2023年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(B卷)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=1—3i,則復(fù)數(shù)Z的虛部是()

A.2iB.-2C.-2iD.2

2.甲、乙兩位射擊運(yùn)動員參加比賽，連續(xù)5輪射擊比賽的成績情況如圖所示：

射擊成績

100---------------------------------------------------------------------------

90___________________________________________

60---------------------------------------------------------------------------

50---------------------------------------------------------------------------

40---------------------------------------------------------------------------

30---------------------------------------------------------------------------

20---------------------------------------------------------------------------

10---------------------------------------------------------------------------

°i2345—

..甲.一_?..乙

則下列說法正確的是()

A.甲平均成績高，乙成績穩(wěn)定B.甲平均成績高，甲成績穩(wěn)定

C.乙平均成績高，甲成績穩(wěn)定D.乙平均成績高，乙成績穩(wěn)定

3.設(shè)集合U={0,l,2,3,4,5},Λ={X∣X2-7X+12=0},B=[1,3,5},則CUG4UB)=()

A.{0,2}B.[1,3,4,5)C.{3,4}D.[0,2,3,4)

4.己知函數(shù)/'(x)=2X-昔(久eR),則/(x)的圖象()

A.關(guān)于直線X=2對稱B.關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱

C.關(guān)于直線X=O對稱D.關(guān)于原點(diǎn)對稱

5.我國古代仇章算術(shù)》將底面為矩形的棱臺稱為芻童,若一芻童為正棱臺，其上、下底面

分別是邊長為√Σ和2a的正方形，高為1，則該芻童的外接球的表面積為()

A.16ττB.18πC.20πD.25π

6.設(shè)尸為拋物線C：y2=4%的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N在準(zhǔn)線/上且MN平行于X軸，若INFl=

?MN?,則∣Mf|=()

A.但B.1C.延D.4

33

7.已知函數(shù)/(%)=sin2x+√5cos2%的圖象向左平移8(@>0)個單位長度后對應(yīng)的函數(shù)為

g(X)，若g(X)在I-晨]上單調(diào)，則9的最小值為()

AI—2DB.-6-C3-uD?—12

8.已知α=ln√∑b=錚，c=~,則下列判斷正確的是()

3e

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.如圖，在棱長為1的正方體4BCD-4B1C1D1中，則()

A.BC11AC

B.三棱錐D—力CDl與三棱錐B—AC為體積相等

c.cm與平面4皿所成角的正弦值為苧

D.點(diǎn)Bl到平面ACDi的距離為竽

20232χ2023j若c則下列結(jié)論正確的

10.(1+ax)=QO+a1x+a2xH------Fa2023h=—6069,

有()

A.a=3

,2023

B.a0+a1+a2+??+a2023=-2

C.?+≡i+-+^?=-l

D.(l+ax)2023的展開式中第1012項的系數(shù)最大

11.對于三次函數(shù)/"(x)=aχ3+bχ2+ex+d(a丁0),給出定義:設(shè)f'(x)是函數(shù)y=/(x)的

導(dǎo)數(shù)，/。)是函數(shù)f'O)的導(dǎo)數(shù)，若方程/''O)=0有實數(shù)解配，則稱(XoJQo))為函數(shù)y=/(%)

的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有

對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心,若函數(shù)/。)=//一2/+￥+”6€/?),貝女)

A./(%)一定有兩個極值點(diǎn)

B.函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增

C.過點(diǎn)(0,b)可以作曲線y=∕(x)的2條切線

d-當(dāng)匕=?3寸，/(?+/(?)+/(?+-+f(^)=2022

12.已知橢圓C：3+1=1的左、右焦點(diǎn)分別為居，F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為B,直線八y=?x(fc≠0)

與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，4F]MF2的角平分線與X軸相交于點(diǎn)E,與y軸相交于點(diǎn)G(0,m),則()

A.四邊形MFlNF2的周長為8

14

B?IMrll+INFII的最小值為9

C,直線BM,BN的斜率之積為一,

4

D.當(dāng)m=時，∣F]E∣:?F2E?=2：1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知向量N=Q+L—2),石=(1,3)，若a則I蒼+J∣=—.

