第一章預(yù)備知識§1集合1．1集合的概念與表示第1課時集合的概念1．漂亮的花可以組成集合．()2．由方程x2－4＝0和x－2＝0的根組成的集合中有3個元素．()3．元素1，2，3和元素3，2，1組成的集合是相等的．()4．“∈”可以用來表示元素與集合之間或集合與集合之間的關(guān)系．()5．因為正整數(shù)都是整數(shù)，所以N*∈Z.()【解析】1.提示：×.“漂亮的花”具有不確定性，故不能組成集合．2．提示：×.由于集合中的元素具有互異性，故由兩方程的根組成的集合中有2個元素．3．提示：√.集合中的元素具有無序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1組成的集合是同一集合．4．提示：×.“∈”是表示元素與集合之間關(guān)系的，不能用來表示集合與集合之間關(guān)系．5．提示：×.“∈”是表示元素與集合之間關(guān)系的，所以N*∈Z不正確．·題組一集合與元素的含義1．下列給出的對象中能構(gòu)成集合的是()A．著名物理家 B．很大的數(shù)C．聰明的人 D．小于3的實數(shù)【解析】選D.只有選項D有明確的標準，能構(gòu)成一個集合．2．下列各組對象可以構(gòu)成集合的是()A．數(shù)學必修第一冊課本中所有的難題B．小于8的所有素數(shù)C．直角坐標平面內(nèi)第一象限的一些點D．所有小的正數(shù)【解析】選B.A中“難題”的標準不確定，不能構(gòu)成集合；B能構(gòu)成集合；C中“一些點”無明確的標準，對于某個點是否在“一些點”中無法確定，因此“直角坐標平面內(nèi)第一象限的一些點”不能構(gòu)成集合；D中沒有明確的標準，所以不能構(gòu)成集合．3．下列所給對象能構(gòu)成集合的是()A．高一·4班成績好的學生B．比較接近2的全體正數(shù)C．未來世界的高科技產(chǎn)品D．所有整數(shù)【解析】選D.選項A，B，C的對象都具有不確定性，所以它們的對象不能構(gòu)成集合；而選項D的對象具有確定性，能構(gòu)成集合．·題組二集合中元素的三特征1．若集合M中的元素是△ABC的三邊長a，b，c，則△ABC一定不是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【解析】選D.集合M中的元素是△ABC的三邊長a，b，c，所以由集合元素的互異性可得a≠b，a≠c，b≠c，所以△ABC一定不是等腰三角形．2．(多選)由實數(shù)x，－x，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))，eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)組成的集合中，元素的個數(shù)可能為()A．1個B．2個C．3個D．4個【解析】選AB.當x>0時，x＝|x|＝eq\r(x2)>0，－eq\r(3,x3)＝－x<0，此時集合共有2個元素；當x＝0時，x＝|x|＝eq\r(x2)＝－eq\r(3,x3)＝－x＝0，此時集合共有1個元素；當x<0時，－x＝|x|＝eq\r(x2)＝－eq\r(3,x3)>0，x<0，此時集合共有2個元素；綜上所述，此集合有1個或2個元素．3．已知1，x，x2三個實數(shù)構(gòu)成一個集合，x滿足的條件是()A．x≠0B．x≠1C．x≠±1D．x≠0且x≠±1【解析】選D.根據(jù)集合中元素的互異性，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≠x，,x≠x2，,x2≠1，))解得x≠0且x≠±1.4．已知集合P中的元素x滿足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三個元素，則整數(shù)a＝________．【解析】因為集合P中恰有三個不同元素，且元素x滿足x∈N，且2<x<a，則滿足條件的x的值為3，4，5，所以整數(shù)a的值是6.答案：6·題組三元素與集合的關(guān)系1．若集合A中的元素滿足x－1<eq\r(3)，且x∈R，則下列各式正確的是()A．3∈A，且－3A B．3∈A，且－3∈AC．3A且－3A D．3A，且－3∈A【解析】選D.因為3－1＝2>eq\r(3)，－3－1＝－4<eq\r(3)，所以3A，－3∈A.2．下列說法正確的是()A．N中最小的數(shù)是1B．若a為整數(shù)且－aN*，則a∈N*C．若a∈N*，b∈N*，則a＋b的最小值是2D．x2＋4＝4x的實數(shù)解組成的集合中含有2個元素【解析】選C.N是非負整數(shù)集，最小的非負整數(shù)是0，故A錯誤；當a＝0時，－aN*，且aN*，故B錯誤；若a∈N*，則a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，當a和b都取最小值時，a＋b取最小值2，故C正確；x2＋4＝4x的實數(shù)解為x＝2，故實數(shù)解組成的集合中含有1個元素，D錯誤．3．已知集合A中的元素x滿足x≥2，若aA，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】由題意a不滿足不等式x≥2，即a<2.答案：a<24．若集合A由所有形如3a＋eq\r(2)b(a∈Z，b∈Z)的數(shù)組成，則－6＋2eq\r(2)________A(填寫“∈”或“”).【解析】因為－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2eq\r(2)＝3×(－2)＋eq\r(2)×2是形如3a＋eq\r(2)b(a∈Z，b∈Z)的數(shù)，即－6＋2eq\r(2)是集合A中的元素．答案：∈5．給出下列關(guān)系：(1)eq\f(1,3)∈R；(2)eq\r(5)∈Q；(3)－3Z；(4)－eq\r(3)N，其中正確的是________．(填序號)【解析】eq\f(1,3)是實數(shù)，(1)正確；eq\r(5)是無理數(shù)，(2)錯誤；－3是整數(shù)，(3)錯誤；－eq\r(3)是無理數(shù)，(4)正確．