2021年河南省高考數(shù)學(xué)（文科）聯(lián)考試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1（5分）已知集合M={x∣χ2式4},N={-3,-1,1,2,3},則MnN=（）

A{-L1,2}B{-l,2,3}C{-2,-1,1,2}D{-1,1}

2（5分）已知復(fù)數(shù)Z滿足（2+i）z=∣4-3i∣（i為虛數(shù)單位），則Z=（）

A2+iB2-iCl+2iDl-2i

1Jl

3（5分）已知tanθ=,則tan2θ+4tan（θ+—）=（）

24

AlB-2C-IDO

4（5分）命題：

①若2a=3b=6,則工T=1；

②若2a=3b=36,則工d=±?;

ab2

③若2a=3b=216,則」T?=《

類比命題①，②，③，可得命題“若∏P=nb=t（m,n均為于1的整數(shù)），則2W=苫"

abK

其中t=（）

Amk∏BmnkCkmnD（inn）k

5（5分）已知橢圓C：-^-4?=1（b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F,,F,,P為橢圓C的

b2+3b2

JT

上頂點(diǎn)，若NF,PF,=白，貝!∣b=（）

123

A5B4C3D2

6（5分）數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩(shī)意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類螺旋線這個(gè)

名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”小明對(duì)螺旋線有著濃厚的興趣，用

以下方法畫(huà)出了如圖所示的螺旋線具體作法是：先作邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC,分別記

射線AC,BA,CB為I2,I3,以C為圓心、CB為半徑作劣弧西■交）于點(diǎn)q；以A

為圓心、Aq為半徑作劣瓠丘丁交1,于點(diǎn)A；以B為圓心、BA,為半徑作劣弧二交

11?21111

1,于點(diǎn)B,,…，依此規(guī)律作下去，就得到了一系列圓弧形成的螺旋線記劣弧就;的長(zhǎng)，

311

1

劣弧ClAI的長(zhǎng)，劣弧AIBI的長(zhǎng)，…依次為”，a,a,―,則a,+a,+???+a=()

143IZy(J

A30πB45五C60πD65幾

7（5分）已知aABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D為BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在邊AC上，設(shè)AD與

BE交于點(diǎn)P,貝（IBP?BC=（）

A4B6C8DlO

8（5分）古代人家修建大門(mén)時(shí)，貼近門(mén)墻放置兩個(gè)石墩，稱為門(mén)墩，亦稱門(mén)枕石門(mén)墩的作

用是固定門(mén)框，防止大門(mén)前后晃動(dòng)，另外門(mén)墩一般雕刻有傳統(tǒng)的吉祥圖案，起到裝飾作

用如圖，粗實(shí)線畫(huà)出的是某門(mén)墩的三視圖（其中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)為2dm）,則該

B(48+1，")d∏F

3

,32(3+√2)÷8π.32(3+&)+16冗4

Or---------D---------------------ClnP

9（5分）設(shè)函數(shù)f（X）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（X）=In（-x）,若a=f

(2ι?ι),b=f(5。.4),c=f(lι√5),則a,b,C的大小關(guān)系是()

Aa<b<cBc<b<aCb<c<aDc<a<b

2v2

10（5分）已知雙曲線E：?-?=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F,F,過(guò)F

a±/

作E的一條漸近線的垂線，垂足為T(mén),交E的左支于點(diǎn)P若T恰好為線段PF?的中點(diǎn)，則

2

E的離心率為（）

A√2B√3C2D√5

11（5分）在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點(diǎn)P在直線χ+y=4上，過(guò)點(diǎn)P作圓0：χ2+y2=4

的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則0到直線AB距離的最大值為（）

AlB√2C√3D2

12（5分）已知函數(shù)f（X）=Cos（ωx÷≡-）（ω∈N*）,若函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩對(duì)稱

軸之間的距離至少吟，且在區(qū)間（π,空）上存在最大值,則3的取值個(gè)數(shù)為（）

A4B3C2Dl

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13（5分）如圖是某高速公路測(cè)速點(diǎn)在2021年2月1日8：00到18：00時(shí)測(cè)得的過(guò)往車(chē)輛

