核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)十二

函數(shù)模型及其應(yīng)用

鞏固提升練（3。分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1.某股民購(gòu)進(jìn)某只股票,在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)，他的這只股票先后經(jīng)歷了n次

漲停（每次上漲10%）,又經(jīng)歷了n次跌停（每次下降10%）,則該股民這只股票的盈

虧情況（不考慮其他費(fèi)用）為（）

A.略有盈利B.略有虧損

C.不盈不虧D.無(wú)法判斷

【解析】選B.設(shè)這只股票的價(jià)格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為aXl.L,

再經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為aXl.InXO.9n=0.99na<a.

2.高為H,滿(mǎn)缸水量為V的魚(yú)缸的軸截面如圖所示,其底部破了一個(gè)小洞,滿(mǎn)缸水

從洞中流出，若魚(yú)缸水深為h時(shí),魚(yú)缸內(nèi)水的體積為v,則函數(shù)v=f（h）的大致圖象

是（）

【解析】選B.v=f（h）是增函數(shù)，且曲線(xiàn)的增長(zhǎng)速度應(yīng)該是先變慢再快，然后由快

再變慢.

-1-

3.有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）

A.丫=2*+1一1B.y=X2-l

C.y=2logxD.y=X3

2

【解析】選B.由表格數(shù)據(jù)可知，函數(shù)的解析式應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)類(lèi)型、二次函數(shù)類(lèi)

型、賽函數(shù)類(lèi)型，選項(xiàng)C不正確.取x=2.01,代入A選項(xiàng)，得y=2x+1-l>7,代入B

選項(xiàng)，得y=X2-1^3,代入D選項(xiàng)，得y=x：A8;取x=3,代入A選項(xiàng)，得y=2*+11=15,

代入B選項(xiàng)，得y=X2-l=8,代入D選項(xiàng)，得y=X3=27.

4.某城市出租車(chē)起步價(jià)為10元最遠(yuǎn)可租乘3km（含3km）,以后每1km增加1.6

元（不足1km按1km計(jì)費(fèi)），則出租車(chē)的費(fèi)用y（元）與行駛的路程x（km）之間的

函數(shù)圖象大致為（）

【解析】選C.出租車(chē)起步價(jià)為10元（最遠(yuǎn)3km的路程），即在（0,3］內(nèi)對(duì)應(yīng)y的

值為10,以后每1km增加1.6元（不足1km按1km計(jì)費(fèi)）；C項(xiàng)符合.

5.一水池有兩個(gè)進(jìn)水口，一個(gè)出水口，每個(gè)水口的進(jìn)、出水速度如圖甲、乙所示.

某天。點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示.

-2-

給出以下3個(gè)論斷:①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水;②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水;③4

點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水，則一定正確的是（）

A.①B.①②C.①③D.①②③

【解析】選A.由甲、乙兩圖知，進(jìn)水速度是出水速度的丄,所以0點(diǎn)到3點(diǎn)不出水，3

點(diǎn)到4點(diǎn)可能一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，一個(gè)出水口出水，但總蓄水量降低,4點(diǎn)到6點(diǎn)也

可能兩個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，一個(gè)出水口出水，一定正確的是①.

【變式備選】

（2020?三明模擬）用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的三,要使存留的污垢

4.

不超過(guò)1%,則至少要洗的次數(shù)是（參考數(shù)據(jù)1g2-0.3010）（）

A.3B.4C.5D.6

【解析】選B.設(shè)要洗x次，則（1-所以x'」一73.322,因此至少洗4

k4/100ljj2

次.

二、填空題（每小題5分，共15分）

6.某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸,每次購(gòu)買(mǎi)x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次,一年的總

存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是

［解析］總費(fèi)用為4x+%X6=4（%+

二240,當(dāng)且僅當(dāng)x空，即x=30時(shí)等號(hào)成立.

-3-

答案：30

7.(2020?唐山模擬)在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接

矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為m.口

【解析】設(shè)矩形花園中與x相鄰的另一邊長(zhǎng)為ym,則土=丄。-],即y=40-x,矩形花

4。110

園的面積S=x(40-x)=-X2+40X=-(X-20)2+400,當(dāng)x=20m時(shí)，面積最大.

答案：20

8.加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱(chēng)為“可食用率”.

在特定條件下,可食用率p與加工時(shí)間t(單位:分鐘)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt

+c(a,b,c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù).

