2023-2024學年廣東省廣州市高二上冊期末數學模擬試題

一、單選題

1.已知數列｛““｝滿足4=1,a?+1=an+3n,則q=（）

A.30B.31C.45D.46

【正確答案】D

【分析】利用累加法可求得知的值.

【詳解】由已知4用-%=3〃,

4一。1=3,a3-a2=6,L,a6-a5=15,

上述等式全加可得4—%=3+6+9+12+15=45,.?.4=1+45=46.

故選：D.

2.如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCDfm中,E為BC延長

線上一點，BC、=3CE，則（）

B.AB+AD—A^

1i^9(.

C.ABH—ADAA,D.AB-AD+-AA,

331

【正確答案】A

【分析】根據空間向量的加減法運算法則,直接寫出向量。E的表達式，即可得答案.

【詳解】D[E=AE-ADl=AB+BE-(AD+AAl)

4|

=AB+-BC-AD-AA}=AB-v-AD-AA},

故選：A.

3.已知"（2,1,-3）,6=（7,2,3）,c=（7,6,2）,若；，/；；；三向量共面，則;1=（）

A.9B.3C.-9D.-3

【正確答案】C

【分析】利用空間向量的共面定理得到c=ma+nb'，再利用空間向量相等的性質及坐標運算

即可得解.

【詳解】因為一，b，；三向量共面，

所以存在實數"?，"，使得二片」廠,

即（7,6,4）=加（2,1,—3）+/1（—1,2,3）=（2加一〃,加+2〃,一3加+3〃）,

7=2m-n

所以＜6=〃?+2〃,解得％=—9,

Z=-3m+3/7

所以2=-9.

故選：C.

2

4.已知雙曲線2宗-勺=1（。>0）的右頂點和拋物線/=8x的焦點重合，則。的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】求出拋物線的焦點坐標，再根據題意可求出。的值.

【詳解】拋物線/=8x的焦點為（2,0）,

因為雙曲線l（a>0）的右頂點和拋物線產=8x的焦點重合，

a3

所以a=2,

故選：B

5.已知圓G：（x+iy+_/=25,圓C2：（x-iy+/=1，動圓加與圓G外切，同時與圓G內

切，則動圓圓心M的軌跡方程為（）

.X2nX?/[

A.—+y2=1B.—+—=1

332

C.^-+/=1D.二+匕1

998

【正確答案】D

【分析】畫圖，分析出|G"|+|C2M卜6>2=|。02|,確定圓心M的軌跡為橢圓，求出

a=3,〃=8,得到軌跡方程.

【詳解】如圖,由題意得：\qM\=5-\MQ\,\C2M\=i+\MP\,其中MQ|=|MP|,

所以|C,M|+CM=5-阿。|+1+|g|=6>2=CGl，

y-2

由橢圓定義可知：動圓圓心M的軌跡為以G，G為焦點的橢圓，設=+4=1,

a-b

則2〃=6,c=l,解得：a=3,b2=a2—c2=9—1=8,

6.已知三個數1,a,9成等比數列，則圓錐曲線《+乙=1的離心率為（）

a2

A.BB.75C.垂或叵D.B或叵

3232

【正確答案】D

【詳解】橢圓、雙曲線的方程簡單性質，等比數列的性質，分類討論，由已知求得。值，然

22

后分類討論求得圓錐曲線三+二=1的離心率解決即可.

a2

因為三個數1,。，9成等比數列，

所以/=9,則a=±3.

當。=3時，曲線方程為《+己=1,表示橢圓，

32

則長半軸長為百，半焦距為1,

所以離心率為立：

3

當。=-3時，曲線方程為片一二=1,表示雙曲線，

23

則實半軸長為后，半焦距為如,

所以離心率為=.