的速度（單位：km/h）的頻率分布直方圖，則該頻率分布直方圖中m=,此圖可

得在該段時(shí)間內(nèi)過(guò)往車(chē)輛的平均速度約為km/h

14（5分）設(shè)S為等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，且8a,-4=0,S=5S,則m的值是

15（5分）已知函數(shù)y=2E（x>0）圖象的一條切線1,與直線1,：3x-4y=0垂直，則L

κ121

的方程為

16（5分）已知在正四面體ABCD中，點(diǎn)E在棱AC上，F(xiàn)為棱AD的中點(diǎn)若BE+EF的最小值

為√B,則該四面體外接球的表面積是

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（-）必考題：

共60分。

17（12分）在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2a+c=2bcosC

（1）求角B的大小；

（2）設(shè)D為邊AC上一點(diǎn)，ZABD=ZCBD,BD=L求4ABC面積的最小值

3

C

D

B--jfc4

18(12分)葉女士在某購(gòu)物商場(chǎng)的消費(fèi)金額達(dá)到了“貴賓級(jí)”水平，春節(jié)期間，商場(chǎng)決定

對(duì)“貴賓級(jí)”顧客給予每人一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，按照抽取獎(jiǎng)券的價(jià)值選取商品，商場(chǎng)中可供

選取的有A,B,C,D,E,F六種商品其中商品A,B每件價(jià)值3000元、商品C,D每件

價(jià)值2000元、商品E,F每件價(jià)值1000元葉女士抽取到一張價(jià)值4000元的獎(jiǎng)券

(D若她從這六種商品中任選三件，每種商品選一件，求她選取的商品價(jià)值恰好為其獎(jiǎng)

券價(jià)值的概率；

(2)若她從六種商品中任意選取每種商品可以選取多件，選取的商品總價(jià)值為其獎(jiǎng)券價(jià)

值，求她選取的商品件數(shù)不超過(guò)三件的概率

19(12分)在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AC=2AB=2AD,ZADC=ZABC=90°

(1)證明：平面PBDj_平面PAC；

(2)若F是Pe的中點(diǎn)，求證：BF〃平面PAD

20(12分)已知拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,設(shè)G(x0,2)為拋物線E上一點(diǎn)，

IGFl=2

(1)求拋物線E的方程；

(2)不與坐標(biāo)軸垂直的直線與拋物線E交于A,B兩點(diǎn)，與X軸交于點(diǎn)P,線段AB的垂

直平分線與X軸交于Q點(diǎn)，若IABl=2∣PQ∣,求點(diǎn)P的坐標(biāo)

21(12分)已知函數(shù)f(X)=(x+a)lnx-x(a∈R)

4

(1)當(dāng)a=0時(shí)，是否存在唯一的x°∈(0,+8),使得f(X。)=-I?并說(shuō)明理由

(2)討論f(X)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答。如果多做，則按所做

的第一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22(10分)在平面直角坐標(biāo)系XOy中，直線1的方程為x+y-4=0,曲線C的參數(shù)方程為

X=COSt

(t為參數(shù))以。點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系

fy=v2≡int

(1)求直線1和曲線C的極坐標(biāo)方程；

4.

(2)設(shè)射線θ=α(P≥O,0≤α<2π)與直線1和曲線C分別交于點(diǎn)M,N,求--

IOHI2

+1-----的--最小值

IONI2

［選修4-5：不等式選講］

23已知函數(shù)f(X)=∣x+l∣+∣x-1|

(1)求不等式f(X)Wx+6的解集

(2)記f(X)的最小值為叫正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=m,證明：

a÷mb+m

5

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1(5分)已知集合M={x∣χ2≤4},N={-3,-1,1,2,3},則MnN=()

A{-L1,2}B{-l,2,3}C{-2,-1,1,2}D{-1,1}

【分析】可求出集合M,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可

【解答】解：?.?M={x∣-2Wx≤2},N={-3,-1,1,2,3),

ΛM∩N={-1,1,2}

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了描述法和列舉法的定義，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題

