第七章《復數》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）全解全析1．C【分析】根據復數的相關概念運算求解.【詳解】由題意可得：，則，故實數m的取值范圍是.故選：C.2．A【分析】利用歐拉公式即可判斷①，逆用歐拉公式即可判斷②【詳解】①②則①②均正確故選：A3．C【分析】根據對稱性得到，從而計算出，求出模長.【詳解】對應的點為，其中關于的對稱點為，故，故.故選：C4．A【分析】根據歐拉公式，再分析復數z的實部和虛部的符號即可.【詳解】由題意，顯然，所以在復平面中對應的點在第一象限；故選：A.5．C【分析】根據，和來求解.【詳解】，于是.故選：C6．C【分析】化簡復數方程，根據復數相等的結論列方程求，由此可求.【詳解】由可得，則，所以，故．故選：C.7．D【分析】取，計算模，可判斷A;根據復數的幾何意義結合向量的運算，可判斷B;根據點的坐標特征可判斷其所在象限，判斷C;根據復數模的幾何意義求得復數z對應的點所構成的圖形面積，判斷D.【詳解】對于A，取，則，故A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，點Z的坐標為，則Z對應的點在第二象限，C錯誤；對于D，設，則由可知，故復數z對應的點所構成的圖形面積為，D正確，故選：D.8．A【分析】由已知求得，得到，利用導數研究單調性及過的切線的斜率，再畫出圖形，數形結合，即可求得實數的取值范圍．【詳解】由題意，復數在復平面內對應的點位于實軸上，所以，即，所以，則，所以函數單調遞增，且當時，，作出函數的圖象，如圖所示：又由直線過點，設切點為，則在切點處的切線方程為，把代入，可得，即，即，即切線的坐標為，代入，可得，即，又由圖象可知，當，即時，曲線與直線有且只有一個公共點，綜上所述，當時，曲線與直線有且只有一個公共點，故選A．【點睛】本題主要考查了復數的基本概念，考查函數零點的判定，以及導數的幾何意義和利用導數研究函數的單調性的應用，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.9．CD【分析】由復數的指數形式化為三角形式，然后計算化簡，結合復數的模、復數的概念判斷各選項．【詳解】由于，所以A錯誤；為實數，故B錯誤；復數的模長為，故C正確；，D正確．故選：CD10．BD【分析】利用復數的模的定義以及其復數的幾何意義，逐個選項進行計算，即可判斷答案.【詳解】A項：，故錯誤；B項：因為，故正確；C項：，當與i對應向量同向時取等，故錯誤；D項：，當與對應向量反向時取等，故正確.故選：BD.11．AC【分析】設，根據復數的乘法運算和復數的模長的概念，可判斷A、C；取可判斷B、D.【詳解】對于A，

設，若，則，所以，即，所以，若，則成立，此時；若，由得，由得，此時；若，由得，所以，此進，所以若，則或，故A正確；對于B，設則，故B不正確；對于C，設，所以，若，則或，所以，故C正確；對于D，由，取，滿足條件，而，故D不正確.故選：AC.12．AD【分析】將方程進行等價變形為，利用復數的定義，若復數為0，則實部為0，虛部也為0，判斷AB選項；結合基本不等式求解實根的范圍判斷D選項；舉例當且時，無純虛根判斷C.【詳解】解：A選項：若方程有一根為0，則代入方程有，則有，，即且，故A正確；B選項：方程可變形為：，即，則，只有一解，故B錯誤；C選項：當且時，方程僅存在一解，此時無純虛根，故C錯誤；D選項：若方程存在實數根，則，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正確故選：AD13．或【分析】求出的坐標，再設的坐標，根據給定條件，列出方程組求解作答.【詳解】依題意，，設，由得：，由得：，聯(lián)立解得或，即或，所以或.故答案為：或14．【分析】設出方程與另一個根為，根據系數都為實數結合韋達定理得出與都是實數，則一定為虛數，設，即可列式解出，則，，即，，代入方程化簡即可得出答案.【詳解】設一元二次方程為，設這個一元二次方程的一個根是，另一個根為，由韋達定理可得：，，這個一元二次方程的系數都為實數，，都是實數，則與都是實數，則一定為虛數，設，則為實數，得，解得，為實數，得，解得，則，則，，即，，則一元二次方程為，化簡為：，故答案為：.15．或【解析】根據復數的幾何意義由，得到，點的坐標為，設點的坐標為，再根據三角形是以為斜邊的等腰直角三角形，則有，再運算求解..【詳解】因為，所以，點的坐標為.設點的坐標為，則.由題意得，，所以，解得或，所以復數或.故答案為：或.【點睛】本題主要考查了復數的幾何意義，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.16．【分析】設，由得，進而求得，，即可求得.【詳解】設，由可得，即，整理得，即，則；又復數對應的向量為，則，，則，，則，則，則.故答案為：.17．（1）證明見解析；（2）5【分析】（1）使用復數加法的幾何意義進行證明即可；（2）使用第（1）問證明結論，構造兩個復數，，，進行證明即可.【詳解】（1）設復平面上的點，是復數，所對應的點，∴向量，是復數，所對應的向量，∴，，當，不共線時，平行四邊行對角線所成向量（如下圖所示），∴向量，是復數所對應的向量，∴，∴在中由“三角形兩邊之和大于第三邊”和“三角形兩邊之差小于第三邊”的性質可得，，，∴；當且僅當，共線且方向相同，即且時，，當且僅當，共線且方向相反，即且時，，綜上所述，.（2）∵∴令，，，∴由第（1）問證明的不等式，有則，當且僅當且，即時，等號成立.∴時，函數的最小值為.18．；證明見解析【分析】利用復數的代數形式的四則運算，結合三角函數的平方關系與和差公式進行證明即可.【詳解】猜想的輻角為，證明如下：依題意，得，，所以，故的輻角主值為，則其輻角為.19．(1)見解析(2)方程的根為1或或.【分析】（1）直接計算的值即可證明；（2）因式分解為，則可求出其復數根.【詳解】（1），故.（2），即，即則或，當，，當，或故方程的根為1或或.20．證明見解析【分析】利用復數代數形式的四則運算，結合三角函數的平方關系與和差公式即可得證明.【詳解】因為，，所以，故.21．(1)詳見解析(2)詳見解析【分