第七章隨機變量及其分布7.5正態(tài)分布學習任務1．利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)密度曲線的特點及曲線所表示的意義．(直觀想象)2．了解變量落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．(數學運算)3．會用正態(tài)分布去解決實際問題．(邏輯推理)必備知識·情境導學探新知01自然界與工程技術中的隨機變量是最常見的．諸如，機械加工中零件的幾何尺寸(直徑、長度、寬度、高度)、強度、質量、使用壽命這些變量都不具備離散型隨機變量的特點．它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實軸，這種變量如何構建適當的概率模型刻畫隨機變量的分布？知識點1正態(tài)曲線(1)連續(xù)型隨機變量大量問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至________，但取一點的概率為_，我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量．整個實軸0(2)正態(tài)曲線的定義我們稱f(x)＝_______________，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數，為正態(tài)密度函數，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．

上方1x＝μx＝μx軸

標準正態(tài)分布μσ2(3)正態(tài)分布的特征①當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿___平移，如圖1．x軸②當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，當σ較小時，峰值高，曲線“____”，表示隨機變量X的分布比較集中；當σ較大時，峰值低，曲線“____”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖2．瘦高矮胖(4)正態(tài)分布的幾何意義：若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積．知識點3正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內取值的概率及3σ原則(1)三個特殊區(qū)間內取值的概率若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．(2)3σ原則在實際應用中，通常認為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統計學中稱為3σ原則．對于正態(tài)分布X～N(μ，σ2)而言，隨機變量X在[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值幾乎不可能發(fā)生，它在產品檢查、質量檢驗中起著重要的作用．1．(多選)以下關于正態(tài)密度曲線的說法中正確的有(

)A．曲線都在x軸的上方，左右兩側與x軸無限接近，最終可與x軸相交B．曲線關于直線x＝μ對稱C．曲線呈現“中間高，兩邊低”的鐘形形狀D．曲線與x軸之間的面積為1BCD

[A中正態(tài)密度曲線與x軸永遠不相交，A錯，其余均正確．]√√√

√AD

[根據正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，且μ越大，圖象越靠右，可知μ1<μ2＝μ3，故B、C錯誤；因為σ越小，數據越集中，圖象越瘦高，所以σ1＝σ2<σ3，故A、D正確．]√3．若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________．

關鍵能力·合作探究釋疑難02類型1正態(tài)曲線及性質類型2服從正態(tài)分布的隨機變量的概率類型3正態(tài)分布的實際應用【例1】

(1)如圖是一個正態(tài)曲線，總體隨機變量的均值μ＝________，方差σ2＝________；◆

類型1正態(tài)曲線及性質

202

0.47725

√

B

[由函數解析式知這次考試的數學平均成績?yōu)?0分，標準差為10，故A，D正確．因為函數圖象關于直線x＝80對稱，所以分數在120分以上的人數與分數在40分以下的人數相同；分數在110分以上的人數與分數在50分以下的人數相同，故B錯誤，C正確．]◆類型2服從正態(tài)分布的隨機變量的概率【例2】

(1)已知隨機變量X～N(5，1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，求P(6≤X≤7)．(2)設隨機變量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．①求c的值；②求P(－4≤X≤8)．附：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．

(2)①由X～N(2，9)可知，正態(tài)曲線關于直線x＝2時稱．因為P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，所以2－(c－1)＝(c＋1)－2，解得c＝2．②由X～N(2，9)知μ＝2，σ＝3，所以P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．反思領悟

利用正態(tài)分布求概率的兩個方法(1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關于直線x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X≥a)．②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．[跟進訓練]2．設ξ～N(1，22)，試求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．[解]

因為ξ～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2．(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827．

◆

類型3正態(tài)分布的實際應用【例3】

(源自湘教版教材)在某次數學考試中，假設考生的成績ξ服從正態(tài)分布ξ～N(90，100)．(1)求考試成績ξ位于區(qū)間(70，110)上的概率；(2)若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在(80，100)間的考生大約有多少人．

反思領悟

解答正態(tài)分布的實際應用題，其關鍵是轉化，把普通的區(qū)間轉化為3σ區(qū)間，由特殊區(qū)間的概率值求出．同時應熟練掌握正態(tài)分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三個區(qū)間內的概率，在此過程中用到歸納思想和數形結合思想．[跟進訓練]3．某廠生產的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4，0.52)．質檢人員從該廠生產的1000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑為5.7cm，試問：該廠生產的這批零件是否合格？[解]

由于外直徑X～N(4，0.52)，則X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之內取值的概率為0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率為0.0027，而5.7?[2.5，5.5]，這說明在一次試驗中，出現了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據此可以認為這批零件是不合格的．學習效果·課堂評估夯基礎03

1234√A

[由σ的意義可知，圖象越瘦高，數據越集中，σ越小，故有σ1>σ2>σ3．]2．設隨機變量X～N(2，σ2)，若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，則實數a＝(

)A．0

B．1

C．2

D．41234√C

[因為P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，所以P(X≤1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X>1－a)．因為X～N(2，σ2)，所以1＋2a＋1－a＝2×2，所以a＝2．]3．某種零件的尺寸X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(3，1)，則不屬于區(qū)間[1，5]這個尺寸范圍的零件數約占總數的________．12344.55%

[屬于區(qū)間[μ－2σ，μ＋2σ]，即區(qū)間[1，5]的取值概率約為95.45%，故不屬于區(qū)間[1，5]這個尺寸范圍的零件數約占總數的1－95.45%＝4.55%．]4.55%4．某班有50名學生，一次考試的數學成績ξ服從正態(tài)分布N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計該班學生數學成績在110分以上的人數為________．1234

10回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．你能寫出三個常用的概率值嗎？[提示]