2(5分)已知復(fù)數(shù)Z滿足(2+i)z=∣4-3i∣(i為虛數(shù)單位)，則Z=()

A2+iB2-iCl+2iDl-2i

【分析】先求等式右邊的模，變形后再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案

【解答】解：由(2+i)z=∣4-3i∣=4+(-3)2=5,

得廣

5.5(2-i)_5(22-i)22

得2+i(2+i)(2-i)2+l'

故選：B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題

1JT

3(5分)已知tanθ=--,貝!)tan2θ+4tan(θ+----)=()

24

AlB-2C-IDO

【分析】由已知直接利用倍角公式及兩角和的正切求解

【解答】解：?.?tanθ=總，

A"兀、2tanθtanθna∏γ

,,β

Λtan2θ+4tan(8+.-)—9+4×TT*

l-tanθ1-tanθtan?

6

2×C-y)

+4金

故選：D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查倍角公式及兩角和的正切，是基礎(chǔ)題

4(5分)命題：

①若2a=3b=6,則』*=1；

②若2a=3b=36,則工+?L=??;

ab2

③若2a=3b=216,則—十-—L

ab3

類比命題①，②，③，可得命題“若脂=nb=t(m,n均為于1的整數(shù))，則°d=

abk

其中t=()

Amk∏BmnkCkmnD(mn)??

【分析】分析出①②③對(duì)應(yīng)的規(guī)律，即可類比推理求解

【解答】解：對(duì)于①，6=(2×3)?,對(duì)于②：36=(2X3)%

對(duì)于③：216=(2X3)3,

類比①@③，可得t=(mn)k,

故選：D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了類比推理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題

5(5分)已知橢圓C：?--t?=1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F,,F,P為橢圓C的

b2÷3b”

JT

上頂點(diǎn)，若NFFF尸名，貝IJb=()

1Z3

A5B4C3D2

JT

【分析】由橢圓的方程可得C的值，再由NF∣PF,=k,可得tanNF,P0的值，進(jìn)而求出

它的正切值，進(jìn)而求出b的值

【解答】解：由橢圓的方程可得：c=√b2+3.b2=√3

Tr兀

由NFPF=F,則NFPo=丁，

12326

7

所以tanNF,PO=卓=￡,

23b

所以可得b=3,

故選：C

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)及由角的值求b,c的關(guān)系，屬于中檔題

6(5分)數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩(shī)意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類螺旋線這個(gè)

名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷"小明對(duì)螺旋線有著濃厚的興趣，用

以下方法畫(huà)出了如圖所示的螺旋線具體作法是：先作邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC,分別記

射線AC,BA,CB為?,12,I3,以C為圓心、CB為半徑作劣弧問(wèn)交,于點(diǎn)q；以A

為圓心、Aq為半徑作劣弧已了■交1,于點(diǎn)A5以B為圓心、BA,為半徑作劣弧仄區(qū)交

?1]Zl111

L于點(diǎn)B,,…，依此規(guī)律作下去，就得到了一系列圓弧形成的螺旋線記劣弧就;的長(zhǎng)，

311

劣弧1717的長(zhǎng)，劣弧匕的長(zhǎng)，…依次為3，a√a√則a,+a,+…+a。=()

11I1ιzoIZy

【分析】根據(jù)題意分析求出第n個(gè)劣弧的半徑為n,圓心角為《，由弧長(zhǎng)公式求出第

n個(gè)劣弧的弧長(zhǎng)，然后利用等差數(shù)列求和即可

【解答】解：由題意可知，第n個(gè)劣弧的半徑為n,圓心角為弓二，

所以第n個(gè)劣弧的弧長(zhǎng)&W?.駕上，

n3I13

OJTOTTQV1∩

,π

a+a2+???+a9=?-×(1+2+…<9)×,,-=30

?