V22

故選：D

7.函數[(x)=xln(x+2)的圖象在點(-1,0)處的切線與直線(a-2)x+y-2=0垂直，則實

數a的值為()

A.-2B.-1C.ID.2

【正確答案】C

【分析】根據給定條件，求出函數/(x)的導數，再利用導數的幾何意義結合垂直條件求解作

答.

【詳解】函數〃x)=xln(x+2),求導得：r(x)=ln(x+2)+-^,則/'(一1)=一1,

即函數〃x)=xln(x+2)的圖象在點(-1,0)處的切線斜率為-1,

因為切線與直線(a-2)x+y-2=0垂直，有(2-a)x(-l)=-1.所以a=l.

故選：C

8.已知圓G：x2+/=2,圓G：(x-3>+/=4.若過點(0,-2)的直線/與圓￡、G都有公

共點，則直線斜率的取值范圍是()

',121「八12]「，ci「，12]「，12一

A.-1,—B.0,—C.[-1,0]o1,—D.1,—

【正確答案】D

【分析】由題意可知，過點(0,-2)的直線與兩個圓分別相切時為臨界位置，用點線距離公式

列式求出相切時的左值，然后結合圖形可得答案.

【詳解】如圖，由題意可知，過點(0,-2)的直線與兩個圓分別相切時為臨界位置,

即直線介于圖形中的兩直線之間，設直線/的方程為夕=6-2,

與Cj相切時有J,解得左=1或斤=-1,由圖知后=-1舍去,

J1+公

與G相切時有=2,解得“或〃=0,由圖知左=0舍去,

J1+/5

所以直線/斜率的取值范圍是Ly

故選：D

二、多選題

9.己知數列｛。,,｝為等差數列，其前〃項和為5“，且％=-1,々+%=-4,下列選項錯誤的是

()

A.a?=llB.｛?！埃沁f減數列C.57=-21D.S“取得最小值時，

〃=5或6

【正確答案】BD

【分析】利用等差數列的性質及通項公式計算出相應的量，然后逐項分析即可.

【詳解】由等差數列通項公式知：

所以a2+%=6+d+4+6"=201+7d=-4,①

“5=4+4/=-1,(2)

解得1=2嗎=-9,

所以等差數列｛叫的通項公式為：

對于選項A.tZ||=2x11-11=11,故A正確；

對于選項B.由d=2>0,^=-9<0,

所以該等差數列｛%｝為遞增數列，故B錯誤;

對于選項C.S7=74=7x(-3)=-21,故C正確.

n{n-l)d_2n(n-1)

對于選項D.由，叫+-----=-9n+-------

22

=-9n+n(n-1)=n2-\On(neN,),

所以，是關于〃開口向上的二次函數函數，故，有最小值,

由對稱軸為：〃=-鄉(xiāng)=-1^=5,且〃eN”,

2a2a

所以當〃=5時，S,,有最小值，故D錯誤.

故選：BD.

22

10.若方程工+工=1表示的曲線為C,則下列說法中不正確的有()

3Tt-\

A.若C為橢圓，則1<3

B.若C為雙曲線，貝1>3或7<1

C.若C為橢圓，且焦點在>軸上，則l<f<2

D.若。為雙曲線，則其漸近線方程為y=±后

【正確答案】AC

【分析】根據橢圓的定義可判斷A、C選項，根據雙曲線的定義和性質可判斷B、D選項.

3-/>0

【詳解】對于A選項：若C為橢圓，則3-1>0,解得l<f<2或2</<3,所以A選項

3—fw/—1

不正確；

對于B選項：若C為雙曲線，則(3-7)?-1)<0,解得f<l或f>3,所以B選項正確：

對于C選項：若C為橢圓，且焦點在V軸上，貝必-1>3—>0,解得2<f<3,所以C選項

不正確；

3-f>0It1

對于D選項：當”]<()時，即f<l時，雙曲線焦點在X軸上，漸近線方程為y=±｛出x,

[3-1<0If]

當,_]>0時，即f>3時，雙曲線焦點在y軸上，漸近線方程為丁=±5公工，所以D選項

正確；

故選：AC.

