滬科版九年級上冊數(shù)學(xué)期末考試試題

一、選擇題。(每小題只有一個正確答案)

1.式子2cos30。-tan45。的值是()

A.1-變B.0C.>/3-1D.73--

22

2.下列函數(shù)解析式中，一定是二次函數(shù)的是（）

A.y=3x-lB.y=2x?-2x+lC.y=ax2+bx+cD.y=^+—

x

3.將拋物線y=x2+l先向左平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得拋物線的函數(shù)

關(guān)系式是()

A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2-2C.y=(x-2)2+2D.y=(x-2)2-2

4.在RSABC中，ZC=90°,ACM,BC=3,則sinA是

A.3B,1c.3D.i

5543

2

5.對于反比例函數(shù)丁=—,下列說法中不正確的是()

x

A.點(diǎn)(-2,-1)在它的圖象上B.它的圖象在第一、三象限

C.>隨X的增大而減小D.當(dāng)x<0時，，'隨X的增大而減小

6.如圖，已知ADE?和二ABC的相似比是1:2,且.AQE的面積是1,則四邊形。8CE的面

積是()

C.4D.5

7.如圖是二次函數(shù)y二ax2+bx+c圖象的一部分，且過點(diǎn)A(3,0),二次函數(shù)圖象的對稱軸

是直線x=l,下列結(jié)論正確的是(）

ac>0C.2a-b=0D.a-b+c=0

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似

1

圖形，且相似比為:，點(diǎn)A,B,E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6,則C點(diǎn)坐標(biāo)為

A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)

9.在平面直角坐標(biāo)系xO），中，將一塊含有45。角的直角三角板如圖放置，直角頂點(diǎn)C的坐

標(biāo)為（1,0）,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,2）,頂點(diǎn)8恰好落在第一象限的雙曲線上，現(xiàn)將直角

三角板沿x軸正方向平移，當(dāng)頂點(diǎn)A恰好落在該雙曲線上時停止運(yùn)動，則此時點(diǎn)C的對應(yīng)

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

35

A.(-,0)B.(2,0)C.(-,0)D.(3,0)

22

10.如圖A8C和,。都是邊長為2的等邊三角形，它們的邊在同一條直線/上,

點(diǎn)C,E重合，現(xiàn)將AABC沿著直線/向右移動，直至點(diǎn)B與尸重合時停止移動.在此過程

中，設(shè)點(diǎn)移動的距離為x,兩個三角形重疊部分的面積為了，則》隨x變化的函數(shù)圖像大致

為（）

2

二、填空題

11.已知點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，MP>NP,fiMP=(75-l)cm,則MN等于

____________cm.

12.已知A(0,3),B(2,3)是拋物線；=二上兩點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

13.矩形ABCD中，AB=6,BC=8.點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)E在邊BC上，滿足

△PBE-ADBC,若AAPD是等腰三角形，則PE的長為數(shù).

14.如圖，己知一次函數(shù)y=Ax+6的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于點(diǎn)A(3,a),點(diǎn)、B

x

(14-2a,2).若一次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)0的對稱點(diǎn)，KUACD

的面積.

15.如圖，在AABC中，點(diǎn)。是邊A8的四等分點(diǎn)，DE//AC,DF//BC,AC=12,BC=16,

則四邊形DECF的周長

三、解答題

3

16.計算：(-1)2-2sin45°+(兀-2018)°+|—&|.

17.若9=^=5且3a—力+c=9,求2〃+4h—3c的值(。，b,c均不為0)

578

18.已知二次函數(shù)的圖象以A(-l,4)為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)5(2,-5)

(1)求該函數(shù)的關(guān)系式；

(2)求該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

19.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，ZABC的頂點(diǎn)都在

格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)8的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

(2)以原點(diǎn)。為位似中心，將ZABC放大，使變換后得到的Z4BG與4A8C對應(yīng)邊的比

為2：1,請?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫出ZA山Ci.