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查額弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是歸納出

第n個(gè)劣弧的弧長(zhǎng)，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)計(jì)算能力，屬于中檔題

7(5分)已知4ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D為BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在邊AC上，設(shè)AD與

8

BE交于點(diǎn)P,則而?^≡=（）

A4B6C8DlO

【分析】利用向量數(shù)量積的幾何意義求解即可

【解答】解：因?yàn)锳ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D為BC的中點(diǎn),

所以AD±BC,

由數(shù)量積的幾何意義可知所τ≡=∣BP∣∣≡∣cosZPBC=∣BD∣∣≡∣=2×4=8

故選：C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題

8（5分）古代人家修建大門(mén)時(shí)，貼近門(mén)墻放置兩個(gè)石墩，稱為門(mén)墩，亦稱門(mén)枕石門(mén)墩的作

用是固定門(mén)框，防止大門(mén)前后晃動(dòng)，另外門(mén)墩一般雕刻有傳統(tǒng)的吉祥圖案，起到裝飾作

用如圖，粗實(shí)線畫(huà)出的是某門(mén)墩的三視圖（其中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)為2dm）,則該

B(48+"H)d?

33

9

32(3+√2)÷8π.32(3+及)+16冗4

C---------?----------ɑ?n?D---------?-----------CtaP

33

【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出組合體的體積

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體由)球和一個(gè)棱臺(tái)組成的

組合體；

所以VqXUF?2%2X4X44?X2X4X4=粵+48，

fi

T?LΛ?

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公

式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題

9(5分)設(shè)函數(shù)f(X)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(X)=In(-X),若a=f

(2ι?ι),b=f(5°4)>c=f(l?r/?),則a,b,C的大小關(guān)系是()

Aa<b<cBc<b<aCb<c<aDc<a<b

【分析】由已知先求出x>0時(shí)函數(shù)解析式，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小

【解答】解：因?yàn)閄VO時(shí)，f(X)=In(-X),

所以x>0時(shí)，-x<0,

所以f(-x)=lnx=f(X),

因?yàn)閤>0時(shí)，f(x)=InX單調(diào)遞增，

因?yàn)閘ιτ∕^VIne=I,5??*>1,

則b>c,

114________

因?yàn)?□÷5O"=2∣°÷5l°=%"÷54=l?L2768>L

故2I.I>5O?4,

故a>b

綜上a>b>c

故選：B

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于基礎(chǔ)題

2y2

10(5分)已知雙曲線E：?-÷7=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F,F,過(guò)F

a2b2

作E的一條漸近線的垂線，垂足為T(mén),交E的左支于點(diǎn)P若T恰好為線段PF?的中點(diǎn)，則

E的離心率為()

X)

A√2B√3C2D√5

【分析】設(shè)F,(c,O),E的一條漸近線的方程為y=2X,求得過(guò)F,與E的一條漸近線

2a2

垂直的直線PF?的方程，以及垂足T的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P的坐標(biāo)，代入雙曲

線的方程，結(jié)合離心率公式，解方程可得所求值

【解答】解：設(shè)F,(c,0),E的一條漸近線的方程為y=旦X,①

過(guò)F,與E的一條漸近線垂直的直線PF,的方程為y=-包(x-c),②

22b

2卜

聯(lián)立①②可得垂足T(3一,?),

CC

由T恰好為線段PF,的中點(diǎn)，可得P(2日-C,2型)，

2CC

922a2

將P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，(Na-C)2-l?-=l,

acc2

由e=￡,可得(?-e)=≈--?-=l,

z

aee

解得e=√5,

故選：D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能

力，屬于中檔題

11(5分)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點(diǎn)P在直線x+y=4上，過(guò)點(diǎn)P作圓0：*+產(chǎn)=4

的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則0到直線AB距離的最大值為()

AlB√2C√3D2

【分析】根據(jù)題意，設(shè)P(m,n)為直線1：x+y=4上的一點(diǎn)，由切線的性質(zhì)得點(diǎn)A、B

在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓0的方程聯(lián)立可得直線AB的方程，將其

變形分析可得直線AB恒過(guò)的定點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離分析可得答案

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)P(m,n)為直線1：x+y=4上的一點(diǎn)，則m+n=4,

