專(zhuān)題7-1立體幾何壓軸小題；截面與球

目錄

講高考..................................................................................Ol

題型全歸納..............................................................................06

【題型一】截面最值..............................................................06

【題型二】球截面................................................................09

【題型三】截面綜合難題..........................................................12

【題型四】線面垂直型求外接球....................................................15

【題型五】特殊三角形定球心型....................................................18

【題型六】定義法列方程計(jì)算型求球心..............................................20

【題型七】?jī)?nèi)切球................................................................23

【題型八】棱切球型最值..........................................................27

【題型九】?jī)?nèi)切球與外切球一體綜合................................................28

【題型十】球綜合................................................................32

專(zhuān)題訓(xùn)練........................................................................36

講高考

1.江西?高考真題）如圖，在四面體ABeD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球

心。，且與BC、OC分別截于E、D如果截面將四面體分為體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A-BEED與三

棱錐A-EFC的表面積分別為S-邑，則必有（????）

A.Sl<S2B.S1>52C.S1=S2D.%52的大小不能確定

【答案】C

【分析】連接04、OB、OC、OD,OE,OF,表示出匕一BEH,、VA_EK,即可得到加與邑的關(guān)系.

【詳解】解：連接04、OB.OC,OD,OE,OF,

,l

則A-BEl-D=?>-Λ∕）O^l^^O-ΛBE+^O-BEFD+?>-ΛΓO>VA-ErC~?>-ΛFC+^O-AEC^^^O-HFC>

又VA-BEFD=^A-EFC>

而以上等式右邊的每個(gè)三（四）棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，又面AEF公共，

故Sz?o+S,*M?+SMrO+S.Λ5F=S"C+S,庇+SEFC,即S∣=S?.

故選：C.

2.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在正方體A88-AAGA中，E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，則（????）

A.平面與EF_L平面3。烏B.平面片EFL平面A/。

C.平面4所//平面AACD.平面8也///平面ACQ

【答案】A

【分析】證明EFl平面即可判斷A：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A8=2,

分別求出平面瓦用，AtBD,4￡。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體A8CO-AGGA中，

AC工3。且。R，平面ABCD,

又EFU平面ABCD,所以E尸，。。，

因?yàn)镋,F分別為A8,BC的中點(diǎn)，

所以EF/AC,所以ER_LBQ，

又BDDDi=D,

所以E尸工平面從犯，

又EFU平面B∣EF,

所以平面&EFJ.平面8OR,故A正確：

選項(xiàng)BCD解法一：

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立.空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,

則4(2,2,2),E(2,1,0),尸(1,2,0),3(2,2,0),A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

C1(0,2,2),

則EF=(T,1,0),3=(0,1,2),DB=(2,2,0),DA1=(2,0,2),

M=(0,0,2),AC=(-2,2,0),4G=(-2,2,0),

設(shè)平面BEF的法向量為w=α,%zj,

則限:第—，

可取〃?=(2,2,-1),

同理可得平面AfO的法向量為4=(L-L-I)，

平面AAC的法向量為n2=(1,1,0),

平面AG。的法向量為%=(1,1,—1),

則“F=2-2+1=1R0,

所以平面S1EF與平面AtBD不垂直，故B錯(cuò)誤;

Lll

因?yàn)榧优c巧不平行，

所以平面BlEF與平面AAC不平行，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)閙與〃3不平行，

所以平面與EF與平面ACQ不平行，故D錯(cuò)誤,

故選：A.

選項(xiàng)BCD解法二:

02/53

解：對(duì)于選項(xiàng)B,如圖所示，設(shè)ABBiE=M,EFBD=N,則MN為平面BEF與平面A/。的交線,

在，8MN內(nèi)，作BPLMN丁點(diǎn)、P,在，￡MN內(nèi)，作GPLMN,交EN于點(diǎn)G,連結(jié)BG,

則ZBPG或其補(bǔ)角為平面B、EF與平面A1BD所成二面角的平面角，

PG2+PN2=GJV2,

底面正方形ABCO中，E,F為中點(diǎn)，則KF,%),

由勾股定理可得NB2+NG2=BG2，

從而有：NB?+NG2=(PB2+PM)+(PG2+PN2)=BG2,

據(jù)此可得PB'+PG2≠BG2，即NBPG≠90，

據(jù)此可得平面4印，平面ABD不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,取Ag的中點(diǎn)”，貝IJAHBxE,

由于AH與平面AAC相交，故平面用E尸〃平面AAC不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤:

對(duì)于選項(xiàng)D,取Ao的中點(diǎn)M,很明顯四邊形為平行四邊形，則AMB7,

由于AM與平面AcQ相交，故平面與EF〃平面ACN不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

3.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為36和4百，其頂點(diǎn)都在同

一球面上，則該球的表面積為(????)

