2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)首都師大附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個。1．（2分）4的平方根是A． B． C． D．【解答】解：4的平方根是．故選：．2．（2分）下面四個圖形中，能由如圖經(jīng)過平移得到的是A． B． C． D．【解答】解：觀察各選項(xiàng)圖形可知，選項(xiàng)的圖案可以通過平移得到．故選：．3．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)在第三象限，那么的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：由題意知，則，故選：．4．（2分）如圖，直線，相交于點(diǎn)，平分，，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：平分，，，與是鄰補(bǔ)角，，，，．故選：．5．（2分）若，則下列不等式中錯誤的是A． B． C． D．【解答】解：、，，故說法正確；、，，故說法正確；、，，故說法正確；、，，故說法錯誤．故選：．6．（2分）下列條件：①，②，③，其中能判斷的是A．①②③ B．①③ C．②③ D．①【解答】解：①由“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”知，根據(jù)能判斷．②由“同位角相等，兩直線平行”知，根據(jù)能判斷．③由“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”知，根據(jù)能判斷．故選：．7．（2分）以下調(diào)查中適宜抽樣調(diào)查的是A．了解某班同學(xué)每周參加勞動的時間 B．調(diào)查市場上某種食品的色素含量是否符合國家標(biāo)準(zhǔn) C．選出全校長跑最快的同學(xué)參加全市比賽 D．旅客登機(jī)前的安全檢查【解答】解：．了解某班同學(xué)每周參加勞動的時間，適宜采用全面調(diào)查，故此選項(xiàng)不符合題意；．調(diào)查市場上某種食品的色素含量是否符合國家標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)用抽樣調(diào)查，故此選項(xiàng)符合題意；．選出全校長跑最快的同學(xué)參加全市比賽，適宜采用全面調(diào)查，故此選項(xiàng)不符合題意；．旅客登機(jī)前的安全檢查，適宜采用全面調(diào)查，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：．8．（2分）我們規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，任意不重合的兩點(diǎn)，，，之間的折線距離為．例如圖①中，點(diǎn)與點(diǎn)之間的折線距離為，．如圖②，已知點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則的值為A． B．5 C．5或 D．或7【解答】解：，，且，，解得：或．故選：．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）寫出一個小于的負(fù)無理數(shù)（答案不唯一）．【解答】解：，，，寫出一個小于的無理數(shù)．故答案為：（答案不唯一）．10．（2分）將邊長分別為1和2的長方形如圖剪開，拼成一個與長方形的面積相等的正方形，則該正方形的邊長最接近整數(shù)1．【解答】解：設(shè)拼成后的正方形的邊長為．由題意得，．．該正方形的邊長最接近整數(shù)1．故答案為：1．11．（2分）若關(guān)于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則2．【解答】解：將記作①，記作②．①②，得．．將代入①，得．．．．故答案為：2．12．（2分）如圖，連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)，，，，其中，這些線段，，，，中，最短的線段是，理由．【解答】解：，線段，，，，中，最短的線段是線段，理由是垂線段最短．故答案為：，垂線段最短．13．（2分）命題“等角的余角相等”寫成“如果，那么”的形式如果兩個角是等角的余角，那么這兩個角相等．【解答】解：根據(jù)命題的特點(diǎn)，可以改寫為：“如果兩個角是等角的余角，那么這兩個角相等”．故答案為：如果兩個角是等角的余角，那么這兩個角相等．14．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離為4，則的值為或6．【解答】解：點(diǎn)到軸的距離為4，，解得或6．故答案為：或6．15．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線與軸平行，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【解答】解；如圖，點(diǎn)，直線與軸平行，直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1；，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時，，即，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時，，即；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：或．