階段檢測(cè)試題（一）

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

【選題明細(xì)表】

知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)

集合與常用邏輯用語(yǔ)1,3

函數(shù)概念與表示2,4,10

函數(shù)的基本性質(zhì)5,7,13,16

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)17,18

函數(shù)圖象6

函數(shù)與方程12

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用9,11,14,15,19,20,21,22

定積分及應(yīng)用8

一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分）

1.（2017?山東師大附中高三一模）已知集合11=々，-2*-8忘0},集合N={x|lgx20},則MCN

等于（C）

（A）{x|-2這x這4}（B）{x|x21}

（C）{x11WxW4}（D）{x|x》-2}

解析:因?yàn)閤J2x-8W0,

所以-2WxW4,

所以M={x|-2WxW4},因?yàn)?gx20,

所以x》l,

所以N={x|x'l},

所以MCN={x|1WXW4}.選C.

2.（2017?江西九江高三七校聯(lián)考）函數(shù)y」°g2（x+1）的定義域是（D）

（A）（-1,3）（B）（-1,3]

(C)(-1,0)U(0,3)(D)(-1,0)U(0,3]

解析：由9-X2>0,X+1>0,X+1W1知T〈xW3且xWO,故選D.

3.(2017?江西瑞金一中等紅色七校高三第一次聯(lián)考)下列說法正確的是(A)

1

(A)aGR,“a〈i”是匕“”的必要不充分條件

(B)“p/\q為真命題”是“pVq為真命題”的必要不充分條件

(C)命題a3xWR,使得X2+2X+3〈0”的否定是：“VXWR,X2+2X+3>0”

(D)命題p:"VxGR,sinx+cosxW"”,則p是真命題

11

解析:因?yàn)閍〉l時(shí),a〈l,但a〈i時(shí),a<0或a>l.故A正確；當(dāng)pAq為真命題時(shí),p,q均為真命題,

而pVq為真命題時(shí),p,q中至少有一個(gè)為真命題，因此“pAq”為真是“pVq”為真的充分

不必要條件;C中原命題的否定是“VxGR,x，2x+320"；1)中,p是真命題,因此p是假命

題.

4.設(shè)函數(shù)f(x)=13x+l,xN0,則f[f(-2)]等于(A)

1

(A)3(B)l(C)0(D)3

解析:f(-2)=-2+2=0,f[f(-2)]=f(0)=30H=3.故選A.

5.(2016?濱州模擬)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且是周期為4的周期函數(shù),f(1)=1,則

f(-l)+f(8)等于(B)

(A)-2(B)-l(C)0(D)l

解析：因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(O)=O,f(-x)=-f(x)

因?yàn)閒(x)是周期為4的周期函數(shù)，

所以f(x+4)=f(x).

因?yàn)閒(1)=1,

所以f(-l)+f(8)=-f(l)+f(0)=-l.

2

6.(2017?河北衡水中學(xué)高三上學(xué)期一調(diào))函數(shù)f(x)=(l+eX-i)cosx的圖象大致是(B)

所以f(-x)」+ecos(-x)=l+ecosx=-f(x),

所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),排除A,C.

21-e

當(dāng)x=l時(shí)，f(1)=(1+?T)cos1=1+ecosl<0.選B.

/-x2-ax-5(x<1),

a

4x>l)

7.已知函數(shù)f(x)=1x是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是(C)

(A)[-3,0)(B)(-oo,-2]

(C)[-3,-2](D)(-8,O)

解析:若f(x)為R上的增函數(shù),

a

I—51,

2

A

a<0,

2La

-l--aT-50一,

則應(yīng)滿足I1所以-3WaW-2.選C.

8.曲線y=e*,y=e*及x=l圍成圖形的面積是(B)

11

(A)e+e(B)e+e-2

12

(C)2+e(D)e

解析:如圖.

X=1

(y=ex.

由ly=e-x知x=0,

1

r,i-、

故S二。(ex-ex)dx=(ex+ex)I0=e+e-2.選B.

1

9.設(shè)a￡R,若函數(shù)f(x)=x+alnx在區(qū)間(Re)有極值點(diǎn)，則a的取值范圍為(B)

1

(A)(e,e)

1

(B)(-e,-e)

1

(C)(-8,e)u(e,+8)

1

(D)-e)U(-e,+8)

a1

解析:f'(x)=l+x(x>0),『(x)為單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(e,e)有極值點(diǎn)，即f'

1a11

(e)f'(e)<0,得(1+ae)(1+?)<O=(a+e)(a+。)<0,解得-故選B.

