高考數(shù)學解析幾何專題

第Ol講曲線與方程

知識與方法

解析幾何主要研究兩方面的內(nèi)容:一是根據(jù)條件求曲線的方程（即軌跡方程），二是根據(jù)曲

線方程,研究曲線的性質(zhì).

1.求軌跡方程

求曲線的軌跡方程是高考命題的熱點,其一般步驟為:建（坐標系）、設（動點坐標）、限（限

制條件,點滿足的條件）、代（坐標代入）、化（化簡整理）,最后檢驗軌跡的純粹性與完備性.

即:①建系;②設點;③列式;④化簡;⑤檢驗.

求軌跡方程的常用方法：

己知曲線類型一一待定系數(shù)法

未知曲線類型一一①定義法:②直接法:③代入法;④交軌法;⑤參數(shù)法.

2.研究曲線的性質(zhì)

主要是圖形形狀、對稱性、范圍、最值等.

典型例題

【例1】已知點集Λ∕=｛（x,y）∣Jl-VN孫｝,則平面直角坐標系中區(qū)域M的

面積是（）

A.1b?3+7C.πd?2+i

【例2】數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C52+y2=ι+∣χ∣y就是其中

之一（如圖）.給出下列三個結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過0;

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中,所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①C.①②D.①②③

【例3】在數(shù)學中有這樣形狀的曲線:V+y2=U|+|y|.關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過9個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)；

②曲線C上任意兩點之間的距離都不超過2;

③曲線C所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5.

其中正確的結(jié)論有()

A.①③B.②③C.①②D.①②③

【例4】(多選題)雙扭線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布?伯努利用來描述他所發(fā)

現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標系xθy中，把到定點K(-a,O),Λ(α,O)距離之積等于a2(a>0)的點

的軌跡稱為雙扭線C.

己知點P(%,%)是雙扭線C上一點，下列說法中正確的有()

A.雙扭線C關(guān)于原點O中心對稱；B.-?∣^o?

C.雙扭線C上滿足IP用=IPEl的點P有兩個；D.∣POI的最大值為.

【例5】(多選題)在平面直角坐標系Xoy中，P(x,y)為曲線C:Y+4y2=2+2|x|+4|)，|

上一點，則()

A.曲線C關(guān)于原點對稱B.X∈[―1—?/?,1+yfi]

C.曲線C圍成的區(qū)域面積小于18D.。到點(θ,g)的最近距離為中

【例6】(多選題)數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲

線是數(shù)學形象美，對稱美，和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線C：(χ2+∕)3=16χ2y2恰好是四葉玫

瑰線.給出下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C經(jīng)過5個整點(即橫，縱坐標均為整數(shù)的點)

5.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過2

U曲線C圍成區(qū)域的面積大于4兀

。.方程(x2+y2)3=I6x2y2(xy>0)表示的曲線C在第一象限和第三象限

【例7】(雙空題)曲線C是平面內(nèi)到定點A(IQ)的距離與到定直線X=T的距離之和為

3的動點P的軌跡.則曲線C與y軸交點的坐標是；又已知點8(α,l)(α為常數(shù))，

那么∣P8∣+IpAl的最小值d(α)=.

【例8】如圖所示,直線4和4相交于點M4，4,點Ne4,以4B端點的曲線段。上

任一點到4的距離與到點N的距離相等，若ΔAMN是銳角三角形,IAM=J萬,IANI=3且

IBNl=6,建立適當?shù)淖鴺讼担笄€。的方程.

【例9】已知雙曲線1-V=ι的左、右頂點分別為AM，點Pa,y),OU2,-y)是雙

曲線上不同的兩個動點，求直線AP與交點的軌跡E的方程.

