2023年商洛市第二次高考模擬檢測試卷

數(shù)學(xué)（理科）

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.

2.請將各題答案填寫在答題卡上.

3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={-1,-3,-5},8={%|%2+3%+m=0}.若）η8={-1},則B=（）

A.{—1,—2}B.1-l,2}C.{-1,3}D.{-1,-3}

2.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足（l+i）z=4√5i,則IZl=（）

A.2B.√2C.4D.2√2

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的〃=（）

A.4B.5C.6D.7

為1,

4.已知實數(shù)x,y滿足約束條件＜X,2,則z=-2x+y的最小值為（）

x+y..0,

A.3B.-3C.-8D.-6

6?十項全能是田徑運動中全能項目的一種，是由跑、跳、投等10個田徑項目組成的綜合性男子比賽項目，比賽

成績是按照國際田徑聯(lián)合會制定的專門田徑運動會全能評分表將各個單項成績所得的評分加起來計算的，總

分多者為優(yōu)勝者，如圖，這是某次十項全能比賽中甲、乙兩名運動員的各個單項得分的雷達圖，則下列說法正

確的是（）

A.在400米跑項目中，甲的得分比乙的得分低

B.甲的各項得分比乙的各項得分更均衡

C.在跳高和鐵餅項目中，甲、乙水平相當(dāng)

D.甲的各項得分的極差比乙的各項得分的極差大

7.先把函數(shù)/（x）=sin[x-三）的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標(biāo)不變），再把新得到的圖象向右

JFjr2ττ

平移六個單位長度得到y(tǒng)=g（%）的圖象，當(dāng)XE時，函數(shù)g（χ）的值域為（）

6

CJD

一"4-τj]?[4]?RT]

8.已知拋物線Uy2=2*(p>0)的焦點為尸，點何>0),N(2p,%)(%>0)在C上，且

_在MN的面積為12,貝IJlRVI=()

A.10B.IIC.12D.I3

9.在四棱錐中，PA_L底面ABCr>,底面ABC。是邊長為1的正方形，AP=2,則直線尸8與

平面Pe。所成角的正弦值為（）

A.偵B.2C亞D亞

5533

10.在「ABC。中，已知E為BC的中點，AB=區(qū)BE=I,則CoS/AED的最小值為()

1112

A.-B.-C.-D.一

2343

11.已知定義在區(qū)上的函數(shù)/(尤)滿足/(%+2)=—/(2—月,/(工+3)=/(3-x),則下列說法正確的是

()

Aj(X)的周期為2BJ(X+2)為偶函數(shù)

CJ(O)=ODJ⑴=O

12.已知函數(shù)F(X)=e2*-2x+Lg(x)=2x-21nx,若存在為,%∈(l,+<x>),使得∕α)=g(x2),則

()

A./(xl)<^(xl)B.2x1<Inx2

C.1Π(2ΛI)<Inx2<玉D.x∣<Inx2<2xl

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

13.已知向量α,6滿足a=(2,-2),∣q=3,α力=6,則。與b的夾角為.

14.甲、乙、丙3人每人制作了一張寫有勵志銘的卡片，將這些卡片裝入3個外觀完全一樣的信封內(nèi)(一個信封

裝一張卡片)，放在一起后，甲、乙、丙3人每人隨機抽取一個信封，則每個人都沒有抽到裝有自己制作的卡片

的信封的概率為.

15.在三棱錐A-BCD中，底面,58是邊長為2的等邊三角形，ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角

形，若二面角A—BC—O的大小為120，則三棱錐A—58外接球的表面積為.

22

16.已知橢圓C:55=1,4(—2,0),耳(-1,0),斜率為MA≠0)的直線與C交于P,Q兩點，若直線AP

與4Q的斜率之積為-，，且NPGQ為鈍角，則&的取值范圍為.

4

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟、17~21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.(12分)

己知等差數(shù)列｛α,,｝滿足q=?,a2+a5=2(<?+l).

(I)求｛4｝的通項公式;

1

(2)設(shè)｛%｝的前〃項和為S”，求數(shù)列*，的前〃項和

n+Sn.

