2024屆新高考教學教研聯盟高三第一次聯考數學試卷注意專項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如簡改動，用橡皮擦干靜后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的11．設復數z1i，則復數z（其中z表示z的共軛復數）表示的點在（）上zA．x軸B．y軸C．yxD．yx2．已知角和，則“”是“tantan”的（）A．充分不必要條件C．充要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件3．已知圓錐的底面圓半徑為3，側面展開圖是一個半圓面，則該圓錐的體積為（）4πA．12πB．9πC．πD．3x2y22π4．已知雙曲線1b0的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為6b6（）A．2B．2C．6D．325．一對夫妻帶著3個小孩和一個老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個小孩不相鄰的站法種數是（A．6B．12C．18D．36）6．已知遞增的等比數列a，10，公比為q，且a，a，a成等差數列，則q的值為（）．B．C．D．2222137．已知平面內的三個單位向量a，b，c，且ab，ac，則bc（）221233A．0B．C．D．或0228．設方程2xx1的兩根為x1，xxx，則（）22121A．0x1，x2B．112x2C．0xx1D．xx31212二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9．下列說法正確的是（A．若事件A和事件B互斥，PABB．數據4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位數為8）PAPBC．若隨機變量服從N17,2，P17180.4，則P180.1D．已知y關于x的回歸直線方程為?0.30.7x，則樣本點3的殘差為1.910．設函數fx，gx的定義域都為R，且fx是奇函數，gx是偶函數，則下列結論正確的是（）A．fxgx是奇函數B．fxgx是偶函數fxx3x21，則fg1C．若gx上單調遞減且f1D．若函數fx在,1，則滿足1fx21的x的取值范圍是1,311．已知體積為2的四棱錐PABCD，底面ABCD是菱形，AB2，PA3，則下列說法正確的是（）πA．若PA平面ABCD，則BAD為6B．過點P作PO平面ABCD，若AOBD，則BDPCC．PA與底面ABCD所成角的最小值為6D．若點P僅在平面ABCD的一側，且ABAD，則P點軌跡長度為3三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分12．已知關于x的不等式ax10的解集為M，2M且1M，則實數a的取值范圍是______．13．已知拋物線y2x的弦AB的中點的橫坐標為2，則弦AB的最大值為______．2sin114．已知cos，cos1，則coscos______，______．322sinsin四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟1513分）cosB1在如圖所示的△ABC中，有（1）求B的大小；sinB0．2π（2）直線BC繞點C順時針旋轉與AB的延長線交于點D，若△ABC為銳角三角形，AB2，求6長度的取值范圍．1615分）x22y22已知橢圓W:1ab0的右頂點為A，左焦點為F，橢圓W上的點到F的最大距離是短半軸長ab3的3倍，且橢圓W過點．記坐標原點為O，圓E過O、A兩點且與直線x6相交于兩個不同的點2P，Q（P，Q在第一象限，且P在QPQOA，直線QA與橢圓W相交于另一個點B．（1）求橢圓W的方程；（2）求QOB的面積．1715分）如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB4，CD2，BC2，PCPD3，平面PCD平面ABCD，PDBC．（1）證明：BC平面PCD；（2）若點Q是線段PC的中點，M是直線AQ上的一點，N是直線PD上的一點，是否存在點M，N使得259MN?請說明理由．1817分）已知函數fxxlnx的導數為fx．（1）若fxkx1恒成立，求實數k的取值范圍；3（2）函數fx的圖象上是否存在三個不同的點Ax,y，Bx,y，Cx,y（其中1x23且11223x，x，xAC的斜率等于fx?請說明理由．12321917分）2023年10月11日，中國科學技術大學潘建偉團隊成功構建255個光子的量子計算機原型機“九章三號，求解高斯玻色取樣數學問題比目前全球是快的超級計算機快一億億倍．相較傳統(tǒng)計算機的經典比特只能處于0態(tài)或1態(tài)，量子計算機的量子比特（qubit）可同時處于0與1的疊加態(tài)，故每個量子比特處于0態(tài)或1態(tài)是基于概率進行計算的．現假設某臺量子計算機以每個粒子的自旋狀態(tài)作為是子比特，且自旋狀態(tài)只有上旋與下旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0，上旋表示“1，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨立．