【例10］如凰設點A和5為拋物線丁=2px(p>0)上除原點以外的兩個動點,已知

OALO氏OMLAB,則點M的軌跡方程為()

A.x2+y2-2px=0（原點除外）B.x2+y2-2py=0（原點除外）

C”?+丁+2pχ=0（原點除外）D.χ2+）,2+2py=0（原點除外）

強化訓練

1.如果把一個平面區(qū)域內(nèi)兩點間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線

Y+V=2圍成的平面區(qū)域的直徑為（）

A.√32B.3C.2√2D.4

2.由曲線f+y2=2μ∣+23圍成的圖形面積為（）

A.2）+4B.2τr+8C.4τr+4D.4"+8

3.如圖，平面直角坐標系中，曲線（實線部分）的方程可以是（）

22

A.(?x?-y-1)?(1X+/)=0B.y∣?x?-y-1?(1χ+∕)=0

2222

C.(∣x∣-y-1)7?/1~X+y=0D.y∣?x?-y-1??/1~x+y=0

4.方程∣x-l∣=Jl—(y-l)2所表示的曲線是()

A.一個圓B.兩個圓C.半個圓D,兩個半圓

5.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程

為（%2+y2）i=x2y2.給出下列四個結(jié)論：

①曲線C有四條對稱軸；②曲線C上的點到原點的最大距離為;；

③曲線C第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大為：；

O

④四葉草面積小于工.

4

其中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③

6.曲線C為：到兩定點M（_2,0）、*（2,0）距離乘積為常數(shù)W的動點P的軌跡.以下結(jié)論正

確的個數(shù)為（）

（1）曲線C一定經(jīng)過原點；（2）曲線C關(guān)于X軸、y軸對稱；

（3）ΔMPN的面積不大于8；（4）曲線C在一個面積為64的矩形范圍內(nèi).

A.lB.2C.3D.4

7.雙曲線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布?伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面

直角坐標系Xoy中，把到定點耳（-α,0）,瑪（α,0）的距離之積等于/（a>0）的點的軌跡稱

為雙紐線C.

已知點P（Xo,%）是雙紐線C上一點，下列說法中正確的有（）

①雙紐線C關(guān)于原點。中心對稱:

②一］。0J；

③雙紐線C上滿足IP耳HPF21的點P有兩個；④IPol的最大值為?.

A.①②B.①②④C.②③④D.①③

8.已知點A(-√2,0),B(√i,0),動點尸滿足NAPB=6>fi∣PΛ∣?∣Pβ∣?cos2?=1,則點P

2

的軌跡方程為.

9.設圓C與兩圓(》+石)2+y2=4,(χ-√5)2+y2=4中的一個內(nèi)切,另一個外切.求C的

圓心軌跡4的方程.

尤2V2

10.已知橢圓r-==l(4>b>0)的左、右焦點分別是耳(-c,0),F,(c,O),。是橢圓外的動

ab'

點，滿足IKQI=2°,點尸是線段百Q(mào)與該橢圓的交點，點T在線段鳥。上，并且滿足

PTTF2=O,?TF2?≠O,求點T的軌跡C的方程.

11.在平面直角坐標系XOy中，拋物線y=/上異于坐標原點。的兩不同動點

4、B滿足AO^80(如圖所示)，求DAo8的重心G(即三角形三條中線的交點)的

軌跡方程.

'B

X

參考答案

【例1】已知點集Λ∕=｛（x,y）∣Jl-??Jl人」孫｝,則平面直角坐標系中區(qū)域M的

面積是（）

JTTT

A.1B.3+-C.πD.2+-

42

【答案】D

【解析】由題意，當平WO時，只需滿足f≤l,∕≤li

當?。?時，對不等式JΠ^?Jly2式D兩側(cè)平方,整理得V+VWl,

綜上可得集合M對應的圖象，如圖所示，

所以其面積為S=2創(chuàng)1+2倉田πF=2+]?