18.(12分)

2023年，全國政協(xié)十四屆一次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月11日下午閉幕，會期7天

半；十四屆全國人大一次會議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會期8天半.為調(diào)查學(xué)生對兩會相關(guān)知識

的了解情況，某高中學(xué)校開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)從全校參與該活動的學(xué)生中隨機抽取320名學(xué)生，他

們的得分(滿分100分)的頻率分布折線圖如下.

(1)若此次知識問答的得分X~N(4,σ?2),用樣本來估計總體，設(shè)分別為被抽取的320名學(xué)生得分

的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，求P(50?5<X,,94)的值.

(2)學(xué)校對這些被抽取的320名學(xué)生進行獎勵，獎勵方案如下：用頻率估計概率，得分小于或等于55的學(xué)

生獲得1次抽獎機會，得分高于55的學(xué)生獲得2次抽獎機會.假定每次抽獎抽到價值10元的學(xué)習(xí)用品的概率

為士，抽到價值20元的學(xué)習(xí)用品的概率為一.從這320名學(xué)生中任取一名，記該同學(xué)在抽獎活動中獲得學(xué)習(xí)

44

用品的價值總額為J元，求J的分布列和數(shù)學(xué)期望(用分?jǐn)?shù)表示)，并估算此次抽獎要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價值

總額.

參考數(shù)據(jù)：

P｛μ-σ<X領(lǐng)Ju+σ)≈0.6827,P｛μ-2σ<Xμ+2σ)≈0.9545,P(μ-3b<X?〃+3σ)≈0.9973,

√2W≈14.5,0.375=-.

8

19.(12分)

如圖，在直三棱柱ABC-48C中，。是AC的中點.

(I)證明:A耳〃平面BCQ.

(2)若45=3。,/43。=9(),/3次3=45,求二面角片—G?！?β的余弦值.

20.(12分)

己知雙曲線C:二一二=l(α>0,b>0)的離心率為2,且雙曲線C經(jīng)過點P坐,一坐.

ah~122,

(1)求雙曲線。的方程.

(2)設(shè)M是直線X=J上任意一點，過點M作雙曲線C的兩條切線44,切點分別為A3,試判斷直線

AB是否過定點.若經(jīng)過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點，請說明理由.

21.(12分)

已知函數(shù)/(X)=加+x-e'+l,其中αeR,e=2.71828,是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若α=g,證明：當(dāng)x<0時，/(x)>0:當(dāng)x>0時，/(x)<0.

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=cosx—/(x)+l,若X=O是g(x)的極大值點，求實數(shù)4的取值范圍.

Zrπ

5

(參考數(shù)據(jù):e^K。0.59,彳?0.46

(二)選考題：共10分.請考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

個題目計分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

x=2+cos^,

在直角坐標(biāo)系XOy中，曲線G的參數(shù)方程為《.八(。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點。為極點，X軸的非

y=sιnJ

負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線。2的極坐標(biāo)方程為p?os(e-=√2.

(1)求曲線G的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點P的極坐標(biāo)為(2,1］,設(shè)曲線α和直線C,交于N兩點，求上?［一』的值.

I2j?PM?IPNl

234選修4-5：不等式選講］(10分)

己知函數(shù)/(x)=∣x-m∣+∣x+2∣.

(1)當(dāng)根=1時，求不等式/(x),,6的解集；

(2)若關(guān)于X的不等式/(x),,2m-4有解，求實數(shù)〃？的取值范圍.

2023年商洛市第二次高考模擬檢測試卷

數(shù)學(xué)參考答案(理科)

LA因為Ac3={-1},所以1一3+m=0,解得加=2,則χ2+3χ+2=0的解為X=-I或x=-2,所以

B={T,-2}?

2.C因為Z=誓■=勺粵二l=2√∑+2√∑i,所以IZl=J^兩=4.

3.B/1=1,S=O;S=2,n=2;S=IO,n=3;S=34,〃=4;S=98>9(),〃=5.輸出〃=5.

4.D畫出可行域(圖略)知，當(dāng)直線z=-2x+y過點(2,-2)時，Z取得最小值一6.