14.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且同時滿足下列三個條件：①奇函數(shù)，(2)∕(x)+/(x+2)=

2x-ι,xe[0,1]

則/(2023)=

0,(3)∕(x)=sinx,x∈(1,2)，

15.在平面四邊形4BCD中，已知ZBIBC,BC=4,ZB=I.若麗?反=12,則"/1。+Co

的最小值為

16.南宋數(shù)學(xué)家楊輝善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為

求離散量的垛積問題，在他的專著群解九章算法?商功沙中給出了著名的三角垛公式1+

(1+2)+(1+2+3)+-+(1+2+3+-+n)=?n(n+l)(n+2),則數(shù)列｛標(biāo)+2“｝的前n

項和為___.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列｛αrι｝滿足的=1,αn+ι=2αn+1.

(1)求證：數(shù)列｛arι+l｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛上-｝的前n項和

anan+l

18.(本小題12.0分)

△力BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,其中b=3√Σ,且滿足嗎-C=史絆一ɑ.

(1)求AABC的外接圓半徑；

(2)若NB的平分線BD交AC于點(diǎn)D,且BC=√5,求4/18C的面積.

19.(本小題12.0分)

從布宮夜宴d火爆破圈開始，某電視臺推出的“中國節(jié)日”系列節(jié)目引發(fā)廣泛關(guān)注.某統(tǒng)計

平臺為調(diào)查市民對“中國節(jié)日”系列節(jié)目的態(tài)度，在全市市民中隨機(jī)抽取了100人，他們年

齡的頻數(shù)分布及對“中國節(jié)日”系列節(jié)目喜歡的人數(shù)如下表.(注：年齡單位為歲，年齡都在

[15,75)內(nèi))

年齡[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

頻數(shù)102030201010

喜歡人數(shù)616261264

(1)若以“年齡45歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2X2列聯(lián)表，并通過計算判斷

是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為對“中國節(jié)日”系列節(jié)目的態(tài)度與人的年齡

有關(guān);

年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計

喜歡

不喜歡

合計

(2)若按年齡段用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中年齡在［45,75)被調(diào)查的人中選取8人，現(xiàn)從選

中的這8人中隨機(jī)選取3人，求這3人中年齡在［55,65)的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2

參考公式及數(shù)據(jù)#2=(?)M藍(lán)%計d)，其中"α+b+c+d

P(χ2≥/Co)0.050.010.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

20.(本小題12.0分)

如圖，C在以AB為直徑的圓。上，SO垂直圓。所在的平面，BS=AB=2,CA=CB,E為4S的

中點(diǎn)，D是SC上一點(diǎn)，且平面BDEl平面SAB.

(1)求證：SA1BD-,

(2)求平面BDE與平面SBC夾角的余弦值.

21.(本小題12.0分)

己知雙曲線C：★一馬=l(α>0,b>0)的離心率為√∑,點(diǎn)7(3,俑在雙曲線上.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若A,B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，M(l,m),若MA與C的另一交點(diǎn)為P,MB與C的另一交點(diǎn)

為Q(P與A,Q與B均不重合)求證：直線PQ過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=axex—^x2—X.

(1)討論fO)在(0,+8)上的單調(diào)性；

2xιx2

(2)若α>0時，方程/(x)=mX-g/有兩個不等實根X],χ2,求證：χ1χ2>e~~

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為z(l+i)=l-3i,

l-3i_(l-3i)(lT)_l-3-4i

所以Z

1+t-(l+i)(l-i)一—2-

所以Z的虛部為-2.

故選：B.

由復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可求出復(fù)數(shù)Z的虛部.

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由題意可得，1=(80+70+80+90+90)=82,

所以S*="X[(80-82)2+(70-82)2+(80-82)2+(90-82)2+(90-82)2]=56,

因為X乙=?×(70+80+70+80+80)=76,

所以Sg=1×[(70-76)2+(80-76)2+(70-76)2+(80-76)2+(80-76)2]=24,

乙5

所以X甲＞X乙且S甲＞S乙.