【例2】數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：￡+y2=]+|x及就是其中

之一（如圖）.給出下列三個結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過血；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中,所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

【答案】C

【解析】由V+V=l+∣x∣y得，y2-∣x∣y=l-x2,(丫-丹］=?,

A

X2,,g,所以X可為的整數(shù)有0,T,1,從而曲線C：V+y2=1+|Xly恰好經(jīng)過(0,1),(0,-1),

(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六個整點，結(jié)論①正確.

2

由￡+y?=l+∣χ∣y得，χ+??+-??■,解得Y+；/≤2,所以曲線C上任意一點

到原點的距離都不超過垃.結(jié)論②正確.

如圖所示，易知A(O,-1),8(1,0),C(l,l,),D(0,l),

13

四邊形ABCD的面積SMep=^xlx1+1X1=；，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于2S.B8,

即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③錯誤.

【例3】在數(shù)學中有這樣形狀的曲線=V+y2=∣χ∣+∣y∣.關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論:

①曲線C恰好經(jīng)過9個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)；

②曲線C上任意兩點之間的距離都不超過2;

③曲線C所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5.

其中正確的結(jié)論有()

A.φ(3)B.②③C.①②D.①②③

【答案】A

【解析】

=g,(x>O,y>O)

=g,(x>O,y<O)

=∣,(jc<O,y>O)

??(x<0,y<0)

X=O且y=O

如圖，圖象由四個圓的部分圖像和原點組成，且四個圓都可過原點,

y

1+y/2.?+>∕2.1+>/2.I+>/2

①曲線C中，Xe

2'2ye2,2

經(jīng)過的整點有:(0,0),(1,1),(1,0),(1,T),(-l,1),(—1,0),(T,T),(0,1),(0,T)共9個,命題

①正確；

②如圖，曲線上任意兩點距離范圍為(0,4/?),即兩點距離范圍為(0,20),命題②錯誤;

③曲線C所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域可看成四個半圓和一個正方形組成，設它的面積

為S,

S=4×-πR2+(2R)2^=4π+2>5,命題(3)正確.

2

故選：A.

【例4】(多選題)雙扭線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布?伯努利用來描述他所發(fā)

現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標系Xoy中，把到定點耳(-4,0),月(4,0)距離之積等于/(4>0)的點

的軌跡稱為雙扭線C.

已知點P(%,%)是雙扭線C上一點，下列說法中正確的有()

A.雙扭線C關(guān)于原點O中心對稱；B.-?∣^o5；

C.雙扭線C上滿足歸aI=IP圖的點P有兩個；D.∣PO∣的最大值為缶.

【答案】ABD

【解析】對A,設動點C(x,y),由題意可得C的軌跡方程為

2222

y∣(x-a')+yyj(x+a)+y-2a.

把(x,y)關(guān)于原點對稱的點(-x,-y)代入軌跡方程，顯然成立；

對B，因為P(%,%),故S△除=*外|**4"="母訃IM.乂

2

?PFt?-?PF2?=a,所以AinN耳空=2α?∣%∣,即∣%KSinN4PE?微,i?-∣≡∣^|.故B

正確；

對C,若IPKl=IP段，則尸(XO,%)在百鳥的中垂線即y軸上.故此時XO=O,代入

^x-a)2+y2^x+a)2+y2=2a,可得%=0,即P(0,0),僅有一個，故C錯誤；

對D,因為/PO耳+NPOg=π,AicosZPOFt+cosZPOF2=0,

222

IOPI+∣OFJ∣∣2-∣P∕<IIOPI+∣O^∣2-?PF(

------------1---+------2-=U

2?OP?-?θFt?2?OP?-?OF2?

因為|0用=IO周=α,∣PFj?∣P周=",故2∣OPf+2/=|代「+1PER

即IoPF+2a2=(∣P^∣-∣P∕=ζ∣)2+2∣P^∣-∣P7?∣,所以2|OPF=(IP用-IPKI)2.

又IP周一IP以,恒Ll=2α,當且僅當P,F1,居共線時取等號.

