《高等數(shù)學》考研同濟大學數(shù)學系2021考研真題庫

第一部分考研真題精選

向量代數(shù)與空間解析幾何

填空題（把答案填在題中橫線上）

點（2,1,0）到平面3x+4y+5z=0的距離d=.擻-2006研］

【答案】

【解析】由點到平面的距離公式

多元函數(shù)微分法及其應用

一、選擇題

1設函數(shù)f（x,y）在點（0,0）處可微,f（0,0）=0,

且非零向量3與1垂直，則（）。擻一2020研］

A.存在

B.存在

C.存在

11m辰（/八"））1_。

D.-行+廠存在

【答案】A查看答案

【解析】」（x,y）在（0,0）處可微,f（0,0）=0,

即

???存在。

.,.選A項。

2關于函數(shù)給出下列結論

①比/叫0,0）=1

②為f/dxdy|（o,o）=1

③

正確的個數(shù)為（）o［數(shù)二2020研］

A.4

B.3

C.2

D.1

【答案】B查看答案

【解析】①因,故①正確。

②因，先求f；（o,y）,而

當ywo時，不存在；

當y=o時，;

綜上可知,f；（o,y）不存在。

故。2f/dxdy|,00、不存在，因此②錯誤。

③當xywO時，，

當（x,y）沿著y軸趨近于（0,0）點時,

I

當（X,y）沿著x軸趨近于（0,0）點時,

/

綜上可知，，故③正確。

④當y=o時，;

當"0時，，

故蚓"3）=。，則盟蚓/（叼）=1聞。=°,故④正確。

綜上，正確個數(shù)為3。故應選Bo

3函數(shù)f(x,y,z)=X2y+Z2在點(1,2,0)處沿向量u=(1,2,2)的方向

導數(shù)為()。［數(shù)一2017研］

A.12

B.6

C.4

D.2

【答案】D杳看答案

【解析】計算方向余弦得：cosa=l/3,cosR=cosy=2/3。偏導數(shù)f*'=

2xy,fy'=X2,fz'=2z0彳導df/du=fx'cosa+fy'cosp+f^cosy=4-(1/3)+1?(羽)

+0(2/3)=2。

4設f(x,y)具有一階偏導數(shù)，且在任意的(x,y)，都有

歇J—

6

則()。擻二2017研］

A.f(0,0)>f(1,1)

B.f(0,0)<f(1,1)

C.f(0,1)>f(1,0)

D.f(0,1)<f(1,0)

【答案】D查看答案

【解析】由

知，函數(shù)f(x,y)關于x單調遞增，故f(O,l)<f(l,l);同理，由

知，函數(shù)f(x,y)關于y單調遞減，故f(l,1)<f(l,0),因此f(0,1)

<f(l,0)o

5二元函數(shù)z=xy(3-x-y)的極值點是()。［數(shù)三2017研］

A.(0,0)

B.(0,3)

C.(3,0)

D.(1,1)

【答案】D查看答案

【解析】對方程組

求解，得駐點(0,0),(0,3),(3,0),(1,1)。進一步求二階導:

八守2

對于點(0,0),(0,3),(3,o),計算得AC-B2=3<0,這三點都不是極

值點。對于點(1,1),計算得AC-B2=3>0,又慶=-2,所以函數(shù)2=乂丫(3

-x-y)在點(1,1)處有極大值1。

6已知函數(shù)f(x,y)=ex/(x-y)，貝(J()。擻二2016研］

A.f'-f'=0

xy

B.f'+f'=0

xy

C.f'-f'=f

xy

D,f'+f'=f

xy

【答案】D查看答案

【解析】因為

所以

二、填空題

］設函數(shù)/(工,)=(1.1)-

0w,則令一,［數(shù)一2020研］

【答案】4e查看答案

【解析】

2設z=arctan［xy+sin（x+y）］,則dz|（0口）=.［數(shù)二2020研］

【答案】（n-l）dx-dy查看答案

【解析】因為

從而

,_0+cos笈

故dz|=(n-1)dx-dy

Iu,Il)0

3設函數(shù)f(u)可導,z=f(siny-sinx)+xy,530(1/cosx)?(dz/dx)+(1/cosy)?(d

z/dy)=.擻-2019研］

【答案】(y/cosx)+(x/cosy)查看答案

【解析】由于

dz/dx=f(u)(-cosx)+y

dz/dy=f'(u)cosy+x

所以(1/cosx)?(dz/dx)+(1/cosy)?(dz/dy)=y/cosx+x/cosy?