10.|導(dǎo)學(xué)號(hào)187面面］設(shè)函數(shù)f(x)=ei,nx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若

xHx2且f(x)=f(x，，則下列結(jié)論一定不成立的是(C)

(A)x2f(xi)>1(B)x2f(xi)=l

(C)x2f(Xi)<l(D)x2f(Xi)<Xif(x2)

/ejx-

e'blx=-,O<x<1,

解析:f(x)=1x

1

X

作出y=f(x)的圖象，若0<XI<KX2,則f(xi)=1>1,f(X2)=x2>l,

則x2f(xi)>l,則A可能成立;

1

X

若O<X2<1<X1,則f(x2)=2>1,f(X1)=X1>1,

則Xzf(X1)=X2X1=1,則B可能成立;

對(duì)于D,若0<Xi<l<X2,則x2f(xi)>l,Xif(x2)=l,則D不成立;

若0<X2<KXI,則x2f(xi)=l,xif(x2)>l,則D成立.故有C一定不成立.

故選C.

11.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702162設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間，若存在刈0),使f(xo)=~xo,

則稱X。是f(x)的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”，也稱f(x)在區(qū)間D上存在“次不動(dòng)點(diǎn)”，若函數(shù)

5

f(x)=ax?-3x-a+2在區(qū)間口,4］上存在“次不動(dòng)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)

1

(A)(-oo,0)(B)(0,2)

11

(C)[2,+8)(D)(-oo,2]

解析:設(shè)晨x)=f(x)+x,依題意，

5

存在x￡[1,4],使g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+2=o.

1

當(dāng)x=l時(shí),g⑴=2wo；

54x-5

-2

當(dāng)xWl時(shí)，由ax2-2x-a+2=o得a=2(x?1).

4x-5

2

記h(x)=2(x-l)(Kx^4),

-2x2+5x-2i

22T

則由h'(x)=(x-1)=0得x=2或x=2(舍去).

當(dāng)xG(l,2)時(shí),h'(x)>0;

當(dāng)xG⑵4]時(shí),h'(x)<0,

即函數(shù)h(x)在(1,2)上是增函數(shù),在(2,4]上是減函數(shù),

因此當(dāng)x=2時(shí),h(x)取得最大值，

1

最大值是h⑵工，

1

故滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,2],

121導(dǎo)學(xué)號(hào)187面前已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=g(x)滿足以下條件:①VxW

R,g(3-x)=g(3+x);②g(x)=g(x+2);③當(dāng)xG[1,2]時(shí),g(x)=

-2x'+4x-2,若方程g(x)=log3(x+l)(a>0,且aWl)在[0,+8)上至少有5個(gè)不等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為(C)

亞企

(A)(0,3)(B)(0,3]

企1

(0(0,5)(D)[2+OO)

解析:由g(3-x)=g(3+x)知g(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，由g(x)=

g(x+2)知g(x)的一個(gè)周期T=2,結(jié)合g(x)=-2x、4x-2(xG[1,2]),作出g(x)的圖象與函數(shù)

y=log.(x+l)(x》0)的圖象，則方程g(x)=log.(x+l)在[0,+8)上至少有5個(gè)不等的實(shí)根等價(jià)

于函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)y=log.(x+l)(x>0)的圖象至少有5個(gè)交點(diǎn),如圖所示,則

(0<a<1,4

|lOga(4+l)=Ioga5>-2,所以o<a<5,選c.

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

xex+x+2

13.已知函數(shù)f(x)=e'+l+sinx,貝！Jf(-4)+f(-3)+f(-2)+f(T)+f(0)+

f(l)+f(2)+f⑶+f(4)的值是.

2

解析：因?yàn)閒(x)=x+sinx+e*+l,

2ex

f(-x)=-x-sinx+l+e',

22ex

故f(x)+f(-x)=e+1+1+e=2;

所以f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-l)+f(0)+f(l)+f(2)+f(3)+f(4)=2X4+

1=9.

答案：9

111

14.記函數(shù)f(x)=3x3-2x42在(0,+8)上的值域?yàn)镸,g(x)=(x+l)'+a在

(-8,+8)上的值域?yàn)镹,若NcM,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：f'(x)=x2-x(x>0),由f'(x)>0=xC(l,+8)；由伊(x)〈0=

1

xG(0,1),所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,所以M=[3,+8),又

1

N=[a,+8),所以若NUM,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[§,+8).

1

答案:自+8)

1a

15.導(dǎo)學(xué)號(hào)18702165若函數(shù)f(x)=3x'-2x，+(3-a)x+b有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是.

解析:f'(x)=x?-ax+3-a,要使f(x)有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，需△=

(-a)2-4(3-a)>0,即a￡(-°°,-6)U(2,+°°).

