第1頁(yè)/共1頁(yè)2024年中考數(shù)學(xué)模擬考試試卷(附含答案)（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：120分）學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________同學(xué)你好！答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀以下內(nèi)容：1．全卷共6頁(yè)，三個(gè)大題，共25題，滿分150分．考試時(shí)間為120分鐘．考試形式閉卷．2．一律在答題卡相應(yīng)位置作答，在試題卷上答題視為無(wú)效．3．不能使用計(jì)算器．一、選擇題（每小題3分，共36分．每小題均有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)正確，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡相應(yīng)位置填涂）1.5的絕對(duì)值是（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，由此可解．【詳解】解：5的絕對(duì)值是5故選B．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的絕對(duì)值是它本身．2.如圖所示的幾何體，從正面看，得到的平面圖形是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)從正面看得到的圖象是主視圖，可得答案．【詳解】解：從正面看，得到的平面圖形是一個(gè)等腰梯形故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握主視圖的定義．3.據(jù)中國(guó)經(jīng)濟(jì)網(wǎng)資料顯示，今年一季度全國(guó)居民人均可支配收入平穩(wěn)增長(zhǎng)，全國(guó)居民人均可支配收入為10870元．10870這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將10870寫(xiě)成的形式，其中，n為正整數(shù)．【詳解】解：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是掌握中，n與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)位數(shù)相同．4.如圖，與相交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可直接得出答案．詳解】解：故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”．5.化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同分母分式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式加減，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同分母分式加減運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．6.“石阡苔茶”是貴州十大名茶之一，在我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日清明節(jié)前后，某茶葉經(jīng)銷(xiāo)商對(duì)甲、乙、丙、丁四種包裝苔茶（售價(jià)、利潤(rùn)均相同）在一段時(shí)間內(nèi)的銷(xiāo)售情況統(tǒng)計(jì)如下表，最終決定增加乙種包裝苔茶的進(jìn)貨數(shù)量，影響經(jīng)銷(xiāo)商決策的統(tǒng)計(jì)量是（）包裝甲乙丙丁銷(xiāo)售量（盒）A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.眾數(shù) D.方差【答案】C【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)的意義結(jié)合題意即可得到乙的銷(xiāo)量最好，要多進(jìn)即可得到答案．【詳解】解：由表格可得，眾數(shù)乙故乙的銷(xiāo)量最好，要多進(jìn)故選C．【點(diǎn)睛】本題考查眾數(shù)的意義，根據(jù)眾數(shù)最多銷(xiāo)量最好多進(jìn)貨．7.5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽(yáng)開(kāi)幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為，腰長(zhǎng)為，則底邊上的高是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)D中故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．8.在學(xué)?？萍夹麄骰顒?dòng)中，某科技活動(dòng)小組將3個(gè)標(biāo)有“北斗”，2個(gè)標(biāo)有“天眼”，5個(gè)標(biāo)有“高鐵”的小球（除標(biāo)記外其它都相同）放入盒中，小紅從盒中隨機(jī)摸出1個(gè)小球，并對(duì)小球標(biāo)記的內(nèi)容進(jìn)行介紹，下列敘述正確的是（）A.模出“北斗”小球的可能性最大 B.摸出“天眼”小球的可能性最大C.摸出“高鐵”小球的可能性最大 D.摸出三種小球的可能性相同【答案】C【解析】【分析】根據(jù)概率公式計(jì)算摸出三種小球的概率，即可得出答案．【詳解】解：盒中小球總量為：（個(gè)）摸出“北斗”小球的概率為：摸出“天眼”小球的概率為：摸出“高鐵”小球的概率為：因此摸出“高鐵”小球的可能性最大．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查判斷事件發(fā)生可能性的大小，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．9.《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶分一頭鹿后，還有剩余，將剩下的鹿按每3戶共分一頭，恰好分完，問(wèn)：有多少戶人家？若設(shè)有x戶人家，則下列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】每戶分一頭鹿需x頭鹿，每3戶共分一頭需頭鹿，一共分了100頭鹿，由此列方程即可．【詳解】解：x戶人家，每戶分一頭鹿需x頭鹿，每3戶共分一頭需頭鹿由此可知故選C．【點(diǎn)睛】本題考查列一元一次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解題意．10.