一、單選題

1.如圖所示，在正方體N8CO-44GA中，點(diǎn)F是棱工4上的一個(gè)動點(diǎn)（不包括頂點(diǎn)），平面8ER

交棱CG于點(diǎn)E,則下列命題中正確的是（）

A.存在點(diǎn)F,使得NRFB為直角

B.對于任意點(diǎn)R都有直線4Gli平面5即破

C.對于任意點(diǎn)R都有平面4G。，平面8EAF

D.當(dāng)點(diǎn)尸由4向/移動過程中，三棱錐尸的體積逐漸變大

【答案】C

【分析】A：驗(yàn)證而?麗是否為零即可；B：根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷；C：證明平面

&CQ即可；D：證明《411平面58a即可.

【詳解】對于A,易知瓦K麗=（萬％+乖）?（或+荏）=卒?切=-|吊斗|成卜0,故印與麗

不垂直，故A錯(cuò)誤；

對于B,連接4G、AC.EF,則平面/CG4n平面反。尸=所，

若4Gli平面8瓦）尸，則4GIIEE顯然僅當(dāng)尸和E為所在棱中點(diǎn)時(shí)4G與E尸才平行，故B錯(cuò)

誤；

對于C,連接4。、4G、CQ、BD\、g、BC1,

由48_L平面ADDS得ABL4，易知g1A,D,

?MBng=A,AB,工。《平面/36口，二4。3_平面286口，

.-.AtD1BD],同理可證4G1BD、,

???/Qn4G=4,AQ、4Gu平面4G。，.^.?8?！蛊矫?CQ,

?.-82<=平面8￡?；颍矫?￡。_1平面8￡。尸，故C正確；

對于D,連接8"、FB]、B、D、,

AAt||BB{,44（Z平面88Q],Bqu平面網(wǎng)。一

4M平面BB、D、,則F到平面BB,D、的距離為定值，

又△B8Q面積為定值，故三棱錐RB5Q體積為定值，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.己知邛（q，4）與P2（生也）是直線V=丘+1/為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于x和V的方程組的

解的情況是（）

A.無論左記,5如何，總是無解B.無論左,匕鳥如何，總有唯一解

C.存在￡匕使之恰有兩解D.存在人/,￡,使之有無窮多解

【答案】B

【分析】將<3也）與6（。2，4）代入直線方程，可得方程（％-牝）》=仇-4有唯一的解，即可得答

案；

【詳解】解：$％,A）與乙3也）是直線歹=丘+1依為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，

y=Ax+l的斜率存在，

即a產(chǎn)出，并且W=k%+1也=M+1，

/.a2bl—a}b2=ka}a2-ka}a2+a2-a}=a2-a]

①x4-②哂得：（a1Z>2-a2i1）x=Z>2-i1,

即（q-生卜也-4.

???方程組有唯一解.

故選：B.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（a⑼滿足|。|+網(wǎng)=1,記d為點(diǎn)P到直線x-機(jī)y-2=0的距離.當(dāng)

a,“機(jī)變化時(shí)，d的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)直線/：8-叼-2=0過定點(diǎn)A確定出對于給定的一點(diǎn)P,"取最大值時(shí)尸/，/且

人”=幟川，然后根據(jù)點(diǎn)P為正方形上任意一點(diǎn)求解出|/切胸，由此可知人…

【詳解】直線毆-2=0過定點(diǎn)4（2,0）,

對于任意確定的點(diǎn)P,

當(dāng)尸么!./時(shí)，此時(shí)1=|尸4|,

當(dāng)尸/不垂直/時(shí)，過點(diǎn)P作尸8_L/,此時(shí)d=|尸耳，如圖所示:

因?yàn)樗詜尸/|>儼8|,所以4m=|4|，

由上可知：當(dāng)P確定時(shí)，［祠即為|4|，且此時(shí)P4_U；

又因?yàn)镻在如圖所示的正方形上運(yùn)動，所以"max=|R<Lx，

當(dāng)|4|取最大值時(shí)，p點(diǎn)與"（-1,0）重合，此時(shí)陽|=2-（-1）=3,

所以"max=3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用圖像分析“取最大值時(shí)P/與直線/的位置關(guān)系，通

過位置關(guān)系的分析可將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離問題，根據(jù)圖像可直觀求解.

4.己知點(diǎn)P在直線/：3x+4y-20=0上，過點(diǎn)尸的兩條直線與圓O：/十/=4分別相切于

兩點(diǎn)，則圓心。到直線48的距離的最大值為（）

A.—B.—C.百D.1

25

【答案】D

【分析】得到P，4。,8四點(diǎn)共圓，且圓的直徑為OP,從而設(shè)出尸（見"），表達(dá)出圓心和半徑，寫

出圓的方程，與一+丁=4相減后得到直線的方程為4-mx-秋=0,利用點(diǎn)到直線距離公式得

4

到圓心O到直線Z8的距離?一配方求出/+二的最小值，從而得到d的最大值.