過(guò)點(diǎn)P作圓0：X2+W=4的切線，切點(diǎn)分別為A、B,則有OAJ_PA,0B±PB,

則點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，

以O(shè)P為直徑的圓的圓心為母號(hào))，半徑r="∣0P∣

2

22

則其方程為(X-M)2+(y-?)2=m：n,變形可得χ2+y2-mχ一”=(),

224

X2÷y2=4

聯(lián)立C，可得：

QrJmx+ny-4=0,

X+y-mχ-∏y=0

又由m+n=4,則有mx+(4-in)y-4=0,變形可得In(X-y)+4y-4=0,

則有?X-V,解可得χ=y=L故直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(1,1),設(shè)M(l,1),

.4y-4=0

到OM_LAB時(shí)，0到直線AB的距離最大，其最大值為IOMl=AA=血，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題

12(5分)已知函數(shù)f(X)=Cos(3XT-)(ω∈N*),若函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩對(duì)稱

TTOTT

軸之間的距離至少為一,且在區(qū)間(π上存在最大值,則ω的取值個(gè)數(shù)為()

42

A4B3C2Dl

【分析】由題意利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先求得3的范圍，再分類討論，得出結(jié)論

兀

【解答】解：對(duì)于函數(shù)f(X)=COS(3Xr-)(3∈N*),

1QK兀

若函數(shù)f(X)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離至少為日義片「《<，???3≤4

2W4

?.?在區(qū)間(K,?)上存在最大值，

當(dāng)3=4時(shí)，4x+∈(4π+>6π+)>滿足條件；

333

2

當(dāng)3=2時(shí)，2x+；G（2n+：,3π+"?"）,不滿足條件；

當(dāng)3=1時(shí)，xT∈（2L,）,不滿足條件，

π+巧+：

3323

則3的取值個(gè)數(shù)為2,

故選：C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)和性質(zhì)，屬于中檔題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13（5分）如圖是某高速公路測(cè)速點(diǎn)在2021年2月1日8：00到18：00時(shí)測(cè)得的過(guò)往車(chē)輛

的速度（單位：km/h）的頻率分布直方圖，則該頻率分布直方圖中In=0.04,此圖

可得在該段時(shí)間內(nèi)過(guò)往車(chē)輛的平均速度約為1。2km/h

【分析】利用頻率之和為1,列出關(guān)于m的等式，求解即可得到m的值；利用頻率分布

直方圖中平均數(shù)的計(jì)算方法求解即可

【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖的特點(diǎn)可知，（0.01+0.03+m+0.02）×10=l,解得m

=0.04；

各組的頻率自左向右依次為0.L0.3,0.4,0.2,

故平均速度約為85×0.l+95×0.3+105×0.4+115×0.2=102（km/h）

故答案為：0.04；102

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確讀取頻率分布直

方圖中的數(shù)據(jù)信息，考查了頻率直方圖中品平均數(shù)的求解方法，屬于基礎(chǔ)題

14（5分）設(shè)S為等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，且8a,-a.=0,S=5S,則m的值是4

nn25m2------

【分析】先由題設(shè)求得等比數(shù)列｛a｝的公比q,再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解出m

n

的值即可

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為q,

n

B

a5

由8a,-a.=0可得：q3=----=8,解得：q=2,

a2

VSm=5S2,

a.(l-2m)a.(l-22),

---------------=5×-------------,即I-2?=-15,解得：m=4,

1-21-2

故答案為：4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題

15(5分)已知函數(shù)y=2E(x>0)圖象的一條切線1,與直線>3x-4y=0垂直，則1,

X121

的方程為4x+3y-36=0

【分析】求得函數(shù)y=2L(χ>0)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，可得切線的斜率，由兩直線

垂直的條件，可得m,進(jìn)而得到n,再由直線的點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程

【解答】解：函數(shù)y=297(χ>0)的導(dǎo)數(shù)為y'=-2?7

XX2

設(shè)切點(diǎn)為(m,n),可得切線的斜率為-耳，

又切線L與直線3x-4y=0垂直，

可得-9號(hào)7=-4未解得小=Q春

m'32

則n=-=6,

m

所以切線\的方程為y-6=*4(x-卷Q)，

即為4x+3y-36=0

故答案為：4x+3y-36=0

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，以及兩直線垂直的條件，考查方程思想

和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題

16(5分)已知在正四面體ABCD中，點(diǎn)E在棱AC上，F(xiàn)為棱AD的中點(diǎn)若BE+EF的最小值

為J運(yùn)則該四面體外接球的表面積是9n

【分析】根據(jù)空間的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，從立體轉(zhuǎn)為平面問(wèn)題，即可求出正四面體的棱長(zhǎng)，求出