故2∣OP∣2=(∣P周-∣Pg∣)2,,(24)2,即IoPI2,,2/,解得IOP其，故D正確.故選：

ABD.

【例5】（多選題）在平面直角坐標系Xay中，P（X,y）為曲線C:f+4y2=2+2∣x∣M∣y∣

上一點，則（）

A.曲線C關(guān)于原點對稱B.x∈[-l-√3,I+√3]

C.曲線C圍成的區(qū)域面積小于18D.P到點（0,；）的最近距離為日

【答案】ACD

【解析】當x>O,y>0時，曲線C:f+4y2=2+2x+4y即攵/+0，一；）=1,將

1+y2=ι中心平移到（Iq）位于第一象限的部分；因為疔（τ,y）,（XLy）,Qχ,-y）都在

曲線C上，所以曲線C圖象關(guān)于X軸，y軸和原點對稱，作出圖象如圖所示：

對于選項A：由圖知曲線C關(guān)于原點對稱，故選擇項A正確；

2

對于選項5：令.+y2=ι中令y=。得χ=2,向右平移一個單位可得橫坐標為3,根

據(jù)對稱性可知-3≤x43,故選項6不正確；

對于選項C：令《+V=I中X=O可得y=l,向上平移1個單位可得縱坐標最大值為

曲線C第一象限的部分被包圍在矩形內(nèi)，矩形面積為3x3=2,所以曲線C圍成的區(qū)

222

Q

域面積小于2x4=18,故選項C正確；

2

對于選項。：令三丫+（y—g）2=l中X=O,可得y=g±*，所以到點（0,3的最近

距離為0,故選項O正確；

2

綜上所述，選AC￡）.

【例6】（多選題）數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲

線是數(shù)學形象美，對稱美，和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線C:（V+y2）3=i6χ2y2恰好是四葉玫

瑰線.給出下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C經(jīng)過5個整點（即橫，縱坐標均為整數(shù)的點）

5.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過2

C.曲線C圍成區(qū)域的面積大于4兀

D.方程U2+/)3=?6x1y?xy>0)表示的曲線C在第一象限和第三象限

【答案】BD

【解析】把X=G,y=√5代入曲線C,可知等號兩邊成立，

所以曲線C在第-象限過點(√Σ,JΣ),由曲線的對稱性可知，該點的位置是圖中的點用

對于A選項，只需要考慮曲線在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整點即可，把(1,1),(1,2)和(2,1)代

入曲線C的方程驗證可知，等號不成立，所以曲線C在第一象限內(nèi)不經(jīng)過任何整點，再結(jié)

合曲線的對稱性可知，曲線C只經(jīng)過整點((M)),即A錯誤；

22

對于3選項，因為Y+y2≥2D(X>0,y>0),所以孫≤m,所以

22322Λ+V222

(x+γ)=?6xy≤16×^=4(x+γ),所以丁十丁“,即jβ正確.

4

對于C選項，以O為圓點，2為半徑的圓。的面積為4兀，顯然曲線C圍成的區(qū)域的面

積小于圓。的面積，即C錯誤；

對于O選項，因為號>0,所以X與y同號，僅限與第一和三象限，即。正確.

故選：BD.

【例7】(雙空題)曲線C是平面內(nèi)到定點A(LO)的距離與到定直線x=-l的距離之和為

3的動點尸的軌跡.則曲線C與y軸交點的坐標是；又已知點8(α,l)(α為常數(shù))，

那么IPBl+1PAI的最小值d(α)=.

?∣a2-2a+2,a<-1.4或α≥1,

【答案】(0,±6)-0+4,-1.4<a<-l,

2—6Z,-1<6?<1.

【解析】(1)設點P坐標)為(x,y)，因為動點P到定點A(IQ)的距離與到定直線X=T的

距離之和為3,所以J(X-I)2+y2+J(χ+1)2=3,

當X=O時，代入求得y=±若，所以與y軸交點為(0,±6).

