空間向量在立體幾何中的三種考法-2024年高考數(shù)

學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納

空間向量在立體幾何中的三種考法

空間角的向量求法

題目工〕如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，4。仆3。=0,且「0，平

面/BCD,PO=2,R,G分別是PB,PD的中點(diǎn)，E是P4上一點(diǎn)，且AP=3AE.

(1)求證：BD〃平面ERG；

⑵若ADAB=與,求直線PA與平面EFG所成角的余弦值.

題目0如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為正方形，PA，平面ABCD，七為PD的中

(1)求證：〃平面4EC；

(2)求平面P4C與平面AEC所成角的余弦值.

題目叵］己知圖1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE組成的一個(gè)平面圖形，其中菱形邊長(zhǎng)為

4,乙4=90°,/。=60°.將三角形ABE沿BE折起，使得平面4BEJ.平面BCDE（如圖2）.

⑴求證：AQLCD；

（2）求二面角B-A.C-D的正弦值.

題目［7J如圖,四棱錐P-ABC。中，四邊形4BCD為梯形，/B〃CD,AO_LAR,AB=AP=

20c=4,PB=2AD=4?,PD=2娓,M,N分別是PO,PB的中點(diǎn).

（1）求證:直線MN//平面ABCD；

⑵求平面MCN與平面ABCD夾角的余弦值.

題目Jl如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA，平面ABCDyPA=AD=

點(diǎn)M是PD的中點(diǎn).

(1)證明：AM_LPC;

(2)設(shè)4。的中點(diǎn)為。，點(diǎn)N在棱PC上(異于點(diǎn)P,C),且ON=O4,求直線AN與平面ACM■所

成角的正弦值.

題目已知三棱臺(tái)AiBiCi—ABC,AiA±面ABC,44場(chǎng)=AB=AC=4,cosZ.BAC——牛,D

是線段4A中點(diǎn)，且BD_LDC.

⑴證明：BD_LBQ；

(2)請(qǐng)選擇合適的基底向量,求直線8。與AA所成角的余弦值.

3

1_,如圖，在三棱柱ABC-ABiG中，=BC,AB}=BQ.

B

（1）證明：AC_LBpB；

（2）若AB=BBi=2,AB尸瓜^ABC=120°,求二面角A-的余弦值.

題目百）如圖，在四棱錐P-ABCD中，P4_L平面4BCD,ADYCD,AB//CD,PA=AD=

CD=1,AR=2,點(diǎn)M是的中點(diǎn).

(1)證明：PB=2CM；

(2)求直線0M與平面49”所成的角的正弦值.

4

題目J如圖，平行六面體ABCD-4B1GR的體積為6,截面ACC.A,的面積為6.

(1)求點(diǎn)JB到平面4CC/1的距離；

⑵若力B=4D=2,N瓦1。=60°,力4=V6,求直線BDi與平面CCQQ所成角的正弦值.

題目lo如圖所示，在多面體A3CGRE中，底面BCBE為矩形，且/E_L底面BCRE,4G〃ER,

AG=AE=BE=4EF=2,BFClGE=O.

(1)證明：49〃平面GCF.

(2)求平面ABO與平面GCF夾角的余弦值.

5

題目如圖，在四棱錐P-ARCD中，底面HBCD是矩形，尸A_L平面ABCD,PA=AD=

也15=1,七，”分別為線段4?,9。的中點(diǎn),連接困延長(zhǎng)無(wú)并與"1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸,連

接PE,PF.

(1)求證：ME〃平面P尸D

(2)求平面APE與平面PM所成角的正弦值.

題目及如圖1,在五邊形ABCDE中，四邊形4BCE為正方形，CDLDE,CD=DE,如圖2,將

^ABE沿BE折起，使得4至4處，且AB，AtD.

(1)證明：OE_L平面43E；

(2)求二面角C-A.E-D的余弦值.

6

題目J3如圖，在斜三棱柱ABC-4BG中，44尸AB,ABXY4。，AB】的中點(diǎn)為O,3。的中

點(diǎn)為D

(1)證明：OD〃平面ACG4；

(2)若ZACB=90°,AB}=B.C,AC=2BC=4,求平面ACCXAX與平面4BC所成角的大小.