7nr+〃

【詳解】由題意得：P,40,8四點(diǎn)共圓，且圓的直徑為。尸，

設(shè)尸（見〃）,則3加+4〃-20=0,

則OP的中點(diǎn)為圓心，圓心坐標(biāo)為仁,3半徑為gj”+〃2，

22

mm2+n2

所以圓的方程為:x

24

22

整理得：x-mx+y-ny=0f

22〃)

x+y=4與12_加入+>2_=0相減得：4-mx-ny=0,

故直線的方程為4-〃a-沙=0,

|4|4

圓心。到直線AB的距離d=/;';-/)’，

7+n+n~

因?yàn)?冽+4〃-20=0,

所以〃?2+/=*+5工="3匕+25后加上+16216,

I4；1621615)

當(dāng)且僅當(dāng)根=1?2時(shí)，等號成立,

44

故a=I<-=\

7^774

故選：D

5.已知NT苧1L-竽,P(x。,％,)為橢圓C:]+[=l上不同的三點(diǎn)，直線/：x=2,直線

尸/交/于點(diǎn)"，直線P8交/于點(diǎn)N,若忘以s=之戶"可，則/=()

55L

A.0B.-C.-D.G

43

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形面積公式及乙4P8=/A/PN或4P8+NMPN=7r得|尸蜀尸/=歸訓(xùn)/>M，再應(yīng)

用相交弦長公式列方程，即可求吃.

【詳解】由￡幺6=邑?！?，則gin4PBM訓(xùn)尸8|=gsinNA/PNMM|PM，

所以陽||尸8|=忸圳「陷，而直線“尸、8尸斜率存在且不為O（X°W±1）,

^\PA\\PB\=3+心優(yōu)+1].而福仇-1|,

|尸刑「陷="有上。-4腦「卜-2|,

所以忖一1|=（X°-2）2,即其一1=年一4%+4或1一工；=4一4%+4,

當(dāng)x；-l=xj-4xo+4,化簡得

當(dāng)1一片二%一4%+4時(shí),2xg-4xo+3=O,顯然△=16-20＜0,無解.

所以X°=9.

故選：B.

6.已知大、鳥為雙曲線/-2=1（。＞0,6＞（））的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線的漸近線上一點(diǎn)，滿足

3戶工=60。，|0目=孝閨同（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率是（）

.2廂口8及?2V14門16+30

575v7

【答案】A

【分析】設(shè)「m，根據(jù)|。尸卜孝山用求出a,再在△2/笆中，利用余弦定理得到關(guān)于

a,b,c的齊次方程，結(jié)合〃+b2即可求得雙曲線的離心率.

【詳解】由題可知,U-c,O）,t（c,O）,

根據(jù)對稱性，不妨設(shè)尸為漸近線尸9上一點(diǎn)，坐標(biāo)為b

,M>0,

a

且2c,則機(jī)

因?yàn)槭瑋=2c~，故〃?=6a,

故P(缶,伍)，

在△「大入中，4；桃=60。，

由余弦定理得由周2=|尸用2+|刊珠—2|巴訃歸/訃cos行，

即4c2=(\[2a+c)2+(V2Z>)2+(V2a—c)2+(V26)2-2-J(6a+c)?+(垃b)2-yj(A/2(J-c)2+(y/2b)~x；,

即4c2=4a2+2c2+4b2-J3c2+2而c?-2Oac>

貝|J2c2=J9c1*-8a2c2,即4c4=9c4-Sa2c2,

c28

即McJ5c4,即8/=5入即

故選：A.

7.點(diǎn)尸在直線/：y=x+p（p>0）上，若存在過產(chǎn)的直線交拋物線y=2pHp〉0）于48兩點(diǎn)，且

2\P^\=\AB\,則稱點(diǎn)P為“M點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A.直線/上的所有點(diǎn)都是“M點(diǎn)”

B.直線/上僅有有限個(gè)點(diǎn)是““點(diǎn)”

C.直線/上的所有點(diǎn)都不是“M點(diǎn)”

D.直線/上有無窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是點(diǎn)”

【答案】A

【分析】首先判斷直線/與拋物線的位置關(guān)系，確定48,尸三點(diǎn)的位置關(guān)系，利用共線向量表示出

48兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)都在拋物線上可聯(lián)立方程組根據(jù)方程是否有根確定P點(diǎn)是否存在，即

可得出結(jié)果.