11.已知數列｛《,卜滿足4+3%++(2〃-1”“=2〃，其中"=需不，5,為數列也｝的

前〃項和，則下列四個結論中，正確的是()

2

A.%=2B.數列｛叫的通項公式為：a=-~-

n2〃+1

C.數列｛4｝的前〃項和為：S.=品D.數列｛““｝為遞減數列

【正確答案】ACD

【分析1令”=1可求4；利用已知E,求的方法求數列｛%｝通項公式；利用裂項相消法求

數列抄“｝的前n項和;根據數列與函數的關系判斷數列的單調性.

【詳解】因為4+3%++（2〃-1）%=2〃，

所以當"22時，q+3%++（2〃-3）-=2（,

兩式相減得（2〃-1）?！?2,所以勺=彳J,

2/7-1

又因為當〃=1時，4=2滿足上式，

所以數列｛q｝的通項公式為：故A正確，B錯誤,

b2_J_____

"（2/?+1）（2n—1）（2?+1）2n—l2M+1*

所以$“=4+d++hn

故C正確；

因為%隨著〃的增大，。“在減小，所以數列｛凡｝為遞減數列,

2〃一1

故D正確.

故選:ACD.

12.如圖，棱長為1的正方體中，E,尸分別為8月的中點，則（）

2

A.直線尸G與底面Z8CQ所成的角為30°B.平面48避與底面夾角的余弦值為:

C.直線尸G與直線ZE的距離為半D.直線尸￡與平面/8E的距離為:

【正確答案】BCD

【分析】以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法分別求出線面角，面面角,

平行線間距離及線面距離.

【詳解】

如圖所示，以點。為坐標原點，。力為x軸，。。為V軸，。。為z軸,

則/(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),Ct(0,1,1),E(0,0，J，《1』，；

A選項：芯平面力8CD的法向量/彳二(0,0,1),

設直線FC、與底面所成的角為0,

???直線FC、與底面/8C。所成的角不為30。，故A錯誤;

B選項：/耳=(0,1,1),

X…八

n-AB]=y-^z=0

設平面的法向量￡(x,y,z),則XT1令z=2,則,N(1,-2,2)

n'AE=-x+—z=0

2

設平面與底面/BCD的夾角為a,

2

,平面明￡與底面月88夾角的余弦值為:，故B正確;

C選項，F￡=(-l,-l,0),

直線尸G與直線/E的距離為:

C正確;

D選項，FCJ/AE,AEu平面尸G<z平面4

又求（0,1,；）,平面的法向量（1,-2,2）,

代4-2+1_1

???直線尸G與平面月8田的距離為：h=,故D正確;

l?lJ『+(_2y+223

故選：BCD.

三、填空題

一一,rFxr

13.已知向量a=（2,-l,3）,b=（w,2,l）,若（a+6）J_a,則〃?=

【正確答案】

【分析】根據空間向量的坐標運算即可求解.

【詳解】由題意可得：；11（小+2,1,4）,

貝|］（〃+6卜〃=2（機+2）-1+12=0,解得"？=-萬.

故答案為.-k

2

14.數列｛《,｝的前〃項和S,=/+〃+l,則｛《,｝的通項公式%=

【分析】根據S,,=〃2+N+1求得4=3,當〃22時，利用勺=S“-S,求得知的表達式，驗

證首項是否適合，即可得答案.

【詳解】由題意數列｛七｝的前〃項和S.=/+〃+i,則％=5=3,

當,22時，%=S._S,T=〃2+〃+]_(”_])2_(“_])_]=2〃,

4=3不適合上式,

故｛%｝的通項公式。“=Q；；22‘

../3,n=l

故。

\2n,n>2

2

15.若雙曲線/-二=1的漸近線與圓/+/-外+3=0相切，則機=.

m

【正確答案】士正

3

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，

即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，

即可得到方程，解得即可.