題目J4如圖,在底面為正方形的四棱臺(tái)力中，已知4。=2,。2=1,8。|=，7,

A到平面BDDt的距離為等L

⑴求。到平面4BCD的距離；

（2）若44產(chǎn)空，求直線CC、與平面ABD｛所成角的正弦值.

題目如圖，多面體ABiA-ABCD中，四邊形A3CD是菱形，/ABC=60°,AB〃4Bj,AB=

2AB產(chǎn)4,ADUAR,AD=24。，44_L平面ABCD,AXC_LABV

BY-----------%

(1)求力Ai；

(2)求二面角DI-CALD的正弦值.

已知空間角求其他量

題目1］如圖,在三棱錐P-ABC中，R4J_底面ABC,ZBAC=90°.點(diǎn)D、E、N分別為棱P4

P。、BC的中點(diǎn)，M是線段力。的中點(diǎn)，PA=40=4,48=2.

⑴求證：MN//平面BDE；

(2)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線M與直線BE所成角的余弦值為名,求線段的長(zhǎng).

8

題目區(qū)］己知正方體ABCD-AiBQQi，點(diǎn)、E為中點(diǎn)，直線交平面CDE于點(diǎn)、F.

⑴證明：點(diǎn)尸為BiG的中點(diǎn)；

⑵若點(diǎn)加為棱上一點(diǎn),且直線與平面CDE所成角的正弦值為焙，求笑的值.

題目百在三棱柱ABC-ABG中，平面ABBA，平面ABC,側(cè)面A^BA為菱形，NABBF

春，AB」力。，43=4。=2,E是AC的中點(diǎn).

O

⑴求證：4B,平面

(2)確定在線段力㈤上是否存在一點(diǎn)P,使得AP與平面A2E所成角為與,若存在，求出獸的

3EAV

值;若不存，說(shuō)明理由.

9

題目\Jj如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱P4±平面ABCD,底面四邊形4BCD是矩形，P力=

AO=4,點(diǎn)M,N分別為棱PB,PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AD上，49=3AE.

⑴求證:直線AM//平面BNE；

(2)從下面①②兩個(gè)條件中選取一個(gè)作為已知，證明另外一個(gè)成立.

①平面PAB與平面PCD的交線I與直線BE所成角的余弦值為琮口;

②二面角N-BE-D的余弦值為誓.

注:若選擇不同的組合分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

題目回在底面ABCD為梯形的多面體中.AB〃CD,BC，C0,MB=2CD=2A/2,ZCBD=45°,

BC=AE=DE,且四邊形BDEN為矩形.

⑴求證：3D_LAE；

(2)線段EN上是否存在點(diǎn)Q,使得直線BE與平面QAO所成的角為60°?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

若存在，確定點(diǎn)Q的位置并加以證明.

題目aI如圖1所示，在四邊形ABCD中，BC_LCD,E為BC上一點(diǎn)，AE=BE=AD=2CD=2,

CE=4，將四邊形AECD沿AE折起，使得BO=心,得到如圖2所示的四棱錐.

(1)若平面BCD0平面ABE=2,證明：CD//Z；

(2)點(diǎn)F是棱BE上一動(dòng)點(diǎn)，且直線BD與平面4OF所成角的正弦值為《孥，求第.

11E/1D

題目7如圖，A3是圓O的直徑，點(diǎn)。是圓O上異于力，B的點(diǎn)，PC_L平面ABC,AC=瓜,PC

=2BC=2,E,R分別為PA,PC的中點(diǎn)，平面BE尸與平面A3。的交線為3D,。在圓O上.

(1)在圖中作出交線BD(說(shuō)明畫法，不必證明)，并求三棱錐D-ACE的體積；

⑵若點(diǎn)“滿足BM=^-BD+ABP(A6R),且CM與平面PBD所成角的正弦值為平，求/)的

/O

11

題目旦）如圖，已知直角梯形ABCD與ADER,2DE=2BC=AD=AB=AF=2,AD±AF,

ED//AF,AD±AB,BC//AD,G是線段BR上一點(diǎn).

(1)平面ABCD_L平面ABF

(2)若平面ABCD_L平面ADEF，設(shè)平面CEG與平面ABF所成角為。，是否存在點(diǎn)G，使得

cosg=W^，若存在確定G點(diǎn)位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

題目⑥］如圖，在正方體ABCD-ABCQi中，E是棱CG上的點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)C,G不重合).

