專題16.6二次根式章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次根式相關(guān)概念辨析】 1【題型2二次根式有意義的條件】 2【題型3利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】 4【題型4同類二次根式的運(yùn)用】 7【題型5最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用】 8【題型6比較二次根式的大小】 10【題型7求二次根式中的參數(shù)值】 13【題型8化簡(jiǎn)并估算二次根式的值】 15【題型9二次根式的混合運(yùn)算】 16【題型10二次根式的化簡(jiǎn)求值】 19【題型1二次根式相關(guān)概念辨析】【例1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列式子一定是二次根式是（）A．?4 B．π C．3a D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、該代數(shù)式無(wú)意義，不符合題意；B、π是無(wú)理數(shù)，不是二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；C、該代數(shù)式是三次根式，故此選項(xiàng)不合題意；D、7是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的概念，確定被開(kāi)方數(shù)恒為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若204n是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是．【答案】51【分析】根據(jù)204n=251n，且204n是整數(shù)，【詳解】解：∵204=4×51，∴204=2∴204n=2∵204n是整數(shù)，且n是整數(shù)，∴n的最小值為：51，故答案為：51．【點(diǎn)睛】本題考查開(kāi)方的有關(guān)知識(shí)，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·北京海淀·八年級(jí)海淀實(shí)驗(yàn)中學(xué)統(tǒng)考期中）已知12?n是正偶數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最大值為（）A．12 B．11 C．8 D．3【答案】C【分析】如果實(shí)數(shù)n取最大值，那么12－n有最小值，又知12?n是正偶數(shù)，而最小的正偶數(shù)是2，則12?n＝2，從而得出結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)12?n等于最小的正偶數(shù)2時(shí)，n取最大值,則n＝8，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“12?n是正偶數(shù)”的含義．【變式1-3】（2023·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）下列各式①y;②a+2;③x2+5;④3a;⑤y2+6y+9;⑥A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【詳解】①y＜0時(shí)，被開(kāi)方數(shù)是負(fù)數(shù)，不符合二次根式的定義；②a＜-2時(shí)，被開(kāi)方數(shù)是負(fù)數(shù)，不符合二次根式的定義；③被開(kāi)方數(shù)一定是正數(shù)，符合二次根式的定義；④a＜0時(shí)，被開(kāi)方數(shù)是負(fù)數(shù)，不符合二次根式的定義；⑤被開(kāi)方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)，符合二次根式的定義；故一定是二次根式的有3個(gè)．故選B．【題型2二次根式有意義的條件】【例2】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不論x取何值，下列各式始終有意義的是（

）A．2+x B．(x)2 C．x【答案】C【分析】直接利用二次根式有意義的條件，被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分別分析得出答案．【詳解】解：A、2+xx≥?2B、(xC、x2+1，不論x取何值，D、?3?x2，不論x取何值，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┮阎獂，y是實(shí)數(shù)，且y=x?4+4?x【答案】±8【分析】根據(jù)x?4≥,4?x≥0得到x=4，回代得到y(tǒng)=3，計(jì)算xy【詳解】∵y=x?4∴x?4≥,4?x≥0，∴x=4，∴y=3，∴xy∴±64【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，平方根的計(jì)算，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）已知2x+y?5+(1)求a+b的值；(2)求2x+y【答案】(1)2022(2)5【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件可得關(guān)于a、b的不等式組，解不等式組即可求得答案；（2）把a(bǔ)+b的值代入所給式子，繼而根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于x、y的方程組，解方程組求解x、y的值代入所求式子進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）由題意{a+b?2022≥0由①得：a+b≥2022，由②得：a+b≤2022，所以a+b=2022；（2）∵由（1）可知，a+b=2022，∴a+b?2022×2022?a?b=0∴2x+y?5=0x?2y?5=0解之，得：{x=3∴2x+y【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的非負(fù)性，熟練掌握二次根式的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·上海浦東新·八年級(jí)?？计谀┤絷P(guān)于x的方程4?x?a+1=0有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是【答案】a≥1【分析】先將原方程變換為4?x=a?1【詳解】解：∵4?x?a+1=0∴4?x=a?1∵4?x≥0∴a?1≥0，即a≥1．故答案為：a≥1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，掌握算術(shù)平方根大于等于零成為解答本題的關(guān)鍵．【題型3利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】【例3】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）已知a>b，則aa?b?b?a【答案】?