【詳解】由題意可知，將直線/：V=x+P和拋物線V=2px聯(lián)立消去x整理得，

y2-2py+2p2=0；

此時(shí)該方程A=4p2-8p?=-4p2<0,即該方程無解;

可得直線/：y=x+P和拋物線無交點(diǎn)，

過戶的直線交拋物線于48兩點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知，48在尸點(diǎn)的同側(cè)，如下圖所示:

不妨設(shè)P(X0,Xo+p),4(x“JB(x.,%),

由2陷|=|明可得22=布，即[；

[2(無-/-。)=%一為

所以B(3XA-2x0,3乃-2x0-2p),

又因?yàn)?8在拋物線上，所以[W/

1(3乃-2%-2。)=2p(3xd-2xo)

消去心并整理得2/2+6(p-yA)x0+3y/+2P2-6pyA=0

此時(shí)關(guān)于％的一元二次方程

△=36(。--8(3y/+2P2-6pyA)=12y/-24*+20/=12(以-。了+8加>0恒成立，

即%恒有解，

也就是對于直線/：V=x+P上任意一點(diǎn)P,過戶的直線與拋物線/=2「,交于48兩點(diǎn)，都有

21PH=|48],所以A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以新定義的形式考察直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是將點(diǎn)在直線和

拋物線上是否滿足一定條件的問題轉(zhuǎn)化成方程解的存在性問題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化方能找到題眼求解.

8.正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色.先染1；再染3個(gè)偶數(shù)2,

4,6；再染6后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)7,9,11,13,15；再染15后面最鄰近的7個(gè)連續(xù)偶數(shù)

16,18,20,22,24,26,28；再染此后最鄰近的9個(gè)連續(xù)奇數(shù)29,31,45；按此規(guī)則一直

染下去，得到一紅色子數(shù)列：1,2,4,6,7,9,11,13,15,16......則在這個(gè)紅色子數(shù)列

中，由1開始的第2021個(gè)數(shù)是()

A.3991B.3993C.3994D.3997

【答案】D

【分析】根據(jù)題意將染色的所有數(shù)字進(jìn)行分組，找出每組數(shù)字的最后一個(gè)數(shù)與組數(shù)和該組數(shù)的數(shù)字

個(gè)數(shù)的關(guān)系，找出第〃組最后一個(gè)數(shù)在紅色子數(shù)列中所處的位數(shù)，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)染色規(guī)律可將染色的所有數(shù)字分組，規(guī)律如下：

第一組：1共1個(gè)數(shù)；

第二組：2,4,6共3個(gè)數(shù)；

第三組：7,9,11,16,15共5個(gè)數(shù)；

第四組：16,18,20,22,24,26,28共7個(gè)數(shù)；

第五組：29,31,33,35,37,39,41,43,45共9個(gè)數(shù);

由此規(guī)律可知，第”組最后一個(gè)數(shù)是組數(shù)〃與該組的數(shù)字個(gè)數(shù)2〃-1的乘積為〃(2〃-1),且該數(shù)在組

成的紅色子數(shù)列中是第1+3+5+……+2〃-1=〃2個(gè)數(shù)，

易知，當(dāng)”=45時(shí)，即第45組最后一個(gè)數(shù)是452=2025與數(shù)字2021接近，

此時(shí)，紅色子數(shù)列中第2025個(gè)數(shù)為45x(2x45-1)=4005,

所以再往前數(shù)4個(gè)計(jì)數(shù)即為第2021個(gè)數(shù)，該數(shù)為3997.

故選：D

二、多選題

9.下列結(jié)論正確的是()

A.VxeR,x+—>2B.若a<6<0,貝|(工)

C.若x(x-2)<0,則log2xe(0,l)D.若“>0,b>0,a+b<\,則

【答案】BD

【分析】對每個(gè)選項(xiàng)注意檢驗(yàn)，要么證明其成立，要么舉出反例判定其錯(cuò)誤.

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，x為負(fù)數(shù)，所以A不正確；

X

若“<6<0,則:<L<0,考慮函數(shù)/1x)=1在R上單調(diào)遞增，

ba

所以yd)>“3,即d)3>(：)3,所以B正確；

abab

若x(x-2)<0,則0<x<2,log,xe(-oo.l),所以C不正確;

若a>0,b>0,a+b<\,根據(jù)基本不等式有疝4空,0<管）2=]

所以D正確.

故選：BD

【點(diǎn)睛】此題考查命題真假性的判斷，內(nèi)容豐富，考查的知識面很廣，解題中尤其注意必須對每個(gè)

選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)，要么證明其成立，要么舉出反例，方可確定選項(xiàng).

10.圓。：》2+爐-2》=0和圓O2：x2+/+2x-4y=0的交點(diǎn)為48,則有（）

A.公共弦N8所在直線方程為x-y=0

B.公共弦的長為應(yīng)

C.線段48中垂線方程為x+y-l=0

D.尸為圓。，上一動點(diǎn)，則尸到直線48距離的最大值為交+1

2

【答案】ABC

【分析】對于A,兩圓方程作差即可求出公共弦方程；

對于B,求出一個(gè)圓的圓心到公共弦的距離，利用垂徑定理計(jì)算即可；

對于C,線段月8的中垂線即為兩圓圓心的連線，利用點(diǎn)斜式求解即可；

對于D,求出儀到公共弦的距離，加上半徑即可求出最大值.