答案：(-8,-6)U(2,+8)

16.若直線1與曲線C滿足下列兩個(gè)條件：⑴直線1在點(diǎn)P(x。,y°)處與曲線C相切；(ii)曲線

C在點(diǎn)P附近位于直線1的兩側(cè),則稱直線1在點(diǎn)P處“切過”曲線C,下列命題正確的是一

(寫出所有正確命題的編號(hào)).

①直線l:y=0在點(diǎn)P(0,0)處“切過”曲線C:y=x，;

②直線l：y=xT在點(diǎn)P(l,0)處“切過”曲線C:y=lnx;

③直線l：y=-x+n在點(diǎn)P(n,0)處“切過”曲線C:y=sinx;

④直線l:y=x+l在點(diǎn)P(0,1)處“切過”曲線C:y=e".

解析:對(duì)于①,y=/在點(diǎn)P(0,0)處的切線為y=0,符合題中兩個(gè)條件,所以正確;對(duì)于②,曲線

C:y=lnx在直線l:y=xT的同側(cè),不符合題意,所以錯(cuò)誤;對(duì)于③,由圖象可知，曲線C:y=sinx

在點(diǎn)P(m,0)附近位于直線1的兩側(cè),符合題意，所以正確;對(duì)于④,曲線C:y=e”在直線

l：y=x+l的同側(cè),不符合題意,所以錯(cuò)誤;即正確的有①③.

答案:①③

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.(本小題滿分10分)

1+ax

導(dǎo)學(xué)號(hào)187021翎已知函數(shù)f(x)=log2x-1(a為常數(shù))是奇函數(shù).

(1)求a的值與函數(shù)f(x)的定義域；

(2)若當(dāng)xW(1,+8)時(shí),f(x)+log2(x-l)>m恒成立.求實(shí)數(shù)m的取值

范圍.

1+ax

解：⑴因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=log2X-l是奇函數(shù),

所以f(-X)=-f(x),

1-ax1+ax

x1=

所以log2---10g2X-1,

ax-1x-1

即log/x+l=logj+ax,

所以a=].

1+x

令xT>0,解得x〈T或x>l.

所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<7或x>l}.

(2)f(x)+loga(x-1)=log2(1+x).

當(dāng)x>l時(shí)，x+l>2,

所以log2(l+x)>log22=l.

因?yàn)閤G(1,+8),f(x)+log2(x-l)>m恒成立.

所以mWl,

所以m的取值范圍是(-8,1].

18.(本小題滿分12分)

導(dǎo)學(xué)號(hào)18702而設(shè)函數(shù)f(x)=kaX-a”(a>0,aWl)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).

⑴若f(l)>0,試求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;

3

(2)若f(1)=2且g(x)=a"+a"4f(x),求g(x)在[1,+8)上的最小值.

解:因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(0)=0,

所以k-l=0,即k=l,f(x)=a'-a

(1)因?yàn)閒(D>0,

所以f(l)=a-a'>0,又因?yàn)閍>0,aWl,

所以a>l,故f(xha,-a.為增函數(shù)，

又f(X2+2X)>-f(x-4),f(x)為奇函數(shù)，

所以f(X2+2X)>f(4-x),

則X2+2X>4-X,X2+3X-4>0,

所以x〉l或x<-4,

所以不等式的解集為{x|x>l或x<-4}.

3

⑵因?yàn)閒(l)=a-a匚2

所以a=2.

所以f(x)=2X_2[g(x)=a2x+a-2x-4(2x-2-x)=(2X-2-X)2-4(2x-2-x)+2,

令t=2x-2-x,則t在xW[1,+8)上為增函數(shù)，

3

所以

所以函數(shù)g(x)=t2-4t+2=(t-2)2-2,當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)g(x)取最小值-2,此時(shí)x=log2(l+曲).

19.(本小題滿分12分)

1

導(dǎo)學(xué)號(hào)18702168已知f(x)=2x；g(x)=alnx(a>0).

(1)求函數(shù)F(x)=f(x)g(x)的極值;

1

(2)若函數(shù)G(x)=f(x)-g(x)+(aT)x在區(qū)間e)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

1

解：(l)F(x)=f(x)g(x)=2axYnx(x>0),

11

所以F'(x)=axlnx+2ax=ax(Inx+2),

11

22

由F'(x)>0得x>e，由F'(x)<0得0<x<e,

11

'2~?

所以F(x)在(0,e]上單調(diào)遞減，在[e+8)上單調(diào)遞增，

1a

所以F(x)極小值=F(e5=_4e,無極大值.