現將兩個初始狀態(tài)均為疊加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦?，再輸入第二道邏輯門后，粒子的自旋狀態(tài)有p的概率發(fā)生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數為X．1（1）若通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數為2，且p，求兩個粒子通過第一道邏輯門后3上旋粒子個數為2的概率；nnnN*種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為p，1（2）若一條信息有p，…，p，則稱Hfp（其中fxxx）為這條信息的信息熵．試fpfp2n12n2求兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數為X的信息熵H；（3）將一個下旋粒子輸入第二道邏輯門，當粒子輸出后變?yōu)樯闲Ｗ訒r則停止輸入，否則重復輸入第二道邏輯門直至其變?yōu)樯闲Ｗ樱O停止輸入時該粒子通過第二道邏輯門的次數為Y（Y1，2，3，?，n，?n無限增大時，Y的數學期望趨近于一個常數．參考公式：0q1時，qn，nq0．0nnn2024屆新高考教學教研聯盟高三第一次聯考數學參考答案題號答案1234567891011CDCABADCBCDACDBCD一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分111i331ii，所以對應的點,在直線yx上．2233221．C【解析】zz2．D【解析】當時，tan，tan沒有意義，所以由推不出tantan，2當tantan時，kπkZ，所以由tantan推不出，故“”是“tantan”的既不充分也不必要條件．3．C【解析】設圓錐的底面半徑為r，母線為l，由于圓錐的側面展開圖是一個半圓面，則2rπ，所以l2r，2r2r，所以圓錐的高圓錐的體積為hl112Vr2hπ333π．33x2y22ππ34．A【解析】因為雙曲線所以該漸近線的方程為y1b0的一條漸近線的傾斜角為，tan，6b66323b23x，所以，363解得b2或2c22，此雙曲線的右焦點坐標為22,0，3220到一條漸近線3x3y0的距離為2．2233A33A2212．5．B【解析】6．A【解析】由題意知aa2a，即3aaq2q2，又數列an遞增，10，所以q1，且14311151q32q2，解得q．27．D【解析】如圖，aOA，cOC，bOB（或bOD33π由ac得cosCOA，所以COA，又COAπ，22611π由ab得cosBOA，又BOAπ，所以BOA，2231π（或cosDOA，又DOAπ，所以DOA）23，所以bcππ3所以b，c夾角為或或0．622x128．C【解析】由題意得，0xx，由2x1得log2x2x0，121x21211312令fx0，f10，log2xx0，則f10，f212441212由ff10，ff20得1,1，x1,2，故A錯；21x21x212x212121由xx0得xx，22212221121x21x1由x,1，x1,2得xx0，所以0xx1，故C對，B錯，122212222211由x,1，x1,2，所以xx3，D錯誤．1122二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分9．BCD【解析】對于A，若事件A和事件B互斥，PAB0，未必有PABPAPB，A錯；對于B，對數據從小到大重新排序，即：2，4，5，6，7，8，10，12，共8個數字，由870%5.6，得這組數據的第70百分位數為第6個數8，B正確；對于C，因為變量服從N17,2，且P17180.4，則18P18P17P170.50.40.1，故C正確；對于D，由?0.30.7x，得樣本點3的殘差為30.30.721.9，故D正確；故選BCD．xgx，因為fx是奇函數，gx是偶10．ACD【解析】令Fxfxgx，則Fxf函數，所以fxfx，gxgx，所以FxfxgxFx，所以Fxfxgx是奇函數，A正確；Fx，所以Fx是奇函同樣，令Fxfxgx，則Fxfxgxfxgx數，B錯誤；令x1代入gxfxx3x21，則g1f113211，又gg，f1，所以g1f11，C正確；f1因為fx為奇函數，又f11，所以f1，上單調遞減，要使1fx21成立，則1x21，所以1x3，D正由于fx在,確．11411．BCD【解析】PABCDShABADsinBADhhsinBAD2，則當PA平面3331ππABCD時，hPA3，則sinBAD，即BAD為或，A錯誤；266如圖1，若PO平面ABCD，則POBD，又AOBD，則BD平面PAO，有BDPA，又BDAC，所以BD平面PAC，BDPC，B正確；11設PA與底面ABCD所成角為，又PABCDShSABCDPA2，ABCD33212則，因為SABCDBAD4，則，SABCDπ則PA與底面ABCD所成角的最小值為，C正確；6133如圖2，當ABAD，根據PABCDSABCDh2，得h，即P點到底面ABCD的距離為，過A3223233點作底面ABCD的垂線為l，過點P作POl交l于點O，則POAP2AO32，2233點P的軌跡是以O為圓心，為半徑的圓，軌跡長度為3π，D正確．