【詳解】對于A,因?yàn)閳AG：x2+/-2x=0和圓。2：/+/+2》-4夕=0的交點(diǎn)為48,

作差得4x-4y=0,所以圓Q與圓色的公共弦48所在的直線方程為x-y=0,故A正確；

對于B,圓。2：x2+_/+2x-4y=0的圓心為。2（-1,2）,半徑々=石，則圓心Q（-l,2）到直線

A,,D?1-2|3>/2

x-y=0的總巨離d=ll1=——,

J22

所以圓Q與圓。2的公共弦48的長為2J（百）2-（乎）=&,故B正確；

2

對于C,因?yàn)閳A心q（L0）,。2（-1，2）,QU所在直線斜率為一L=-1，

所以線段的中垂線的方程為尸0=-（x-l）,即x+y-l=0,故C正確；

對于D,由選項(xiàng)B易得，P到直線月8的距離的最大值為述+石，故D錯(cuò)誤.

2

故選：ABC.

11.已知雙曲線：-￡=is>0）右焦點(diǎn)為耳，過耳且垂直于X軸的直線與雙曲線交于a8兩

點(diǎn)，點(diǎn)/（-4,0）,若△/B尸為銳角三角形，則下列說法正確的是（）

A.雙曲線過點(diǎn)(-2,0)

B.直線3x-y=0與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)

C.雙曲線的一條漸近線y=gx的斜率小于手

D.雙曲線的離心率取值范圍為L，0叵]

【答案】ACD

【分析】將點(diǎn)(-2,0)代入雙曲線即可判斷A選項(xiàng)，然后結(jié)合題干信息得到+從

而可求出離心率的范圍進(jìn)而可判斷D選項(xiàng)，再結(jié)合c的范圍利用放縮即可判斷C選項(xiàng)，聯(lián)立根據(jù)公

即可判斷B選項(xiàng)，進(jìn)而可得出結(jié)果.

【詳解】A選項(xiàng)：將點(diǎn)(-2,0)代入雙曲線，得到?-彳=1,符合，所以雙曲線過(-2,0)點(diǎn)，故A

選項(xiàng)正確；

b2

D選項(xiàng)：因?yàn)椤髡蠪是銳角三角形，所以乙4@<￡,則7.I，即

4tanZylrr1=-^—<tan—=1

〃<8+2c.因?yàn)殡p曲線占-4=1中。=2,所以〃=C2-/=C2—4,所以C2-4<8+2C,解得

4b-

1-Vi3<c<l+Vi3,所以上二叵<￡<匕2叵.因?yàn)閑=￡>l,貝叵，所以雙曲線的離

2a2a2

心率的取值范圍是，?手)，D選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)：雙曲線的一條漸近線為y則斜率為2，—=-1,又￡=￡<匕』叵，則

22444a22

/上_]<*7=如叵，又屈,屈…所以。<如叵<2,即乙逑，故c選項(xiàng)

442242222

正確，

22

\y2

B選項(xiàng)：聯(lián)立了一5句伯,。)，得片_6^1=1，即伍2_36)/_4從=0,則

3x-y=04b2

△=0+166*2-36),由C選項(xiàng)得，b<6,止匕時(shí)A<0,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，

常見有兩種方法：

①求出a,c,代入公式0=￡；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于“，6,c的齊次式，結(jié)合爐=。2—〃轉(zhuǎn)化為。,。的齊次式，然后

等式(不等式)兩邊分別除以a或/轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值

范圍).

12.若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q,使得/(X)在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱函

數(shù)y=/(x)為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)”的是()

A.y=sinx+cosxB.y=sin(cosx)

C.y=x+sinxD.j^=x2+sinx

【答案】ABC

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定切線斜率，選項(xiàng)AB,過圖象最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))處的切線是同一條直

線，可判斷，選項(xiàng)C,由導(dǎo)函數(shù)斜率相等的點(diǎn)有無數(shù)組，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，確定斜率為1的切線，

可判斷結(jié)論，百選項(xiàng)D,導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，因此不存在斜率相等的兩點(diǎn)，這樣易判斷結(jié)論.

【詳解】A,f(x)=sinx+cosx=41(^-sinx+cosx)=V2sin(x+.