(2)當-^≤x≤T時，曲線C可以化為V=i0χ+i5

當一IeX≤g時，曲線C可以化為y?=-2χ+3,

令J=I,則10.r÷l5=1或一2什3=1,解得Jt=—1.4或x=?；

①當④1.4或α.l時,P3+B4≥6A,所以

d(a)HABI=7(Λ-1)2+1=√α2-2α+2;

②當—l<α<l時當直線y=l與V=—2x+3(—1<%,?∣)相交時,交點P滿足

PB+A4取得最小值

因為拋物線準線方程為％=2,所以直線y=1與準線交點坐標為(2,1),此時d(α)=2-a;

③當T.4<E,—1時當直線y=l與+獅一1)相交時,交點P滿足

QB+Q4取得

最小值此為拋物線準線方程為X=4所以直線y=1與準線交點坐標為(Y,1),此時

d(a)=α+4.

y∣a2-2a+2,α剌-14或者α1,

綜上所述，d(α)=<α+4,-1.4<α≤-1,

2—。，—l<α<l.

【例8】如圖所示,直線4和4相交于點M,∕∣，/2,點N∈4,以A、B端點的曲線段。上

任一點到，2的距離與到點N的距離相等，若AAMN是銳角三角形,IAMl=J萬,IANl=3且

IBNl=6,建立適當?shù)淖鴺讼担笄€C的方程.

【答案】)產(chǎn)=8x(掇IJV4,y>0).

【解析】解法1:已知曲線類型待定系數(shù)法

/,為X軸,線段MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標系如圖所示,依題意知:曲線段C

是以點N為焦點4為準線的拋物線的段,其中A、3分別為C的端點.

設曲線段C的方程為V=2px(p>0)區(qū)≤x≤∕,y>0),其中乙，乙分別為A、8橫

坐標，"=|MNI,.?.M(?,0),N仁,0),由MM=√F7,IAVl=3得：

區(qū)+守+2PXyI=I7….①

+2pxλ=9②

解由①、②組成的方程組得XA=W，代入①并由p>θ解得(P=4或1p=2,

Pg=1IXA=2

因為ZXAMV是銳角三角形，；.?^>與，故應舍去｛02,所以P=4,XΛ=1.

由點3在曲線段C上，得∕=∣BNl-2=4，

綜上，得曲線段C的方程為y2=8x(l≤x≤4,y>0).

解法2：利用拋物線定義求標準方程

以乙為X軸，線段MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標系如圖所示，

依題意知：曲線段C以點N為焦點，4為準線的拋物線的一段，

過點A作//4垂線，垂足分別為H、A1,

2222

由拋物線定義可知IΛAI=∣4V∣=3,則IAM=IAM=√AΛ∕-M=λ∕(√∏)-3=2√2,

2222

IHN?=y]AN-AH=√3-(2√2)=1,?MH?=?AAl?=3,

所以IMNl=IMM+∣"M=3+1=4,即0=4，故拋物線的方程為y2=8x.

由IANI=3,∣3N∣=6,結(jié)合拋物線定義，得XA+勺3,4+合=6,所以XA=I=4.

綜上，得曲線C的方程為V=8χ(iWxW4,y>0).

【注】求曲線方程時，為了使得最終的結(jié)果具有簡單的形式，需要建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>

一般要考慮兩點:①圖形的對稱性;②使盡可能多的點落在坐標軸上.

【例9】已知雙曲線1-產(chǎn)=1的左、右頂點分別為A,A2,點「(為%),。(％,-乂)是雙

曲線上不同的兩個動點，求直線AJ與&Q交點的軌跡E的方程.