已知，二次數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)判斷a和b的符號(hào)，從而得出點(diǎn)所在象限．【詳解】解：由圖可知二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)在第四象限故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，以及判斷點(diǎn)所在象限，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出a和b的符號(hào)．11.如圖，在四邊形中按下列步驟作圖：①以點(diǎn)D為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P；③連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．則的長(zhǎng)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)作圖過(guò)程判斷平分，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得，進(jìn)而可得，由此可解．【詳解】解：由作圖過(guò)程可知平分故選A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的作圖，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖過(guò)程判斷出平分．12.今年“五一”假期，小星一家駕車(chē)前往黃果樹(shù)旅游，在行駛過(guò)程中，汽車(chē)離黃果樹(shù)景點(diǎn)的路程y（）與所用時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.小星家離黃果樹(shù)景點(diǎn)的路程為 B.小星從家出發(fā)第1小時(shí)的平均速度為C.小星從家出發(fā)2小時(shí)離景點(diǎn)的路程為 D.小星從家到黃果樹(shù)景點(diǎn)的時(shí)間共用了【答案】D【解析】【分析】根據(jù)路程、速度、時(shí)間關(guān)系，結(jié)合圖象提供信息逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：時(shí)，因此小星家離黃果樹(shù)景點(diǎn)的路程為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；時(shí)，因此小星從家出發(fā)第1小時(shí)的平均速度為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；時(shí)，因此小星從家出發(fā)2小時(shí)離景點(diǎn)的路程為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；小明離家1小時(shí)后的行駛速度為，從家出發(fā)2小時(shí)離景點(diǎn)的路程為，還需要行駛1小時(shí)因此小星從家到黃果樹(shù)景點(diǎn)的時(shí)間共用了，故D選項(xiàng)正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查從函數(shù)圖象獲取信息，解題的關(guān)鍵是理解題意，看懂所給一次函數(shù)的圖象．二、填空題（每小題4分，共16分）13.因式分解：__________．【答案】【解析】【詳解】解：=；故答案為14.如圖，是貴陽(yáng)市城市軌道交通運(yùn)營(yíng)部分示意圖，以噴水池為原點(diǎn)，分別以正東、正北方向?yàn)檩S、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，若貴陽(yáng)北站的坐標(biāo)是，則龍洞堡機(jī)場(chǎng)的坐標(biāo)是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，一個(gè)方格代表一個(gè)單位，在方格中數(shù)出洞堡機(jī)場(chǎng)與噴水池的水平距離和垂直距離，再根據(jù)洞堡機(jī)場(chǎng)在平面直角坐標(biāo)系的第三象限即可求解．【詳解】解：如圖，以噴水池為原點(diǎn)，分別以正東、正北方向?yàn)檩S、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系若貴陽(yáng)北站的坐標(biāo)是方格中一個(gè)小格代表一個(gè)單位洞堡機(jī)場(chǎng)與噴水池的水平距離又9個(gè)單位長(zhǎng)度，與噴水池的垂直距離又4個(gè)單位長(zhǎng)度，且在平面直角坐標(biāo)系的第三象限龍洞堡機(jī)場(chǎng)的坐標(biāo)是故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握在平面直角坐標(biāo)系中確定一個(gè)坐標(biāo)需要找出距離坐標(biāo)原點(diǎn)的水平距離和垂直距離是解題的關(guān)鍵．15.若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是_______．【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．16.如圖，在矩形中，點(diǎn)為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，則四邊形的面積是_______．【答案】【解析】【分析】連接，可得，即平分，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，點(diǎn)F在，可證為等腰直角三角形，則四邊形的面積．【詳解】解：如圖，連接，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，連接，則．矩形中∵點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F在上四邊形的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為．三、解答題（本大題共9題，共98分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（1）計(jì)算：；（2）已知．若，求的取值范圍．【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）先計(jì)算乘方和零次冪，再進(jìn)行加減運(yùn)算；（2）根據(jù)列關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可．【詳解】解：（1）；（2）由得：移項(xiàng)，得合并同類(lèi)項(xiàng)，得系數(shù)化1，得即的取值范圍為：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握零次冪的運(yùn)算法則（任何非0數(shù)的零次冪等于1），以及一元一次不等式的求解步驟．