第二章：有理數

1.1正數與負數

在以前學過的0以外的數前面加上負號“—”的數叫負數.

與負數具有相反意義，即以前學過的0以外的數叫做正數（根據需要，有時在正數前面也加上“+”）.【說明】1.有理數由“符號”和“數值”兩部分組成.（符號問題是我們在今后的學習中經常忘記的問題.）2.正數前面的符號可以省略，負數前面的符號不能省略.3.正數大于0，負數小于0，正數大于負數.4.0既不是正數，也不是負數.5.正、負數通常表示相反意義的量，這些量包括：向東與向西；收入與支出；盈利與虧損；（溫度）零上與零下；（水位）上升與下降；高于與低于（水平面）；（出口）增長與減少……例如：向東走2米，記作：+2米；那么向西走3米，記作—3米.6.用正負數表示加工允許誤差例如：①圖紙上注明一個零件的直徑是mm，表示零件的直徑標準是30mm，但是，在生產的過程中，由于生產工藝存在的誤差，因此直徑可以比30mm大0.2mm，也可以比30mm小0.3mm.即零件的直徑在29.7mm~30.2mm之間都合格.但在這個范圍以外的就不合格了.1.2有理數1.2.1有理數有理數的概念：整數和分數統(tǒng)稱有理數.分類：（1）按定義分類：（2）按性質符號分類：（掌握分類方法應注意兩點：=1\*GB3①不重復：即同一事物不能歸納到兩個類別中；=2\*GB3②不疏漏：即某一事物不能在所有類別中找不到.）【說明】1.整數分為正整數、0、負整數.2.分數分為正分數、負分數.3.無限循環(huán)小數是有理數，它可以化成分數.如0.333…=閱讀材料：教材95頁《無限循環(huán)小數化分數》.4.無限不循環(huán)小數是無理數，如：π.5.沒有最大的有理數，也沒有最小的有理數.6.最大的負整數是-1，最小的正整數是1。7.幾個常見的概念：非負數：指正數和零；非正數：負數和零；1.2.2數軸規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸；【說明】1.數軸有三要素：原點、正方向、單位長度。2.數軸的畫法：=1\*GB3①先畫一條水平的直線；=2\*GB3②在直線的右邊畫箭頭，表示正方向；=3\*GB3③在直線上任取一點，作為原點，表示數0；=4\*GB3④以適當的長度作為單位長度，在原點的左右兩邊分別標出刻度.3.數軸的性質：=1\*GB3①數軸上的點與有理數一一對應關系；=2\*GB3②正數都大于0，負數都小于0，正數大于負數；=3\*GB3③數軸上的點表示的數從左往右依次增大，從右往左依次減小。=4\*GB3④數軸上到原點的距離相等的點有2個，一個在原點左邊，一個在原點右邊，他們互為相反數.4.利用數軸比較數的大?。簲递S上的點表示的數，右邊的總比左邊大.5.數軸上點的移動用數形結合的思維方法，通過畫圖分析，解決問題.6.數軸是非常重要的數學工具，它使數和直線上的點建立了對應關系，它揭示了數和形之間的內在聯(lián)系，為我們研究問題提供了新的方法，同時也為下學期學習平面直角坐標系打下了堅實的基礎.1.2.3相反數只有符號不同的兩個數叫做互為相反數?；蛘哒f：如果兩個數只有符號不同，那么其中一個數就叫另一個數的相反數；【說明】1.正數的相反數是負數；負數的相反數是正數；0的相反數是0.注：一個數的相反數為非負數，那么這個數是（）2.相反數的代數意義：互為相反數的兩個數相加，和為0.3.相反數的幾何意義：互為相反的兩上數，在數軸上位于原點的兩則，并且與原點的距離相等.4.相反數的讀法：-(-2)讀作負2的相反數.從數軸上看-2的相反數是2，因此-(-2)=2.5.一般地，數a的相反數是-a.6.有關相反數的化簡，遵循符號法則：同號得正，異號得負.1.2.4絕對值在數軸上表示數a的點到原點的距離叫做數a的絕對值.【說明】1.幾何意義：一個數的絕對值就是數軸上表示該數的點與原點的距離.2.代數意義：一個正數的絕對值是它本身；0的絕對值是0；一個負數的絕對值是它的相反數，可用字母a表示如下：注：即：如果a＞0，那么=a；如果a＜0，那么=-a；如果a=0，那么=0如果=-a那么a滿足什么條件？=a，那么a滿足什么條件？3.絕對值等于a（a≠0）的數有兩個，一個在原點左邊，一個在原點右邊，它們互為相反數.例如：|a|=2，則（）.4.|a|是重要的非負數，即|a|≥0；5.理解：；；6.兩個負數比較大小，絕對值大的反而小.7.理解幾個特殊的絕對值所表示的意義：若，則ab≥0；（表示a、b同號或至少其中一個為0）.若，則ab≤0；（表示a、b異號或至少其中一個為0）.若，則ab=0；（表示a、b至少其中一個為0）.1.3有理數的加減法1.3.1有理數的加法加法法則：①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②絕對值不等的異號兩數相加，取絕對值較大數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反的兩個數相加得0；③一個數同0相加，仍得這個數?！菊f明】1.進行有理數加法，先要判斷兩個加數是同號還是異號，有一個加數是否為零；再根據兩個加數符號的具體情況，選用某一條加法法則．進行計算時，通常應該先確定“和”的符號，再計算“和”的絕對值.加法的交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變.用字母表示：.加法的結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變.用字母表示：(a+b)+c=a+(b+c).用加法的運算律進行簡便運算的基本思路是：先把互為相反數的數相加；把同分母的分數先相加；把符號相同的數先相加；把相加得整數的數先相加.1.3.2有理數的減法減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數.【說明】1.“兩變”：一是減法變?yōu)榧臃?；二是減數變?yōu)槠湎喾磾担?.有理數減法常見的錯誤：①沒有注意結果的符號；尤其是當結果為負時，往往會忘記“－”；②仍用小學計算的習慣，不把減法變加法；③只改變運算符號，不改變減數的符號，沒有把減數變成它的相反數.幾個正數或負數的和稱為代數和．加減混合運算可以統(tǒng)一為加法運算，寫成代數和的形式.例如：.可以讀作：a加b減c，也可以讀作：a，b，-c的代數和.有理數加減混合運算：先把減法變成加法，再按有理數加法法則進行運算.1.4有理數的乘除法1.4.1有理數的乘法乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數與0相乘都得0.倒數的定義：乘積是1的兩個有理數互為倒數.若ab=1，則a和b互為倒數.幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數.乘法運算律：乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積相等.用字母表示為：ab=ba.乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等.用字母表示為：(ab)c=a(bc).乘法交換律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加.用字母表示為：a(b+c)=ab+ac.【說明】1.常見錯誤仍是符號問題，做題時，先定符號，再定值.2.求一個數的倒數的方法：①求一個分數的倒數，就是把這個分數的分子、分母顛倒位置.②求一個整數的倒數：可以把整數看成是分母為1的分數，再把分子、分母顛倒位置.③帶分數要先畫成假分數，再將分子、分母顛倒位置.1.4.2有理數的除法除