【分析】先根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，得出a<0，再根據(jù)a>b得出b?a<0，a?b>0，最后根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵?b?a2∴?b?a2∵b?a2∴a<0，∴a===a=?=?=?=??a故答案為：??a【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，以及二次根式的運(yùn)算法則．【變式3-1】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若xy<0，則x2y化簡(jiǎn)后的結(jié)果是（A．xy B．x?y C．?x?y【答案】D【分析】根據(jù)x2y有意義可得y≥0，再結(jié)合x(chóng)<0，化簡(jiǎn)【詳解】解：∵x2∴y≥0，∵xy<0∴x<0，∴x2y故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，由x<0得到x=?x【變式3-2】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）化簡(jiǎn)(3?a)2A．0 B．?2a+6 C．2a?6 D．2a+6【答案】B【分析】由二次根式有意義，可知3?a≥0，從而可判斷a?3≤0，化簡(jiǎn)后，相加，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵3?a≥0，∴a≤3，∴a?3≤0，∴(3?a故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)，利用a2【變式3-3】（2023春·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）代數(shù)式1?a2+3?a2的值為常數(shù)2，則A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤1 C．1≤a≤3 D．a(chǎn)=1或a=3【答案】C【分析】分a<1，1≤a≤3，a>3三種情況討論即可．【詳解】解：1?a當(dāng)a<1時(shí)，原式=1?a+3?a=4?2a，由題意得4?2a=2，解得a=1，不符合題意，舍去；當(dāng)1≤a≤3時(shí)，原式=a?1+3?a=2，當(dāng)a>3時(shí)，原式=a?1+a?1=2a?4，由題意得2a?4=2，解得a=3，不符合題意，舍去；綜上，a的取值范圍是1≤a≤3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，掌握a2【題型4同類二次根式的運(yùn)用】【例4】（2023·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列二次根式中，可以合并的是（

）A．a(chǎn)a和32a2 C．3aa和a21a 【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)，再根據(jù)同類二次根式的定義解答即可．【詳解】A、aa與3B、2a與3aC、∵a2∴3aa與aD、∵3a4=∴3a4與故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同類二次根式的定義，即化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．【變式4-1】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）若12與最簡(jiǎn)二次根式12a?1是同類二次根式，則a的值為【答案】4【分析】先將12化為最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義即可進(jìn)行解答．【詳解】解：12=2∵12與最簡(jiǎn)二次根式12∴a?1=3，解得：a=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式，同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握最簡(jiǎn)二次根式的特征：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．以及同類二次根式的定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．【變式4-2】（2023春·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列二次根式，不能與12合并的是（填寫(xiě)序號(hào)）①48；②?24；③32【答案】②④【分析】先將個(gè)二次化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，然后找出與12被開(kāi)方數(shù)不同的二次根式即可．【詳解】解：12=23，①48=43，②?24不能與12合并的是?24和18故答案為：②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是同類二次根式的定義，將各二根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·甘肅武威·八年級(jí)校考期中）若最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11能合并，則x2+【答案】5【分析】先根據(jù)二次根式和同類二次根式的定義得到關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組求出x、y的值，然后代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11∴最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11∴3x?10=22x+y?5=x?3y+11∴x=4y=3∴x2故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的定義，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，解二元一次方程組，正確得到3x?10=22x+y?5=x?3y+11【題型5最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用】【例5】（2023春·寧夏固原·八年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇街?，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A．8x B．5a2b C．【答案】C【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、8x=2B、5aC、4aD、y2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，滿足以下兩個(gè)條件的二次根式，叫最簡(jiǎn)二次根式：①被開(kāi)方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開(kāi)方數(shù)中不含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)和因式．