A.1(X)πB.128πC.144πD.192π

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑大弓，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半

徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑4,4,所以2∕i=W-,2,?=?-,即4=3,2=4,設(shè)球

sin60sin60

心到上下底面的距離分別為44,球的半徑為R,所以4=JR2-9,4=JR2-I6,故∣4-4∣=ι或

4+d2=l,即∣√F二？-VF二呵=1或痛W+痛示=1，解得店=25符合題意，所以球的表面積為

4.(2022.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36%,

且3≤∕≤3G,則該正四棱錐體積的取值范圍是(????)

【答案】C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為力，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正

四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】???球的體積為36萬(wàn)，所以球的半徑R=3.

［方法一］：導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2α,高為/?,

則∕2=2q2+∕72,32=2/+(3-∕I)2,

所以6〃=尸，2a2=I2-h2

112∕4I2?(Z6

所以正四棱錐的體積y=jS∕7=gx4∕x"=gx(∕2-)x"=χI4--

3333?6769136

,,,lf,C24-l2}

所ccι以Vz'=-4j/31--=-1/3--------,

916j9L6J

當(dāng)3≤∕≤2"時(shí)，V>>0,當(dāng)2√^<∕≤3√5時(shí)，V,<0,

所以當(dāng)/=2"時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為程，

27W1

又/=3時(shí)，V=:,∕=3g時(shí)，V=9

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為；27，

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是多，”.

04/53

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

22

V=-ah=-(6h-h)h=-(?2-2h)h×h,,-×(12-2〃)+人+人=64(

由方法做所以3333L3J3當(dāng)且僅當(dāng)力=4取到

)

,33√3,z1,,1Z3√3X327

h=-?=—=-V=-6f-∕z=-(-=-)~2X-=—;

當(dāng)2時(shí)，得近,則lin33√224

當(dāng)/=3百時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)"'S=],

3√33√3,,1,1,3#、，98164

a------->α—a2h—(?X———

-2一夜，正四棱錐體積’一3一3夜2^43,故該正四棱錐體積的取值范圍是

5.(2021.天津.統(tǒng)考高考真題)兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面,頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為竽,

兩個(gè)圓錐的高之比為1:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為(????)

A.3τrB.4nC.9%D.12π

【答案】B

【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑,

再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)。，

設(shè)圓錐A￡>和圓錐8。的高之比為3:1,即4)=380,

設(shè)球的半徑為R，則色￡=%生，可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=I,AD=3,

CDA.AB,則NCAD+ZACO=NBCO+NACO=90，所以，/CAD=NBCD,

乂因?yàn)镹ADC=∕BΔ>C,所以，?ACD^ΛCBD,

所以，—,；.CD=YAD?BD=5

因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為g%χCi>2.(AD+Bo)=g萬(wàn)x3χ4=4萬(wàn).

故選：B.

6.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知AB,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，Oθ∣為_(kāi)A8C的外接圓，若。。∣的

面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球。的表面積為(？??？)

A.64πB.48πC.36πD.32π

【答案】A

【分析】由已知可得等邊AABC的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出OO∣的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求

出球的半徑，即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)圓。半徑為r,球的半徑為R,依題意，

得夕2=4肛.?.r=2,一Λβc為等邊三角形，

由正弦定理可得AB=2rsin60°=2G,

.?.OOl=AB=2√3,根據(jù)球的截面性質(zhì)OaJL平面ABC,

222

:.OO1±O,A,R=OA=y∣OOt+OlA=JOO：+r=4,

球0的表面積S=4萬(wàn)斤=64%.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

題型全歸納

【題型一】截面最值

【講題型】

例題L正方體ABeD-A內(nèi)CQ為棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)P,。分別在棱BC,CG上，過(guò)點(diǎn)A,P,。的平面截