/'(x)=V^cos(x+f),x=2k7r+^-,kEZm，/,(x)=0,/(x)取得最大值

44

直線y=也是函數(shù)圖象的切線，且過點(diǎn)(2版■+?,后),keZ,函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；

B,/(X)=sin(cosx),f\x)=-sinxcos(sinx),x=2k/r,kff\x)=0,cosx=l,

-sinl</(x)<sinl,此時(shí)/(x)=sin1是函數(shù)的最大值，

直線》=sin1是函數(shù)圖象的切線，且過點(diǎn)(2左肛sinl),/twZ,函數(shù)是“切線重合函數(shù)二

C,/(X)=x+sinx,/"(X)=1+cosx,

x=2^+y,A-e/(x)=1,/(2攵;r+§=2%乃+],

jrjr-JrTT

過點(diǎn)(2丘+5,2履+5+1),丘Z的切線方程是y-(2版■+5+l)=x-(2%r+5),即y=x+l,因此該

切線過/(x)圖象上的兩個(gè)以上的點(diǎn)，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；

D,/(x)=x2+sinx,/'(x)=2x+cosx,令g(x)=/'(x)=2x+cosx,

則g'(x)=2-sinx>0,所以g(x)即/(x)是R增函數(shù)，因此函數(shù)圖象上不存在兩點(diǎn)，它們的切線斜

率相等，也就不存在切線過圖象上的兩點(diǎn)，因此函數(shù)不是“切線重合函數(shù)”.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題關(guān)鍵是理解新定義，實(shí)質(zhì)仍然是求函數(shù)圖象上的切線方

程，只是要考慮哪些切線重合，因此本題中含有三角函數(shù)，對三角函數(shù)來講，其最高點(diǎn)或最低點(diǎn)是

首選，對其它與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)，涉及到其中三角函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)也是我們首選考慮

的.

三、填空題

13.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系。-xyz中，過點(diǎn)NX。,%*。）且一個(gè)法向量為萬=（a,b,c）的平面a

的方程為“（》-%）+65-4）+。（2-2。）=0,閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面a的方程為

3x-5y+z-7=0,直線/是兩平面x-3y+7=0與4y+2z+l=0的交線，則直線/與平面a所成角

的正弦值為.

【答案】叵QM

3535

【分析】根據(jù)閱讀材料可得平面a的一個(gè)法向量，再在兩平面的交線上取兩個(gè)點(diǎn)，從而得交線的方

向向量，由此利用向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.

【詳解】因?yàn)槠矫鎍的方程為3x-5y+z-7=0,所以平面a的一個(gè)法向量萬=（3,-5,1）,

又直線，上有兩個(gè)點(diǎn)4T2,高，心」,一斗

所以直線/的方向向量為所=或=（3,1,-2）,

|9-5-2|回

所以直線/與平面a所成角的正弦值,為依.,研,=\m扁-n\=旨懸=皆.

故答案為：典.

35

14.已知P為正方體/8CZ）-48CQ表面上的一動點(diǎn)，且滿足歸/|=夜歸身,48=2,則動點(diǎn)尸運(yùn)

動軌跡的周長為.

【答案】（&+1）乃

【分析】首先根據(jù)條件確定尸點(diǎn)所處的平面，再建立坐標(biāo)系求出動點(diǎn)尸的軌跡方程，據(jù)此求出軌

跡的長.

【詳解】由|尸旬=&|尸耳,/8=2可知，正方體表面上到點(diǎn)4距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為G,

所以2點(diǎn)只可能在面/8氐4,面Z8C。，面88CC上運(yùn)動,

當(dāng)P在面Z8C。上運(yùn)動時(shí);如圖示，建立平面直角坐標(biāo)系，

則，(0,0),8(2,0),

設(shè)尸(x,y),由|射=&眼|得:x2+y2=2[(x-2)2+y2],

即(尤-4)2+/=8,即P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的軌跡是以E(4,0)為圓心，以2&為半徑的一段圓

弧，

因?yàn)椤?=2后,8E=2，故=?,

所以P點(diǎn)在面ABCD內(nèi)的軌跡的長即為工、2&=叵

同理，P點(diǎn)在面月88/內(nèi)情況亦為2x2&=叵；

42

尸點(diǎn)在面上時(shí)，因?yàn)闅w/|=&戶8|,NPBA=g,

所以/己48=￡,尸8=2,

4

所以此時(shí)尸點(diǎn)軌跡為以8為圓心，2為半徑的圓弧，

其長為，x2?x2=7r,

4

綜上述，尸點(diǎn)運(yùn)動軌跡的周長為2x與+乃=(&+1)乃，

故答案為：(收+1%.

15.設(shè)P（x,y）是曲線C：后+后=1上的點(diǎn),

耳（-3,0）,工（3,0）,則歸用+|尸用的最大值等于

【答案】10

【分析】作出曲線c和橢圓［+《=1的圖象，延長用5交橢圓于點(diǎn)可得出|MG|+|g卜10,

2516

由三角形三邊關(guān)系得出|可|+|「用4阿用+|M周=10,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，等號成立,

由此可得出|尸耳|+|「用的最大值.

則點(diǎn)片、入分別為橢圓］+［=1的左、右焦點(diǎn)，由橢圓定義得四用+|陽用=10.