【答案】'+y?=l(x*0且XW±/)

【解析】由題設知|斗|>75,4(-血，。)，42(&,0)，則有

AP：y=—^?=(x+⑶①，AQf=^?=(x-√Σ)②

X]+,y2X]—J2

解法1：

聯(lián)立①②解得交點坐標為X=2,y=叵L,即4=2,X=叵③，

X1X1XX

則x≠0,∣x∣v√5,而點P(Xl,χ)在雙曲線上，所以2~-y∣2=[,

將③式帶入上式，整理得所求軌跡E的方程為《+V=l(x≠0且XW±√2).

2

解法I：

-y∣2

設M(X,y)是直線AP與40交點，①②兩式相乘得丁=(X2-2)(3)

xl~—2.

22

而點P(Λ1,y)在雙曲線上，所以色-城=1,即城吟一,代入⑶式整理得

2

X21

—+y=1.

2

因為P,。是雙曲線上不同的兩點，所以他們與點A，人均不重合，故點A，4不在軌跡

Et.

過點(0,1),以及A2(√Ξ,0)的直線/的防塵為x+√iy-√i=0,

x+?∕2y-?f2=0

2

解方程組x得X=Λ∕2,y=0.

-----y2=1

,2'

所以直線/與雙曲線只有唯一交點兒(夜,0),故軌跡E不經(jīng)過點(0,1),同理軌跡E也

不經(jīng)過點(0,-1).

綜上，軌跡E的方程為:+y2=i(χ*o且xx±√∑).

【注】用交軌法求曲線方程時，要特別注意變量的取值范圖.

【例10］如圖,設點A和B為拋物線V=2px(p>0)上除原點以外的兩個動點,已知

OA?L08,0MJ_AB,則點M的軌跡方程為()

A.X2+y?-2pχ=0(原點除外)B.x2+y2-2p3=0(原點除外)

C.xz+y?+2pχ=0(原點除夕卜)D.x2+y?+2py=0(原點除夕卜)

【答案】A

【解析】當斜率存在時,設M(X,y),直線AB的方程為y=h+b,由。知，43得％=-±,

y

聯(lián)立丁=2px和y=Ax+b,消去y得A?/+工(2奶-2p)+〃=0,所以為々=送

22

所以NM=(3+6)(d+0)=kx∣??÷??(xj+X2)+?=—^,

k

由QAJ得X]X7+y%=0，所以"5"+'^=0，所以力=一2切，

kk

所以y=kx+b=k(x-2p),jEΛ=--代入得f+y2-2px=0(y≠0),

y

'與斜率不存隹吐設此線AB的方程為X=AO,4(聞,.%),5(/0，-%),

由。用_LAB得點M在X軸上,即M(x0,0),

?/QAJ_。4,.,?焉一滋=0,

又點A(x0,y0)在拋物線上,故=2px0,整理得XO=2p,故點M(2p,0),滿足方程

x~+y2_2px=0,

綜上所述：動點M的軌跡方程為/+y2-2pχ=0(除原點外)

故選：A.

強化訓練

1.如果把一個平面區(qū)域內(nèi)兩點間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線

Y+y2=2圍成的平面區(qū)域的直徑為()

A.√32B.3C.2√2D.4

【答案】B

X2=?[2cosθ

【解析】/+V=2的參數(shù)方程為：\_(。為參數(shù))

?=√2sin

曲線是關(guān)于點(0,0)中心對稱的圖形，所以曲線/+V=2上點(XO,%)到原點距離為

直徑長的一半，

d=J(Xo-O)2+(%-Of=Jx；+y；-Jv∑cose+2sin28=7-2cos2V2cos0+2

/93

當COS。=在時，d取得最大值為一，所以直徑為3.