答案：(1)(4)易錯點一判斷集合中元素個數(shù)時忽略集合的互異性出錯根據(jù)集合的特性完成下列填空．(1)2，eq\f(3,2)，eq\f(6,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))，eq\f(1,3)這些數(shù)組成的集合有________個元素；(2)方程(x－3)(x＋1)2＝0的解組成的集合有________個元素．【解析】(1)因為eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，所以這個集合有3個元素．答案：3(2)方程(x－3)(x＋1)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝－1，因此這個集合只有3，－1兩個元素．答案：2【易錯誤區(qū)】集合的互異性是指集合中元素各不相同，在寫集合中的元素時，易忽略集合的互異性而使得集合中的元素數(shù)增多．易錯點二求集合中參數(shù)值時忽略集合的互異性出錯已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三個元素組成的，且－3∈A，則實數(shù)a＝________．【解析】由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，所以a＝－1或a＝－eq\f(3,2).當a＝－1時，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互異性，故a＝－1應(yīng)舍去．當a＝－eq\f(3,2)時，a－2＝－eq\f(7,2)，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互異性，所以a＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)【易錯誤區(qū)】利用集合中元素的互異性求參數(shù)的值時，根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異性對求得的參數(shù)值進行檢驗，同時要注意分類討論思想的應(yīng)用．一、選擇題(每小題5分，共30分)1．下列幾組對象可以構(gòu)成集合的是()A．充分接近π的實數(shù)的全體B．善良的人C．世界著名的科學家D．某單位所有身高在1.7m以上的人【解析】選D.A，B，C所描述的對象沒有一個明確的標準，故不能構(gòu)成一個集合，選項D的標準唯一，故能組成集合．2．(多選題)下列表示正確的是()A．0∈N B．eq\f(2,7)∈ZC．π∈Q D．eq\r(2)∈R【解析】選AD.對于A，0是自然數(shù)，所以0∈N，故A正確；對于B，eq\f(2,7)不是整數(shù)，所以eq\f(2,7)Z，故B錯誤；對于C，π是無理數(shù)，所以πQ，故C錯誤；對于D，eq\r(2)是實數(shù)，所以eq\r(2)∈R，故D正確．3．以數(shù)集A中的四個元素a，b，c，d為邊長的四邊形可能是()A．平行四邊形B．矩形C．菱形 D．梯形【解析】選D.由集合中元素的互異性得：a，b，c，d都不相等，所以以a，b，c，d為邊長的四邊形可能是梯形．4．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解組成的集合，若2∈M，則下列判斷正確的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M【解析】選C.由2∈M，知2為方程x2－x＋m＝0的一個解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程為x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根為－1.5．設(shè)集合A含有－2，1兩個元素，B含有－1，2兩個元素，定義集合A⊙B，滿足x1∈A，x2∈B，且x1x2∈A⊙B，則A⊙B中所有元素之積為()A．－8B．－16C．8D．16【解析】選C.因為集合A含有－2，1兩個元素，B含有－1，2兩個元素，由題意得，集合A⊙B中所有元素是2，－4，－1，它們的積為：2×(－4)×(－1)＝8.6．下列各組中集合P與Q表示同一個集合的是()A．P是由元素1，eq\r(3)，π構(gòu)成的集合，Q是由元素π，1，|－eq\r(3)|構(gòu)成的集合B．P是由π構(gòu)成的集合，Q是由3.14159構(gòu)成的集合C．P是由2，3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(2，3)構(gòu)成的集合D．P是滿足不等式－1≤x≤1的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程x2＝1的解集【解析】選A.由于A中P，Q的元素完全相同，所以P與Q表示同一個集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P與Q不能表示同一個集合．二、填空題(每小題5分，共20分)7．設(shè)集合A是由1，k2為元素構(gòu)成的集合，則實數(shù)k的取值范圍是________．【解析】因為1∈A，k2∈A，結(jié)合集合中元素的互異性可知k2≠1，解得k≠±1.答案：k≠±18．(練拓展)式子eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＋eq\f(a2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2)))＋eq\f(\r(－b),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(－b))))的所有可能取值組成的集合中的元素和為________．