2516

延長耳尸交橢圓于點(diǎn)"，

當(dāng)點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上時(shí)，由三角形三邊關(guān)系得|九①|(zhì)+|岫|>|「周，

所以，|P4|+歸用<儼用++可用=|岫|+1"周=10；

當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C的頂點(diǎn)時(shí)|尸耳|+|「用=10.

綜上所述，I尸百|(zhì)+|尸瑪區(qū)10,因此，|尸耳|+忸周的最大值為10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程之間的關(guān)系，同時(shí)也考查了橢圓定義的應(yīng)用，建立不等關(guān)系是解題的

關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力.

16.函數(shù)〃x)=/-2x-3,定義數(shù)列｛相｝如下：x,=2,x向是過兩點(diǎn)P(4,5)、的直

線PQ.與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，數(shù)列｛》,｝的通項(xiàng)公式為.

4

【答案】七二3-拈叼

【分析】求出直線P0”的斜率、P0”的方程，令>=0得三”=?嘿，設(shè)g(x)=生;，令8(8)=*解

I”十/X+2

得x,從而、““-3=:者-3x?tl+l=-^—+1,兩式相除可得土三是等比數(shù)列，從而求出x”.

小十/X“十二[X"+1J

f(x)-5x2-2r-3-5

【詳解】由題意｛-4*0,直線PQ”的斜率為人，J'"彳—=匕+2,

x“-4x?-4

54x+3

所以產(chǎn)?！暗姆匠虨?5=(x.+2)(x-4),令y=0得：x=4--=-^--,

Xn十/十」

由題意，喂，設(shè)g(x)=&U，令g(x)=x可得：生?=X,解得：x=3或-1,

x“+2x+2x+2

<4,r+3x—3

從而X，H-3==-3,整理得：加-3=?、?，

人”十4人"十Z.

Xe+l=￥W+l，整理得：4*I+1="2②，

X”十/七+2

用式①除以式②可得：手胃=《.三，又套=T，

人”+1TIJ人"干I玉十I3

所以[上是首項(xiàng)為公比為9的等比數(shù)列，從而土

[x“+lj35xn+\3

故…一招三.

4

故答案為…=3-寸/

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：運(yùn)用“不動點(diǎn)法”，對遞推關(guān)系為分式型數(shù)列，可順利構(gòu)造出等比(等差)型數(shù)

列，求出通項(xiàng)公式.

四、解答題

17.如圖，在多面體/8CDE/中，底面/BC。為正方形，ED,平面Z8C7),BF1ABCD,

DA=-DE=\,ADA.DC.

2

E

(1)求證：XE〃平面8c產(chǎn)；

(2)若BF=1,求收與平面/CE所成角的正弦值；

(3)若M2平面ZCF,求平面/CE與平面ZCP夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

G

z2\

!

c/T

正

z3\

(!

\/3

【分析】(1)以點(diǎn)。為原點(diǎn)，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平

面8c尸的法向量，即可證明；

(2)根據(jù)題意求得平面/EC的法向量，結(jié)合線面角的公式即可得到結(jié)果；

(3)根據(jù)題意求得平面4C尸的法向量，結(jié)合二面角的公式即可得到結(jié)果.

證明：因?yàn)榈酌?5CD為正方形，平面/8CD,故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),"(1,0,0),E(0,0,2),C(0,1,0),8(1,1,0)

設(shè)戶(1,1,f),則酢=(0,0,f),0=(-1,0,0),

故荏=(-1,0,2),設(shè)平面瓦(的法向量為G=(xj,z)

ii?BF=tz=0

則_,取N=l,貝什=0,1,0

n，F(xiàn)C=x=0

故樂i=0，而平面2FC,故4E//平面8尸C.

(2)因?yàn)閨礪卜1,故尸(1,1,1),即臍而太=(-1,1,0),

設(shè)平面/EC的法向量為〃?=(x,y,z),

[in-AE=-x+2z=0一,、

故一，取z=l,則X=y=2,故機(jī)=(2,2,1

[m-AC^-x+y=0

設(shè)所與平面/CE所成角為。，則

sin0-Icos<EF,m>1=—2--=

1173x33

(3)由(1)可得麗^(LV),而萬=(O,1J),

設(shè)平面的法向量為s=(x,y,z),

s-AF=y+tz=0-,、

則<-_,取z=l,貝”=y=T,故S=(T,T,1),

§ZC=-x+y=0

因?yàn)槠矫?CE,故面■IG,

故存在非零實(shí)數(shù)4,使得而=右，

即(1,1/-2)=,

[1=—At

故《個(gè)]，解得，=1,

[Z-2=X

故s=由(2)可得cos<s,機(jī)>="-=—?