42

2.由曲線x2+y2=2W+2∣y∣圍成的圖形面積為()

A.1τt+4B.2"+8C.4%+4D.4乃+8

【答案】D

【解析】由題意，作出如圖的圖形，由曲線關(guān)于原點對稱，

當x20,y>0時，解析式為(x—1)2+(y—1)2=2,故可得此曲線所圍成的圖形由

一個邊長為2的正方形與四個半徑為0的半圓組成，所圍成的面積是

f2萬

2√2X2V2+4XLX4X(Λ∕2)=8+4，

2

故選D

3.如圖，平面直角坐標系中，曲線(實線部分)的方程可以是()

222

A.(?x?-y-1)?(1x+√)=0B.λ∣?x?-y-1?(1x+y)=O

2222

C.(］x?-y-l)7λ∕lx+y=0D.√∣x∣-y-17√1χ+y=0

【答案】C

【解析】因為曲線表示折線段的一部分和雙曲線，

A選項，等價于IXI-y-l=0或l-χ2+y2=0,表示折線y=∣χ∣-l的全部和雙曲線，故

錯誤；

H尤l?yTeo一

B選項，等價于；或|x|?y?l=O,又|3|?y-1二0表刀浙線y=|x|-1的

jl-x^+y~=0

全部，故錯誤；

t∣x∣-y-1=0、?↑?x?-y-1-0

C選項，等價于1；2或i-∕+y2=0,\1,2表示折線y=1χki

Jl-x2+∕≥0fl-x2+∕≥o

在雙曲線外部(包含有原點)的部分，1-V+y2=0表示雙曲線χ2-y2=l,符合題中的圖

象，故C正確；

t∣x∣-y-1-0t∣x∣-y-1^0j∣x∣-y-1=0

D選項，等價于F22、或122，

22表示折線y=∣χ∣T

∣1-x2+γ2^0fl-x2+y2=011-%+γ20

t∣x∣-?-120

在雙曲線外部(包含有原點)的部分，和F,,表示雙曲線在X軸正文的部分，故

?l-x2+y2=O

錯誤.

4.方程|x—l∣=Jl-(y-1)?所表示的曲線是()

A.一個圓B.兩個圓C.半個圓D.兩個半圓

［答案］A_________

【解析】∣x-l∣=Jl-(y-l)2=>(?-l)2+(?-l)2=1,表示一個圓,選A.

5.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程

為(V+>2y=/y.給出下列四個結(jié)論：

①曲線C有四條對稱軸；

②曲線C上的點到原點的最大距離為L；

③曲線C第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大為

④四葉草面積小于J.

其中，所有正確結(jié)論的序號是()

y

X

A.①②B.φ(3)C.①③④D.①②④

【答案】C

【解析】

①當X變?yōu)橐籜時，(V+y2)3=χ2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于),軸對稱；當y變?yōu)橐粂

時，(V+y2)3=χ2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于X軸對稱；當y變?yōu)閄時，，+y2)3=》2丫2

不變，所以四葉草圖象關(guān)于N=X軸對稱；當)，變?yōu)橐籜時，(f+y2)3=χ2y2不變，所以四

葉草圖象關(guān)于y=-X軸對稱；

綜上可知：有四條對稱軸，故正確；

②因為(/+V)?=//,所以+/3=*2,22(VL,所以χ2+y2≤^,所以

√χ2+√≤^,取等號時V=丁=J,所以最大距離為:，故錯誤；

282

③設任意一點?(χ,y),所以圍成的矩形面枳為Xy,因為(Y+y2)3=χ2y2,

所以xV=y+y2)3≥(2孫)3,所以j?y≤J,取等號時X=y=也，

o4

所以圍成矩形面積的最大值為故正確；

O

④由②可知χ2+y2≤',所以四葉草包含在圓f+2=J.的內(nèi)部，

44

因為圓的面積為：S=TT--=-,所以四葉草的面枳小于￡,故正確.故選：c.

444

6.曲線C為：到兩定點M(-2,0)、N(2,0)距離乘積為常數(shù)16的動點P的軌跡.以下結(jié)論正確

的個數(shù)為()

(1)曲線C一定經(jīng)過原點；(2)曲線C關(guān)于X軸、y軸對稱；

(3)Z?M∕W的面積不大于8；(4)曲線C在一個面積為64的矩形范圍內(nèi).

