦長.

解答：圓x2+y2-4=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0的方程相減得：x-y+2=0,

由圓-4=0的圓心(0,0),半徑r為2,

|0-0+2]

且圓心(0,0)到直線x-y+2=0的距離d=V2

則公共弦長為2產(chǎn)〒=2后方=2丁1

故答案為：2P.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，求出公共弦所在的直線方程是解本題的關(guān)鍵.

r

13.己知△ABC中，角A,B,C所文寸的i±分別是a,b,c.若C=6,C=3,

(c-a+A)(c+a-A)=6則…=

參考答案：

5

【分析】

應(yīng)用余弦定理得出由BsC=d+尿-.=7,再結(jié)合已知等式配出

(a?3’即可.

【詳解】.(ca")(c.a磯=6即，-(a-b?+2ab=6,

:d+8-2ab=7-6=1,①

又由余弦定理得，=-"^。一?+"一通一？，②，

②—①得心=6,；.(a+by-3+3afr=7+3x6-25,

.\a+A=5.

故答案為5.

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，掌握余弦定理是解題關(guān)鍵，解題時(shí)不需要求出4b的值，而

是用整體配湊的方法得出配湊出S’與2,這樣可減少計(jì)算.

14.在等差數(shù)列｛為｝中，且則滿足4<°的〃的最大值為

參考答案：

19

【分析】

由題意可得，%的，/口>°,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷0=眇4,

￡1°?。iQJ的符號(hào)，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：；在等差數(shù)列中，4<°，

-0

則0=19%<0$=10(%?1)>。

故耳〈°時(shí)，n的最大值為19.

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì).根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷/二19.，，

與=103。+41)的符號(hào)是解答本題的關(guān)鍵.

15.在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，已知a,b,c成等比數(shù)列，且

c

『一c’=e加,則bsinA的值為.

參考答案：

2、行

亍

【分析】

利用4瓦c成等比數(shù)列得到再利用余弦定理可得4=600,而根據(jù)正弦

C_1

定理和a?也c成等比數(shù)列有啟不至7,從而得到所求之值.

【詳解】???八?成等比數(shù)列，又.?./+4一/=*c.

1

0064二-----------=一

在AMC中，由余弦定理2bc2,

因/0°用，../=60。

c_aiiC?C

由正弦定理得占sinAW?"sin'A,

因?yàn)檎?=oc,所以向'方=加4而。,

sinC="C1空

故由>"sinj4saCaa^43.

2、行

故答案為：亍.

【點(diǎn)睛】在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡

該條件，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用

正弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式

轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.

16.若存在實(shí)數(shù)6使得關(guān)于X的不等式際3+(42)*叫一2X44恒成

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—.

參考答案：

[-1,1]

【分析】

先求得2+癡工的取值范圍，將題目所給不等式轉(zhuǎn)化為含2+如工的絕對(duì)值不等式，對(duì)a

分成[=0,4>°，，<。三種情況，結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得

a的取值范圍.

【詳解】由于2+成山口],故卜成、+(4“助0川田叫_2sin"4可化簡得

a(2-F9nx)-F---------+A42

恒成立.

當(dāng)“=0時(shí)，顯然成立.

a(2+弱*)+———e[6a,10al

當(dāng)a>0時(shí)，可得2+siiix

-2-6a<即一2—6a&2-10a,解得

a(2Isarl*---------€J0a.6a

當(dāng)a<0時(shí)，可得2^siiix,可得一2-B41M且2-BN&,可

得-2-10a4&W2_&i,即_2-10aW2_6a,解得-LKacO.綜上所述，4的取值范圍

是［口］

【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，考查含有絕對(duì)值不等式恒成立問題，考查存在

性問題的求解策略，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

17.滿足條件{0,1}UA={0,1}的所有集合A的個(gè)數(shù)是個(gè)

參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

（1）證明兀x）在（0,+8）上單調(diào)遞增

［A21?

（2）是否存在實(shí)數(shù)。使得加0的定義域、值域都是豆3若存在求出a的值.

參考答案:

解：的證明：設(shè)“2溝>〃，。

則上”-心片1-3-1-?

11_X2-Xi.

一kX?—XiXj?f

■:工?。?gt;0,-'?內(nèi)一R1>0,〃

...今大士>0,

八]入2

:.f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.〃

(2).:f(x)桂(0,+8)上單調(diào)遞增，中

且定義域和值域均為2],Q

保)=卜2=],

^2)=a—5=2.

略

19.(本小題12分)

_|

([)lg4+1g25+45-(4_IT

a

(II)/W=a+logfl(x+l)(a>0且。=1).在【°』上的最大值與最小值和為明

求a的值

參考答案：

.解：(I)lg4+lg25+4*2-(4-n)°.

=lg(4x25)+2：*<*,)-l=lgl0:+2-1-l=2+1-l=^

6分“'

0l

ID+/(x)?=a+loga(0+1)+o+loga(l+D=l+a+loga2=fl9分，

loga2=-l-

12分。

2

20.AABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為°、b、c,且csinB-.

(I)求角c；

30

(2)若a+b=5,且AABC的面積為2,求c的值.

參考答案：

⑴3⑵C=S

【分析】

(1)對(duì)等式csi?6-“正舊。，運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系

中的商關(guān)系，可求出角c的正切值，最后根據(jù)角。的取值范圍，求出角C；

(2)由三角形面積公式，可以求出我的值，最后利用余弦定理，求出C的值.

［詳解］(1)-.-C9n^-'j^ftcosC,.-.anCaaJI-^SUIJICKC,

?；dnB#0,4C=、百cnsC,

C=色

??.taaC=5，”在A/OC中3；

(2)「A/MC的面積為虧,

J&4?。=也必=隨

242,；.ab=6,

由余弦定理，有=

=（“6尸-20frBsc=25-12-6=7

：.c=木.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

21.（12分）某工廠生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后才能排放，已知在過濾過程中，廢氣

中的污染物含量p（單位：毫克/升）與過濾時(shí)間t（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系為：

p（t尸p°e*（式中的e為自然對(duì)數(shù)的底，po為污染物的初始含量）.過濾1小時(shí)后檢測，

￡

發(fā)現(xiàn)污染物的含量減少了5.

（I）求函數(shù)關(guān)系式p（t）；

1

（II）要使污染物的含量不超過初始值的1000,至少還需過濾幾小