(1)在圖中作出平面A2E與平面ABCD的交線，并說(shuō)明理由；

(2)若正方體的棱長(zhǎng)為1,平面AD㈤與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為嗤2,求線段CE

的長(zhǎng).

12

題目JO如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面PA。是邊長(zhǎng)為2的正三

角形，平面PAD±平面ABCD,AB±PD.

(1)求證:平行四邊形ABCD為矩形；

(2)若E為側(cè)棱P。的中點(diǎn)，且平面ACE與平面ABP所成角的余弦值為平，求點(diǎn)B到平面

ACB的距離.

題目”如圖1,菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2/，與，將△43。沿30向上翻折，得到如圖2所

O

示得三棱錐H-BCD.

⑴證明：

(2)若A'C=3,在線段BD上是否存在點(diǎn)G,使得平面ACG與平面BCD所成角的余弦值為

吟?若存在，求出BG；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

13

題目衛(wèi)如圖，在四棱錐P-ARCD中，AB〃CD,CP工CD,CD=2AB=2,AP=AC=AD.

(1)證明:平面P3C_L平面PCD：

⑵己知CP=，53C=2,國(guó)=4萬(wàn)[0,1].若平面與平面ACQ夾角的余弦值為空,

求4的值.

題目_13_；已知在直三棱柱43。一A3G中，其中44尸2月。=4,AB=3。,尸為33的中點(diǎn)，點(diǎn)E

是CG上靠近G的四等分點(diǎn)，人/與底面ABC所成角的余弦值為烏.

B

(1)求證:平面AFC±平面A{EF^

(2)在線段AF上是否存在一點(diǎn)N,使得平面4PC與平面NBC所成的銳二面角的余弦值為

苧，若存在,確定點(diǎn)N的位置，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

14

題目J4直三棱柱ABC-4BQ］中，AC=BC=CCi=2,D為3。的中點(diǎn)，點(diǎn)E在44i上，A。

(1)證明：3。_1,平面44D；

(2)若二面角4—DE—G大小為30°,求以4,EQ，G為頂點(diǎn)的四面體體積.

題目工？如圖1,在△A3C中，AB=AC=2,/歷1。=岑,E為的中點(diǎn)，尸為上一點(diǎn)，且

EF±AB.將4BEF沿ER翻折到AREF的位置，如圖2.

L8，

E。

圖1圖2

(1)當(dāng)AB=2時(shí),證明：平面BAE±平面ABC；

(2)己知二面角8-￡R一4的大小為茅棱47上是否存在點(diǎn)M,使得直線EE與平面BW1所

成角的正弦值為裒？若存在，確定M的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

15

空間距離的向量求法

題目J如圖，四邊形/BQD是邊長(zhǎng)為2的菱形，乙4BC=60°,四邊形R4CQ為矩形，PA=1,從

下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，并解答問(wèn)題(如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答

計(jì)分).

①3P,OP與平面ABCD所成角相等;②三棱錐P-ABD體積為空;③cosZBPA=與

35

⑴平面PACQ±平面ABCD-,

(2)求二面角3-PQ—D的大小;

(3)求點(diǎn)。到平面BPQ的距離.

題目2如圖所示,在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面△PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，3C〃

平面PAD,BC=^AD=1,E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)E是棱PO的中點(diǎn)時(shí),求證：CE〃平面PAB；

(2)若43=1,43，AD,求點(diǎn)B到平面ACE距離的范圍.

16

題目J在如圖所示的圓錐中，己知P為圓錐的頂點(diǎn)，。為底面的圓心，其母線長(zhǎng)為6,邊長(zhǎng)為3-

的等邊△A3C內(nèi)接于圓錐底面，OD=AOP且4€[5,1].

(1)證明：平面。3C_L平面。力O；

(2)若E為中點(diǎn)，射線OE與底面圓周交于點(diǎn)M,當(dāng)二面角A—OB—C的余弦值為得時(shí)，求

點(diǎn)”到平面BCD的距離.

題目在多面體4BCGAB中，四邊形BBQQ是邊長(zhǎng)為4的正方形，AB±BtB,△4BC是正三

角形.

(1)若4為4B的中點(diǎn)，求證:直線A?！ㄆ矫?BG；

(2)若點(diǎn)A在棱AB1上且44尸24B1,求點(diǎn)。到平面A.BC,的距離.

17

題目包〕如圖,該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和十個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)G為弧8的中點(diǎn)，且。,

E,O,G四點(diǎn)共面.