16．（2分）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)提出如下問題：如何證明“兩直線平行，同位角相等”？老師說這個證明可以用反證法完成，思路及過程如下：如圖1，我們想要證明“如果直線，被直線所截，，那么．”如圖2，假設(shè)，過點(diǎn)作直線，使，依據(jù)基本事實(shí)同位角相等，兩直線平行，可得．這樣過點(diǎn)就有兩條直線，都平行于直線，這與基本事實(shí)矛盾，說明的假設(shè)是不對的，于是有．小貼士反證法不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立．在某些情形下，反證法是很有效的證明方法．請補(bǔ)充上述證明過程中的兩條基本事實(shí)．【解答】解：假設(shè)，過點(diǎn)作直線，使，依據(jù)基本事實(shí)同位角相等，兩直線平行，可得．這樣過點(diǎn)就有兩條直線，都平行于直線，這與基本事實(shí)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行矛盾，說明的假設(shè)是不對的，于是有．，故答案為：同位角相等，兩直線平行；過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．三、解答題（本題共68分）17．（8分）計(jì)算：．【解答】解：原式．18．（8分）解方程組：．【解答】解：，①②，得，解得，、把代入①，得，解得，故方程組的解為．19．（8分）解不等式組，并寫出這個不等式組的所有整數(shù)解．【解答】解：，由①得，由②得，原不等式組的解集為，原不等式組的所有整數(shù)解為0，1，2．20．（8分）如圖，已知三角形，是的平分線，平移三角形，使點(diǎn)移動到點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是．（1）在圖中畫出平移后的三角形；（2）畫出點(diǎn)到線段的垂線段；（3）若，與相交于點(diǎn)，則35，．【解答】解：（1）如圖，即為所求；（2）如圖，線段即為所求；（3）平分，，，，，，，故答案為：35，110．21．（10分）完成下面的證明．已知：如圖，，，．求證：平分．證明：，，，．垂直定義．．．（兩直線平行，同位角相等）．又，．平分．【解答】證明：，，，．（垂直定義）．．同位角相等，兩直線平行）．（兩直線平行，同位角相等）．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又，．平分．故答案為：垂直定義；；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．22．在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，使得，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．（1）按照要求畫出平面直角坐標(biāo)系，線段，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直接寫出以，，為頂點(diǎn)的三角形的面積；（3）若線段是由線段平移得到的，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是，寫出一種由線段得到線段的過程．【解答】解：（1）平面直角坐標(biāo)系如圖所示，線段如圖所示，；故答案為：；（2）的面積；故答案為：；（3）如圖，線段即為所求，線段向左平移3個單位，再向下平移2個單位得到線段．故答案為：線段向左平移3個單位，再向下平移2個單位得到線段．23．某年級共有300名學(xué)生，為了解該年級學(xué)生在，兩個體育項(xiàng)目上的達(dá)標(biāo)情況，進(jìn)行了抽樣調(diào)查．過程如下，請補(bǔ)充完整．收集數(shù)據(jù)從該年級隨機(jī)抽取30名學(xué)生進(jìn)行測試，測試成績（百分制）如下：項(xiàng)目788674817576874974917579817174818669837782859295585463678274項(xiàng)目9373888172819483778380817081737882100704084869296535763688175整理、描述數(shù)據(jù)項(xiàng)目的頻數(shù)分布表分組劃記頻數(shù)12285（說明：成績80分及以上為優(yōu)秀，分為基本達(dá)標(biāo)，59分以下為不合格）根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表；（2）在此次測試中，成績更好的項(xiàng)目是，理由是；（3）假設(shè)該年級學(xué)生都參加此次測試，估計(jì)項(xiàng)目和項(xiàng)目成績都是優(yōu)秀的人數(shù)最多為人．【解答】解：（1）補(bǔ)全圖、表如下．（2）．理由是：在此次測試中，項(xiàng)目80分及以上的人數(shù)為17人，高于項(xiàng)目；59分及以下人數(shù)相同．