故選：A.

由平均數(shù)和方差的計算公式計算即可得出答案.

本題主要考查了平均數(shù)和方差的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：由--7X+12=0,解得X=3或X=4,

故A={3,4},

則4UB={1,3,4,5},CU(4UB)={0,2}.

故選：A.

解集合4中的方程，得到集合4再求集合的并集和補(bǔ)集運(yùn)算.

本題主要考查了集合的并集及補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：f{x')=2x

則f(4-X)=24-x-air)=24-χ-2x,

所以f(x)+/(4-X)=0,

則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，

故選：B.

根據(jù)函數(shù)解析式可得/0)+/(4-%)=0,由此得解.

本題考查函數(shù)對稱性的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：設(shè)該芻童外接球的球心為。，半徑為R,上底面中心為。1，下底面中心為。2,則由題

意，OIO2=1,AO2=2,?1O1=1,OA=OA1=R.

如圖，

當(dāng)。在。1。2的延長線上時，設(shè)。。2=九，則在A2002中，R2=K2+4?,

在4人。。1中，R2=(∕ι+l)2+l(2),

聯(lián)立①②得h=l,R2=5,所以芻童外接球的表面積為207T.

同理，當(dāng)O在線段OIo2上時，設(shè)。Oi=h,

則有R2=F+1,R2=(1_∕l)2+4,解得h=2,不滿足題意，舍去.

綜上所述，該芻童外接球的表面積為20兀.

故選：C.

根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)該芻童外接球的球心為0,半徑為R,分兩種情況討論，分別根據(jù)條件列

出方程組，即可求出外接球半徑，代入球的表面積公式計算即可求解.

本題考查球的表面積計算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意可得p=2,

???拋物線焦點(diǎn)F為(1,0),準(zhǔn)線E為％=-1,

設(shè)準(zhǔn)線［與X軸的交點(diǎn)為E,如圖所示，

由題知MNJU,由拋物線的定義可知IMNl=IMF

因為INFl=IMN所以AMN尸是正三角形，

貝I」在RtANEF中，因為MN〃EF,

所以4EFN=乙MNF=60°,

所以IMFl=INFl=2?EF?=2p=4.

故選；D.

由拋物線方程可知焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,設(shè)準(zhǔn)線1與X軸交點(diǎn)為E,畫出圖象，由拋物線定義及INFl=

IMNl可知△MNF是正三角形，結(jié)合平行關(guān)系可判斷NEFN=60°,利用直角三角形性質(zhì)即可求解.

本題考查拋物線的兒何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：T函數(shù)/(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+》

???函數(shù)f(x)的圖象向左平移W個單位長度后得到g(x)=2s譏［2(x+s)+g=2sin(2x+20+9,

當(dāng)一*x≤*則20q≤2x+20+∕≤2<p+與,

又g(%)在［-9號上單調(diào)，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，

[2φ—2φ+?]ɑ[2fcττ+?,2fcττ+?](/e∈Z)或[2<p—?,2φ+?]ɑ[2kτt—?,2kτr+"](k∈Z).

要使S最小，則k取0,

CTF、Tr

2(p-≡≥≡2(P-6≥^2

OL-P-,結(jié)合伊>0,解得］≤0≤駕,

故有92ττ3ττ或?.2π_TT

2^÷T≤T2(f，+-≥2

綜上，0的最小值為半

故選：C.

對函數(shù)/(X)進(jìn)行化簡，再根據(jù)其圖象向左平移a(0>0))個單位長度得到函數(shù)g(x)的解析式，由

g(x)在［-烷］上單調(diào)，可求得W的最小值.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：設(shè)/(X)=也(x>0),則/(X)=口竺=可,

x

J?Jχ2χ2

當(dāng)Xe(O,e)時,f(%)>0,則/(x)為增函數(shù)，

當(dāng)X∈(e,+8)時，∕,(χ)<0,則/(x)為減函數(shù).所以f(x)≤/(e)=?,

a=ln√2=∣∕∏2=∣∕∏2==/(4),又b=殍=f(3),c=}=∕(e),e<3<4,且f(x)在

(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(4)</(3)</(e),所以α<b<c.