'3x33

故ACE與平面ACF夾角的余弦值為史

3

18.已知在平面直角坐標(biāo)系xQy中,40,1),8(0,4),平面內(nèi)動點(diǎn)P滿足21Pzi=|PB|.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)點(diǎn)尸軌跡記為曲線r,若C,。是曲線「與x軸的交點(diǎn)，E為直線/:x=4上的動點(diǎn)，直線CE,

11

DE與曲線r的另一個(gè)交點(diǎn)分別為N,直線MN與x軸交點(diǎn)為Q,求兩？+肉的最小值.

【答案】⑴》2+/=4

⑵W

【分析】（1）根據(jù)題意用兩點(diǎn)間距離公式求解即可；（2）利用韋達(dá)定理求出M,N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得

11

MN的直線方程，即可利用基本不等式求出而？+詢的最小值.

【詳解】（1）設(shè)尸（XJ）,則2商+（尸1）2=次+（尸4）2,化簡得/+y2=4.

(2)由題意得C(-2,0),0(2,0),

設(shè)E（4#（fx0）,則直線CE的方程為y=：（x+2）,

直線。E的方程為y=］（x-2）,

F+2),得工、尤.,+J=。,

聯(lián)立《

X2+/=4,363636

c4/272-2』124/

則與一2=下壽’即nn“=下育,％=w1（x“+2）=產(chǎn)育

72-2/24/、

則知

「+36'「+36,

聯(lián)立卜=；(x-2),得匕&2?+/2_4=0,

x2+y2=4,4

則x"2=備'即心=1^'yN=^xN-2)=^,

N當(dāng)士

(產(chǎn)+4，入47

24/-8/

①當(dāng)fw±2百時(shí)，直線MN的斜率左::震一=]2_J

*+36-/+4

—

則rI士直/小線MV的j.^-x-Tr萬-1程為8/=8~/~-[\x--27/——8,

r+412-?-[r+4)

Qf

即八7T7(x-i),0(1,0),

LZ.—t

②當(dāng)f=±2a時(shí)，直線MN垂直于x軸，方程為x=l,也過定點(diǎn)。。,0).

綜上，直線MN恒過定點(diǎn)0(1,0).

又XCQMS/\DQN,

所以|吸|包0|=1*00|=3,

當(dāng)且僅當(dāng)|A/Q|=6時(shí)取等,

11

所以兩+府的最小值為“2

19.已知雙曲線C：=的左、右焦點(diǎn)分別為￡、F,直線/過右焦點(diǎn)名且與雙

a~b2

曲線C交于A、8兩點(diǎn).

(1)若雙曲線C的離心率為#,虛軸長為2/，求雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵設(shè)a=l,b=也,若/的斜率存在，且(可+耶)?荏=0,求/的斜率；

(3)設(shè)/的斜率為A，S.\OA+OB\=\OA-OB\,求雙曲線C的離心率.

【答案】⑴(-G@,(G,o)

(2)土平

⑶2

【分析】(I)由離心率公式和。力,。的關(guān)系，即可得到結(jié)果；

(2)求出右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件，即可求

出直線的斜率.

(3)設(shè)直線/的方程為y=?x-c),與雙曲線方程聯(lián)立，消元，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合由題意得出的

OAOB^O,即可得到。、。的關(guān)系，從而求出離心率.

【詳解】(I)解：由題意得26=2貶,e=￡=百”=/+/,

a

解得。=1,6=也,c=6,

故雙曲線。的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-百,0卜(6,0).

(2)解：雙曲線=可得6(2,0),

設(shè)”(士,必),8(々,%)，直線/的斜率為：4二"二21,

設(shè)直線/的方程為N=?(X-2),

y=kx-2k

聯(lián)立直線與雙曲線的方程，V2,

X~~—=\

I3

消去y得(3-公卜2+4h—4公-3=0,

由直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則3-公=。且△=36(1+切＞0,即心土右，

/17,2(4k2、\2k

可得再+々=正與，則必+力=左(西+3-4)=上〔/二§-41=產(chǎn)二3，

又耳力=(%+2,乂)，月8=伍+2,%)

(用+耳可ZB=O,可得(演+七+4,必+y2)-(x2-x],y2-yl)=0,

即。+3+4)仁-再)+(M+))(％-%)=°，

將左=三21代入上式，可得占+七+4+(必+%)4=0,

X2~Xl

4k2,12k.八—rzpii23

得—2---F4H-----左=0,可得人——,

七2一3a-35

解得我=土巫，即/的斜率為土姮.