該正方體所得的截面記為S,設(shè)3P=x,CQ=y,其中X,y∈[θ,2],下列命題正確的是.(寫(xiě)出所

有正確命題的編號(hào))

O

①當(dāng)X=O時(shí)，S為矩形，其面積最大為4；②當(dāng)X=y=l時(shí)，S的面積為5；③當(dāng)X=l,ye(l,2)時(shí)，設(shè)S

4Q

與棱GA的交點(diǎn)為R,則RR=4-一；④當(dāng)y=2時(shí)，以q為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐的體積為定值?.

y3

【答案】②③④

【分析】由題意可知當(dāng)X,y變化時(shí)，S為不同的圖形，故可根據(jù)題意逐一判斷即可.

【詳解】解：

06/53

當(dāng)X=O時(shí)，點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)B重合，,ABJ.PO,此時(shí)S為矩形，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合時(shí)，S的面積最大,

S=2×2√2=4√2.故①錯(cuò)誤；

λB

當(dāng)x=l,y=l時(shí),PQ為BCG的中位線，PQ∣g,BCJ/aq,../!”/PO,.?.s為等腰梯形APQq

的面積，

過(guò)P作PE_LAA于￡■,PQ=-l2,AD1=2√2,/.AE=-,AP=亞,■-PE=^,?

22

S≡u(píng)w=T*3而￥=I，故②正確;

由圖可設(shè)S與。。交于點(diǎn)尸，可得RF//CC；,GQRSD1FR,餐=器

∕√1Kr1J]

4

CQ=yf則GQ=2-y,.?.RD]=4一一,故③正確；

11Q

當(dāng)y=2時(shí)，以Bl為定點(diǎn)，S為底面的棱錐為5-APG//,=2×-×-×2×2×2=∣,故④正

VS,.ΛPC,H=2?,.8,CIH

確；

故答案為：②③④.

【講技巧】

求截面方法：

1.平行線法：

(1)利用兩條平行線確定一個(gè)平面，

(2)一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，交線平行

2.相交線法：

(1)兩條相交直線確定一個(gè)平面

(2)若兩個(gè)相交平面中一條直線與棱不平行，則與棱的交點(diǎn)，也在另一個(gè)平面內(nèi)

【練題型】

1.如圖，長(zhǎng)方體ABeD-ABCQ中，AB=BC=4,AAI=3,M是線段RG的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段8?上，MN

//BD,則長(zhǎng)方體A8CD-ABCQ被平面AMN所截得的截面面積為.

【答案】7√6

【分析】先判斷出截面是五邊形AEMNF,再求出相關(guān)邊長(zhǎng)，通過(guò)與邊彩AEMNF=SAW+S四邊物MWF計(jì)算面積

即可.

如圖，M是線段AG的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段用G上，MN//BD,所以N為qG的中點(diǎn).延長(zhǎng)A。交宜線MN于

點(diǎn)憶連接AP交。。于點(diǎn)E；延長(zhǎng)ABl交直線MN于點(diǎn)Q,

連接AQ交網(wǎng)于點(diǎn)F.則PM=MN,NQ=MN乃是易得E?尸分別為。。？BBl的三等分點(diǎn)，因此截面為五邊

08/53

形AEMNF,

AE=AF=2舊,EM=FN=5MN=2√2.EF=4√2?

過(guò)A作AT?LPQ于T,交E/于S,由AE=AF=2?,AP=AQ=3括可得AS=26,AT=3石，故

HiHKAEMNF=S^AEF+S四邊形EMNF=EX4&X2?/?+-XK=［瓜'

故答案為：7思.

2.如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-AgCa中，上底面邊長(zhǎng)為4,下底面邊長(zhǎng)為8,高為5,點(diǎn)",N分別在A4,RG

±,且AM=RN=I.過(guò)點(diǎn)M,N的平面α與此四棱臺(tái)的下底面會(huì)相交，則平面α與四棱臺(tái)的面的交線所圍

成圖形的面積的最大值為

A.18√7B.30√2C.6√61D.36√3

【答案】B

【分析】由題意可知，當(dāng)平面α經(jīng)過(guò)BCNM時(shí)取得的截面面積最大，此時(shí)截面是等腰梯形；根據(jù)正四棱

臺(tái)的高及MN中點(diǎn)在底面的投影求得等腰梯形的高，進(jìn)而求得等腰梯形的面積.