5.C因為“χ)=2(f+l)ju,所以/(_*)=2(X2；1S；(X)=_/(X),所以/(x)是奇函數(shù)，則

/(x)的圖象關(guān)于原點對稱，排除A,B.當(dāng)O<X<乃時，/(x)>0,排除D.

6.D由雷達圖可知，400米跑項目中，甲的得分比乙的得分高，A錯誤；甲各項得分的波動較大，乙的各項

得分均在(600,800］內(nèi)，波動較小，B錯誤；在鐵餅項目中，乙比甲水平高，C錯誤；甲的各項得分的極差

約為IOOO-470=530,乙的各項得分的極差小于200,。正確.

7.B把函數(shù)/(x)=Sin(X-?)的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(縱坐標(biāo)不變)，可得函數(shù)

y=sin(2x-的圖象，再把新得到的圖象向右平移2個單位長度，得到

y=g(x)=sin2X——^――=sinf2x——的圖象.因為毅IjV-?,所以一■；毀必X—?-?>所以

-16j3j(3j63333

—當(dāng)期in(2x—1,即函數(shù)g(x)的值域為S.

8.A易知廠1弓,0),知(^,〃),7(2〃,2〃),田“垂直于％軸，因為SMw=I2,所以

SMFN=g忻Mx(2p_￡|=12,即gpx^=12,解得P=4,所以怛M=2p+U=10.

9.B以AB,A。,AP所在直線分別為％,?z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則8(1,0,0),

C(l,l,0),D(0,l,0),P(0,0,2),所以Po=(O,l,-2),OC=(1,0,0),PB=(1,0,-2),

可得平面PC。的一個法向量為〃=(0,2,1),設(shè)直線PS與平面PCo所成的角為氏所以

Sine=CoS(P=?∣.

10.A在,ABE中，由余弦定理得AS?=BE?+AB2-2BE?ABcosB,在AoCE中，由余弦定理得

DE?=BE?+AB2-2BE?ABcosC.又B+C=兀,所以4七2+。￡2=8,所以

2AEDE,,AE2+DE2當(dāng)且僅當(dāng)AE=Z)E時，等號成立.在AZ)E中，由余弦定理得

4F2+DE2-AD2411

CoSNAED=——…？=L,所以COS-AE￡>的最小值為一.

2AEDE822

HC由/(x+2)=-∕(2-x),得/(χ+4)=—/(一%),由“x+3)=∕(3—x),得

/(x+6)=∕(-x),所以/(x+6)=-∕(x+4)=∕(x+2),即/(x)的周期為4,A錯誤.由

/(x+2)=-∕(2-X)可知/(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱，所以/(O)=-/(2)=0,C正確.由

/(x+3)="3-x)知/(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，所以/(x+2)的圖象關(guān)于直線X=I對稱，

進一步可知/(x)圖象的對稱軸方程為》=機(〃?為奇數(shù))，所以/(x+2)不是偶函數(shù)，B錯誤.

/(x)的對稱中心為點(〃,0)(“為偶數(shù))，無法得到"1)=0,0錯誤.

12.D令0(力=/(%)_8(%)=/'_4*+]+2111%(%〉1),則夕'(同=2(/'_2+,]>0,所以e(x)在

(1,+8)上單調(diào)遞增，/(x)>e(l)=e2-3>0,故/(xl)>g(xJ,A錯誤.由題意得

2ηhu

e-2x1+1=Ix1-21ΠΛ2,所以e?"'-2百一1=2(々-Inx2-1)=2(e--Inx2-1),令

MX)=e*-xT(x>l),則"(x)=e*-l>0(x>l),所以〃(x)在(1,+“)上單調(diào)遞增，所以

),故錯誤.又所以

Λ(2ΛI)?2Λ(1ΠΛ2)>Λ(1IU22x∣>ln%2,Be%-2x∣-l-2(e*,-l)=(e*'-lj>o,

2vλ

e'-2xl-1>2(e'-x1-1),所以〃(2%)=2〃(InX2)>2〃(%)，所以x∣〈lax2,C錯誤，D正確.