【詳解】雙曲線/-二=1的漸近線為：

x

y=±—，即x土加y=0,

tn

不妨取x+=0,圓了2+歹2-4、+3=0,

即f+(k2)2=1,所以圓心為(0,2),半徑r=1,

依題意圓心(0,2)到漸近線x+叩=0的距離：

解得tn=或加=----.

33

故土亙

3

16.如圖，已知雙曲線“：4-￡=1(">0]>0)的左，右焦點分別為耳，F2,正六邊形

ab

ABF2CDF.的一邊/耳的中點恰好在雙曲線M上，則雙曲線〃的離心率是.

【正確答案】叵匚

3

【分析】設N月的中點為P,連接OP,進而根據正六邊形的幾何關系得|O￡|=C,

PF2,

|兩|=$,進而根據余弦定理得盧尸2卜當C,再結合雙曲線的定義得2〃=孚c-%，再

求離心率即可.

【詳解】解：設月月的中點為P,連接。P,PF「

因為是正六邊形，

所以，POLAF,,/P與。=60。，

所以|0聞=~|P耳|=；c,

所以，在△尸耳死中，由余弦定理得

2222

I尸用2=1尸用°+閨用2-2|產用.陽用cos/尸片居=lc+4c-c=yc,解得|產用=理。,

所以2a=|P7s|-|P/:[|c~~^c,

_2c_2c_V13+1

所以雙曲線"的離心率0=五=7^5一~=^~.

---c—c

22

四、解答題

17.已知函數/(力=》3_加+6(凡6€2的圖象過點(-1,0),且，'⑵=4.

⑴求a,6的值;

⑵求曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程.

【正確答案】(1)4=2,b=3；

(2)x+y-3=Q

【分析】（1）根據點（-1,0）以及/'（2）=4列方程，從而求得a力的值.

（2）利用切點和斜率求得切線方程.

【詳解】（1）因為函數/（x）=x3—加+臺的圖象過點㈢⑼，所以_1_〃+6=0①.

又/'（"=3/—2G，r（2）=4,

所以_f（2）=3x22-2x2a=12-4a=g

由①②解得：a=2,b=3.

（2）由（1）知/（》）=、3-2*+3,

又因為/（1）=2,廣⑴=3-4=-1,

所以曲線夕=〃x）在（1J0））處的切線方程為k2=-（》-1）,

即x+y-3=0.

18.已知數列｛《,｝是公差為g的等差數列，數列抄“｝是首項為1的等差數列，已知

“2

（1）求如

⑵求數列\(zhòng)|的前〃項和T..

b

[A+i

【正確答案】（1）2=〃

⑵小V

【分析】（1）通過題意易得數列｛4｝是首項為1,公差為1的等差數列，進而可得結果;

（2）根據裂項相消法求和即可.

【詳解】⑴。2-4=4-“且數列血｝的公差為搭

b4-b3=a4-a2=1

???數列也.}是首項為1,公差為1的等差數列

hn=1+(〃-1)x1=〃

111__1_

(2)

6也+i〃(〃+1)nn+1

19.如圖，直四棱柱/88-44GA的底面是菱形，AAl=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分別是8C,的中點.

(1)證明：AC}±BD

(2)證明：MN//平面￡DE：

(3)求面AMA,與面NM&夾角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)連接4C,8。，則證明平面4CG，再根據線面垂直的性質即