【詳解】當(dāng)斜面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)BeW時(shí)與四棱臺(tái)的面的交線圍成的圖形的面積最大，此時(shí)a為等腰梯形，上

底為MN=4,下底為BC=8

此時(shí)作正四棱臺(tái)ABCo-AAGA俯視圖如下：

則MN中點(diǎn)在底面的投影到BC的距離為8-2-1=5

因?yàn)檎睦馀_(tái)A8CO-A4GR的高為5,所以截面等腰梯形的高為序才=5及

所以截面面積的最大值為S=gχ(4+8)x5√Σ=30√Σ

所以選B

【題型二】球截面

【講題型】

例題1.在三棱錐A-BC。中，AB=BC=CD=DA=2叵,NADC=/ABC=90。，平面ABC，平面4C力,

三棱錐4—BCD的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上,E,尸分別在線段。8,CD上運(yùn)動(dòng)(端點(diǎn)除外)，BE=OCF.當(dāng)

三棱錐E-ACF的體積最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作球。的截面，則截面面積的最小值為(????)

3

A.πB.y∣3πC.—πD.2π

【答案】C

【分析】作出圖形，輔助線，找到球心位置，求出半徑，設(shè)CF=x,則8E=√Σx<2,所以0<x<&，表

達(dá)出三棱錐E-AeT的體積y=-2jx-g]+2,得到當(dāng)X=立時(shí)，V取得最大值，當(dāng)。尸垂直于截面時(shí),

3I2J32

截面圓的面積最小，求出截面面積的最小值

【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)0,連接OF,OB,

因?yàn)橐?￡>C=NABC=90。，所以。4=。B=OC=OO=LAC,即。為球心,

2

則球。的半徑R=2.y.AB=BC,所以O(shè)B_LAG

又平面ABCJ"平面ACZ>,平面ABCC平面ACD=AC,OBU平面ABC,

所以0B±3FffiACD.

設(shè)CF=X,則BE=√∑r<2,所以0<x<J∑,

所以三棱錐E-ACF的體積V=；SX*=；XgCF?AO?OE

當(dāng)X=也時(shí)，V取得最大值由于。A=OB=OC=OO,

在ACOF中，由余弦定理得：

V2222

根據(jù)球的性質(zhì)可知，當(dāng)。尸垂直于截面時(shí)，截面圓的面積最小,

設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為r,所以r=JRI-O尸=卜2—]萼J=年,

則截面面積的最小值為πr2=π[4]=∣π.故選：C.

【講技巧】

用一個(gè)平面”去截球，若平面α經(jīng)過(guò)球心，所得的截面稱(chēng)為球的大圓；若平面α不經(jīng)過(guò)

球心，所得的截面稱(chēng)為球的小圓。小圓圓心與球心的連線必垂直于小圓面。

【練題型】

1.已知一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,則其外接球與以其一個(gè)頂點(diǎn)為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長(zhǎng)度

為.

【答案】正說(shuō)

3

【分析】?jī)蓚€(gè)球相交形成的截面圖形為圓面，根據(jù)幾何形質(zhì)求出截面圓的半徑即可.

10/53

【詳解】設(shè)外接球半徑為廣，外接球球心到底面的距離為人,

則∕z+r=亞,∕=∕+±,所以r=?5,兩球相交形成形成的圖形為圓,

332

1+6_6

如圖，在△?￡>(?中，COSNDPo=—=SinZDPO=-,在中,

2×lx^66

2

DOt=PDsinZDOP=粵,

所以交線所在圓的半徑為畫(huà)，所以交線長(zhǎng)度為2萬(wàn).我=，亟.故答案為：也配

6633

2.在正四棱錐尸-ABeo中，已知P4=∕W=4,。為底面ABeQ的中心，以點(diǎn)。為球心作一半徑為生叵的

3

球，則平面∕?B截該球的截面面積為.

【答案】83H##8K3

【分析】取8中點(diǎn)E,連接PE,作OGLPE,根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)可證得OG_L平面尸CD,由球

的性質(zhì)可確定G為所求截面圓的圓心，設(shè)H為該截面圓與PE的一個(gè)交點(diǎn)，利用勾股定理和面積橋的方式

可求得用，即截面圓的半徑，由此可得所求面積.