所以項(xiàng)目成績更好些．故答案為：，在此次測試中，項(xiàng)目80分及以上的人數(shù)為17人，高于項(xiàng)目；59分及以下人數(shù)相同．所以項(xiàng)目成績更好些．（3）．答：估計(jì)項(xiàng)目和項(xiàng)目成績都是優(yōu)秀的人數(shù)最多為130人．故答案為130．24．某中學(xué)為了響應(yīng)習(xí)主席提出的“足球進(jìn)校園”的號召，開設(shè)了“足球大課間活動”，為此購買種品牌的足球25個，種品牌的足球50個，共花費(fèi)4500元；已知種品牌足球的單價比種品牌足球的單價高30元．（1）求、兩種品牌足球的單價各多少元？（2）根據(jù)需要，學(xué)校決定再次購進(jìn)、兩種品牌的足球50個，正逢體育用品商店“優(yōu)惠促銷”活動，種品牌的足球單價打8折，種品牌的足球單價優(yōu)惠4元．如果此次學(xué)校購買、兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過2750元，且購買種品牌的足球不少于23個，則有幾種購買方案？為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇哪種方案？為什么？【解答】解：（1）設(shè)種品牌足球的單價是元，種品牌足球的單價是元，依題意得：，解得：．答：種品牌足球的單價是80元，種品牌足球的單價是50元．（2）設(shè)購買種品牌的足球個，則購買種品牌的足球個，依題意得：，解得：，又為正整數(shù)，可以為23，24，25，共有3種購買方案，方案1：購買種品牌的足球23個，種品牌的足球27個，所需總費(fèi)用為（元；方案2：購買種品牌的足球24個，種品牌的足球26個，所需總費(fèi)用為（元；方案3：購買種品牌的足球25個，種品牌的足球25個，所需總費(fèi)用為（元．，為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇方案1：購買種品牌的足球23個，種品牌的足球27個．25．在平面直角坐標(biāo)系中，長方形的四個頂點(diǎn)分別為，，，．對該長方形及其內(nèi)部的每一個點(diǎn)都進(jìn)行如下操作：把每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)都乘以同一個實(shí)數(shù)，縱坐標(biāo)都乘以，再將得到的點(diǎn)向左平移個單位，向上平移2個單位，得到長方形及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)，，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，，．（1）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（用含，的式子表示）．（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，①求，的值；②在長方形內(nèi)部和邊界中是否存在點(diǎn)進(jìn)行上述操作后，得到的對應(yīng)點(diǎn)仍然在長方形內(nèi)部和邊界，如果存在，求的取值范圍；如果不存在，請說明理由．【解答】解：（1），，，，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；故答案為：；（2）①由，可得①，由，可得②，由①，②得，解得，，；②不存在．理由：根據(jù)題意，得．可知無論取何值，點(diǎn)一定落在上．所以不存在滿足題意的值．26．閱讀材料并回答問題肖博睿同學(xué)發(fā)現(xiàn)如下正確結(jié)論：材料一：若，則；若，則；若，則；材料二：完全平方公式：（1）；（2）．（1）比較大小：；（2）；（3）試比較與的大?。▽懗鱿鄳?yīng)的解答過程）．【解答】解：（1），，故答案為：．（2）；故答案為：4，．（3），．27．已知：直線，點(diǎn)，在直線上，點(diǎn)，在直線上，連接，，平分，平分，且，所在的直線交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時，若，，直接寫出的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時，設(shè)，，求的度數(shù)（用含有，的式子表示）．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)作，則有，，，，，即，平分，平分，，，；（2）過點(diǎn)作，如圖2，則，，，，，，即，平分，平分，，，．28．對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和點(diǎn)，給出如下定義：將圖形沿上、下、左、右四個方向中的任意一個方向平移一次，平移距離小于或者等于1個單位長度，平移后的圖形記為，若點(diǎn)在圖形上，則稱點(diǎn)為圖形的穩(wěn)定點(diǎn)．例如，當(dāng)圖形為點(diǎn)時，點(diǎn)，都是圖形的穩(wěn)定點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)，．①在點(diǎn)，，，，中，線段的穩(wěn)定點(diǎn)是，．②若將線段向上平移個單位長度，使