故選：C.

構(gòu)造函數(shù)"乃=?(％>0),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：對于4,因為BCJ/AD1，所以異面直線BCl與4C所成的角就是ADi與AC所成的角.

因為A%=CDI=4C,所以△4DlC為等邊三角形，?D1AC=≡

即異面直線BG與AC所成的角為半故4錯誤；

11

對于8,易知VD-ACDI=^D1-ACD=?,S"DC'DD1?^B-ACD1=^D1-ABC=?,SAABLDDlf

f

又SMBC=^?ADC所以力-ACDI=^B-ACD1?故B正確；

對于C，連接。B1，BD.

因為AC_L平面BDDi，DBlU平面BD%,所以AClDB「

同理可得m_LOB］，又ACcIaDI=4,AC,明u平面"小，

乙

所以DBlI平面ACD1，ClZ）與平面ZCDl所成的角。為Z?C1DBι的余角，sinθ=COSCIDBI=翳=

親=爭故C正確；

對于。，由C項知SinC=苧,AB1//DC1,

所以ZB】與平面AC。1所成角的正弦值為苧，

所以當(dāng)?shù)狡矫鍭CDI的距離為AB】?sinθ=√∑x苧=竽，故。正確.

故選：BCD.

計算異面直線BCl與AC所成的角為會可判斷4由等體積法分別求出棱錐D-ACDi與三棱錐B-

AC/體積可判斷B；由題意可證得DBiI平面4CD1，則GD與平面ACR1所成的角。為立的?！┑挠?/p>

角，求出S出。=cos4GDBι=鎧的值可判斷C；因為占到平面AC。1的距離為AB】?sin。，結(jié)合選

項C可判斷D.

本題主要考查線線位置關(guān)系的判斷，直線與平面所成角的求法，棱錐體積的計算，點(diǎn)到平面距離

的求法，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

10.【答案】BC

【解析】解：對于4由的=廢023?α=2023a=-6069,可得Q=—3,故A錯誤；

2χ2023y

對于氏因為（1-3X）2°23=劭+a1x+a2x÷???+α2023

令X=1,則Qo+Ql+。2+…+02023=（1_3）2°23=-22023,故5正確；

對于C,令％=0,則Qo=1,

令T=:,則號+墨+…+饋易=（I_3X護(hù)。23_劭=_劭=_匕故C正確;

???J?

對于D,由展開式知，a2n>0）a2n-ι<0-故第1012項的系數(shù)由oιι<。，不會是展開式中系數(shù)

最大的項，故。錯誤.

故選：BC.

利用二項式展開式的通項公式求解含X項的系數(shù)，從而得到α,即可判斷選項A；賦值法即可求解

系數(shù)和問題，從而判斷選項&C-,利用展開式系數(shù)之間的聯(lián)系判斷選項D

本題主要考查二項式定理，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：由題意知/'(%)=/一%+1,J=l-4=-3<0,f'(%)>0恒成立，

所以/(%)在R上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，故A錯誤，8正確；

設(shè)切點(diǎn)為OnwnI3-?m2+m+e),則k=f(m)=m2-m+1,

切線方程為y-(?m3-?m2+m÷e)=(m2-m+I)(X-m),

代入點(diǎn)(0,匕)得—,m34-?m2—m=—m3+m2—m,

?P∣m3=?m2,解得Tn=0或m=

324

所以切線方程為y=x+b或y=率+b,故C正確；

易知廣(X)=2x-l,令/(X)=0,51∣Jχ=?

當(dāng)b=a時，/&)=0,Λ?=l,所以點(diǎn)6,1)是/(X)的對稱中心，

所以有/(；-x)+∕(∣+x)=2,即fO)+f(1-X)=2.

令S=∕Q?)+f磊)+f島)+…+八磊)，

又S=/篇)+f(篇)+f(蹤)+…+∕<??