(1)證明:平面BDF±平面BCG；

(2)若平面BDF與平面ABG所成二面角的余弦值為率，且線段長(zhǎng)度為2,求點(diǎn)G到直線

5

OR的距離.

題目g］如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD_L平面BCD,AB±AD,AB=AD,。為BD的中

點(diǎn).

(1)證明：OA_LCD

⑵若4BCD是等腰直角三角形，"DC=90°,8=2,點(diǎn)E在棱AD±(與4,D不重合)，若二

面角E—BC—。的大小為45°,求點(diǎn)。到面3CE的距離.

18

題目J斜三棱柱ABC-4BG的各棱長(zhǎng)都為4,44/3=60°,點(diǎn)4在下底面ABC的投影為AB

的中點(diǎn)O.

(1)在棱(含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)D使A{D±AC[?若存在，求出BD的長(zhǎng):若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(2)求點(diǎn)A到平面BCCB的距離.

題目瓦I在直角梯形ABCD中，CD_LAD,AB=BC=2CD=2,4D=現(xiàn)將AACD沿著對(duì)角

線AC折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸位置，此時(shí)二面角P-AC-D為專.

O

(1)求異面直線所成角的余弦值;

(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

19

題目3如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，47為底面直徑，△ABD為底面圓O的內(nèi)接

正三角形，且邊長(zhǎng)為《，點(diǎn)E在母線PC上，且AE=四,CE=1.

(1)求證:直線PO〃平面BDE；

⑵求證:平面BED±平面ABD-,

(3)若點(diǎn)M為線段PO上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M

到平面ABE的距離.

題目1F；已知直三棱柱ABC-4B|G中，4BJ_BC,43=44產(chǎn)2,BC=1,分別為48,

BE的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).

⑴求證：〃平面4BC；

(2)求平面CED與平面HCGA夾角的余弦值;

(3)求點(diǎn)G到平面CED的距離.

20

空間向量在立體幾何中的三種考法

空間角的向量求法

題目［Tj如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ACCBD=O,且PO_L平

面/BCD,PO=2,R,G分別是PB,PD的中點(diǎn)，E是P4上一點(diǎn)，且AP=3AE.

（1）求證：〃平面EFG；

（2）若NDAB=當(dāng)，求直線PA與平面EFG所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵高

【分析】（1）通過(guò)證明BD〃GF即可證明結(jié)論；

（2）以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由選擇條件可得相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，可得向量P力坐標(biāo)與平面

EFG法向量坐標(biāo)，即可得線面夾角正弦值，從而可得答案.

【詳解】（1）證明：:G,/分別為中點(diǎn)，：.GF//DB,

又BZ?|c］平面GEF,GFu平面GEF,

:.BD44面EFG;

（2）底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，所以又POJ.平面AB。。，OAOBu平面

ABCD,

所以P。J_OA,PO±OB,

如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以04OB,OP所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,O,O),B(O,V3,0),D(0,-V3,0),P(0,0,2),3(0,一4,1),尸(0,乎,1).

/.R4=(l,0,-2),AP=(-l,0,2),a4=(l,0,0),

又AP=3AB,/.AE^^-AP,：.無(wú)=示+：存=信,0,,),

0JJO

???嗚端)屈=(/喙為就=_2_V31_

3'2'3

設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為亢=(i,仇z),

n-EF=—^x+嗡/+上=0

n卜"_?，令力=1,所以元=(1,0,2),

則.-2

方?EG=_%_號(hào)g+梟=o[Z—ZX

設(shè)直線H4與平面ERG所成角為氏(0,y]

IPA*n|I—3|Q,----------4

則sin^=—=—r=一~產(chǎn)二7-,故有C=J1-sin1=—,

\PA\\n\V5-V555

所以直線P4與平面EFG所成角的余弦值4.

5

題目口〕如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PA，平面4BCD,E為PD的中

(1)求證：PB〃平面4EC；

(2)求平面PAC與平面AEC所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)建系，求平面4EC的法向量，利用空間向量證明線面平行；

(2)求平面尸AC的法向量，利用空間向量求面面夾角.