20.隨著中國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高，中國高鐵正迅速崛起.高鐵大大縮

短了時空距離，改變了人們的出行方式.如圖，A,B兩地被大山阻隔，由A地到B地需要

4

繞行C地，若打通穿山隧道，建成A,B兩地的直達(dá)高鐵，可以縮短從A地到B地的路程.已

知：/CAB=30。，ZCBA=45°,AC=640公里，求隧道打通后與打通前相比，從A地到B

地的路程將約縮短多少公里？(參考數(shù)據(jù)：V3-1.7,72=1.4)

21.如圖，在RtAABC中，NC=90°,點(diǎn)尸是邊AC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PQ/A8交

點(diǎn)。，點(diǎn)。為線段PQ的中點(diǎn)，且AO平分NBAC.

(1)求證：△ABCs

(2)若AB=13,BC=\2,求AP的長.

22.如圖，已知反比例函數(shù)y=8(x>0)的圖象與一次函數(shù)y=-5x+4的圖象交于A和B

X2

(6,n)兩點(diǎn).

(1)求k和n的值；

(2)若點(diǎn)C(x,y)也在反比例函數(shù)y二七(x>0)的圖象上，求當(dāng)20x^6時，函數(shù)值y的

x

5

取值范圍.

23.某公司投入研發(fā)費(fèi)用80萬元（80萬元只計入第一年成本），成功研發(fā)出一種產(chǎn)品.公

司按訂單生產(chǎn)（產(chǎn)量=銷售量），第一年該產(chǎn)品正式投產(chǎn)后，生產(chǎn)成本為6元/件.此產(chǎn)品年

銷售量y（萬件）與售價x（元/件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+26.

（1）求這種產(chǎn)品第一年的利潤Wi（萬元）與售價x（元/件）滿足的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該產(chǎn)品第一年的利潤為20萬元，那么該產(chǎn)品第一年的售價是多少？

（3）第二年，該公司將第一年的利潤20萬元（20萬元只計入第二年成本）再次投入研發(fā)，

使產(chǎn)品的生產(chǎn)成本降為5元/件.為保持市場占有率，公司規(guī)定第二年產(chǎn)品售價不超過第一

年的售價，另外受產(chǎn)能限制，銷售量無法超過12萬件.請計算該公司第二年的利潤W2至

少為多少萬元.

24.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)4（5,4）作軸于點(diǎn)8,作4CJ_），軸于點(diǎn)C,

D為AB上一點(diǎn),把AACD沿CD折疊，使點(diǎn)4恰好落在邊上的點(diǎn)E處.

（1）已知拋物線y=2x2+/>x+c經(jīng)過A、E兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；

27

（2）如圖2,點(diǎn)F為線段CD上的動點(diǎn)，連接8F,當(dāng)△8OF的面積為歷時，求tan/BFD

的值；

（3）將拋物線），=2X2+fcc+c平移，使其經(jīng)過點(diǎn)C,設(shè)拋物線與直線AC的另一個交點(diǎn)為M,

問在該拋物線上是否存在點(diǎn)N,使得△CMN為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

6

參考答案

1.C

【分析】

把30。的余弦值、45。的正切值代入，計算即可.

【詳解】

解：2cos300-tan45°,

=2文2-1,

2

=6-1,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值實(shí)際課題關(guān)鍵.

2.B

【分析】

二次函數(shù)的解析式必須是含自變量的整式，二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

7

【詳解】

A.y=3x-1,是一次函數(shù);

B.y=2x2-2x+l,是二次函數(shù);

C.y=ax2+bx+c,二次項(xiàng)系數(shù)a不能確定是否為0,不是二次函數(shù)；

D.y=x2+4不是含自變量的整式，不是二次函數(shù)

故答案選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次函數(shù)的定義.

3.B

【詳解】

二次函數(shù)圖象與平移變換.

【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減''的原則進(jìn)行解答：

將拋物線y=x2+l先向左平移2個單位所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式是：y=(x+2)2+l；

將拋物線y=(x+2A+1先向下平移3個單位所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式是:y=(x+2)2+1—3,

即y=(x+2)2-2.故選B.