4設函數(shù)z=z(x,y)由方程lnz+ezU=xy確定，則。擻二

2018研］

【答案】1/4查看答案

【解析】方程兩端同時對x求偏導，得

將x=2,y=l/2代入原方程可得z=l,再將x=2,y=l/2,z=l代入求導之后

的方程可得

dz_1

忒-2舊彳

5設函數(shù)f(x,y)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且df(x,y)=yeydx+x(1+y)eydy,

f(0,0)=0,則f(x,y)=。［數(shù)二2017研］

【答案】xyey

【解析】由題意可知f：(X,y)=ye,f'(x,y)=x(l+y)e因此f

xyyyo

(X,y)=fyeydx=xyey+c(y),對該等式關于y求哥導fJ(x,y)=xey+xyey

+C(y)=x(1+y)ey+c'(y)o又由f；(x,y)=x(1+y)ey,知d(y)=

0,即c(y)=c。結合f(0,0)=0,計算得c=0,所以f(x,y)=xyeyo

6設函數(shù)f(u,v)可微,z=z(x,y)由方程(x+1)z-y2=X2f(x-z,y)確

定，則dz|(0］)=。［數(shù)一2016研］

【答案】-dx+2dy查看答案

【解析】方程(x+1)z-y2=X2f(x-z,y)兩邊分別關于x,y求導，得

，

z+(x+l)zx'=2xf(x-z,y)+x2f1(x-z,y)(1-z；)

(x+l)Zy'-2y=X2［f；(x-z,y)(-zj+f2'(x-z,y)］

當x=0,y=l時，z=L將乂=0,丫=1:=1代\得z；=-l,z；=2,所以dz|

(01)=-dx+2dyo

三、解答題

1求函數(shù)f(x,y)=X3+8y3-xy的極值。［數(shù)一2020研］

解：先求一階偏導數(shù)得到駐點：

=3xx->'=0

cbc

24y"-x=0

解得駐點有(0,0),(1/6,1/12)。

再求二階偏導數(shù)：

對于(0,0)點：A=o,B=-l,C=0,由于AC-B2<0,可知(0,0)點不是

極值點；對于(1/6,1/12)點：A=1,B=-1,C=4,由于AC-B2>0且A>0,

可知(1/6,1/12)點為極小值點,極小值f(1/6,1/12)=-1/2160

2已知函數(shù)u(x,y)滿足

求a,b的值，使得在變換u(x,y)=v(x,y)eax+by之下，上述等式可化為函

數(shù)v(x,y)的不含一階偏導數(shù)的等式。擻二2019研］

解：U對X的偏導數(shù)為

U對y的偏導數(shù)為

因此有

d~u*+噂

代入題中所給的微分方程，得

最后解得a=0,b=3/4。

3設函數(shù)f(u,v)具有2階連續(xù)偏導數(shù)，函數(shù)g(x,y)=xy-f(x+y,x-y),

求。2g/dx2+02g/(dxdy)+02g/dy2。［數(shù)三2019研］

解：首先求g(x,y)對x、y的一階偏導數(shù)dg/dx=y-f；-f2',dg/dy=x-f；+

f1。

H

因為f(u,v)具有2階連續(xù)偏導數(shù)，所以有f12"=f21,進一步可得g對x、y的

二階偏導數(shù)：

d2g/dx2=-fn?-f12?-f21"-f22"=-fn"-2f12"-f22"

d2g/(dxdy)=1-fn"+f12"-f21"+f22"=1-fn"+f22"

dq/dy=-f"+f"+f"-f"=-f"+2f"-f"

2211122122111222

因此為g/,X2+02g/(dxdy)+d2g/dy2=1-3fJ'-f22"o

4將長為2m的鋼絲分為三段，依次圍成圓、正方形和正三角形，三個圖形的面積

之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。［數(shù)一2018研］

解：設圓的半徑為x,正方形邊長為y,正三角形邊長為z,則有2nx+4y+3z=2,

其中X20,y“，z”.三個圖形面積之和為

S=/+y2+—Z2

4

利用拉格朗日乘數(shù)法，拉格朗日函數(shù)

求解上述方程得到，駐點為,此時三個圖形總面積最小，

最小面積為

5設函數(shù)f(u,v)具有2階連續(xù)偏導數(shù)，y=f(ex,cosx)，求，。

擻一2017研］

解：因為y=f(ex,cosx),所以dy/dx=f；(ex)'+f2'(cosx)'=f；ex-f^sinxo

即

dv

=ZUD

drx=0

由上述過徵口

d2y/dx2=(f；ex-f2'sinx)'=(§；'ex-f/'sinx)ex+fx,ex-(f21"ex-f22"sinx)

sinx-f2'cosx

所以

6已知函數(shù)z=z(x,y)由方程(X2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0確定，求z

=z(x,y)的極值。［數(shù)二2016研］

解：方程兩邊分別對x,y求偏導得

令dz/dx=0,dz/dy=0,得

解得x=y=-l/zo

將

1

Z———

VX

I"v=X

代入原方程中，得(X2+X2)(-1/x)+ln(-1/x)+2(x+x+1)=0,解得

（1）式兩邊分別對x,y求偏導得

（2）式兩邊對y求偏導得

分別代入（3）、（4）、（5）得

可得：AC-B2=