【變式5-1】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校考期中）在二次根式5，15，15，0.1中，最簡(jiǎn)二次根式有（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵15=5∴最簡(jiǎn)二次根式有：5、15，共2個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，熟練掌握最簡(jiǎn)二次要滿足被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)（因式）是整數(shù)（整式）；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；被開(kāi)方數(shù)不含分母是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）24化簡(jiǎn)后與最簡(jiǎn)二次根式5a+1的被開(kāi)方數(shù)相等，則a=【答案】5【分析】本題先將24化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，繼而利用題干信息“被開(kāi)方數(shù)相同”列方程求解．【詳解】24=26，其中被開(kāi)方數(shù)為6；5a+1故有：a+1=6，則a=5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的化簡(jiǎn)以及對(duì)二次根式概念的理解，需注意化簡(jiǎn)原則為被開(kāi)方數(shù)不含分母,也不含能開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式．【變式5-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）已知A=22x+1，B=3x+3，C=10x+3y，其中A，B為最簡(jiǎn)二次根式，且A+B=C，則2y?x【答案】68【分析】根據(jù)題意得出2x+1=x+3，求出x=2，進(jìn)而得出10x+3y=552【詳解】∵A，B為最簡(jiǎn)二次根式，且A+B=C，∴2x+1=x+3，解得x=2，∴A=25，B=35，∴10x+3y=5解得y=35，∴2y?x=2×35?2=68．故答案為：68．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義得出x=2是解題的關(guān)鍵．【題型6比較二次根式的大小】【例6】（2023春·上海閔行·八年級(jí)上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校┍容^大?。?4?13【答案】＞【分析】先求14+142，15+13【詳解】解：∵14+142∴14+∴14?故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：解答此題的關(guān)鍵是比較出兩個(gè)數(shù)的平方的大小關(guān)系再進(jìn)行變形．【變式6-1】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a=22，b=33，A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a(chǎn)＞c＞b【答案】A【分析】將a，b，c變形后，根據(jù)分母大的反而小比較大小即可．【詳解】解:∵a=22=12又5>∴a>b>c．故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的大小比較，將根式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）已知a=2022?2021，b=2021?2020，c=2020?2019A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<b<a D．b<c<a【答案】A【分析】先把a(bǔ),b,c化為12022+2021,12021【詳解】解：∵a=2022b=2021c=2020而2022+∴a<b<c.故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運(yùn)算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)武漢市糧道街中學(xué)校聯(lián)考期中）“比差法”是數(shù)學(xué)中常用的比較兩個(gè)數(shù)大小的方法，即：a?b>0，則例如：比較19?2∵19?2?2=19?4

又∵16∴19?2?2=19?4>0請(qǐng)根據(jù)上述方法解答以下問(wèn)題：(1)29的整數(shù)部分是________，7?29(2)比較2?23與?3(3)已知a+ba?b=a2?【答案】(1)5；6?(2)2?23(3)100+【分析】（1）首先估算出5<29<6，得到29的整數(shù)部分是5；推出?6<?29（2）根據(jù)“比差法”比較兩個(gè)數(shù)大小即可；（3）根據(jù)“比差法”比較得100+98?299=【詳解】（1）解：∵5<29∴29的整數(shù)部分是5；∴?6<?29∴1<7?29∴7?29的整數(shù)部分是1，則7?29的小數(shù)部分是故答案為：5；6?29（2）解：2?23∴2?23（3）解：100==∵100+∴1100∴100+【點(diǎn)睛】此題考查了無(wú)理數(shù)大小的比較，弄清題中的“作差比較法”是解本題的關(guān)鍵．【題型7求二次根式中的參數(shù)值】【例7】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知18x+2x2+2x=m，若A．10 B．8 C．4 D．?25【答案】A【分析】由18x+2x2+2x=m，可得32x【詳解】解：∵18x+2∴32x+2x∵x的值為整數(shù)，∴m是5的倍數(shù)，且為正值，∴m的值可能為10，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．【變式7-1】（2023春·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知18?m是整數(shù)，則自然數(shù)m的所有可能值的個(gè)數(shù)為（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，求出m的取值范圍，再根據(jù)18?m是整數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：∵18-m≥0，∴m≤18，∵m為自然數(shù)，∴0≤m≤18，∵18?m是整數(shù)，∴當(dāng)18-m=0時(shí)，m=18；當(dāng)18-m=1時(shí)，m=17；當(dāng)18-m=4時(shí)，m=14；當(dāng)18-m=9時(shí)，m=9；當(dāng)18-m=16時(shí)，m=2；∴自然數(shù)m的所有可能值的個(gè)數(shù)為5個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·江西宜春·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若二次根式16?2a有意義，且x2+(a?2)x+25是一個(gè)完全平方式，則滿足條件的A．