根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為分鐘.

n

【解析】由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和函數(shù)模型知，二次函數(shù)p=at2+bt+c的圖象過(guò)點(diǎn)

0.7=9。+3。+c,

(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分別代入解析式，得0.8=16n+4b+c,

。5=25a+5方+c,

-4-

[a=4）.2,

解得]6=1.5,

（c=-2.

所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2（t-3.75）2+0.8125,所以當(dāng)t=3.75時(shí)，可食用率p最

大,即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘.

答案：3.75

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為t,市場(chǎng)價(jià)格x（單位:千元）與市場(chǎng)供應(yīng)量p（單位：

萬(wàn)件）之間近似滿(mǎn)足關(guān)系式:P=2丿&⑹；其中k,b均為常數(shù).當(dāng)關(guān)稅稅率

t=75%時(shí),若市場(chǎng)價(jià)格為5千元,則市場(chǎng)供應(yīng)量約為1萬(wàn)件;若市場(chǎng)價(jià)格為7千元,

則市場(chǎng)供應(yīng)量約為2萬(wàn)件.

（1）試確定k,b的值.

（2）市場(chǎng)需求量q（單位:萬(wàn)件）與市場(chǎng)價(jià)格x近似滿(mǎn)足關(guān)系式:q=2、當(dāng)p=q時(shí),市

場(chǎng)價(jià)格稱(chēng)為市場(chǎng)平衡價(jià)格,當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格不超過(guò)4千元時(shí)，試確定關(guān)稅稅率的

最大值.

【解析】（1）由已知（I—':今

“a75k.宀一解得宀”

尸=i

(2)當(dāng)p=q時(shí),2丿2=2-,,

所以(1-t)(x-5)2=-x=廿1+——---=1+——-----

-5-

而千(x)=X+蘭在(0,4］上單調(diào)遞減，

X

所以當(dāng)x=4時(shí)，f(x)有最小值上，

故當(dāng)x=4時(shí)，關(guān)稅稅率的最大值為500%.

10.某家庭進(jìn)行理財(cái)投資,根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè),投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的

收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成

正比.已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類(lèi)產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元、0.5萬(wàn)元.

(1)分別寫(xiě)出兩類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系.

⑵若該家庭有20萬(wàn)元資金,全部用于理財(cái)投資，問(wèn):怎樣分配資金能使投資獲得

最大收益,其最大收益是多少萬(wàn)元？

【解析】(1)設(shè)兩類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系分別為f(x)=k/,g(x)=k,q工

由已知得f⑴—k,g⑴」二k,

8122

所以f(x)=lx(x20),g(x)T心(x20).

R7V

⑵設(shè)投資股票類(lèi)產(chǎn)品為X萬(wàn)元，則投資債券類(lèi)產(chǎn)品為(20-X)萬(wàn)元.依題意得

y=f(20-x)+g(x)="+丄笈=-+4'三+2。(0WxW20).

8?8

所以V9=2,即x=4時(shí)，收益最大，y二3萬(wàn)元.故投資債券類(lèi)產(chǎn)品16萬(wàn)元，投資股票

類(lèi)產(chǎn)品4萬(wàn)元時(shí)獲得最大收益，為3萬(wàn)元.

綜合運(yùn)用練(15分鐘35分)

-6-

1.（5分）小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步,他從點(diǎn)A出發(fā),沿箭頭方向經(jīng)過(guò)點(diǎn)

B跑到點(diǎn)C,共用時(shí)30s,他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小明跑步的過(guò)程，

設(shè)小明跑步的時(shí)間為t（s）,他與教練間的距離為y（m）,表示y與t的函數(shù)關(guān)系的

圖象大致如圖2所示,則這個(gè)固定位置可能是圖1中的（）

A.點(diǎn)MB.點(diǎn)NC.點(diǎn)P

【解析】選D.A.假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn)M,則從A至B這段時(shí)間，y不隨時(shí)間的變化改

變，與函數(shù)圖象不符，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn)N,則從A至C這段時(shí)

間，A點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)應(yīng)y的大小應(yīng)該相同，與函數(shù)圖象不符，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.假設(shè)這

個(gè)位置在點(diǎn)P,教練離小明的距離最后時(shí)間段會(huì)越來(lái)越近不會(huì)再由近至遠(yuǎn)，而點(diǎn)P

不符合這個(gè)條件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.經(jīng)判斷點(diǎn)Q符合函數(shù)圖象，故本選項(xiàng)正確.