55

(3)解：右焦點(diǎn)為鳥(c,0),設(shè)直線/的方程為y=%(x-c),/(演,乂),8(*2，%),

y=k(x-c)

聯(lián)立直線與雙曲線的方程/2

b-F=1

消去y得：(〃一a2k2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0,

A=4c2a4kA+4伍2一〃2公),2%2c2+02b2)>o,

-2ca2k2-a2k2c2-a2b2

12h2-a2k212b2-a1k2

2222

則yty2="區(qū)_C)(x2-c)=A:[x,x2+c-c(x,+x2)]=A-今，

由〔ON+08卜10/4—OB^,得(04+OB)=(04—OB),

整理得dZ礪=0，則西入2+%歹2=°，

g|Ja2h2+a2k2c2+k2(^a2h2-b2c2)=0,

則〃%2+。242(/+/)+%?一〃(/+〃)]=o.

a2h2

整理得k2

力-2/

因?yàn)?的斜率上*所以在總占

整理得〃=3/,

則c2-a2=3a2,c2=4a2,c=2a,

所以離心率e=—=2.

a

20.設(shè)幾為正實(shí)數(shù)，若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4,｝滿足：VneN,,都有。向2a,,+2.則稱數(shù)列｛《,｝

為PQ)數(shù)列.

(1)判斷以下兩個(gè)數(shù)列是否為尸⑵數(shù)列：

數(shù)列A：3,5,8,13,21；

數(shù)列B：log?5,兀，5,10.

(2)若數(shù)列｛〃｝滿足4>0且="+"3-而I,是否存在正實(shí)數(shù)2,使得數(shù)列也｝是P(㈤數(shù)

列？若存在，求彳的取值范圍；若不存在，說明理由.

(3)若各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列｛??｝是尸⑴數(shù)列，且｛%｝的前機(jī)(加之2)項(xiàng)和4+々+4+…+%為150,

求明+加的最小值及取得最小值時(shí)%的所有可能取值.

【答案】(1)數(shù)列A是，數(shù)列8不是；

(2)不存在，理由見解析；

(3)答案見解析.

【分析】(1)根據(jù)定義驗(yàn)證22是否恒成立，即可判斷；

(2)假設(shè)存在，則由已知6"+[=6“+J〃+3-dn+l可推得6”+1—6,</?

當(dāng)〃>好時(shí)，b,l+i-bn<^<A,這與假設(shè)矛盾，所以不存在；

(3)根據(jù)已知推出《向2勺+1,進(jìn)而推出。?,2心，am_x<am-\,L,<a?,-(/n-1),相加可推

得明2空+￡■-2.根據(jù)基本式，結(jié)合題意可得明,+〃，的最小值不小于30.進(jìn)而得出力的范圍，得到

所有可能的整數(shù)解.分情況討論，得出數(shù)列，即可得到%的所以可能的取值.

【詳解】(1)根據(jù)定義，尸⑵數(shù)列應(yīng)滿足都有。用之[+2,

即。川-。,,22恒成立.

對于數(shù)列A：有5-3=222,8-5=3>2,13-8=522,21-13=822均滿足，所以數(shù)列A是

尸(2)數(shù)列;

對于數(shù)列8,因?yàn)?-兀<2不滿足，所以數(shù)列8不是P(2)數(shù)列.

(2)不存在正實(shí)數(shù)2,使得數(shù)列抄“｝是尸(㈤數(shù)列.

說明理由如下：假設(shè)存在正實(shí)數(shù)2，使得數(shù)列｛4｝是P(㈤數(shù)列，

則V〃eN*,都有%>b?+A,即"恒成立.

因?yàn)閎n+l=b“+y/n+3-\jn+1,

所以明「"=而-內(nèi)=7方|工7T(京‘

當(dāng)■時(shí)，》<入,這與假設(shè)矛盾.

所以，不存在正實(shí)數(shù)4,使得數(shù)列抄“｝是P(㈤數(shù)列.

(3)因?yàn)閿?shù)列｛%｝是尸⑴數(shù)列，所以知+后怎+1.

所以42am-I+12°時(shí)2+22…24+機(jī)-12機(jī)，

所以am_2<am_x-\<am-l,?,?_3<?,?_2-1<?m-3,L,?2<a3-1<-(/n-2),

所以％+&+%+???+6”4機(jī)*,一口+2+3+…+(*-1)]=加冊",

,150tn1

即150K〃nz,“--------,所以之一^一+彳一

匚匕^1503m1J1503〃?1?159

所以勺+加之+—■■一力22X---=30--=—,

m22\m2222

因?yàn)閿?shù)列｛〃“｝是整數(shù)列，所以冊+機(jī)的最小值不小于30.

假設(shè)勺+加=30,必有地+”一!430,解得§4機(jī)412,

m223

因?yàn)闄C(jī)eN”，所以m可取9,10,11,12.

當(dāng)〃?=9時(shí)，a?,=21,存在滿足條件的數(shù)列.

%=10,tz2=14,%=15,aA=16,a5=17,a6=18,%=19,4=20,a9=21；

當(dāng)機(jī)=10時(shí)，am=20,存在滿足條件的數(shù)列.

%=6,a2=12,a3=13,a4=14,%=15,tz6=16,%=17,a8=18,%=19,al0=20；

當(dāng)加=11時(shí)，品=