【詳解】⑴因?yàn)镻A，平面ABC。,且AB,4DU平面ABCD,則PA±AB,PA±AD,

即⑷3,AD,4P兩兩互相垂直，

如圖，以4為原點(diǎn)，以AB,AD,AP分別為:r軸，9軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,

,

則A(0,0,0),P(0,0,2))B(2,010),C(2,2,0),E(0,1,1),

可得而=(2,0,—2),而=(2,2,0),AE=(0,1,1).

設(shè)平面AEG的法向量為慶=(BMZ),

nl\AC-m—2x-\-2y—0?._.za,,

則(—?，取N=1,可得u=-l,z=l,

[AE-rn=y-i-z=0

所以平面4EC的一個(gè)法向量為由=(1,-1,1),

可知越?市=2x1+0—2x1=0,即兩J_關(guān),

又因?yàn)镻B（t平面AEC,所以PB〃平面AEC,

(2)由(1)可知：/=(2,2,0),*=(0,0,2),

設(shè)平面PAC的法向量為五=(a,b,c),

則7=20+20=°,取&=],可得6=一1,。=0,

?n=2c=0

則平面P4c的一個(gè)法向量為元=(1,一1,0),

封汨,-m-n1+1+0V6

可付COSV771,72>=----------=—=-----=——,

刷.同73x723

所以平面P4C與平面AEC所成角的余弦值為坐

O

題目3：已知圖1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE組成的一個(gè)平面圖形，其中菱形邊長(zhǎng)為

4,乙4=90°,/。=60°.將三角形ABE沿BE折起，使得平面4BEJL平面BCDE（如圖2）.

（1）求證：A1C±CD；

（2）求二面角3—4。一。的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵多

【分析】⑴取BE的中點(diǎn)O,連接AXO,OC,則AtO±BE,再結(jié)合已知面面垂直可得AQ，平面

BCDE,則4Q，CD,而OC8,再由線面垂直的判定可得8，面力QC,從而可證得AC

工CD,

（2）以O(shè)B,OC,04所在的直線分別為工軸，？/軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.

【詳解】（1）證明：取3E的中點(diǎn)O,連接AQ,OC.

vA{B=AXE,：.AiO±BE.

又??,平面A.BE_L平面BODE,且平面A.BEn平面BCDE=BE9A{Ou平面A.BE,

??.AO_L平面8c

???CDu平面BCD石，??.40_LCD

???在菱形3cz汨中，NO=60°,?,.ABCE為等邊三角形，

,:BE的中點(diǎn)、為O,：.OC1.BE,

-BEUCD,：.OCA.CD

,??A}OAOC=O,AOOCu平面A}OC,

??.CD_L平面AO。，???ACu平面A}OC,CD±A}C.

3

(2)由⑴4O_L平面BCDE,???OBOCu平面BCDE,.?.4O,OB，4O,OC,

?：OCA.BE,

如圖，以O(shè)B,OC,04所在的直線分別為h軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

,

J5(2,0,0),C(0,2V3,0),D(-4,2V3,0),711(0,0,2),

/.AC=(0.2V3,-2),BC=(-2,273,0),CD=(-4,0,0).

設(shè)平面BAXC的法向量為有=Q,y,z),則

濟(jì)?AyC=2V3y-2z=0

不妨設(shè)夕=1,則/=(V3,1,V3).

nx-BC=—2x+=0

設(shè)平面D4Q的法向量為甚=(a,b,c),則

花,AC=2A/36-2c=0

X，令c=—,則花=(0,1,V3),

蒞?CD=-4a=0

設(shè)二面角B-4C-D的大小為。，由圖可知(9為鈍南，

n-n_______4________2V7

/.|cos^|=t2=/.sin9=

V3+1+3XVI+37

V21

二面角B-AQ-D的正弦值為必L.

題目⑷如圖，四棱錐P-ABC。中，四邊形ABCD為梯形，A5〃CD,AD，AB,4B=AP=

2DC=4,PB=2AD=4四,PD=2V6,M,N分別是PO,PB的中點(diǎn).

(1)求證:直線MN//平面ABCD；

(2)求平面MCN與平面ABCD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵爺

【分析】⑴由M,N分別是PD,PB的中點(diǎn)可得MN〃BD,進(jìn)而可證直線皿N〃平面ABCD;

(2)以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求平面MCN與平面ABCD得法向量，進(jìn)而求出

cos*,而，則平面MCN與平面ABCD夾角的余弦值可得.

【詳解】⑴連接RD,N分別是PD,PB的中點(diǎn).