【變式備選】

已知甲、乙兩車(chē)由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),并沿同一路線(xiàn)（假定為直線(xiàn)）行駛，

甲、乙兩車(chē)的速度曲線(xiàn)分別為v和v，如圖所示,那么對(duì)于圖中給定的t和t,

甲乙01

下列判斷中一定正確的是（）

A.在t時(shí)刻，甲車(chē)在乙車(chē)前面

1

B.t時(shí)刻后，甲車(chē)在乙車(chē)后面

1

C.在t時(shí)亥I」,兩車(chē)的位置相同

0

-7-

D.t時(shí)刻后，乙車(chē)在甲車(chē)前面

0

【解析】選A.由圖象可知，曲線(xiàn)v比v在0?t,0?t與t軸所圍成的圖形面

甲乙01

積大，則在t,t時(shí)刻，甲車(chē)均在乙車(chē)前面.

01

2.（5分）（2019?南京模擬）近年來(lái)，“共享單車(chē)”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提

供了極大的方便,某共享單車(chē)公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資120萬(wàn)元,根據(jù)

行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬(wàn)元，由前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益P（單

位:萬(wàn)元）與投入a（單位:萬(wàn)元）滿(mǎn)足P=3\/2￡-6,乙城市收益Q（單位:萬(wàn)元）與投入

A（單位:萬(wàn)元）滿(mǎn)足Q=-A+2,則投資兩座城市收益的最大值為（）

a

A.26萬(wàn)元B.44萬(wàn)元

C.48萬(wàn)元D.72萬(wàn)元

【解析】選B.設(shè)在甲城市投資x萬(wàn)元,在乙城市投資（120-x）萬(wàn)元，所以總收益

f（x）-3''2X-6+-（120-X）+2=-ix+3;，2y+26,

V44V

由丄題叱意亠知&-40,

（120-x>40,

解得40WxW80.

令夕,則七￡%而4國(guó)，

所以y=-￡t2+3,2t+26=-丄（t-6,，2）2+44,當(dāng)t=6y2即x=72時(shí)，y取得最大值44,

44.

所以當(dāng)甲城市投資72萬(wàn)元，乙城市投資48萬(wàn)元時(shí)，總收益最大，且最大收益為44

萬(wàn)元.

-8-

3.（5分）已知某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y（單位:萬(wàn)件）與月份x之間滿(mǎn)足關(guān)

系y=a-0.5db,現(xiàn)已知該產(chǎn)品1月、2月的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)件、1.5萬(wàn)件,則該

產(chǎn)品3月份的產(chǎn)量為萬(wàn)件.

［解析］由已知得5Q+B=1,

.0.5?Q+b=1.5,

z

解得Q=-2,

=2,

故當(dāng)x=3時(shí)y=-2X0.53+2=1.75.

答案：1.75

4.（10分）某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心，擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提

高分揀效率和降低物流成本，已知購(gòu)買(mǎi)x臺(tái)機(jī)器人的總成本p（x）=」_X2+x+150

600

（萬(wàn)元）.

⑴若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，問(wèn)應(yīng)買(mǎi)多少臺(tái)？

⑵現(xiàn)按⑴中的數(shù)量購(gòu)買(mǎi)機(jī)器人,需要安排m人將郵件放在機(jī)器人上,機(jī)器人將

郵件送達(dá)指定落袋格口完成分揀（如圖），

經(jīng)實(shí)驗(yàn)知，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量q（m）=G力丿"<"IW30（單

480,m>30

位:件），已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問(wèn)引進(jìn)機(jī)器人后,

日平均分揀量達(dá)到最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少

百分之幾？

-9-

【解析】(1)由總成本p(x)=J-X2+x+150(萬(wàn)元)，可得每臺(tái)機(jī)器人的平均成本

600

y生也//+X+150」￥+剪+1

YYAOCT

,2，型+1=2.

、600X

當(dāng)且僅當(dāng)丄X型，即x=300時(shí)，上式等號(hào)成立.

6。。r

所以若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，應(yīng)買(mǎi)300臺(tái).

(2)引進(jìn)機(jī)器人后，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量

(O

480,m>30,

當(dāng)1WmW30時(shí),300臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量為160m(60-m)=760iw+9600m,

所以當(dāng)m=30時(shí)，

日平均分揀量有最大值144000.

當(dāng)m>30時(shí)，

日平均分揀量為480X300=144000.

所以300臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量的最大值為144000件.若傳統(tǒng)人工分揀

144000件，則需要人數(shù)為I,，°°憶120人.