A.lB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】設點尸的坐標為(x,y),由題意可得［(x+2)+y2.Ja—2產(chǎn)+/=16,對于

命題(1),將原點坐標代入方程得2X2=4H16,所以命題(1)錯誤；對于命題(2),點尸關(guān)于X

軸、y軸的對稱點分別為片(x,-y),P2(-x,y),

'?'J(x+2)2+(—y)2?y∣(x-2)2+(―j)2=√(x+2)2+y2■?/(?-2)2+y2=16

,2222

?'y∣(-x+2)+y-J(T-2)2+y2=J(X-2)2+y2.y∣(x+2)+y=16

則點8,2都在曲線C上，所以，曲線C關(guān)于X軸、y軸對稱，命題(2)正確；

對于命題(3),設IPM=4,IPM=八NMRV=8則"=16,

由余弦定理得CoSe=?+、F="~+"T6>2ab-l6=L當且僅當&=力=4時等

2ab32322

號成立，則6為銳角，所以，sin6∣=√l-cos2(9≤-.則的面積為

2

SlMPN=?w^sin0≤?×16×-^-=4石<8命題(3)正確;

222

對于命題(4),16=J(X+2產(chǎn)+V.J(X-2產(chǎn)+虛>y∣(x+2)-√(x-2)=∣x-4∣,

RTW-16<√-4≤16,得χ2≤20,解得-2√F≤x≤2石，

由(3)知，2^^=1的川田=3乂4、|)；區(qū)46,得∣y∣≤2√L

曲線C在一個面積為46x46=16"<64的矩形內(nèi)，命題(4)正確.

因此，正確的命題序號為(2)(3)(4).故選C.

7.雙曲線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布?伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面

直角坐標系中，把到定點6(一40),巴(α,O)的距離之積等于"(α>0)的點的軌跡稱

為雙紐線C.

已知點P(XO，%)是雙紐線。上一點，下列說法中正確的有()

①雙紐線C關(guān)于原點。中心對稱：

/a,,a

②一］"。虧；

③雙紐線C上滿足IPFxI=IPF21的點P有兩個；④IPol的最大值為√20.

A.①②B.①②④C.②③④D.①③

【答案】B

［解析］________________________

對①，設動點C(X,y),由題可得C的軌跡方程J(X—a)?+y.，(^+4了+］=」,

把(x,y)關(guān)于原點對稱的點(-x,-y)代入軌跡方程顯然成立.故①正確；

對②因為P(X°,y°)，故S鵬=gIWI?IP瑪ISin4尸6=；I6瑪U%I.又

2

?PFx?-?PF11=?,所以YsinN耳P5=2αI%1,即I%I=ISinNlPg≤],故

一^≤%≤?∣,②正確.

對③，若IPF11=∣PF21,則P(X0,γ0)在大名的中垂線即y軸匕故此時Xo=O,代入

22222

y∣(x-a)+y-y∣(x+a)+y=a,可得知=O,即尸(0,0),僅有一個.故③錯誤；

對④,因為NPOFl+ZPOF2=萬,故COSZPOF1+cosZPOF2=0.

IoPI2+∣o用2_同1+∣OP∣2+QBFT%∣2=0

2?0P?-?0Fi?2?OP?-?OF2?

因為IoGl=IoBI=α,|尸姆卜|尸周=。2,故2∣OP∣2+2F=歸用2+∣%∣2

即21OP|2+2/=(附HP周F+2歸用.伊益，所以21op『=(閥HP&J

又|尸用-|尸用,,丹心∣=2α,當且僅當Pj,巴共線時取等號.故

2∣0P『=(∣P用TP引Y,,(24)2,

BPlOPI2,,2a2,解得IOPl,,√∑”.故④正確.

8.已知點A(-√2,0),8(夜,0),動點P滿足ZAPB=ΘS.\PA??PB?cos22=1,則點P的軌