8.4.1平面

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法.(2)能用符號語言描

述空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.(3)掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個基本事實(shí).

【問題探究】

(1)生活中的一些物體給我們以平面的感覺，如平靜的湖面、整潔的教室桌面、美麗的

大草原等，你能說出平面的一些幾何特征嗎？

(2)在凹凸不平的地面上放一個三條腿的凳子和一個四條腿的凳子，哪個穩(wěn)定？若把直

尺邊緣上的任何兩點(diǎn)放在桌面上,直尺的邊緣上的其余點(diǎn)和桌面有何關(guān)系？兩張紙面相交有

幾條交線？

題型1文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化

例1用符號表示下列語句，并畫出圖形：

⑴點(diǎn)/在平面a內(nèi)但在平面￡外；

(2)直線a經(jīng)過平面a內(nèi)一點(diǎn)4平面a外一點(diǎn)8；

(3)直線a在平面a內(nèi)，也在平面￡內(nèi).

學(xué)霸筆記：(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、

幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語言表示，再用符號語言表示.

(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.

跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列符號表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)

的圖形.

(1)7ca,a—A,Ml-,

②PRl,甩a,QR1,QRa.

題型2點(diǎn)、線共面問題

例2

如圖所示，7inl2=A,l2nl3=A=C求證：直線Z，-12,乙在同一平面內(nèi).

題后師說

證明點(diǎn)、線共面的2種常用方法

跟蹤訓(xùn)練2

%Q./

如圖，已知aua,6ua,adb=A,PGb,PQ//a,求證：PQc.a.

題型3點(diǎn)共線問題

例3如圖，在正方體力死中，點(diǎn)這兒￡,戶分別是棱切，AB,DR,必上

的點(diǎn)，若MN與EF交于點(diǎn)、Q,求證：D,A,0三點(diǎn)共線.

題后師說

證明三點(diǎn)共線的方法

首先找出兩個平面，然后證明三點(diǎn)都是這兩

個平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3可知，這

些點(diǎn)都在這兩個平面的交線上

選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一

點(diǎn)也在此直線上

跟蹤訓(xùn)練3

已知△/回在平面a外，ABCa=P,AO\a=R,BO\a=Q,如圖.求證：P、Q、R

三點(diǎn)共線.

題型4線共點(diǎn)問題

例4

如圖所示，在正方體中，E、尸分別為48、的中點(diǎn).求證：CE,IXF,

的三線交于一點(diǎn).

題后師說

證明三線共點(diǎn)的一般步驟

跟蹤訓(xùn)練4如圖，己知平面a,￡,且ac8=/,設(shè)梯形能力中，AD//BC,且Wu

a,5u￡.求證：AB,CD,，共點(diǎn).

隨堂練習(xí)

2.如果點(diǎn)/在直線a上,而直線a在平面a內(nèi)，點(diǎn)6在平面a內(nèi)，則可以表示為（）

A.Aca,aua,BWaB./Ga,aca,BGa

C.Aca,aGa,BuaD.A^a,ada,BGa

3.如圖所示，用符號語言可表示為（）

A.。nB=m,nua,mC\n=A

B.anB=m,nGa,mn=A

C.P=m,nua,Au/n,Aun

D.aAP=m,〃￡a,AUm,A^n

4.不重合的三條直線，若相交于一點(diǎn)，最多能確定個平面.

課堂小結(jié)

L平面的概念.

2.三個基本事實(shí).

3.利用三個基本事實(shí)證明共面、共線、共點(diǎn)問題.

8.4.1平面

問題探究提示：(1)無限延展、不計(jì)大小、不計(jì)厚薄等.

(2)三條腿的凳子穩(wěn)定；直尺的邊緣上的其余點(diǎn)在桌面上；兩張紙面相交有一條交線.