所以2S=IΛ?÷∕?+[∕?)+f(篇)]+…+/(篇)+A?)1=2022X2=

4044,

所以S=2022,故。正確.

故選：BCD.

對/^(x)求導(dǎo)，得出/'(%)>0,沒有極值點(diǎn)，可判斷4B；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過點(diǎn)(0,b)的切線

方程條數(shù)可判斷C；求出三次函數(shù)f(X)的對稱中心，由于函數(shù)的對稱中心為0,1),可得/0)+

/(l-x)=2,由倒序相加法求出所給的式子的值，可判斷￡>.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考

查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】AC

【解析】解：對4選項，由橢圓的定義知，四邊形MFlNF2的周長為2α+2α=4α=8,A正確；

+∣∣=+MF+=1+4++

對B選項，|MF1|+∣wf?ι∣=∣mf?1∣M∕724^∣MF1∣?MF2^^∣MF2I)4(IMFJ

引MFIl>9

,

IMF2I)~4

當(dāng)且僅當(dāng)IMFIl=*∣MF2∣=I時等號成立，故8錯誤；

對C選項，設(shè)M(%ι,yι),貝!)N(-x1,—yι),又8(0,遍)，所以4BM,^BN='-----N----=力？.

χι-xι%ι

因為點(diǎn)M(Xl,yD在橢圓上，所以J+J=1，即*=4(1一])=g(3-比)，

所以ABM-ABN==一*C正確；

對。選項，設(shè)ECo)(-l<t<l),則盟=害=牖｝，∣MRI+∣MF2∣=4,

所以IMFIl=2(t+l),∣M%I=2(1—t),

在橢圓C：[+4=1中，

由其第二定義e=早(d指的是橢圓上的點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離)得IMFIl=de=%+當(dāng)?e=

(Xl+%?e=卜1+2，

??.IMFIl=2+??i=2(t+1),

所以工ι=43

故M(4t,yι),E(t,0),G(0,-∣),

因為三點(diǎn)共線，所以△=1?,解得力=￡則竺匕+*=1，解得t=±；,

3tt2434

1

1

1且+-5

丸

當(dāng)H14W

X=ILF=-=l÷

用--

L4-13L故。錯誤

21--?

4

4

故選：AC.

對4選項，由橢圓的定義知，四邊形MFINF2的周長為4ɑ即可求解；對B選項，由直線y=fcx(fc≠0)

與橢圓相交的對稱性知：INFll=IMF2∣,???島+島=嵩+舟，借助基本不等式可得

14

而∏+而∏的最小值；對C選項，設(shè)M(Xi,乃)，則N(-X[,-yι),由點(diǎn)M(xll,yD在橢圓上，即可化

得∕CBM-∕?N的值;對。選項，設(shè)出E(t,O)(-l<t<l),由條件推出IMFIl=2(t+1),∣MF2∣=2(1-

t),又在橢圓C中，由其第二定義e=野得IMF/=2+g∕=2(t+l),從而得到M,E,G三點(diǎn)

坐標(biāo)，再根據(jù)其三點(diǎn)共線，化簡求解即可.

本題考查直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，往往需要聯(lián)立兩

者方程，利用韋達(dá)定理解決相應(yīng)關(guān)系，其中的計算量往往較大，需要反復(fù)練習(xí)加以強(qiáng)化，考查運(yùn)

算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】5√2

【解析】解：向量五=(4+1,—2),b=(1,3)>五1b，

則4+1-6=0,解得4=5,

所以蒼=(6,—2),a+b=(7,1)-

所以I丘+bI=√72+I2=5>∕2?

故答案為：5√2.

由向量垂直的坐標(biāo)公式求得;I=5,進(jìn)而求五+3的坐標(biāo)，應(yīng)用模長的坐標(biāo)公式求I五+旬.

本題主要考查平面向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-1

【解析】解：因為/0)+/(%+2)=0,所以/(x+4)=—/(x+2)=∕(x),

所以/Q)為周期函數(shù)，且周期為4,

所以f(2023)=/(4X505+3)=/(3)=/(-1).