4.A

【分析】

根據(jù)題意畫出圖形，由勾股定理求出AB的長，再根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可.

【詳解】

如圖，在Rt2\ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

；.AB=JAC?+BC。=5,

.?.s?mA=BC=—3,

AB5

故選A.

8

R

【點(diǎn)睛】

本題考查銳角三角函數(shù)的定義.關(guān)鍵是熟練掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊,

余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

5.C

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)用排除法解答，當(dāng)系數(shù)k>0時，函數(shù)圖象在第一、三象限，當(dāng)x>0

或x<0時，y隨x的增大而減小，由此進(jìn)行判斷.

【詳解】

2

A、把點(diǎn)(-2,-1)代入反比例函數(shù)丫=—得-1=-1,本選項(xiàng)正確：

x

B、?.*=2>0,.?.圖象在第一、三象限,本選項(xiàng)正確;

C、?.次=2>0,...圖象在第一、三象限內(nèi)y隨x的增大而減小，本選項(xiàng)不正確；

D、當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小，本選項(xiàng)正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】

考查了反比例函數(shù)y=&(k#0)的性質(zhì)：①當(dāng)k>0時，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k

X

<0時，圖象分別位于第二、四象限.②當(dāng)k>0時，在同一個象限內(nèi)，y隨X的增大而減??；

當(dāng)k<0時，在同一個象限，y隨x的增大而增大.

6.B

【分析】

根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求出△ABC的面積，進(jìn)而可得答案.

【詳解】

和ABC的相似比是1:2,dADE的面積是1,

9

?S&ADE_J_\2_J_

?，S'(2)-4，

?.二4)E的面積是1,

??SAABC-4＞

S|iqa?DBC"SAABC-SAAO-3，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求出△ABC的面積

是解題關(guān)鍵.

7.D

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

???拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，.?.從-4四＞0,即從＞4雙,所以A選項(xiàng)錯誤;

?拋物線開口向上，??.a〉。，；拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，...cVO,...acVO,所以B

選項(xiàng)錯誤；

?.?二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=l,...-3=1,...Za+buO,所以C選項(xiàng)錯誤；

2a

???拋物線過點(diǎn)A(3,0),二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=l,.?.拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為

(-1,0),a-b+c=O,所以D選項(xiàng)正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)

鍵.

8.A

【詳解】

???正方形ABCD與正方形8E/G是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，且相似比為;,

.AD1

??二一,

BG3

?；BG=6,

：.AD=BC=29

10

9：AD//BG,

:?/\OADs叢OBG,

.OA1

??=一?

OB3

.OA1

??=1,

2+OA3

解得：。4=1,：.0B=3,

，C點(diǎn)坐標(biāo)為：(3,2),

故選A.

9.C

【分析】

過點(diǎn)5作3。_1_無軸于點(diǎn)。，易證△AC0gZ\3C￡>(A4S),從而可求出B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求

出反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式與A的坐標(biāo)即可得知平移的單位長度，從而求出C的

對應(yīng)點(diǎn).

【詳解】

解：過點(diǎn)3作3。_Lx軸于點(diǎn)。，

VNACO+N5CD=90。，

NOAC+NACO=90。，

：,/OAC=/BCD,

/OAC=/BCD

在△ACO與△BCD中，ZAOC=/BDC

AC=BC

???△ACO絲△BCD(AAS)

：.OC=BD,OA=CD,

'：A(0,2),C(1,0)

：?OD=3,BD=T,

：.B(3,1),

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=4,

X

將B(3,1)代入y=工，

x

:?k=3,

11

3

?,?把y=2代入產(chǎn)一，

x

當(dāng)頂點(diǎn)A恰好落在該雙曲線上時，

3

此時點(diǎn)A移動了,個單位長度，

???c也移動了1個單位長度，

此時點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(!■,())

本題考查反比例函數(shù)的綜合問題，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，反比例函數(shù)的解析式，平

移的性質(zhì)等知識，綜合程度較高，屬于中等題型.