π八a?b6√2

i3.-設(shè)。與方的夾角為e,因為CoSe=麗=刀5*=彳，所以。與人的夾角為π

121

14.-符合條件的抽法種數(shù)為2,所有抽法的種數(shù)為3x2=6,故所求概率為二二一.

363

52

15.1■乃過『38的中心。∣作.3CD的垂線乙，過邊BC的中點M作平面AbC的垂線4（圖略），設(shè)4

與4交于點。，則。為三棱錐A—5C。外接球的球心，且Ma=Ya,CQ=2叵,OQ=立tan30=L

52

設(shè)外接球的半徑為R，則K,所以表面積為一乃.

9

,0U0,^PQ?y=kx+m,Pa,y),Q(x2,%),

χ2

+Δ-↑

消去得（公卜

聯(lián)立方程組《43y3+42+Sknυc+Am2-12=0,由△>(),得4左？一機2+3〉。，

y=kx-?-m.

-8km4∕n2-126m3∕n2-?2k2

所以X1+入2-------,xx=--------τ-,y+%=-------7,X%=---------?—,所以

3+4/r123+4公71ι%3+4F力3+4二

,,yy3m2-↑2k21?,

%(O=(芭+21)(7/+2)=4>一16而+16芯=一“解得"=2左(舍去)或“=

由/PGQ為鈍角，得耳P?6Q<0,Bp(xl+l,yl)?(x2+l,y2)=xlx2+Λl+Λ2+l+y1γ2<0,

4J12-12W?—9k?7k~—9hj]∕,s3y/13-?∣7..C?∣

所FICΜ以L-----Z-+-------5→1+--------T=-------r-<0,解得------<k<------，r因cli為Ar≠O,所cc以r

3+4/3+4/3+4/3+4/77

17.解：(1)由理+角=2(6+1),得2+5d=2(1+2d+1),解得d=2.

又q=l,所以α,,=4+(n-l)d=2"-l.

⑵由⑴得SL-M

1]_]_\___1

所以

〃+S"njrn^w(tt+l)n〃+1

18魂畢：(1)^=35×0.()25+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65,

σ2=(35-65)2×0.025+(45-65)2×0.15+(55-65)2×0.2+0+(75-65)2×0.225+(85

-65)2×0.1+(95-65)2X0.05=210,

所以CT≈14.5,X?N(65,14.5?卜

0.95450.6827^

所以P(50.5<X敦。4)=P(〃一er<X〃+2b)=---------+----------=0λ.8o1i8o6.

22

(2)J的可能取值為1(),20,30,40,

35

P(X,,55)=-,P(X>55)=-,

H"H))=*4

P(0=20)=

84844128

p(g=30)=*χLχ3χ2=旦

'784464

p(ξ=40]=-×-×~=-

'7844128

所以J的分布列為

10203040

957155

P

32T2864128

E(J)=IoX2+2OX"+30X竺+4。X二=空

321286412816

325

故此次抽獎要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價值總額約為320χ▼=6500元.

16

19.(1)證明：連接BC交BG于點E,則E是BC的中點,

連接。E，又。是AC的中點，所以DE〃A旦.

又A4(Z平面BC∣。,。EU平面BCQ,所以ABl〃平面BCQ.

(2)解：以6為坐標(biāo)原點，分別以BC,84,BB∣的方向為％,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系.

設(shè)A8=2,則3(0,0,0),G(2,0,2),D(l,1,0),4(0,0,2),OG=(1,

T2),r>4=(τ,τ,2)Q=(u,o).

".DC'二0，

設(shè)修=（無∣,y∣,zj是平面Bqo的法向量，由■

∕ι1BD=O,

%.-V1+2z.=0,/、

可得《令X=I,得用=(T,U).

M+y=on,

%?°G=°,可得]x2-γ2÷2Z2=0,

設(shè)《2=（%，%，Z2）是平面Aa。的法向量，由

n2?DBl=0,—%2—%+2z1—0,

令Z2=l,得巧=(0,2,1).