MN//BD

又???MN①平面ABCD,BDu平面ABCD

直線MN〃平面458

(2)VAB=AP=2DC=4,P3=2AD=4-,PD=2乃

AB2+AP2=PB2,AD2+AP2=PD2

...AB±AP,AD±AP

4

4P兩兩之間互相垂直

以力為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

,

71(0,0,0),5(0,4,0),C(2A/2,2)0),D(2V210,0),P(0,0,4)

又???”，N分別是PD,的中點(diǎn).

M(V2,0.2),Af(0,2,2)

(-72,-2,2),QV=(-272,0,2),AP=(0,0,4)

設(shè)平面MCN的法向量為4=(z,9,z)

|CM求=0可f—V2x—2y+2z—0

[CN-n=0何i-2，^r+2z=0

(_V2

解得“一〒①令s=2可得法向量方=(2,蓼,2/)

[z=V2x

AB±AP,AD±AP,ADQAB=A

：.AP_L平面ABCD

存為平面ABCD得法向量

喬益82277

COsAP,7Z=

麗4x714~7~

令平面MCN與平面43CD夾角為6且為銳角

/.cos0=|cosAP,n|=

平面MCN與平面ABC。夾角的余弦值為空二.

題目區(qū)）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA1.平面ABCD,PA=AD=

方AB,點(diǎn)M是PD的中點(diǎn).

⑴證明：AWLPC；

（2）設(shè)A。的中點(diǎn)為。，點(diǎn)N在棱PC上（異于點(diǎn)P,。）,且ON=O4,求直線4N與平面■所

成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵等

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得AM±PD,由面面垂直的性質(zhì)可得CD，平面PAO,則CD

_LAM,所以由線面垂直的判定可得AM±平面PCD,從而可得結(jié)論；

⑵以4B,4。,/P所在直線分別為⑨y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】（1）證明：因?yàn)镻A=AD,點(diǎn)”是PD的中點(diǎn)，所以AM±PD.

5

因?yàn)镻4J_平面4BCD,P4u平面PAD,所以平面PAD_L平面ABCD,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以CD_L力。，

因?yàn)槠矫鍼ADn平面ABCD=4D,3u平面438,

所以CDJ_平面PAD,所以CDJ_AM,

因?yàn)镻DCCD=D,PRCDu平面PCD,

所以AAf_L平面PCD,

因?yàn)镻Cu平面PCD,所以AM_LPC.

（2）解：由題意可得AB,兩兩垂直,

設(shè)4B=1,如圖，以/B4ZAP所在直線分別為z,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（O,O,O），B（I,O,O）,C（I，,O）?,O）,P（O,O,0,

因?yàn)辄c(diǎn)M是PD的中點(diǎn)，所以“（0,烏,李），

所以麗:（0,岑，孚），京=（1,6,0）,

設(shè)平面ACM的法向量為五=（①,9,z）,則

JAM-n=冬y+與z=0

IAC?n=x+~/ly=0

令y=-l可得/=，^,z=l,所以平面HCM的一個(gè)法向量亢=

(V2,—1,1).

PC=(1,V2,-V2),設(shè)N(XN，VN，ZN),際=APC=(尢仞，一仞)(0<^<1),

即3N，?/N，ZN—，所以—.

又O七弩，0)QN=%=坐，

所以(/)—/)+^V2A—+(V2—V2/l)2=-1-,

化簡(jiǎn)得5/-71+2=0,解得?=或；1=1（舍去）.

5

所以前嗚，啜挈），

設(shè)直線AN與平面AC"所成的角為夕，則

3V2

n-AN_________V15

sin6=5

+&+也—10

同.MM"2+i+ix小看T25T25

所以直線4N與平面4cM所成角的正弦值為唔

題目可已知三棱臺(tái)4BG—4B。，A/J.面ABC,4ABl=48=4。=4,cosABAC=~,D

是線段A/中點(diǎn)，且3。_LDC.

6

小G

⑴證明：BD_L3Q；

（2）請(qǐng)選擇合適的基底向量，求直線場(chǎng)。與AA所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵

oO

【分析】（1）根據(jù)條件結(jié)合余弦定理先求出A,A的長(zhǎng)度，然后再證明△BAD與△/DA/相似，從

而可證明.

（2）選取基底｛為反而，而｝，分別表示出瓦方，求出模長(zhǎng)和對(duì)應(yīng)的數(shù)量積，由向量法可得出答案.