10.A

【分析】

根據(jù)圖象可得出重疊部分三角形的邊長為x,根據(jù)特殊角三角函數(shù)可得高為無x,由此得出面

2

積y是x的二次函數(shù)，直到重合面積固定，再往右移動重疊部分的邊長變?yōu)?4—x),同時可得

【詳解】

C點(diǎn)移動到F點(diǎn)，重疊部分三角形的邊長為x,由于是等邊三角形,則高為3科面積為

2

224

B點(diǎn)移動到F點(diǎn)，重疊部分三角形的邊長為(4—x),高為日(4-x),面積為

y=(4-x)管(4-x).g=￥(4_xy,

12

兩個三角形重合時面積正好為G.

由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可判斷答案為A,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形運(yùn)動面積和二次函數(shù)圖像性質(zhì)，關(guān)鍵在于通過三角形面積公式結(jié)合二次函數(shù)

圖形得出結(jié)論.

II.2

【分析】

把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分

割叫做黃金分割，他們的比值(叵口)叫做黃金比.

2

【詳解】

根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，得MP=避二1MN,

2

MP

.,.MN=75-1,且MP=(否-*m

2

；.MN=2.

故填：2.

【點(diǎn)睛】

考查了黃金分割點(diǎn)的概念，解題的關(guān)鍵是熟知黃金比的值.

12.(1,4).

【詳解】

試題分析：把A(0,3),B(2,3)代入拋物線\=一/—c可得b=2,c=3,所以

；.=-x：+k+3=-(x-D：-4,即可得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4).

考點(diǎn)：拋物線的頂點(diǎn).

13.3或1.2

【分析】

由APBEsaDBC,可得/PBE=/DBC,繼而可確定點(diǎn)P在BD上，然后再根據(jù)△APD是

等腰三角形，分DP=DA、AP=DP兩種情況進(jìn)行討論即可得.

【詳解】

13

:四邊形ABCD是矩形，/.ZBAD=ZC=90°,CD=AB=6,BC=8,.,.BD=10,

VAPBE^ADBC,

，ZPBE=ZDBC,，點(diǎn)P在BD上,

如圖1,當(dāng)DP=DA=8時，BP=2,

VAPBE^ADBC,

APE：CD=PB：DB=2：10,

APE：6=2：10,

VAPBE^ADBC,

APE：CD=PB：DB=1：2,

APE：6=1：2,

；.PE=3；

綜上，PE的長為1.2或3,

故答案為1.2或3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等，確定出點(diǎn)P在線段BD

上是解題的關(guān)鍵.

14.18.

【分析】

根據(jù)點(diǎn)A(3,a),點(diǎn)B(14-2a,2)在反比例函數(shù)上先求出這兩點(diǎn)坐標(biāo)，再求一次函數(shù)表

14

達(dá)式，求出點(diǎn)C,再求出點(diǎn)。，即可求出面積.

【詳解】

?.?點(diǎn)4(3,。)，點(diǎn)8(14-26/,2)在反比例函y=-的圖象上，

x

；?3xa=(14-2。)x2,解得：。=4,

，點(diǎn)A、3的坐標(biāo)分別為(3,4)、(6,2),

13&+8=4k=--

設(shè)直線A3的表達(dá)式為：y=kx^h,則/,‘解得3,

6攵+。=2./

i［。=6

2

???一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=--x+6；

當(dāng)x=0時，y=6,故點(diǎn)C(0,6),

;點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)，

：.D(0,-6),

：.CD=2OC=\2,

/.△ACO的面積=—XCD*XA=—x12x3=18,

22

故答案為18.

【點(diǎn)睛】

此題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題中有關(guān)三角形面積的計算，難度一般，求函數(shù)表達(dá)

式根據(jù)表達(dá)式求坐標(biāo)點(diǎn)是關(guān)鍵.