1

(2)因?yàn)镚(x)=2xJalnx+(a-l)x,

a(x+a)(x-1)

所以G'(x)=x-x+a-l=x

11

又a>0,e<x<e,易得G(x)在(%1]上單調(diào)遞減,在[1,e)上單調(diào)遞增，

1

要使函數(shù)G(x)在仔,e)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，

1a-1

.——+----+a>0.

2e2e

1

-+a-1<0,

[G(-)>0,2

2

e

G(l)<0,一+(a-l)e-a>0

需(G(e)>0即

2e-1

/a>——，

2e+2e

1

a<-

2

2e-e2

a>----,

所以I2e-2

2e-1i2e-11

所以2e?+2e<a<2即a的取值范圍是(2e?+2e2).

20.(本小題滿分12分)

(2017?河北衡水中學(xué)高三調(diào)研)已知曲線f(x)=ax+bx21nx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是

y=2xT.

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

⑵若f(x)》kx2+(k-l)x恒成立,求實(shí)數(shù)k的最大值.

解：(l)f'(x)=a+2bxlnx+bx,貝!]f(l)=a=l,f'(l)=a+b=2nb=L

(2)由題x+x2lnx2(kx+k-1)?x恒成立，

2+xlnx

即kWX+1恒成立.

2+xlnx

令g(x)=X+1,

(Inx+l)(x+1)-2-xlnxInx+x-1

g，(x)=(x+1)2=(x+l)2,

顯然y=lnx+x-1單調(diào)遞增，且有唯一零點(diǎn)1,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)mi?=g(l)=l,

所以kWl,故k的最大值為1.

21.(本小題滿分12分)

(2016?江蘇南京三模)某民營(yíng)企業(yè)從事M國(guó)某品牌運(yùn)動(dòng)鞋的加工業(yè)務(wù),按照國(guó)際慣例以美元

結(jié)算.依據(jù)以往的加工生產(chǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析,若加工訂單的金額為x萬美元,可獲得的加工費(fèi)的

1

近似值為51n(2x+l)萬美元.2011年以來,受美聯(lián)儲(chǔ)貨幣政策的影響，美元持續(xù)貶值.由于從

生產(chǎn)訂單簽約到成品交付要經(jīng)歷一段時(shí)間，收益將因美元貶值而損失mx萬美元(其中m是該

1

時(shí)段的美元貶值指數(shù)，且從而實(shí)際所得的加工費(fèi)為f(x)=51n(2x+l)-mx萬美元.

1

(1)若某時(shí)段的美元貶值指數(shù)m=200,為了確保企業(yè)實(shí)際所得加工費(fèi)隨x的增加而增加,該企

業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x應(yīng)該控制在什么范

圍內(nèi)？

1

(2)若該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬美元時(shí)共需要的生產(chǎn)成本為20x萬美元,已知該企、也

的生產(chǎn)能力為xe[10,20],試問美元貶值指數(shù)m在何范圍內(nèi)時(shí),該企業(yè)加工生產(chǎn)不會(huì)出現(xiàn)虧

2

損？(已知(ln(2x+l))'=2x+l).

11

解：(1)由已知m=200,f(x)=2in(2x+l)-mx,

1X

所以f(x)=2］n(2x+l)-200(x>0),

11199-2x

所以f，(x)=2x+l-200=200(2x+1).

由f'(x)〉0=199-2x>0,解得0<x<99.5,

即加工產(chǎn)品訂單金額x￡(0,99.5)(單位:萬美元)，該企業(yè)的實(shí)際所得加工費(fèi)隨x的增加而增

加.

11

(2)依題意，該企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損,則當(dāng)xG［10,20］04,都有51n(2x+l)-mx220x,

即101n(2x+l)-(20m+l)x20,

設(shè)g(x)=101n(2x+l)-(20m+l)x,

-(40m+2)x-20m+19

則g'(x)=2x+l

19-20m

令g'(x)=0,得x=40m+2.

19-20m120

因?yàn)閤=40m+2=_2+40m+2<10>

所以g(x)在［10,20］上是減函數(shù),

所以g(x)mi?=g(20)=101n41-20(20m+l)>0,

ln41-2

所以mW40，又m>0,

ln41-2

所以mG(0,40］時(shí)，該企業(yè)加工生產(chǎn)不會(huì)虧損.

22.(本小題滿分12分)

x-1

導(dǎo)學(xué)號(hào)18702函已知函數(shù)f(x)=ax-inx(a￥0).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

1

(2)當(dāng)a=l時(shí)，求f(x)在口2］上的最大值和最小值(0.69<ln2<0.70);

e21+x

⑶求證：lnxwx.

⑴解