例1解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)/在平面。內(nèi)但在平面￡外，所以可以用下圖表示：

(2)因?yàn)橹本€a經(jīng)過平面a內(nèi)一點(diǎn)4a外一點(diǎn)6,所以可以用下圖表示:

⑶因?yàn)橹本€a在平面。內(nèi)，也在平面0內(nèi)，所以可以用下圖表示:

aC.a,aC.p\\

跟蹤訓(xùn)練1解析：（1）直線/在平面a內(nèi)，直線m與平面。相交于點(diǎn)4且點(diǎn)力不在

直線,上，如下圖所示：

⑵直線/經(jīng)過平面a外一點(diǎn)尸和平面a上一點(diǎn)Q,如下圖所示:

例2證明：方法一（納入法）

,.,lini2=A,，li和Iz確定一個平面a.

,.,l2ni3=B,.-.Bei2.

又?.,Lua,.，.Bea.同理可證Cda.

?/Bels,Cei3,/.l3ca.

直線L,k,k在同一平面內(nèi).

方法二（同一法）

,.TmL=A,和L確定一個平面a.

??,l2ni3=B,AL,L確定一個平面B.

；4人,Lua,：.A^a.'：AE：12,比￡,￡.

同理可證方Ga,BGS,CGa,CWB.

.?.不共線的三個點(diǎn)4B,C既在平面a內(nèi)，又在平面￡內(nèi).

，直線Ji,12,乙在同一平面內(nèi).

跟蹤訓(xùn)練2證明：因?yàn)閳@〃a,所以戶0與a確定一個平面￡,所以直線au￡,點(diǎn)戶e0.

因?yàn)镻Eb,6ua,所以Pea.又因?yàn)閍ua,再a,所以a與￡重合，所以PQc.a.

例3證明：MNCEF=Q,

直線.0G直線不

又直線切，旌直線/氏平面/8切，力氏平面/及方，

：.M,%平面切，

.?.仞仁平面ABCD.

平面ABCD.

同理，可得0G平面ADDiAi.

又,；平面ABCDC平面ADBAi=AD,

直線即〃A,0三點(diǎn)共線.

跟蹤訓(xùn)練3證明：方法一,：ABna^P,:.PRAB,戶G平面a.

又平面46C,...jPe平面

由基本事實(shí)3可知：點(diǎn)戶在平面4%與平面。的交線上，

同理可證0、A也在平面/回與平面a的交線上.

:.P、0、7?三點(diǎn)共線.

方法二'：APHAR=A,

直線2戶與直線4?確定平面APR.

又,：ABC!a=P,ACna=R,

平面平面a=PR.

平面平面平面如沃

.?.0G平面APR,又a,

:.QGPR.：.P、Q、7?三點(diǎn)共線.

例4證明：連接跖IXC,AB,

為的中點(diǎn)，/為陰1的中點(diǎn)，

：.EF//A.B,EF=%B,

2

又,：A\B"隊(duì)C,AiB=KC,

：.EF//IXC,EF=2DC

2

:.E、F、仄、C四點(diǎn)共面，且四邊形MAC為梯形.

-：EF<DlC,直線以尸與"交于一點(diǎn).

設(shè)。FHCE=P,如圖.

平面PGDvF,

.?.尸e平面AAMD.

又「Bu平面/及R,PQCE,

.?.盧e平面/比

；?產(chǎn)是平面/及/與平面朋也〃的公共點(diǎn).

又..,平面ABCDQ平面AAxIXD=AD,

:.PGAD,

：.CE,及F,物三線交于一點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練4證明：

:在梯形46切中，

AD//BC,

與必必交于一點(diǎn)，

設(shè)交CD于M.

貝MGCD,

又,：ABca,Ot￡,

:.MGa,￡,

又,:an0=1,

：.AB,CD,，共點(diǎn).

［隨堂練習(xí)］

1.解析：選項(xiàng)B、C中直線a在平面a外，選項(xiàng)D中直線a與平面a相交，選項(xiàng)A

中直線a在平面a內(nèi).故選A.

答案：A

2.解析：點(diǎn)/在直線a上，而直線a在平面a內(nèi)，點(diǎn)方在平面a內(nèi)，表示為/Ga,

aca,BE：a.故選B.

答案：B

3.解析