15.26

【分析】

根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形QPCE是平行四邊形，ffiAADF-AABC,得出

npApAn1

2=蕓=警=代入求出OF、DE即可求出答案.

BCACAB4

【詳解】

解：U：DE//AC,DF//BC,

???四邊形DFCE是平行四邊形，

：.DE=FC,DF=EC

?：DF〃BC,

：.△A。/"△ABC,

.DFAFAD\

**BC-AC-AB-4?

15

VAC=12,8c=16,

."尸=3,DF=4

：.FC=AC-AF=\2-3=9,

：.DE=FC=9,DF=EC=4

：.四邊形DECF的周長是DF+CF+CE+DE=9+4+9+4=26.

故答案為26.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)和判定和相似三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是求出

DE=CF,DF=CE,主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力.

16.2.

【解析】

【分析】

選進(jìn)行乘方運(yùn)算、代入特殊角的三角函數(shù)值、進(jìn)行0次募運(yùn)算、化簡絕對值，然后再按運(yùn)算

順序進(jìn)行計算即可.

【詳解】

原式=1-2x—+1+^

2

=1-五+1+也

=2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及了乘方運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值、0指數(shù)慕運(yùn)算等，熟

練掌握各運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

17.14

【分析】

設(shè)比值為k,然后用k表示出a、b、c,再代入等式求出k的值，從而得到a、b、c的值，

然后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可得解.

【詳解】

^―=—=-=k(k#0),

578

則a=5k,b=7k,c=8k,

代入3a-2b+c=9得，15k-14k+8k=9,

16

解得k=l,

所以，a=5,b=7,c=8,

所以，2a+4b-3c=2x5+4x7-3x8=10+28-24=14.

【點(diǎn)睛】

本題考查了比例的性質(zhì)，此類題目，利用“設(shè)k法”求解更簡便.

18.(1)y=-(x+l)2+4；(2)該函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是。，0),(—3,0),(0,3)

【分析】

(1)根據(jù)圖象的頂點(diǎn)A(-1,4)來設(shè)該二次函數(shù)的關(guān)系式，然后將點(diǎn)B代入，即用待定

系數(shù)法來求二次函數(shù)解析式；

(2)令y=0,然后將其代入函數(shù)關(guān)系式，解一元二次方程即可，再令x=0,求出與y軸交

點(diǎn).

【詳解】

(1)由頂點(diǎn)A(-1,4),可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y=a(x+1)2+4(a和).

?.?二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B(2,-5),

.?.點(diǎn)B(2,-5)滿足二次函數(shù)關(guān)系式，

5=a(2+1)之+4,

解得a=-l.

二二次函數(shù)的關(guān)系式是y=-(x+1)2+4；

(2)令x=0,則y=-(0+1)2+4=3,

，圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)；

令y=0,則0=-(x+1)2+4,

解得Xl=-3,X2=l,

故圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-3,0)、(1,0).

答：圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-3,0)、(1,0).

【點(diǎn)睛】

本題考查的是利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法的運(yùn)用.

19.(1)(-2,1)；(-3,-2)；(1,-2)；(2)見解析.

【分析】

(1)利用點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法求解；

17

(2)把A、B、C的橫縱坐標(biāo)都乘以-2(或乘以2)得到4、4、G的坐標(biāo)(或&,、B,、、

G的坐標(biāo))，然后描點(diǎn)即可；

【詳解】

解：(1)A(-2,l),8(—3,-2),C(1-2)；

故答案為(-2,1),(-3,-2),(1,-2)；

(2)如圖，△ABG為所作；

【點(diǎn)睛】

本題考查了作圖-位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延

長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；根接著據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn);

然后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形.

20.224

【分析】

過點(diǎn)C作CD1.AB于點(diǎn)D,利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD及AD的長，進(jìn)而可得出結(jié)

論.

【詳解】

過點(diǎn)C作CD1.AB于點(diǎn)D,

18

DB

在RtAADC和RtABCD中，

VZCAB=30°,ZCBA=45°,AC=640,

ACD=320,AD=320?