/?n,?n3VΓ5

所以c。S標(biāo)動=麗1=W=可，

即二面角BI-CQ-B的余弦值為半

h23r22

20.解：（1）因為離心率為2,所以4=1+、，即/=3后,所以雙曲線C的方程為j-Jv=l.

a2a23a-

把點尸L，—中］的坐標(biāo)代入雙曲線C的方程，得￡——J=i，解得∕=ι,

（22）4/3x4?-

2

所以〃=3,雙曲線C的方程為V—匕=1.

3

（2）設(shè)Md,4（七,）|）,85,％），/1的方程為）;一μ=MX-A?）,

即y=Ax+χ-依，代入f一]_=1,化簡整理得(3-公卜2一2k(y∣-g)x-[(y∣-3)2+3]=0.

222222

Δ=4Λ(y1-Ax1)÷4(3-?)[(γ1-Ax1)÷3]=4[3(γ1-Ax1)+9-3?],

令△=€),得(y—Ax1J+3—攵*=O,即(J—1)K—+3+y；=O.

22j2

又k—$-=1,所以2巴-2%>∣+3X∣2=0,進一步可化為(丁#—3%)2=0,

所以Z=TL(y產(chǎn)0),

所以/,的方程可化為y-X=/L(X-玉)，化簡得XX-專=1.

同理可得，2的方程為々X—等=L

IXty'-1

又點加(；,，在直線4和上，所以,；?所以點A(Λ?,y),3(χ2,y2)均在直線=ι上，

12-3

令》=(),得χ=2,故直線AB過定點(2,0).

21.(1)證明：當(dāng)α=g時，?(Λ)=?%2+%-ev+1,所以/'(x)=x-e'+l(x∈R).

令〃(X)=X-e*+1,則〃'(x)=l-e*.

由7∕(x)>0,得x<0,由〃'(x)<0,得x>0,

則Λ(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

因為〃(O)=O-e°+l=0,所以當(dāng)xe(-8,+8)時，A(Λ),,0,即/'(x),,0,則/(x)在x∈(-oo,+oo)

上單調(diào)遞減.

因為/(0)=0+0-e°+l=0,所以當(dāng)χ<0時，/(x)>0,當(dāng)x>0時，/(x)<0.

(2)解:由題意可得g(x)=cosx-辦2-x+e',則g'(x)=-sinx-2or-l+e*,且g'(θ)=O.

令G(X)=g'(x)=-SinX-Iax-1+ev,則G'(x)=-CoSΛ-2a+ev.

令H-G(x)--eos?-2a+ev,則H'(x)=SinX+e*.

當(dāng)x>0時，sinx...-l,e?>1,所以SinX+e*>()，即H'(x)=sinx+e">0.

所以G'(x)在(0,+e)上是增函數(shù)，則G'(x)>G'(0)=-2α.

①當(dāng)一24.0,即4,0時，G(X)>0在(0,+“)上恒成立，即G(X)=g'(x)在(0,+“)上是增函數(shù).

因為g'(0)=0,所以g'(x)>g'(0)=0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.與X=O是極大值點矛盾，即

4,0不符合題意.

②當(dāng)一2“<0,即α>0時，因為G'(x)在(0,+紡)上是增函數(shù)，且G'(0)=-2α<0,

G,(ln(2a+2))=-cos[ln(2a+2)]-2a+e'n(2o+2)=-cos[ln(2?+2)]-2tz+(2?+2)>0,

,

所以玉O∈(θ,ln(2tz+2)),G(xo)=O,

,

則當(dāng)x∈(0,Λfl)時，G(?)<0,即g'(x)在(0,Λ0)上是減函數(shù)，從而g'(x)<g'(0)=0,

故g(x)在(0,玉J上單調(diào)遞減.

當(dāng)x<0時，對Vxe(-W，o],sin(-￡)<sinx<sinO,e&<e*<1,

即一g<Sinx<0,0.59<e*<1,所以si∏Λ+e*>O,則當(dāng)卜寸，/∕,(x)=sinx+ev>0

故G'(x)在[-彳,OJ上是增函數(shù).

因為G'(x)<G(0)=-2α<0,即當(dāng)a>0時，g'(x)在(一右Oj上是減函數(shù)，

所以g'(x)>g'(0)=0,則g(x)在上單調(diào)遞增，符合X=O是極大值點.

故所求實數(shù)。的取