因為/(X)為奇函數(shù)，

所以/(-1)=-/(1)=-(21-1)=-1.

故答案為：-1.

由題知f(x)為周期函數(shù)，周期為4,進(jìn)而根據(jù)周期性與奇偶性求解即可.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】等

【解析】解：如圖，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為X軸建立平

面直角坐標(biāo)系，

根據(jù)題意可得B(-2,0),C(2,0),A(-2,l),設(shè)D(X,y),

?DB?DC=x2-4+y2=12,?x2+y2=16,

二點(diǎn)。在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，設(shè)E(8,0),D(x,y),

???DE2一(2CD)2=(X-8)2÷y2-4[(x-2)2+y2]

=-3(x2+y2-16)=0,

???DE2=(2CO)2

1

2

2-=；(40+2CD)=?{AD+DE)≥^AE=^√10+1=?.

故答案為：等.

根據(jù)圖形特征建立直角坐標(biāo)系，求出。點(diǎn)的軌跡方程后，根據(jù)距離和最小求出最小值即可.

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

16.【答案】2n÷1-2

O+

【解析】解：???1+2+3+???+n=

...數(shù)歹IJF嗖2｝的前〃項和為3何+i)(n+2),

Vn2+2n=2×-n+2n,

rι12

???數(shù)列｛/+2｝的前n項和Sfl=2X(亨+竽+…+專馬一(1+2+???+n)+(2+2+-

+2n)

=?n(n+l)(n+2)-+=rtS+吁n+Dn+ι_.

?L1—2O+22

故答案為：迎型皆“土1)+2fl+ι-2.

O

由三角垛公式可知數(shù)歹弁辿#｝的前n項和為*n(n+l)(n+2),根據(jù)/+2"=2×嗎2-n+2n,

采用分組求和法，結(jié)合等差、等比求和公式可求得結(jié)果.

本題考查數(shù)列中的分組求和法的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺髷?shù)列的通項進(jìn)行變型，從而與已知

的三角垛公式聯(lián)系起來，利用所給的三角垛公式來進(jìn)行求和.

17.【答案】證明：(1)數(shù)列｛an｝滿足%=1,an+1=2an+l.

則：cιn+ι÷1=2(αn+1),

即：2哼=2(常數(shù)).

十?

所以：數(shù)列Bn+1｝首項為的+1=2,公比為2的等比數(shù)列.

解：(2)由于：?±?i=2,

ɑn??

則：數(shù)列｛%,+l｝是以%+l=2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

則：廝=24—1,(首項符合).故：c?=2n-l.

所以：bn=—----,="+1:仆

anan+l(2-1)(2-1)

1_______1

=2π-l-2n+1-l,

所以：^=?-?+?-?+???+?-?T>

=1一]__

―2n+1-l,

【解析】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,

屬于中檔題.

(1)直接利用定義得出數(shù)列為等比數(shù)列.

(2)利用等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，進(jìn)一步利用裂項相消法求出數(shù)列的和.

18.【答案】解：(1)誓—c=誓一ɑ,

由正弦定理，得d-c=Q-α,則。2+。2—爐=&c,

aa

COSB=巴考="一=?,

2ac2

因為OVB<71,

所以B=9

設(shè)^ABC的外接圓半徑為R,由正弦定理知2R=焉=罷=2遍，

T

所以△ABC的外接圓半徑為遙；

(2)由BD平分乙48C,得SMBC=^Δ,ABD+SABCD，

則:acs譏！=?×√3×csiny+?×?/?×asi∏y,即QC=Q+c,

232626

在△4BC中，由余弦定理可得力2=a2+c2-2accos^,

又b=3√2,

則Q2+￠2_QC=18,

聯(lián)立｛眠；C=I8，可得a?c2-3αc-18=0,解得αc=6(αc=-3舍去)，

?r1.π1,√33√3

故SAABC=2acsιn3=2X6X2=~?