2三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分2a1112．,11【解析】2M且1M，所以a1所以a1．2213．5【解析】方法一：當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x2，代入y2，所以AB4；2y2x得y2或當直線AB的斜率存在時，顯然不為零，設直線AB的方程為ykxb，y22x消y并整理得k2x22kb2xb0，2代入2kb2xx,122k4kb0時有設Ax,y，Bx,y，判別式1122b2xx,12k22kb2因為弦AB的中點的橫坐標為2，所以4，所以kb12k2，k24kb16k224AB1k2xx1k21k2，212kk1111k2所以AB214145，k2k2k2112314即k2時取到等號，當且僅當k2k2故弦AB的最大值為5．方法二：設拋物線的焦點為F，則ABAFBF，112又AFBFxxxx1，12122當弦AB的中點的橫坐標為2時，有xx4，所以AB5，12當直線過焦點F時取到等號，故弦AB的最大值為5．122314．（任意填對一空給3分）131313【解析】由cos得2cos21，則cos2，2212由coscos1得2cos1，則，22223所以，222coscoscossin23222．sinsincos222四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟cosB1B1151）方法一：由sinB0得sinB，兩邊同時平方可得：22B11sin2B，由sin2B2B1整理得2cos2BB10，解得cosB或cosB1，22π又Bπ，則B．3cosB1BBBsinB0，則20，方法二：2222BB12Bππ得0或sin，又Bπ，則，B．22263π2πππ（2）由（1）得ABC，則CBD，由題可知BCD，則D，3366設BCa，則BDBCa，由余弦定理有CD2BC2BD22BCBDcosCBD，所以CDa，BCAB由正弦定理有，sinAsinACB3sinACBACBAsinACBACBsinACBsinACB3所以a1，tanACBπ0ACB,2ππ因為△ABC為銳角三角形，則得ACB，π620A,231所以tanACB,，則3，3tanACB3所以CDa33,43，tanACB即的取值范圍為3,43．a2c,161）依題有acb，又a2b2c2，所以，bcx2y2所以橢圓W的方程為1，4c2c232119又點在橢圓W上，所以1，24c2c4解得c1，x2y2所以橢圓W的方程為1．43（2）設PyP，Qy，yPQ0，O0,0，A2,0，Q因為PQOA，所以yy2，①PQyy圓E過點O與A且與直線x6相交于兩個不同的點P，Q，則圓心E的坐標為PQ，2yPQ2yPQ2又EOEP，所以解得yy24，②12612，22PQ（另法一：設直線x6與x軸交于點G，則有GAGOGQGP，又GA4，GO6，所以yy24，②PQyPyQ另法二：由OAPQ知，61，yy10，②）PQ2由①②解得y6，y4，PQ401，所以Q6,4，kM62所以直線QA的方程為yx2，與橢圓方程聯立消去y得7x216x40，2解得B點的橫坐標xB，724027QB112xx26，所以QB7211又O到直線QA的距離d2，211402407所以QOB的面積SQBd2．227171）如圖，取的中點O，因為PCPD3，則POCD，因為平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCD，PO平面PCD，所以PO平面ABCD，又BC平面ABCD，所以POBC，又BCPD，PO平面PCD，PD平面PCD，PDPOP，所以BC平面PCD．（2）因為PCPD3，O為的中點，OC1，所以POPC2OC22，2過點O作OE∥BC交AB于點E，則由BC平面PCD可得BC，則以O為原點，OE，OC，OP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，12則O0,0,0，A3,0，Q,2，D，P0,0,22，7所以AQ,2，DP22，AD2,0，237xy,nAQ2xy2z2設與AQ，DP都重直的向量為nx,y,z，則2得2nDPy22zzy,4令y4，則n6,4,2，設直線AQ與直線DP的距離為d，ADn1282625則dADcosAD,n，3616299n25則不存在點M和N使得MN．9181）fxkx1恒成立即xlnxkx1恒成立，1又x0，所以lnxk恒成立，x111x12今gxlnxx0，所以gx，xxxx2當0x1時，gx0，函數gx單調遞減，當x1時，gx0，函數gx單調遞增，所以當x1時，gx取到極小值也是最小值，且g11，所以k1，故實數k的取值范圍為,1．（2）x，x，x成等比數列且xxx，設公比為qq1，則x1，3qx，212312321fxxlnx求導得fx1lnx，所以fx21lnx21lnqlnx，12lnqln1y31xxxxq2ln1直線AC的斜率為3311，3131q21若存在不同的三點A，B，C，使直線AC的斜率等于fx2，ln12lnqln1q2則有1lnqlnx1，q21qq211整理成lnq0．2x22xx221114x令hxlnx0，2x1，則hxx2x2xx2