答案

售

【解答】解：將三角形ABC與三角形ACD展成平面，BE+EF的最小值，即為BF兩點(diǎn)之間

連線的距離，

則BF='∕42,

設(shè)AB=2a,則NBAD=I20°,由余弦定理??3黑洛="4,解得a=&i,

2^2a×a2

則正四面體棱長(zhǎng)為胡，因?yàn)檎拿骟w的外接球半徑是棱長(zhǎng)的陣倍，

（正四面體擴(kuò)展為正方體，它們的外接球是同一個(gè)球，

正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)為：1；

對(duì)角線長(zhǎng)為：√3,面對(duì)角線長(zhǎng)度為西，

.?.棱長(zhǎng)為X的正四面體的外接球半徑為厚X）

4

所以，設(shè)外接球半徑為R,則R=嘩■?氓Y,

42

則表面積S=4πR2=4π?—=9π

4

故答案為：9π

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，以及正四面體外接球問(wèn)題，屬于中檔題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：

共60分。

17（12分）在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2a+c=2bcosC

（1）求角B的大小；

（2）設(shè)D為邊AC上一點(diǎn)，NABD=NCBD,BD=I,求AABC面積的最小值

B

E

【分析】(1)利用正弦定理將已知等式中的邊化角，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理、兩角

和的正弦公式，即可得解；

(2)在AABD和ABCD中，均使用余弦定理表示出AI＞和CIX再結(jié)合角分線定理，推出

(a-c)(a+c-ac)=0,然后分類討論，并結(jié)合基本不等式，得解

【解答】解：(1)由正弦定理知,b

sinAsinBSinC

V2a+c=2bcosC,

Λ2sinA+sinC=2sinBcosC,

又SinA=Sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

Λ2cosBsinC+sinC=0,

VsinC≠0,ΛcosB=

?.,B∈(0,π),.*.B=-

3

(2)由(1)知，B=2∣L,

兀

.?.NABD=NCBD=±,

3

在4ABD中，由余弦定理知,AD2=AB2+BD2-2AB?BD?cosZABD=c2+l-2c?l?γy=c2-c+l,

在ABCD中，由余弦定理知,CD2=BC2+BD2-2BC?BD?cos∠≤CBD=a2+l-2a?l?-^-=a2-a+l,

由角分線定理知,魯嘿二

2_.12

Λl^——=三，化簡(jiǎn)得(a-c)(a+c-ac)=0,

a-a+1a

當(dāng)a-c=0,即a=c時(shí)，AABC為等腰三角形，其面積為定值；

當(dāng)a+c-ac=0時(shí)，有ac=a+c22^?/藐，.".ac≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)，等號(hào)成立，

：.ΔABC的面積S=-^-ac?si∏B≥-^-×4×sin」兀='/§，

223

.?.△ABC面積的最小值為JG

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形中正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，還涉及基本不等式，考

查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題

18(12分)葉女士在某購(gòu)物商場(chǎng)的消費(fèi)金額達(dá)到了“貴賓級(jí)”水平，春節(jié)期間，商場(chǎng)決定

對(duì)“貴賓級(jí)”顧客給予每人一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，按照抽取獎(jiǎng)券的價(jià)值選取商品，商場(chǎng)中可供

E

選取的有A,B,C,D,E,F六種商品其中商品A,B每件價(jià)值3000元、商品C,D每件

價(jià)值2000元、商品E,F每件價(jià)值1000元葉女士抽取到一張價(jià)值4000元的獎(jiǎng)券

(1)若她從這六種商品中任選三件，每種商品選一件，求她選取的商品價(jià)值恰好為其獎(jiǎng)

券價(jià)值的概率；

(2)若她從六種商品中任意選取每種商品可以選取多件，選取的商品總價(jià)值為其獎(jiǎng)券價(jià)