【詳解】由正棱錐性質(zhì)知：PO1平面ABC。，

取CZ）中點(diǎn)E,連接PE,作OGLPE,垂足為G,

POlYlEiABCD.C。U平面ABC。，.?.POLO),

0,￡分別為4。，8中點(diǎn)，；.0￡；〃49,又AO_La),.?.OELCt),

PO,0EU平面POE,POOE=0,?8Λ平面POE,又OGU平面POE,

.-.OGlCD,又OGLPE,CD,PEu平面PCD,CDPE=E,

.?.OG_L平面PCD,則由球的性質(zhì)可知：G為平面PCo截球。所得截面圓的圓心,

設(shè)H為該截面圓與PE的一個(gè)交點(diǎn)，連接?！保?/p>

PA=AB=A,.?.AO=^AC=2√2,OE=^AD=2,PO=√16-8=2√2,

/.PE=√8T4=2√3,又SPOE==POOE==PEOG,，OG=POoE=運(yùn);

22PE3

OH=正,；.HG=NOH?-OG?=巫,即截面圓的半徑r=2y5,

333

OQ

，截面圓的面積S=Q2=亭7r.故答案為：7r

33

【題型三】截面綜合難題

【講題型】

例題L如圖，在四棱錐Q-EFG”中，底面是邊長(zhǎng)為2夜的正方形，QE=QF=QG=QH=4,M為QG的

中點(diǎn)?過(guò)EM作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為匕，匕，則5的最小值為

(2222222)

O

【分析】先判斷A為AQEG的重心，再利用重心得到‘+'=3,求出K=V^OBC+%-Sc=4百9,進(jìn)而得

χy

V

過(guò)Q作平面EFG〃的垂線，垂足為O,連EG,EM,設(shè)EM,Q。的交點(diǎn)為A,在尸中過(guò)A作直線BC交

QH,QF于RC兩點(diǎn)，由相交直線確定平面，則四邊形EeMB為過(guò)EM的截面.由計(jì)算可得EG=4,,得QEG

為正三角形，Qo=2√L所以A為AQEG的重心，設(shè)QB=XQH,QC=yQF,由向量運(yùn)算可得

QA=^-QO^QH+\QF,又QB=XQH,QC=yQF,可得Q"=」QB,Q尸=IQC,所以

333Xy

QA=JQB+；QC,由三點(diǎn)共線，得;+；=1,即?L+L=3,易得E到平面Q"尸的距離為OE=2,M

3x3y3x3yxy

到平面。”廠的距離為1,因?yàn)镾aC=；(28。。必11。=4后犯，所以

?=Ve.eβc+V?.eβc=∣5eβc-(l÷2)=lρB-ρC-sin∣=4√3Λy,VQEFGH=2可乂26=”,得

E

V2=VOT-V,=-√3-4^,可飛向4屈y*.匚而，vu，3=→-≥2]∣-,得

12/53

4

42IL=-I+―-->-i+-.=1V11

χy≥?當(dāng)且僅當(dāng)χ=y=9取等號(hào)，所以匕4-3x），-z142.即9的最小值為:

22

934-?y2

故選：A.

【練題型】

1.在三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面的射影為.ABC的垂心O（。在ABC內(nèi)部），且Po中點(diǎn)為M,過(guò)

AM作平行于BC的截面口,過(guò)BM作平行于AC的截面夕，記ɑ,夕與底面ABC所成的銳二面角分別為4,

θ2,若N∕?M=NPBM=O,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（？?????？）

A.若α=a，則AC=BC

B.若4≠2,則tanθλ-tan名=；

C.e可能值為J

D.當(dāng)，取值最大時(shí)，θλ=θ2

［答案］C

【1析】對(duì)選項(xiàng)A,先找到二面角的平面角，再根據(jù)邊角關(guān)系證明2以。與/P4O全等，然后根據(jù)直線OC

垂直并平分線段AB即可判斷AC=3C；對(duì)選項(xiàng)B,找到角的關(guān)系NR4M=∕R4O-∕M4O和

ZPBM=ZPBO-ZMBO,然后分別運(yùn)用正切的兩角差公式解得0?=L即可：為選項(xiàng)C和D,均是先

OA-OB2

根據(jù)NA4M=∕B4O-NM4O運(yùn)用正切的兩角差公式，然后通過(guò)換元得到一個(gè)一元二次方程，然后根據(jù)判

別式即可判斷.