【解析】因為分母中|eq\r(－b)|有意義，所以b<0，當a>0時，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＋eq\f(a2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2)))＋eq\f(\r(－b),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(－b))))＝2，當a<0時，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＋eq\f(a2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2)))＋eq\f(\r(－b),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(－b))))＝0，所以式子eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＋eq\f(a2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2)))＋eq\f(\r(－b),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(－b))))的所有可能取值組成的集合中的元素有2，0，所以元素的和為2.答案：2【變式備選】若a，b∈R，且a≠0，b≠0，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所組成的集合中元素的個數(shù)為________．【解析】當a，b同正時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(b,b)＝1＋1＝2.當a，b同負時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(－b,b)＝－1－1＝－2.當a，b異號時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0.所以eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所組成的集合中的元素共有3個．答案：39．具有下述性質(zhì)的x都是集合M中的元素，即x＝a＋eq\r(2)b，其中a，b∈Q，則下列元素：①x＝eq\r(2)；②x＝3＋eq\r(2)π；③x＝eq\f(1,3－2\r(2))；④x＝eq\r(6－4\r(2))＋eq\r(6＋4\r(2)).其中是集合M的元素是________(填序號).【解析】對于①，x＝eq\r(2)，a＝0∈Q，b＝1∈Q，滿足題意，故①正確；對于②，x＝3＋eq\r(2)π，a＝3∈Q，b＝πQ，不滿足題意，故②錯誤；對于③，x＝eq\f(1,3－2\r(2))＝3＋2eq\r(2)，a＝3∈Q，b＝2∈Q，滿足題意，故③正確；對于④，x＝eq\r(6－4\r(2))＋eq\r(6＋4\r(2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\r(2)))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\r(2)))2)＝4，a＝4∈Q，b＝0∈Q，滿足題意，故④正確．答案：①③④【變式備選】用符號“∈”或“”填空：(1)設(shè)集合B是小于eq\r(11)的所有實數(shù)的集合，則2eq\r(3)________B，1＋eq\r(2)________B；(2)設(shè)集合C是滿足方程x＝n2＋1(其中n為正整數(shù))的實數(shù)x的集合，則3________C，5________C；(3)設(shè)集合D是滿足方程y＝x2的有序?qū)崝?shù)對(x，y)組成的集合，則－1________D，(－1，1)________D.【解析】(1)因為2eq\r(3)＝eq\r(12)>eq\r(11)，所以2eq\r(3)B；因為(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2)<3＋2×4＝11，所以1＋eq\r(2)<eq\r(11)，所以1＋eq\r(2)∈B.答案：∈(2)因為n是正整數(shù)，所以n2＋1≠3，所以3C；當n＝2時，n2＋1＝5，所以5∈C.答案：∈(3)因為集合D中的元素是有序?qū)崝?shù)對(x，y)，－1是數(shù)，所以－1D；又(－1)2＝1，所以(－1，1)∈D.答案：∈Ｋ10．已知數(shù)集A滿足條件：若a∈A，則eq\f(1,1－a)∈A(a≠1)，如果a＝2，則A中的元素有________．【解析】根據(jù)題意，由2∈A可知，eq\f(1,1－2)＝－1∈A；由－1∈A可知，eq\f(1,1－（－1）)＝eq\f(1,2)∈A；由eq\f(1,2)∈A可知，eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.故集合A中共有3個元素，它們分別是－1，eq\f(1,2)，2.答案：－1，eq\f(1,2)，2三、解答題11．(10分)由三個數(shù)a，eq\f(b,a)，1組成的集合與由a2，a＋b，0組成的集合是同一個集合，求a2021＋b2021的值．【解析】由a，eq\f(b,a)，1組成一個集合，可知a≠0，a≠1，由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a＝a＋b，,\f(b,a)＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝a，,a＋b＝1，,\f(b,a)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0))(不滿足集合元素的互異性，舍去).所以a2021＋b2021＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2021＋02021＝－1.【變式備選】設(shè)A是由滿