值，求她選取的商品件數(shù)不超過(guò)三件的概率

【分析】(1)法一：她從這六種商品中任選三件，每種商品選一件，基本事件總數(shù)n=c^

=20,她選取的商品價(jià)值恰好為其獎(jiǎng)券價(jià)值指C或D種商品中選一件，E、F種商品中各

選一件，不同的選法有m=C；C：=2,由此能求出她選取的商品價(jià)值恰好為其獎(jiǎng)券價(jià)值

的概率

法二：含商品A時(shí)，B,C,D,E,F中再選2件，利用列舉法求出基本事件有10個(gè)，不

含商品A時(shí)，從B,C,D,E,F中選3件，含有B時(shí)，再?gòu)腃,D,E,F中選2件，利用

列舉法求出基本事件有6個(gè)，不含B時(shí)，從C,D,E,F中選3件，利用列舉法求出基本

事件有4個(gè)，其中總價(jià)值4000元的事件有2個(gè)，由此能求出她選取的商品價(jià)值恰好為其

獎(jiǎng)券價(jià)值的概率

(2)價(jià)值4000元的基本事件：選取2件時(shí)：①A,B選一，②從C,D中選；選取3件

時(shí)，C,D選1,E,F選2,；選4件時(shí)，只能在E,F中選，利用列舉法求出基本事件總

數(shù)和其中不超過(guò)3件的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出她選取的商品件數(shù)不超過(guò)三件的概率

【解答】解：(D解法一：她從這六種商品中任選三件，每種商品選一件，

基本事件總數(shù)n=CX=20,

她選取的商品價(jià)值恰好為其獎(jiǎng)券價(jià)值指C或D種商品中選一件,E、F種商品中各選一件，

不同的選法有m=c3c∣=2,

.?.她選取的商品價(jià)值恰好為其獎(jiǎng)券價(jià)值的概率P=螞

n2010

解法二：含商品A時(shí)，B,C,D,E,F中再選2件，基本事件有：

ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,共10個(gè)，

不含商品A時(shí)，從B,C,D,E,F中選3件，含有B時(shí)，再?gòu)腃,D,E,F中選2件，

基本事件有：BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,共6個(gè)，

不含B時(shí)，從C,D,E,F中選3件，基本事件有：

V

CDE,CDF,CEF,DEF,共4個(gè)，

.?.基本事件總數(shù)為n=10+6+4=20,

其中總價(jià)值4000元的事件有：CEF,DEF,共2個(gè)，

.?.她選取的商品價(jià)值恰好為其獎(jiǎng)券價(jià)值的概率P=方=焉

(2)價(jià)值4000元的基本事件：

選取2件時(shí)：①A,B選一，即AE,AF,BE,BF,共4個(gè)，

②從C,D中選，有CC,CD,DD,共3個(gè)，

選取3件時(shí)，C,D選1,E,F選2,即CEE,CEF,CFF,DEF,DEE,DFF,共6個(gè)，

選4件時(shí)，只能在E,F中選，BPEEEE,EEEF,EEFF,EFFF,FFFF,共5個(gè)，

基本事件總數(shù)n?=4+3+6+5=18,

其中不超過(guò)3件的基本事件個(gè)數(shù)R=4+3+6=13,

.?.她選取的商品件數(shù)不超過(guò)三件的概率為P=上L=圣

n118

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)

算求解能力等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題

19(12分)在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AC=2AB=2AD,ZADC=ZABC=90°

