關于矩陣的初等變換與線性方程組習題課１初等變換的定義換法變換倍法變換消法變換第2頁,共53頁，2024年2月25日，星期天初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換．第3頁,共53頁，2024年2月25日，星期天反身性傳遞性對稱性２矩陣的等價第4頁,共53頁，2024年2月25日，星期天三種初等變換對應著三種初等矩陣．３初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．第5頁,共53頁，2024年2月25日，星期天（１）換法變換：對調(diào)兩行（列），得初等矩陣．第6頁,共53頁，2024年2月25日，星期天（２）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（列），得初等矩陣．第7頁,共53頁，2024年2月25日，星期天（３）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩陣．第8頁,共53頁，2024年2月25日，星期天經(jīng)過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元．例如４行階梯形矩陣第9頁,共53頁，2024年2月25日，星期天經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進一步化為行最簡形矩陣，其特點是：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0．例如５行最簡形矩陣第10頁,共53頁，2024年2月25日，星期天對行階梯形矩陣再進行初等列變換，可得到矩陣的標準形，其特點是：左上角是一個單位矩陣，其余元素都為0．例如６矩陣的標準形第11頁,共53頁，2024年2月25日，星期天所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形是這個等價類中形狀最簡單的矩陣．第12頁,共53頁，2024年2月25日，星期天定義７矩陣的秩定義第13頁,共53頁，2024年2月25日，星期天定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)．８矩陣秩的性質(zhì)及定理第14頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共53頁，2024年2月25日，星期天定理定理９線性方程組有解判別定理第16頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，寫出通解．

非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進一步化成行最簡形矩陣，寫出通解．10線性方程組的解法第17頁,共53頁，2024年2月25日，星期天定理11初等矩陣與初等變換的關系定理推論第18頁,共53頁，2024年2月25日，星期天一、求矩陣的秩二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法典型例題第19頁,共53頁，2024年2月25日，星期天求矩陣的秩有下列基本方法（１）計算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個子式，則這個子式的階數(shù)就是矩陣的秩．一、求矩陣的秩第20頁,共53頁，2024年2月25日，星期天（２）用初等變換．即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個數(shù)就是原矩陣的秩．第一種方法當矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時，計算量很大，第二種方法則較為簡單實用．第21頁,共53頁，2024年2月25日，星期天例１求下列矩陣的秩解對施行初等行變換化為階梯形矩陣第22頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

注意在求矩陣的秩時，初等行、列變換可以同時兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形．第24頁,共53頁，2024年2月25日，星期天當方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)不相同時，一般用初等行變換求方程的解．當方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同時，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則．二、求解線性方程組第25頁,共53頁，2024年2月25日，星期天例２求非齊次線性方程組的通解．解對方程組的增廣矩陣進行初等行變換，使其成為行最簡單形．第26頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共53頁，2024年2月25日，星期天由此可知，而方程組(1)中未知量的個數(shù)是，故有一個自由未知量.第29頁,共53頁，2024年2月25日，星期天例３當取何值時，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解．解法一系數(shù)矩陣的行列式為第30頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共53頁，2024年2月25日，星期天從而得到方程組的通解第32頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第34頁,共53頁，2024年2月25日，星期天解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形第35頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共53頁，2024年2月25日，星期天三、求逆矩陣的初等變換法第37頁,共53頁，2024年2月25日，星期天例４求下述矩陣的逆矩陣．解第38頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

注意用初等行變換求逆矩陣時，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換．同樣地，用初等列變換求逆矩陣時，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換．第40頁,共53頁，2024年2月25日，星期天四、解矩陣方程的初等變換法或者第41頁,共53頁，2024年2月25日，星期天例５解第42頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第43頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第三章測試題一、填空題(每小題4分，共24分)．1．若元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩為，則當時，方程組有唯一解；當時，方程組有無窮多解．2．齊次線性方程組只有零解，則應滿足的條件是．第44頁,共53頁，2024年2月25日，星期天4．線性方程組有解的充要條件是第45頁,共53頁，2024年2月25日，星期天二、計算題

(第1題每小題8分，共16分；第2題每小題9分，共18分；第3題12分)．第46頁,共53頁，2024年2月25日，星期天2．求解下列線性方程組第47頁,共53頁，2024年2月25日，星期天有唯一解、無解或有無窮多解？在有無窮多解時，求其通解．第48頁,共53頁，2024年2月25日，星期天三、利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆矩陣四、證明題(每小題8分，共16分)(每小題7分，共14分)．第49頁