:.BD=CD=320,BC=320夜，

AC+BC=640+320夜a1088,

AB=AD+BD=320>/3+320?864,

A1088-864=224(公里),

答：隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造

直角三角形解決問題，需要熟記銳角三角函數(shù)的定義.

21.(1)見解析;(2)||.

【分析】

(1)根據(jù)尸?！ˋB得到NBAC=NQPC,問題得證，

(2)先根據(jù)PQ//A8和平分NBAC證明辦=PD,進(jìn)而證明尸Q=2AP,設(shè)AP=x,根據(jù)

△ABC^/\PQC,得到空=多，進(jìn)而得到關(guān)于x的方程，即可求解.

ABCA

【詳解】

解：(1)證明：'：PQ//AB,

：.ZB=ZPQC,ZBAC=ZQPC,

：.△ABCs/XPQC；

(2)在ABC中，AC==/AB2-BC2?⑶-/=5,

'：PQ//AB,

：./BAD=NADP,

'：A￡>平分ABAC,

：.ZDAP=ZDAB,

19

，ZDAP=ZADP,

J.PA^PD,

???點(diǎn)。為線段P。的中點(diǎn)，

：.PQ=2PD,

：.PQ=2AP,

設(shè)AP=x,

MABCsXPQC,

?PQ=CP

"~AB~~CA'

在==

135

解得x=”，

23

.365

??AP=—.

23

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，理解相似三角形的性質(zhì)與判定定理，根據(jù)題意證明

PQ=2AP是解題關(guān)鍵.

22.(1)n=l,k=6.(2)當(dāng)2WxW6時，KyW3.

【詳解】

【分析】(1)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出n值，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再

利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值；

(2)由k=6>0結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可求出:當(dāng)2W爛6時，lWyW3.

【詳解】(1)當(dāng)x=6時，n=-yx6+4=l,

二點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,1).

?反比例函數(shù)y=(過點(diǎn)B(6,1),

X

k=6xl=6；

(2)Vk=6>0,

...當(dāng)x>0時，y隨x值增大而減小，

/?當(dāng)2<x<6時，1<y<3.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)的性質(zhì)，用到了點(diǎn)在函

數(shù)圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)就適合所在函數(shù)圖象的函數(shù)解析式，待定系數(shù)法等知識，熟練掌握相

20

關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

23.(1)Wi=-x2+32x-236；(2)該產(chǎn)品第一年的售價是16元；(3)該公司第二年的利潤

W2至少為88萬元.

【分析】

(1)根據(jù)總利潤=每件利潤x銷售量-投資成本，列出式子即可；

(2)構(gòu)建方程即可解決問題；

(3)根據(jù)題意求出自變量的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)，利用而學(xué)會設(shè)的性質(zhì)即可解決問

題.

【詳解】

(1)Wi=(x-6)(-x+26)-80=-x2+32x-236.

(2)由題意：20=-x2+32x-236.

解得：x=16,

答：該產(chǎn)品第一年的售價是16元.

(3)由題意：14<x<16,

W2=(x-5)(-x+26)-20=-x2+31x-150,

V14<x<16,

拋物線的對稱軸x=15.5，又14<x<16

.x=14時,W2有最小值,最小值=88(萬元)，

答：該公司第二年的利潤W2至少為88萬元.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建

方程或函數(shù)解決問題.

24.(1)y=2x2-14x+24；(2)匕(3)存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(迫，工)或(-昱,-)

22222

【分析】

(1)解直角三角形求出E,A兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解決問題即可.

(2)如圖2中，過點(diǎn)F作尸G_LA3于G,交CD的延長線于設(shè)。E=AZ)=x,

在中，DE?^BE?+BD2,由此構(gòu)建方程求出x,再利用相似三角形的性質(zhì)解決問題

即可.

(3)如圖3中，設(shè)平移后的拋物線為丫=2爐+桁+4