如圖所示，連接延長(zhǎng)AO交BC與尸，連接延長(zhǎng)8。交AC與G,設(shè)平面ABCQ平面α=/

頂點(diǎn)尸在底面的射影為“1BC的垂心O,BC〃平面α,平面ABCn平面a=/。則有：直線BC與/平行

乂AoJL8C,則AolJ。Pol.平面A3C,則PO_LBC

又AOJ.BC

則BCJ_平面尸Ao

從而PAJJ

故NMAO為a與平面ABC的二面角，即NMAo=4

同理可得：NMBo=%

對(duì)選項(xiàng)A,NPAM=/PBM=9,又4=%,則有：ZPAO=NPBO

可得：PAo與&PBO全等,則Ao=OB

乂根據(jù)。是ABC的垂心，則，OCLAB

綜上可得：直線OC垂直并平分線段AB

可得：AC=BC,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)選項(xiàng)B,易知有如下角關(guān)系：

ZPAM=ZPAO-ZMAO

NPBM=NPBO-ZMBO

又NPAM=NPBM=θ?則有：

tanAPAM=tanNPBM

tanZPAO-tanNMAO

tanNPAM=

l÷tanZPAOtanZMAO

tanZ.PBO-tanZMBO

tanZ.PBM=

1+tanZPBO?tanNMBO

OPOMOPOM

可得:CA—OBOB

OPOMOPOM

1+------∑-1+

OA2OB2

OM2_1

解得:

OAOB~2

∩M21

則tanθ?tanθ`=----------=—,故選項(xiàng)B正確;

12OA-OB2

tan

對(duì)選項(xiàng)C,若。=［，則有：tan/PAM=?"一°TanNMAo=B

61+tanZPAOtanZMAO3

則有：.OMpJl

2OM2+OA23

化簡(jiǎn)后可得：絲■［-6絲+1=0

IoAJOA

令=，,則有：2廠-√3f÷1=0

OA

則有：Δ=3-8=-5<0,此時(shí)方程無(wú)解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D,設(shè)tan。=。（4>0）,則有：C器1="

司小g弟?（0My?OM

可化間為］:2。-----------FQ=On

{OAJOA

令=x，貝U有：2ax1-x+a=0

OA

則有：Δ=l-8tz2≥0

解得：0<a≤顯

4

故?取得最大值時(shí)，tan8=立?，此時(shí)tan。］==YZ

4,OA2

同理可得：tan%=也=立

2OB2

故ta∏α=tanθ.1,且4迅小0,/）

則有：α=q,故選項(xiàng)D正確；

故選：C

2.如圖，OE是邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC的一條中位線，將△ADE沿直線Z）E翻折至△AOE,當(dāng)三棱錐

Al-CED的體積最大時(shí)，四棱錐A-BCnE外接球。的表面積為；過(guò)EC的中點(diǎn)M作球。的截面,

則所得截面圓面積的最小值是.

14/53

【分析】由題意，當(dāng)面AOEj■面BCDE時(shí)二棱錐A-CED的體積最大，即可確定AAQE的外接圓圓心。1，

四邊形BCDE的外接圓圓心。2,再確定四棱錐A-Ba>E的外接球球心。，外接球的半徑，求外接球。的

表面積；以EC為直徑的球。的截面圓的面積最小，求截面圓面積的最小值

【詳解】由題可知，當(dāng)面A。Ej-面BCoE時(shí)，三棱錐A-CED的體積最大，

取。E的中點(diǎn)G,連接AG,易知△AOE的外接圓圓心。位于AGfI靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)處，

設(shè)BC的中點(diǎn)為O?,連接QE,O2D,則=

可知Q為四邊形38E的外接圓圓心，過(guò)。|作平面A。E的垂線，

過(guò)。2作平面Ba>E的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即四棱錐A-BCDE的外接球球心。.

連接UG,易得四邊形OaGo2為矩形，OO2=O1G=^-,連接OE,

222

在RtOO2EOE=OO；+O2E=［書(shū)+?=γ，

.?.四棱錐A-BCDE外接球。的表面積為4次=39萬(wàn).

由題可得，以EC為直徑的球。的截面圓的面積最小,最小值為（與L=孚"隼變"=審\=字.