【詳解】（1）證明:連接BXD.設(shè)A/=a，在△ABC中，由余弦定理得

BC=^42+42-2X4X4X（一1）=2V10,

入DB=DC=J4+16,因?yàn)锽D_LDC,所以2（-y+16）=40,解得a=4,

由于4^=4,且/-BAD=,所以△BAD-,

A.\D2AB

所以^AXDBy=ZABD,所以NBDB尸90°,即BD±BQ,

又因?yàn)锽QC1。,所以BO_L面BQC,又因?yàn)锽QU面BQ。，所以5。_LB｛C.

(2)選取基底｛荏,前,啟｝,

BQ=54+4/+為c=一十?+4C—<4,

4

(^C)2=(-J-AB+AC-A^)'=1+16+16+2x(-J)?

B\C,AAj—(—,AB+ACJ-J4T41)。AA.\—16,

cos配珂=半=-曙，

4V3535

所以直線與。與A4所成角的余弦值為主舞.

35

題目如圖，在三棱柱4BC-A1BG中，=AB產(chǎn)BQ.

4G

⑴證明：47_1_88：

（2）若AB=BBi=2,AB^VG,乙4BC=120°,求二面角4一B5-C的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵-,

【分析】（1）取力C的中點(diǎn)D,連接BD,BQ,即可證明ACJL平面BBQ,從而得證；

（2）證明BQ1.平面ABC,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB、DC、DBX所在直線為W、夕、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，再由空間向量求解.

【詳解】(1)取力。的中點(diǎn)。，連接

AB=BC,ABX=B}C,：.ACJLBD,AC±B}D,

叉BDCBQ=D,BD,BQu平面BBQ,；.ACJ,平面BBQ,

而B(niǎo)B]U平面BB、D,

??.AC±B,B;

(2)在4ABC中，AB=BC=2,4ABe=120°,

可得BD=^AB=1,力。=2AD=273,

在A48C中，ABX=B(C=V6,AC=2/,可得BQ=6用=瓜、

在MBQ中，BD=1,BQ=收,BBi=2,

2

可得BD±+BQ'=B}B,即B}D±BD,

由（1）知，4。JL平面BBQ,ACc平面ABC,所以平面ABCX.平面BBQ,

又平面ABCD平面BBQ=BD,BQu平面BBQ,

：.BQ_L平面ABC,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB、DC、DBt所在直線為土、y、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，

則6(1,0,0),X(0,-V3,0),C(0,V3,0),5(0,0,—),

BA=(-1-V3.0),BB,=(-1,0,73),BC=(-1,73,0),

設(shè)平面ABB]與平面CBB}的一個(gè)法向量分別為m=（如外為），n=（,2,g,出）,

由{m-BA=-Xi-V3yt=。，取，尸-=（右0,

m?BBi=-Ni+V^Z]=0

由1?西=—+/產(chǎn)。，取,尸依得公（73,1,1）.

=

n?BC=-X2+V3?/20

日?元=3—1+1=3

cos濟(jì),n=

|m||n|瓜*瓜5

由圖可知，二面角4一35—。的平面角為鈍角，

8

二面角A—的余弦值為一

5

題目可如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA平面ABC。，AD1.CD,AB//CD,PA=AD=

8=1,45=2,點(diǎn)刊是。3的中點(diǎn).

(1)證明：PB=2CM；

(2)求直線DM與平面ACN所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)取4B中點(diǎn)B,證明得到四邊形AFCD是正方形，進(jìn)而得到BC_1_平面PAC,所以BC

±PC,根據(jù)直角三角形相關(guān)性質(zhì)可得到PB=2cA1;

(2)先建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線段長(zhǎng)度寫出坐標(biāo)，求平面ACW的一個(gè)法向量，再結(jié)合線面角計(jì)

算公式求出答案.

