考向04基本不等式及應(yīng)用

F.「上+空=1「

【2021.全國?高考真題】已知勺，勺是橢圓C：94的兩個焦點，點M在C上，則

I叫卜眼叮的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【2022年新高考全國II卷】（多選題）若X,y滿足無2+y2-xy=l,則（）

A.x+y<iB.x+y>-2

C.X2+y2<2D.X2+y2>l

，方法技巧）

1.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點：

①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成

立（彼此不沖突）

②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗

證是否符合初始范圍.

注意：形如、=》+?（。＞0）的函數(shù)求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再

x

利用該函數(shù)的單調(diào)性求解.

2.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意

以下幾個方面的問題：

（1）拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變

形；

⑵代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo);

（3）拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不

等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項，并

項，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等.

常用結(jié)論

1.幾個重要的不等式

（1）>0（aeR）,&NO（a>0）,|tz|>0（?e/?）.

（2）基本不等式：如果則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取

特例：a>0,a+l>2;^.+—>2同號）.

aba

（3）其他變形:

Gz+z?）2

①。2+枕>--—（溝通兩和4+Z?與兩平方和。2+&2的不等關(guān)系式）

②abW--—（溝通兩積ab與兩平方和ai+bi的不等關(guān)系式）

③"《［”一卜溝通兩積與兩和a+b的不等關(guān)系式）

④重要不等式串：丁三丁<腐4勺士W產(chǎn)歹。力eR+）即

a+b

調(diào)和平均值4幾何平均值<算數(shù)平均值<平方平均值（注意等號成立的條件）.

2.均值定理

已知eR+.

c（x+yYS?

（i）如果x+y=s（定值），則何=7-（當(dāng)且僅當(dāng)“*=>”時取“="）.即“和為定

值，積有最大值”.

（2）如果孫=「（定值），則》+>?2*=2"（當(dāng)且僅當(dāng)“》=>”時取“="）.即積為定值,

和有最小值

3.常見求最值模型

模型一：mx+—>2y/mn(tn>0,n>0),當(dāng)且僅當(dāng)式=時等號成立；

模型二：mxH---=m(x-a)+---Fma>2y1mn+ma(m>0,n>0)，當(dāng)且僅當(dāng)x-a=J—時

x-ax-aV

等號成立；

模型三：——-——=一'一4——(a>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=JI時等號成立；

ax^+hx+c+b+￡ac+bVa

x

班刖miz、勿火(〃-,nvc+n-nix.m.八八八"、止口巾也

模型四：x(n-mx)=---------<—?(----------)2=一(7n>0,n>0,0<x<—)，當(dāng)且僅當(dāng)

mm24mtn

X=-L時等號成立.

2m

[易

1.基本不等式

如果a>0,b>0,那么癡4空2,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時，等號成立.其中，空2叫作“方的

22

算術(shù)平均數(shù)，疑叫作a”的幾何平均數(shù).即正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平

均數(shù).

基本不等式1：若。，*/?,則〃2+6222詔，當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃時取等號；

基本不等式2：若a,beR+,則"十（44^（flica+Z?>2y[ab）,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時取等號.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值

時和或積為定值，“三相等''指滿足等號成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

1.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知正數(shù)a,6滿足a+2b=1,貝U或+？拉十1的最小值為

ab

2.（2022.福建龍巖.模擬預(yù)測）若正實數(shù)a,〃滿足1+：=4了+1,則必的最小值為

ab

3.（2022?江蘇?南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知實數(shù)。/滿足山。+1皿=皿〃+4〃），則昉

的最小值是.

4.（2022?湖南?長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知為正實數(shù)，直線y=+b將圓2）2+（），-1”=1

1?

平分，則上+：的最小值是_________.

ab

1.（2022?廣東茂名?二模）已知從=3。2-2（〃，heR）,則13〃-bl的最小值為（）

A.0B.1C.2D.y/2

2.（2022.浙江湖州?模擬預(yù)測）已知。〉（）,〃＞（）,定義H（a,b）=max，+22-/,,^+2b卜則H（a,b）

的最小值是（）

A.5B.6C.8D.1

3.（2022,全國?模擬預(yù)測（文））若實數(shù)x,＞滿足2、+4'=2x+2y,則無+2y的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

_14

4.（2022?江西萍鄉(xiāng)?三模（文））已知正實數(shù)蒼丁滿足lgx+lgy=2,則—+—的最小值為（）

xy

12-48

A.-B.-C.-D.—

5555

5.（2022.江西?南昌中學(xué)三模（文））已知實數(shù)〃，b滿足3+2=1,且a＞2b,

a+1b+1

則竺士色的最小值為（）.

a-2b

A.1B.2拉C.4D.472

6.（2022?遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知實數(shù)。，匕滿足成+log%=1,（0＜。＜1）,則與og。-g

a4人

的最小值為（）

A.0B.-1C.1D.不存在

7.（2022?山東泰安?模擬預(yù)測）已知4x4+9叼2+2產(chǎn)=1,則5x2+3y2的最小值是（）

125

A.2B.—C.D.3

72

8.（2022.安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知x＞0,y＞0,滿足X2+2冷，-1=0,則

3x+2y的最小值是（）

A.B.￡C.2百D.272

9.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）若正實數(shù)x,y滿足孫（x+y）=4,則2%+y的最小值為

)

A.3C.2>/3D.3婢

10.（2022?江蘇?南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知正實數(shù)。，6滿足。+。=1,則下列結(jié)

論不正確的是（）

14

A.&K有最大值:B.1+：的最小值是8

ab

c?若。>人則D.log6Z+log8的最大值為-2

2

11.（2022?湖北?黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）已知a,b為正實數(shù)，直線），=工-。與曲線y=ln（x+與

14

相切，嗎+*最小值為（）

A.8B.9C.10D.13

12.（2022.湖南二中學(xué)模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列｝蔭足a=a+2a,若存

n321

I4

在a、a,使得aa=16以，則一+-的最小值為（）

"JnmnImft

A.—B.|6C.—D.—

342

2I

13.（2022?安徽八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正數(shù)x,y滿足——+-——=1,則

x+3y3x+y

x+y的最小值（）

3+2垃3+63+2應(yīng)口3+a

4488

2117

14.（2022,上海?位育中學(xué)模擬預(yù)測）已知a>0,b>0,且必=1,則三+5+17r的

3a2b3a+4b

最小值為.

15.（2022.四川.宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知。力為正實數(shù)，且L2=i2,

ab

則a+方的最小值為

1.(2022?全國?高考真題(文))已知9，”=10,a=l()“，-ll,A=8，”-9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

2.（2021.全國.高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）

B

A.y=42+2x+4-"向小島

4

C.y=2*+22-XD.y=\nx+---

Inx

3.（2021?全國?高考真題）已知,，尸是橢圓c：=+21=1的兩個焦點，點M在C上

294

則眼葉眼勺的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

4.（多選題）（2022?全國?高考真題）若X,y滿足X2+y2-孫=1,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.X2+J2<2D.x2+yi>l

5.（多選題）（2020?海南?高考真題）已知。>0,b>0,且。+〃=1,則（）

A.。2+。22—B.2a-h>

22

C.log6?+log>-2D.y/a+Jb<鼻

6.（2022.全國?高考真題（理））已知aABC中，點。在