V2J4444

故答案為：3"笠

【題型四】線面垂直型求外接球

【講題型】

例題L已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，SAL平面ABC,S4=2,若球。的表面積為

16兀，則三棱錐S—ABC的體積的最大值為（????）

A.巫B.3√3C.迺D.6√3

22

【答案】A

【分析】根據(jù)球的表面積公式求出球的半徑，從而求出三角形A8C的外接圓半徑，三棱錐底面三角形A8C

面積最大時(shí)，三棱錐S—A8C的體積取得最大值，求出三角形ABC為等邊三角形時(shí)，三角形ABC面積最

大，求出面積的最大值，進(jìn)而求出體積的最大值.

【詳解】設(shè)球的半徑為R,則4兀六=16兀，解得：R=2,

設(shè)二角形ABC的外接圓半徑為則（Fj+r=N,

即1+戶(hù)=4，解得：r=?/?>

當(dāng)三棱錐底面三角形ABC面積最大時(shí)，三棱錐S-ABC的體積取得最大值，

如圖所示：

要想WC面積最大，當(dāng)A位于BC垂直平分線與圓的交點(diǎn)（BC與A點(diǎn)位于圓心兩側(cè)）時(shí)，此時(shí)三角形

ABC為等腰三角形時(shí)，面積最大，

連接80并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)O,連接CD,則8。=26，BCLBC,

設(shè)NCBD=α,αe10,?∣）,則BC=26COSα,OE=百Sina，AE=A（9+0E=√3+√3sina.

=?BC-AE=gX2χ∕Jcosax(G+6sina)=3cosa(1+sina)

則SABC

令y=3cosa(l+sinar),則/=—3sina(l+sina)+3cos2a=-6sin2o,-3sincr+3=-3(sincif+l)(2sina-l),

當(dāng)Sinae(O即a∈(θ,^?

時(shí)，/>0,當(dāng)SinaW

即ae[,]]時(shí)，/<0,

即y=3cosa(l+sina)在ae(θ,"單調(diào)遞增，在a6已?k單調(diào)遞減，

所以當(dāng)a=言時(shí)，y=3cosa（l+sina）取得最大值,

6

則三棱錐s—ABC的體枳的最大值為IX型x2=邁

342

故選：A

【講技巧】

線面垂直型：

存在一條棱垂直一個(gè)底面（底面是任意多邊形，實(shí)際是三角形或者四邊形（少），它的外

接圓半徑是r,滿足正弦定理）

1.模板圖形原理

16/53

【練題型】

L已知三棱錐S—4BC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，SAL平面4BC,SA=2,若球。的表面積為16乃，

則三棱錐S—ABC的體積的最大值為(????)

A.更B.3√3C.噸D.6√3

22

【答案】A

【分析】根據(jù)球的表面積公式求出球的半徑，從而求出三角形ABC的外接圓半徑，三棱錐底面三角形A8C

面積最大時(shí)，三棱錐5—ABC的體積取得最大值，求出三角形48C為等邊三角形時(shí)，三角形ABC面積最

大，求出面積的最大值，進(jìn)而求出體積的最大值.

【詳解】設(shè)球的半徑為七則4兀六=16兀，解得：R=2,

設(shè)三角形ABC的外接圓半徑為〃則(FJ+/=店，

即1+/=4,解得：r=√3,

當(dāng)三棱錐底面三角形ABC面積最大時(shí)，三棱錐S-ABC的體積取得最大值，

如圖所示：

要想ABC面積最大，當(dāng)A位于8C垂直平分線與圓的交點(diǎn)(BC與A點(diǎn)位于圓心兩側(cè))時(shí)，此時(shí)三角形

A8C為等腰三角形時(shí)，面積最大，

連接8。并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)O,連接CC,則80=26，BCYBC,

設(shè)NCBO=ɑ,α∈[θ,?∣),則8C=26cosα,0E=√3sina.AE=AO+0E=欄+6Sina,

則SABC=gBC?AE=gx2√5cosαx(G+百Sina)=3cosa(1+Sina),

令y=3cosα(l+sinα),則y=-3sinα(l+sinα)+3cos2α=-6siι?α-3sinα+3=-3(Sina+1)(2Sina-I),

當(dāng)Sina∈(θ,g[,即α∈[θ,^?]時(shí)，/>0,當(dāng)Sina∈(J,1

即aw(親?時(shí)，)/<。，

即y=3∞sa(l+sina)?αefθ,?l單調(diào)遞增，在々《仁彳)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)a=三時(shí)，y=3cose(l+sinα)取得最大值,