【解析】(1)根據(jù)正弦定理及余弦定理求出角，再由正弦定理得解；

(2)根據(jù)角平分線利用三角形面積間的關(guān)系得αc=α+c,再由余弦定理，求出αc即可得解.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

19.【答案】解:(1)列聯(lián)表如下:

年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計

喜歡224870

不喜歡181230

合計4060100

y2=n(αdfc)2=IOOX(22x12-48x18)2?

λ一(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)—70×30×40×60~

則能在犯錯誤的概率不超過0。1的前提下認(rèn)為對“中國節(jié)日”系列節(jié)目的態(tài)度與人的年齡有關(guān);

(2)因為[45,55),[55,65),[65,75)數(shù)比為2：1：1,

故抽取人數(shù)依次為4,2,2,

故X的所有可能取值為0，1,2,

P(X=O)W=名，P(X=I)=警/

P(X=2)=等=會

故X的分布列為：

X012

5153

P

142828

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×^+l×^+2×^=∣.

【解析】(1)根據(jù)頻數(shù)分布，填寫2X2列聯(lián)表，再結(jié)合獨(dú)立性檢驗公式，即可求解；

(2)根據(jù)題意知X的所有可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，計算期望值.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解，考查期望公式，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)證明：因為BS=AB=2,且E為力S的中點(diǎn)，

所以BEJ.S4

又因為平面BDEI平面S4B,且平面BnEn平面S4B=BE,SA?

平面SAB,/

所以SA1平面BDE,8愆

又因為BZ)U平面BDE,所以S4J.B。；彳

(2)因為CA=CB,所以。CJ.48,則。C,OA,OS兩兩垂直，

以。C,OA,OS所在直線分別為X,y,z軸，建系如圖，則根據(jù)題意可得:

0(0,0,0),4(0,1,0),B(0,-l,0),C(1,0,0),S(0,0,√3),

.?.FS=(0,l,√3).BC=(1,1,0).AS=(0,-1,√3).

由(1)知衣=(0,-1,√5)是平面BDE的一個法向量，

設(shè)平面SBC的一個法向量記=(x,y,z),

則向A=O歸含；°，m≡=(√3,-√3,l)>

Im.SC=O

2√3_√21

:?cos(fn,AS)=

師IMSl√7×2一~

???平面BDE與平面SBC夾角的余弦值為苧.

【解析】(1)由面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)即可證明線線垂直；

(2)利用空間線面、線線關(guān)系即可建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BDE與平面SBC得法向量,

利用平面與平面夾角余弦值公式求解即可.

本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，向量法求解面面角問題，向量夾角公式的應(yīng)用，屬中檔題.

(a=2

21.【答案】解：⑴由題意得＜2.與=1,解得b=2

2

ɑb(C=2.

^c2=α2+62

故雙曲線C的方程為［一4=1；

44

(2)證明：①48為雙曲線擠一苧=1的左、右頂點(diǎn)，

?A(-2,0),5(2,0),

又M(Lm),

???當(dāng)m=0時，則kp4=kM∕=?∕?Q=%M=一租，???∣<BQ=_3kpA,

又點(diǎn)P在雙曲線。Y=I上，???kpB?%=2??3=旦=與=ι,

44SuAXp+2χp-24-44

???kβQ,kpB=_3kpA?春=-3；

設(shè)P(%ι,yι),Q(%2,y2%直線PQ的方程為％=九y+3

聯(lián)立［?^-9=1,整理得(聲一I)y2+2"ty+t2-4=0,

lx=ny÷t

22222

.?.Δ=(2nt)—4(t—4)(n-1)=4t+16n—16>0,且為+y2=y1y2=

.?.kpB?kBQ=工.4=-------------2-----------------?=「--------七——工——=

v2z222z2

巧-2X2-2ny1y2+n(t-2)(y1+y2)+(t-2)n(t-4)-2n(t-2)t+(t-2)(n-l)

-??=-3,解得t=4,此時滿足Zl>0,

一住一2)

???直線PQ恒過點(diǎn)(4,0).

②當(dāng)Jn=O時，P與B重合，Q與4重合，此時直線PQ的方程為y=0,

綜上所述