18.為加強(qiáng)體育鍛煉，某校體育興趣小組，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，對(duì)他們?cè)谝恢軆?nèi)體育鍛煉的情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，根據(jù)問(wèn)卷結(jié)果，繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：某校學(xué)生一周體育鍛煉調(diào)查問(wèn)卷以下問(wèn)題均為單選題，請(qǐng)根據(jù)實(shí)際情況填寫(xiě)（其中0～4表示大于等于0同時(shí)小于4）問(wèn)題：你平均每周體育鍛煉的時(shí)間大約是（）A．0～4小時(shí)B．4～6小時(shí)C．6～8小時(shí)D．8～小時(shí)及以上問(wèn)題2：你體育鍍煉的動(dòng)力是（）E．家長(zhǎng)要求F．學(xué)校要求G．自己主動(dòng)H．其他（1）參與本次調(diào)查的學(xué)生共有_______人，選擇“自己主動(dòng)”體育鍛煉的學(xué)生有_______人；（2）已知該校有2600名學(xué)生，若每周體育鍛煉8小時(shí)以上（含8小時(shí)）可評(píng)為“運(yùn)動(dòng)之星”，請(qǐng)估計(jì)全?？稍u(píng)為“運(yùn)動(dòng)之星”的人數(shù)；（3）請(qǐng)寫(xiě)出一條你對(duì)同學(xué)體育鍛煉的建議．【答案】（1）200，122（2）442人（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖求出參與調(diào)查的人數(shù)，再用參與調(diào)查的人數(shù)乘以選擇“自己主動(dòng)”體育鍛煉的學(xué)生人數(shù)占比即可得到答案；（2）用2600乘以樣本中每周體育鍛煉8小時(shí)以上的人數(shù)占比即可得到答案；（3）從建議學(xué)生加強(qiáng)鍛煉的角度出發(fā)進(jìn)行描述即可．【小問(wèn)1詳解】解：人∴參與本次調(diào)查的學(xué)生共有200人∴選擇“自己主動(dòng)”體育鍛煉的學(xué)生有人故答案為：200，122；【小問(wèn)2詳解】解：人∴估計(jì)全?？稍u(píng)為“運(yùn)動(dòng)之星”的人數(shù)為442人；【小問(wèn)3詳解】解：體育鍛煉是強(qiáng)身健體的一個(gè)非常好的途徑，只有有一個(gè)良好的身體狀況，才能更好的把自己的精力投入到學(xué)習(xí)中，因此建議學(xué)生多多主動(dòng)加強(qiáng)每周的體育鍛煉時(shí)間．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖信息相關(guān)聯(lián)，用樣本估計(jì)總體，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．19.為推動(dòng)鄉(xiāng)村振興，政府大力扶持小型企業(yè)．根據(jù)市場(chǎng)需求，某小型企業(yè)為加快生產(chǎn)速度，需要更新生產(chǎn)設(shè)備，更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了，設(shè)更新設(shè)備前每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品．解答下列問(wèn)題：（1）更新設(shè)備后每天生產(chǎn)_______件產(chǎn)品（用含x的式子表示）；（2）更新設(shè)備前生產(chǎn)5000件產(chǎn)品比更新設(shè)備后生產(chǎn)6000件產(chǎn)品多用2天，求更新設(shè)備后每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品．【答案】（1）（2）125件【解析】【分析】（1）根據(jù)“更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了”列代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意列分式方程，解方程即可．【小問(wèn)1詳解】解：更新設(shè)備前每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，更新設(shè)備后生產(chǎn)效率比更新前提高了更新設(shè)備后每天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為：（件）故答案為：；【小問(wèn)2詳解】解：由題意知：去分母，得解得經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解（件）因此更新設(shè)備后每天生產(chǎn)125件產(chǎn)品．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給數(shù)量關(guān)系正確列出方程．20.如圖，在中，延長(zhǎng)至D，使得，過(guò)點(diǎn)A，D分別作與相交于點(diǎn)E．下面是兩位同學(xué)的對(duì)話：小星：由題目的已知條件，若連接，則可證明．小紅：由題目的已知條件，若連接則可證明．（1）請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并進(jìn)行證明；（2）連接，若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）選擇小星的說(shuō)法，先證四邊形是平行四邊形，推出，再證明四邊形是矩形，即可得出；選擇小紅的說(shuō)法，根據(jù)四邊形是矩形，可得，根據(jù)四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；（2）根據(jù)，可得，再用勾股定理解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：①選擇小星的說(shuō)法，證明如下：如圖，連接四邊形是平行四邊形又，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上四邊形是平行四邊形又四邊形是矩形；②選擇小紅的說(shuō)法，證明如下：如圖，連接由①可知四邊形是矩形四邊形是平行四邊形．【小問(wèn)2詳解】解：如圖，連接在中解得即的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形和矩形的判定方法．