6

π

=3cos-11+sin—

66

則三棱錐S-ABC的體積的最大值為?Lχ2叵χ2=±叵

342

故選：A

2.已知A8,C,。四點(diǎn)均在半徑為R(R為常數(shù))的球。的球面上運(yùn)動(dòng)，且AB=AC,ABlAC,ADlBC,

若四面體ABCD的體積的最大值為!，則球。的表面積為(????)

B.2兀

［答案］C

【0析】由題意要使四面體的體積最大，則。在底面ABC的投影恰好為底面三角形外接圓的圓心N,則

外接球的球心在QN上，求出三棱錐的體積，由均值不等式可得R的值，進(jìn)而求出外接球的表面積.

【詳解】B

因?yàn)锳B=AC,AB_LAC,4。_LBC,作何，BC于N,

則N為3C的中點(diǎn)，且AN=^8C,

若四面體ABC。的體積的最大值時(shí)，則面A8C,則外接球的球心在。N|二，設(shè)為。，

設(shè)外接球的半徑為R,連接Ql,則Q4=OD=R,

VD-ABC=ggBC?AN?DN.2AN?AN?(R+ON)=;ANYR+ON)=；(OA2-ONb(R+ON)

=LgON)(R-ONMR+ON)=L(R+ON)QR-20N)(R+ON)

因?yàn)槿忮F的最大體積為2,所以Lj把］=1,可得/?==,

6613J64

9g7r

所以外接球的表面積為S=4萬(wàn)R2=4改r=＜，故選：C.

164

【題型五】特殊三角形定球心型

【講題型】

例題1.已知三棱錐底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，頂點(diǎn)S與A3邊中點(diǎn)Z)的連線SZ)垂直于底面ABC,

且SO=√L則三棱錐S-ABC的外接球半徑為(????)

D

A.√3C.√15-半

【答案】D

【分析】找到球心的位置，求出各邊長(zhǎng)，設(shè)出OE=O尸=x,利用半徑相等列出方程，求出半徑.

18/53

【詳解】連接CO,取CO靠近Z)點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則E為等邊三角形的外心，

過(guò)點(diǎn)E作E0〃S￡>,則點(diǎn)。即為三棱錐S-ABC的外接球球心，連接OS,OC,

過(guò)點(diǎn)。作OF_LSD爻SD于點(diǎn)凡則OE=DF,OF=ED,

因?yàn)榈酌鍭BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以CO=√LCE=LCD=巫、DE=LCD=B,

3333

設(shè)OE=3f=x,則SF=S3-OF=G-X,設(shè)外接球半徑為R，則R1=OC2=OE2+EC2=

回疥圖

R-=AS2=OF1+SF2=

【講技巧】

當(dāng)幾何體表面圖形為特殊圖形時(shí)，則過(guò)該表面的外接圓圓心做表現(xiàn)所在平面的垂線，該

垂線必過(guò)球心

【練題型】

1.在三棱錐A-BCO中，ZBAC=ZBDC=60°,二面角A-BC-。的余弦值為-g,當(dāng)三棱錐A-Be。的體

積的最大值為逅時(shí)，其外接球的表面積為

4

A.5πB.6πC.7萬(wàn)D.8〃

【答案】B

【解析】根據(jù)兩個(gè)射影，結(jié)合球的圖形，可知二面角A-BC-D的平面角為NAAQ:根據(jù)題意可知當(dāng)

AB=AC,8。=CD時(shí)，三棱錐A-Ba>的體積最大.根據(jù)體積的最大值可求得BC的長(zhǎng)，結(jié)合圖形即可

求得球的半徑，進(jìn)而求得表面積.

【詳解】如圖，設(shè)球心。在平面ABC內(nèi)的射影為O1,在平面BCD內(nèi)的射影為O2,

則二面角A-8。一。的平面角為NAMQ,

點(diǎn)A在截面圓?！干线\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在截面圓O2上運(yùn)動(dòng)，

由圖知，當(dāng)AB=AC,Bo=CD時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大，此時(shí)AABC與ΔβDC是等邊三角形，