1200

所以日平均分揀量達(dá)到最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可

減少竺”X100%=75%.

120

【變式備選】

-10-

某公司制訂了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷(xiāo)售利潤(rùn)不超過(guò)10萬(wàn)元時(shí),

按銷(xiāo)售利潤(rùn)的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)；當(dāng)銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)10萬(wàn)元時(shí),若超出A萬(wàn)元?jiǎng)t額外獎(jiǎng)

勵(lì)210g（A+1）萬(wàn)元.記獎(jiǎng)金為y（單位:萬(wàn)元），銷(xiāo)售利潤(rùn)為x（單位:萬(wàn)元）.

5

（1）寫(xiě)出該公司激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型.

（2）如果業(yè)務(wù)員小李獲得3.5萬(wàn)元的獎(jiǎng)金,那么他的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

【解析】（1）由題意得，該公司激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型為

_f0.15>，0<x<10,

1.5+210g$&7九x>10.

⑵由（1）知，當(dāng)xe[0,10]時(shí),0W0.15xW1.5,

因?yàn)闃I(yè)務(wù)員小李獲得3.5萬(wàn)元的獎(jiǎng)金，

即y=3.5,所以x>10,因此1.5+21og（x-9）=3.5,解得x=14.

5

所以業(yè)務(wù)員小李的銷(xiāo)售利潤(rùn)是14萬(wàn)元.

5.（10分）某公司為了實(shí)現(xiàn)年銷(xiāo)售利潤(rùn)1000萬(wàn)元的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售

人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案:從銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元開(kāi)始,按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金數(shù)

額y（單位:萬(wàn)元）隨銷(xiāo)售利潤(rùn)x（單位:萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)額不超過(guò)5

萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金數(shù)額不超過(guò)銷(xiāo)售利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型:y=0.025x,y=

1.003x,y=llnx+1,問(wèn)其中是否有模型能完全符合公司的要求?請(qǐng)說(shuō)明理由.

（參考數(shù)據(jù)：1.003538P5,e=2.71828…，esQ2981）

【解析】由題意，符合公司要求的模型需同時(shí)滿(mǎn)足：當(dāng)x￡[10,1000]時(shí),①函數(shù)

為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③yWx?25%.

⑴對(duì)于y=0.025x,易知滿(mǎn)足①，但當(dāng)x>200時(shí)，y>5,不滿(mǎn)足公司的要求.

（2）對(duì)于y=1.003x,易知滿(mǎn)足①，但當(dāng)x>538時(shí)，y>5,不滿(mǎn)足公司的要求.

-11-

(3)對(duì)于y亠Inx+1,易知滿(mǎn)足①.

2

當(dāng)x￡[10,1000]時(shí)，yWLn1000+1.

下面證明丄In1000+1^5.

因?yàn)閬AIn1000+1-5=1In1000-4

二丄(In1000-8)=1(In1000-In2981)<0,滿(mǎn)足②.

再證明土Inx+1Wx?25%,

即21rlx+4-xW0.

設(shè)F(x)=21nx+4-x,則F'(x)丄7=歸<0,xG[10,1000],

TT

所以F(x)在]0,1000]上為減函數(shù)，F(xiàn)(x)=F(10)=2ln10+4-10=2In10-6=2(In

max

10-3)<0,滿(mǎn)足③.

綜上，獎(jiǎng)勵(lì)模型y=￡lnx+1能完全符合公司的要求.

2

【拓廣探索練】

L某商店計(jì)劃投入資金20萬(wàn)元經(jīng)銷(xiāo)甲或乙兩種商品.已知經(jīng)銷(xiāo)甲、乙商品所獲

得的利潤(rùn)分別為P(萬(wàn)元)和Q(萬(wàn)元)，且它們與投入資金x(萬(wàn)元)的關(guān)系

是:P(,Qq6(a>0).若不管資金如何投入,經(jīng)銷(xiāo)這兩種商品或其中的一種商品

所獲得的純利潤(rùn)總不少于5萬(wàn)元,則a的最小值應(yīng)為()

A.'虧B.5C.42D.2

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【解析】選A.設(shè)投入x萬(wàn)元經(jīng)銷(xiāo)甲商品，則經(jīng)銷(xiāo)乙商品投入(20-x)萬(wàn)元，總利潤(rùn)

y=P+Q—+-?：20-年令y25,則士+U?；20-汗、5對(duì)0WxW20恒成立.所以

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a：20-X?1°一三，所以a2