青島二中2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試一一高二試題（數(shù)學(xué)）

第I卷（共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若直線2%+（〃2+1）＞-2=（）與直線小+3y-2=°垂直，則加的值是（）.

33

A.--B.-3C.2或一3D.-

55

2.如圖，在平行六面體ABCQ-AiBCi。中，4C與8。的交點(diǎn)為點(diǎn)M,AB=a，AD=b，A4,

LlUUUl

=c，則下列向量中與GM相等的向量是（）

1-1r

B.—Q+—b+C

22

11/

D.——a——b+c

22

3.直線/過點(diǎn)8（4,-3）,且在x軸上截距是在y軸上截距的2倍，則該直線的斜率是（）.

4.已知A8C的頂點(diǎn)8、C在橢圓二+尸=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個

9-

焦點(diǎn)在BC邊上，則_ABC的周長是（）.

A.273B.6C.473D.12

5.直線/:丘—丁—1—2攵=0（攵cR）與圓C:/+y2=5公共點(diǎn)個數(shù)為（）.

A.0個B.1個C.2個D.1個或2個

6.已知大小為60°的二面角二一/一力棱上有兩點(diǎn)A,8,ACua，AC±I,BDu0,BDLl,

若AC=3，BD=3,AB=2jT5,則CO的長為（）.

A.22B.49C.7D.721

7.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱

含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先

到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?/p>

x2+y<4,若將軍從點(diǎn)A（3,l）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=5,并假定將軍只要到

達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）.

A.J10-2B.275-2c.MD.2V5

8.已知尸是橢圓的一個焦點(diǎn)，若存在直線y=與橢圓相交于A,8兩點(diǎn)，且N4FB=60°,則

橢圓離心率的取值范圍是（）.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2

分.

9.已知空間中三點(diǎn)4(2,1,-1),5(1,0,2),C(0,3,-l),則().

A.網(wǎng)=而B.ABJ.AC

r—匹

C.cosX.A.BC—-----D.A,B,C三點(diǎn)共線

19

10.在棱長為2的正方體A3C?！?耳。。|中，E、F、G分別為8C,CC,,8與的中點(diǎn),

則下列選項(xiàng)正確的是（）.

D,

B

A.BDA.AF

B.直線AG與所所成角的余弦值為亞

10

C.三棱錐G—A斯的體積為1

3

D.存在實(shí)數(shù)％、〃使得AG=/IAF+HA￡

11.已知eG:x2+y2-2x—4y+l=0與e。2：/+：/+2%-3=0相交于A,B兩點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是（）.

A.直線A8方程為x+y—1=0

B.過A,B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)（1,1）的圓的方程為/+,2一%+'一2=0

C.G與OG的公切線的長度為26

D.以線段AB為直徑圓的方程為f+（y—11=2

12.在平面直角坐標(biāo)系x。），中，方程9+3=2對應(yīng)的曲線為E,則（）.

A.曲線E是封閉圖形，其圍成的面積小于80

B.曲線E關(guān)于原點(diǎn)中心對稱

C,曲線E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為J5

D.曲線E上的點(diǎn)到直線x+y=4距離的最小值為增

第n卷(共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知的三個頂點(diǎn)分別是4(4,0),0(0,0),3(0,3),則二408的外接圓的方程為

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線X-777)，+2=0與曲線y=一f有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是.

22

15.過點(diǎn)(6,一6)，且與橢圓工+匕=1有相同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是.

16.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)4,B距離之比;1(/1>0,4。1)是常數(shù)的

點(diǎn)的軌跡是一個圓心在直線以A8上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：

在棱長為1的正方體ABCQ-A4GA中，點(diǎn)尸是正方體的表面包括邊界)上的動點(diǎn)，

若動點(diǎn)P滿足2=277)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為；三棱錐P-ACD體積的最

大值是.

阿波羅尼奧斯

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，在。鉆中，P為邊上的一點(diǎn)BP=2PA，網(wǎng)=6,|。4=2且與08的夾

角為60°.

UUUUUtUUU

(1)設(shè)OP=xQ4+)，O3，求X，y的值；

(2)求Op.AB的值.

18.已知直線4：2x-y+l=o和4：x-y-2=0的交點(diǎn)為p.

(1)若直線/經(jīng)過點(diǎn)P且與直線4：4x—3y—5=0平行，求直線/方程;

(2)若直線機(jī)經(jīng)過點(diǎn)P且與x軸，y軸分別交于A,8兩點(diǎn)，P為線段A3的中點(diǎn)，求AOAB的

面積.(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

19.如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABCD中，ZABC=ZBAD=9Q.

（1）若"＞=26C,M為的中點(diǎn)，求證：例C〃平面Q46；

（2）若.24。是邊長為3的正三角形，平面平面ABCQ，直線P8與平面ABCD所成

角的正切值為空，且AB=BC,求四棱錐P—A3C￡＞的體積.

5

r223

20.如圖，點(diǎn)A是橢圓C：T+v方=l（a＞方＞0）的短軸位于X軸下方的端點(diǎn)，過A作斜率為5

的直線/交橢圓于點(diǎn)B,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,坐，且滿足BPIX軸，ABAP~.

（1）求橢圓C的方程;

（2）橢圓C的左頂點(diǎn)為。，左焦點(diǎn)為E，點(diǎn)M為橢圓上任意一點(diǎn)，求0M.M尸的取值范圍.

21.已知圓=2.

（1）若直線/過點(diǎn)A1|,O）且被圓。截得的弦長為近，求直線/的方程；

(2)若直線/過點(diǎn)3(3,0)與圓C相交于「，。兩點(diǎn)，求二CPQ的面積的最大值，并求此時直線

/的方程；

(3)若點(diǎn)M是直線％=3上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M分別做圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為S,T，求證：

直線ST過定點(diǎn).

22.如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A,B的點(diǎn)，平面PACJ_平面ABC,△P4C為正三

角形，E,尸分別是PC,尸8上的動點(diǎn).

(1)求證：BCA.AE；

(2)若AB=2a,AC=3,求三棱錐A—PBC的外接球體積;

(3)若E,尸分別是PC,PB的中點(diǎn)且異面直線4F與BC所成角的正切值為走記平面AEF

2

與平面ABC的交線為直線/,點(diǎn)。為直線/上動點(diǎn)，求直線PQ與平面AEF所成角的取值范圍.

青島二中2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試一一高二試題（數(shù)學(xué)）

第I卷（共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

【1題答案】

【答案】A

【2題答案】

【答案】C

【3題答案】

【答案】D

【4題答案】

【答案】D

【5題答案】

【答案】D

【6題答案】

【答案】C

【7題答案】

【答案】B

【8題答案】

【答案】A

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2

分.

【9題答案】

【答案】ABC

[10題答案]

【答案】ABD

[11題答案】

【答案】AD

[12題答案】

【答案】AB