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，反比例函數(shù)的圖象分別與交于點(diǎn)和點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上之間的部分時(shí)（點(diǎn)可與點(diǎn)重合），直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，再由是的中點(diǎn)得到，從而得到點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可；（2）求出直線恰好經(jīng)過(guò)D和恰好經(jīng)過(guò)E時(shí)m的值，即可得到答案．【小問(wèn)1詳解】解：∵四邊形是矩形∴∵是的中點(diǎn)∴∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2∵反比例函數(shù)的圖象分別與交于點(diǎn)和點(diǎn)∴∴∴反比例函數(shù)解析式為在中，當(dāng)時(shí)∴；小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)則，解得；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)則，解得；∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上之間的部分時(shí)（點(diǎn)可與點(diǎn)重合）∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，矩形的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22.貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，以山腳為起點(diǎn)，沿途修建、兩段長(zhǎng)度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂處，中途設(shè)計(jì)了一段與平行的觀光平臺(tái)為．索道與的夾角為，與水平線夾角為，兩處的水平距離為，垂足為點(diǎn)．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)在同一水平線上）（1）求索道的長(zhǎng)（結(jié)果精確到）；（2）求水平距離的長(zhǎng)（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的余玄直接求解即可得到答案；（2）根據(jù)、兩段長(zhǎng)度相等及與水平線夾角為求出C到的距離即可得到答案；【小問(wèn)1詳解】解：∵兩處的水平距離為，索道與的夾角為∴；【小問(wèn)2詳解】解：∵、兩段長(zhǎng)度相等，與水平線夾角為∴∴；【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形解決實(shí)際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾種三角函數(shù)．23.如圖，已知是等邊三角形的外接圓，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，EB．（1）寫(xiě)出圖中一個(gè)度數(shù)為的角：_______，圖中與全等的三角形是_______；（2）求證：；（3）連接，OB，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）、和、∠4；（2）證明見(jiàn)詳解；（3）四邊形是菱形；【解析】【分析】（1）根據(jù)外接圓得到是的角平分線，即可得到的角，根據(jù)垂徑定理得到，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）得到，根據(jù)垂徑定理得到，即可得到證明；（3）連接，OB，結(jié)合得到，是等邊三角形，從而得到，即可得到證明；【小問(wèn)1詳解】解：∵是等邊三角形的外接圓∴是的角平分線∴∵是的直徑∴∴∴的角有：∠1、∠2、∠3、∠4∵是的角平分線∴在與中∵∴故答案為：∠1、∠2、∠3、∠4；【小問(wèn)2詳解】證明：∵∴；【小問(wèn)3詳解】解：連接，OB∵∴，是等邊三角形∴∴四邊形是菱形；【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，菱形判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，從而得到相應(yīng)角的等量關(guān)系．24.如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點(diǎn)在處，對(duì)稱軸與水平線垂直，OC=9，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離是1．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點(diǎn)，加裝拉桿，同時(shí)使拉桿的長(zhǎng)度之和最短，請(qǐng)你幫小星找到點(diǎn)的位置并求出坐標(biāo)；（3）為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計(jì)拋物線，其表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．【答案】（1）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）【解析】【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，將，代入即可求解；（2）點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，求出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）分和兩種情況，根據(jù)最小值大于等于9列不等式，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸與y軸重合設(shè)拋物線的解析式為將，代入，得：解得拋物線的解析式為；【小問(wèn)2詳解】解：拋物線的解析式為，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離是1當(dāng)時(shí)作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)則當(dāng)，B，A共線時(shí)拉桿長(zhǎng)度之和最短設(shè)直線的解析式為將，代入，得解得直線的解析式為當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位置如下圖所示：【小問(wèn)3詳解】解：中拋物線開(kāi)口向下當(dāng)時(shí)在范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)y取最小值，最小值為：則解得；當(dāng)時(shí)在