【詳解】(1)取AB中點(diǎn)連接CF,則AF=CD=1,

又因?yàn)?尸〃CD,所以四邊形AFCD是平行四邊形，

因?yàn)锳D_L8,AD=CD,所以四邊形AFCD是正方形，

所以力B_L。尸，即△ABC是等腰三角形，則AC=BC=

V2,

所以力。2+8b=4=AB?,即力C，,

因?yàn)镻A_L平面ABCD,BCu平面ABCDjfy以凡4

BC,

又因?yàn)镻4ACU平面R4C,PAn力。=4,

所以BCJ_平面PAC,

因?yàn)镻Cu平面R4C,所以BC_LPC,

又因?yàn)辄c(diǎn)“是P3的中點(diǎn)，所以由直角三角形性質(zhì)易得PB=2CM

(2)因?yàn)镻A_L平面ABCD,AD,ABC.平面4BCD,所以P4_LAD,PA_LAB,

又因?yàn)樗倪呅蜛FCD是正方形，所以4。_LA3,

如圖，以｛而,荏，存｝為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系4一緲z,

則>1(0,0,O),C(1,1,0),D(1,O,O),M(O,l,y),

所以血=(—1,1,/=(1,1,0),戒=(0,1,1),

設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為1=(c,y,z),

n-AC=x+y=0

，令。=1,則亢=(1,-1,2),

n?AM=y+Y=0

9

設(shè)直線0M與平面力CM所成的角為仇

所以sin6=\1cosn,DM\1=上=——^—==乎

\n\\DM\V6X7J9

所以直線DM與平面AC70所成的角的正弦值為平.

題目V1如圖，平行六面體ABCD-ABiGA的體積為6,截面ACQA,的面積為6.

（1）求點(diǎn)B到平面AOG4的距離：

⑵若43=AD=2,N3AD=60°,44產(chǎn)通,求直線BD,與平面CCQQ所成角的正弦值.

【答案】（1）1

⑵普

【分析】（1）應(yīng)用等體積法求出點(diǎn)到平面距離；

（2）空間向量法求線面角的正弦值即可.

【詳解】（1）在平行六面體4BCD—ABGR中，ABC—A8G是三棱柱，

QK1BC-ABQ尸可匕BCD-A.CQ尸->

設(shè)點(diǎn)B到平面ACCyA,的距離為d,則%T8,A=±SACC,A；d=gx6d=2,所以d=l,

JJ

即點(diǎn)B到平面ACCiA的距離為1.

（2）在CJABCD中，=AD=2,/HAD=60°，所以ABCD是菱形，連接BD交4c于O,則80

=1,

由⑴知點(diǎn)B到平面4CG4的距離為1,所以BO_L平面ACG4.

設(shè)點(diǎn)4在直線力。上射影為點(diǎn)H,SaACClA=AC-AXH=6,

則AH=/,且80_L=y/AAl-AiH2=V（V6）2-（V3）2=V3,

所以O(shè)和H重合,即AO_LAO.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,OAl分別為rr軸，以軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則B（O,I,O）,4V5,O,O）,D（（）,T,O），A（O,O，），

根據(jù)而=麗=（-8,0,《）,荏=覺(jué)=（-73,1,0）,則D,（-V3）-1.V3）,

Bby=（-禽,-2,通），設(shè)平面CCQQ的一法向量為方=Q,y,z）,

-n——V3x+V3z—0

則，取工=1,則元=（1,V3,1）,

n=—V3x+y=0

設(shè)直線BDi與平面CCQQ所成角為a,則sina=|cosB75n|=BDt-n—A/3—2A/34~A/3

e1；

iwiV10xV5

10

=瓜

一5，

所以直線與平面CCQQ所成角正弦值為0

5

題目J0如圖所示，在多面體ABCGRE中，底面BCFE為矩形，且AE_L底面BCEE,AG〃ER,

AG=AE=BE=寺EF=2,BFnCE=O.

(1)證明：4?！ㄆ矫鍳CF.

(2)求平面ABO與平面GCF夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵當(dāng)

【分析】⑴取線段CF的中點(diǎn)H,連接OH,GH,則利用三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得四邊

形4O”G是平行四邊形，則AO〃HG,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

⑵由題意可得班㈤凡區(qū)4,所以以E為原點(diǎn)，分別以EB,EF,EA所在的直線為o;,y,z軸建立空間

直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可.

【詳解】⑴證明：取線段CF的中點(diǎn)、H,連接OH,GH,

因?yàn)樗倪呅蜤BCF是矩形，豆CB=2EB,

所以O(shè)HMBC且OH=yBC,

因?yàn)锳G〃EF且AG=3EF,EF〃BC且EF=BC,

所以4G〃口。且4G=9BC,

所以AGIIOH且AG=OH,

所以四邊形4OHG是平行四邊形，則AO//HG,