(1)證明：平面PBDJ_平面PAC；

(2)若F是PC的中點(diǎn)，求證：BF〃平面PAD

【分析】(D由已知可得BDJLPA,再證明BD_LAC,由直線與平面垂直的判定可得BDL

平面PAC,進(jìn)一步可得平面PBDJL平面PAC；

(2)設(shè)線段AC的中點(diǎn)為0,連接OB,0F,可得OF〃平面PAD,推導(dǎo)出四邊形ABOD是平

行四邊形，從而B(niǎo)0〃AD,可得Bo〃平面PAD,進(jìn)而得面OBF〃面PAD,由此能證明BF〃

面PAD

【解答】證明：(D?.?PA1.平面ABCD,BD平面ABCD,

E

ΛPA±BD,

VAC=AC,AB=AD,NADC=NABC=90°,

ΛRtΔABC?RtΔADC,可得BC=Dc

貝!jAC±BD,

又PACAC=A,PA、ACc平面PAC,,BDJL平面PAC,

而B(niǎo)Dc平面PBD,：.平面PBD_L平面PAC；

(2)設(shè)線段AC的中點(diǎn)為0,連接OB,0F,

則0F〃PA,而PAU平面PAD,OFa平面PAD,

，0F〃平面PAD

VZABC=90",.'BO=Lc=AD,

2

同理DO=[AC=AB,又?.?AB=AD,

2

.?.四邊形ABOD是平行四邊形，.?.BO"AD,

而ADU平面PAD,BR平面PAD,

.?.B0〃平面PAD

又?.?OB∏OF=O,OB,OFU平面OBF,面OBF〃面PAD,

又,/BFc面OBF,ΛBF〃面PAD

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直、直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維

能力，是中檔題

20(12分)已知拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,設(shè)G(x0,2)為拋物線E上一點(diǎn)，

IGFl=2

(1)求拋物線E的方程；

(2)不與坐標(biāo)軸垂直的直線與拋物線E交于A,B兩點(diǎn)，與X軸交于點(diǎn)P,線段AB的垂

直平分線與X軸交于Q點(diǎn)，若IABl=2∣PQ∣,求點(diǎn)P的坐標(biāo)

B

【分析】(1)由點(diǎn)G在拋物線E上，結(jié)合IGFl=2即可求得P，則拋物線E的方程可求;

(2)設(shè)P(n,0),直線AB的方程為x=ty+n,與拋物線方程聯(lián)立，可得關(guān)于y的一元

二次方程，利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得AB的中點(diǎn)

R的坐標(biāo)，可得直線RQ的方程，求得Q的坐標(biāo)，求出IPQI,再由IABI=2∣PQl列式解得n,

驗(yàn)證判別式成立，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)

【解答】解：(1)V點(diǎn)G在拋物線E上，

Λ4=2pxθ,

又IGFl=2,.?.χtj玲=2,

聯(lián)立可得p=2,

故拋物線E的方程為W=4x；

(2)設(shè)P(n,0),直線AB的方程為x=ty+n,

代入Y2=4x并整理，得y2-4ty-4n=0

由題意得，Δ=16t2+16n>0,即t2+n>0,

設(shè)A(x,,y),B(x,y),則y,+y,=4t,yy=-4n,

11ZZ?iLL

2222

.?.∣AB∣=71+t'y∣(y1+y2)-4y1y2=Vl+t??/(4t)-4(-4n)

22

=4√(l+t)(n+t)

y.+y

9xt+n

設(shè)AB的中點(diǎn)為R(x0,yo),貝!ly。=---=2t，0=yθ*

即R(2t2+n,2t),

，直線RQ的方程為y-2t=-t(x-2t2-n),

令y=0,得x=2t2+n+2,.,.Q(2t2+n+2,0),

∣PQ∣=∣2t≡+n+2-n∣=2∣t≡+l|=2(t2+l),

2

?∣AB∣=2∣PQ∣,H?√(ι+t2)(n+t2)≡2×2(l÷t)?解得n=L

2D

適合A=16t2+16n>0

故P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求

解能力，是中檔題

21(12分)已知函數(shù)f(x)=(x+a)lnx-x(a∈R)

(1)當(dāng)a=0時(shí)，是否存在唯一的x°∈(0,+8),使得f(X)=-1?并說(shuō)明理由

(2)討論f(X)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【分析】利用導(dǎo)函數(shù)找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)區(qū)間判斷極值點(diǎn)

【解答】解：f(X)的定義域?yàn)?0,+8),

(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=xlnx-X,fz(x)>0,

當(dāng)OVXVl時(shí)，f,(X)<0；當(dāng)x>l時(shí)，f'(X)>0

Λf(X