±12 B．±8 C．12 D．?【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義，可得a的取值范圍，根據(jù)完全平方公式即可求解．【詳解】解：二次根式16?2a有意義，∴16?2a≥0，即a≤8，又∵x2+(a?2)x+25是一個(gè)完全平方式，即x2∴a?2=2×5=10或a?2=2×(?5)=?10，∴a=12或a=?8，且a≤8，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義，完全平方公式的綜合應(yīng)用，掌握二次根式有意義的條件，完全平方公式的中一次項(xiàng)系數(shù)的確定方法是解題的關(guān)鍵.【變式7-3】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若a+43=m+n32，且a，m，n【答案】13或7【分析】先利用完全平方公式將m+n32展開(kāi)，再等式左右兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等得到關(guān)于m、【詳解】解：∵a+43∴a=m2+3∵m、n均為正整數(shù)，∴m=1，n=2，或m=2，n=1，當(dāng)m=1，n=2時(shí)，a=1當(dāng)m=2，n=1時(shí)，a=2故答案為：13或7．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式在二次根式混合運(yùn)算中的運(yùn)用，熟記完全平方公式，以及分類討論思想的運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．【題型8化簡(jiǎn)并估算二次根式的值】【例8】（2023春·重慶梁平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）估算2×12+A．4和5之間 B．5和6之間C．6和7之間 D．7和8之間．【答案】D【分析】首先把原式化成一個(gè)系數(shù)為1的二次根式，再分別與16，【詳解】解：∵原式=24+∴49<54<故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·福建廈門(mén)·八年級(jí)廈門(mén)一中?？计谥校┕烙?jì)12?3的值應(yīng)在（A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】A【分析】先合并同類二次根式，再用“夾逼法”求出范圍即可．【詳解】解：12?∵1<3<4，∴1<3∴12?故選A．【點(diǎn)睛】本題考查合并同類二次根式，無(wú)理數(shù)的估算．熟練掌握合并同類二次根式的法則以及無(wú)理數(shù)的估算方法，是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·重慶合川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）估計(jì)27?A．0到1之間 B．1到2之間 C．2到3之間 D．3到4之間【答案】B【分析】先根據(jù)二次根式的除法法則以及加法法則化簡(jiǎn)算式，再估算出3?2【詳解】解：27=3=3?2∵1<2∴1<3?2故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握估算的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校考期中）估計(jì)230?24A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】B【詳解】【分析】先利用分配律進(jìn)行計(jì)算，然后再進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)化簡(jiǎn)的結(jié)果即可確定出值的范圍.【詳解】2=230=25而254<20<5，所以2<25所以估計(jì)230故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算及估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握運(yùn)算法則以及“夾逼法”是解題的關(guān)鍵.【題型9二次根式的混合運(yùn)算】【例9】（2023春·四川廣安·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：(1)91(2)(6【答案】(1)2(2)2【分析】（1）先根據(jù)二次根式的乘法和除法法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)即可；（2）先根據(jù)乘法分配律展開(kāi)，再計(jì)算二次根式的乘法最后計(jì)算加減即可．【詳解】（1）9=9×=3=3×=（2）(=?=?12+2+12=2【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)?？计谀┯?jì)算：12+【答案】53【分析】先根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算乘除法，同時(shí)分別化簡(jiǎn)各加數(shù)中的二次根式，最后計(jì)算加減法.【詳解】12=2=2=5321【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的化簡(jiǎn)，正確掌握二次根式的化簡(jiǎn)法則是解題的關(guān)鍵.【變式9-2】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算．(1)5?3+(2)54?11?4【答案】(1)6?2(2)1【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式計(jì)算；（2）先進(jìn)行分母有理化，再進(jìn)行加減運(yùn)算．【詳解】（1）解：5?3==5?2=6?2（2）解：54?11?==4+=4+=1【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，涉及平方差公式、完全平方公式等，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式分母有理化的方法．【變式9-3】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算(1)(a(2)(a+b?【答案】(1)a(2)?【分析】（1）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算，然后利用