可得證：

(2)連接先證明4。〃及(7且4。=與。，再證明四邊形MNDE為平行四邊形，

從而可得MN〃D￡,再根據線面平行的判定定理即可得證；

(3)以。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

【詳解】(1)證明：連接/C,8，ZG，因為底面48。為菱形，則/C/8￡),

因為CGJ■平面ABCD,3。u平面ABCD,

所以CGJ.5D,

又ACCCX=C,AC,CC、u平面ACC,,

所以平面/Cq,

又4Gu平面/eq,

所以；

(2)證明：連接ME凈。，

因為4片//CD且同片=CD,

所以四邊形4名。力為平行四邊形，

所以4。〃8c且，

又E,M,N分別是8C,的中點,

所以MEV/BC且ME=ggC,

所以ME//ND且ME=ND,

所以四邊形為平行四邊形，

所以MN"DE,

又MVU平面CQE,DEu平面C0E,

所以平面CQE；

(3)在菱形/8C。中，ABAD=60°,

所以ABD,8。都是等邊三角形，

由E為8c的中點，得QE15C,

又因4D//BC,所以NOJ.OE,

如圖，以。為原點建立空間直角坐標系,

則4(2,0,0),“(1,6,2),4(2,0,41NQ,0,2),

AAX=(0,0,4),&W=(-1,6,-2)N4=Q,0,2),

設平面4/附的法向量為/M=(x,y,z),平面N/也的法向量為〃=(a/,c),

所以二面角4—幽—N的正弦值為半=乎.

20.已知圓C:(x-2)2+3-3尸=4,直線/:("?+2)x+(2加+l)y=7機+8.

(1)求證：直線/過定點，并判斷直線/與圓C的位置關系；

(2)當〃?=1時，過圓C上點(0,3)作圓的切線4交直線/于點P,。為圓C上的動點，求|P0|的

取值范圍.

【正確答案】(1)證明見解析；直線/與圓C恒相交.

(2)[2忘-2,2向2],

【分析】(1)將直線(加+2)x+(2m+l)y=7，，?+8化為m(x+2y—7)+2x+y-8=0,根據由于

,”eR,可得x+2y-7=0且2x+y-8=0,即可證明結論，求得定點坐標，說明該點在圓內，

即可判斷直線和圓的位置關系.

(2)寫出4方程，求得點P坐標，求出|尸。|,即可求得答案.

【詳解】(1)證明：由/的方程("?+2)x+(2加+l)y=7加+8得/M(x+2y-7)+2x+y-8=0,

由于meR,故x+2，-7=0且2x+y-8=0,解得x=3,y=2,

即直線/過定點〃(3,2),

因為(3—2y+(2-3)2=2<4,即點/在圓C內部，

所以直線/與圓C恒相交.

(2)由題知，[：x=0，又m=I時，I:x+y=5,

所以聯(lián)立=°,即得點P(0,5),

[x+y=5

而點C(2,3),所以|PC|=J(0_2)2+(5_3了=2/2,

所以|尸0歸[2近-2,26+2].

21.數列｛/｝是單調遞增的等比數列，。2=4嗎+%+%=14,數列｛"｝滿足4=’,且

al

b=_^

向3^+1,

（1）證明：數列是等差數列，并求｛%｝,｛4｝的通項公式;

⑵設數列3的前〃項和為求

【正確答案】（1）證明見解析，%=2"七=『二

3〃一1

（2）/=8+（3〃-4>2"“

【分析】（1）根據等比數列的定義，求得方程，可得答案，利用取倒數，結合等差數列定義,

可得答案；

（2）利用錯位相減法，可得答案.

【詳解】（1）解：由=14,設等比數列｛為｝的公比為4,則亍+%+。的=14,

整理可得%2-5夕+2=0,解得4=3或2,當g=g時，數列｛q｝遞減，不符合題意，

故a“=。24"-2=2".

又因為=；,所以/一一!=3,

3b“+12b?+lbn

所以數列是以2為首項，公差為3的等差數列，

所以!=2+3（〃-1）=3〃-1,所以，=工.

3〃—1

（2）解：由⑴，?=（3〃T）X2",

b,

所以7；=2x2i+5x2?+8x2-，++（3〃-4）X2"T+（3〃-l）x2”①

2T“=2X22+5X23+8X24++（3〃-4）X2"+（3〃-l）x2"i②

所以①-②得，-7；,=4+3X[22+23+24++叫-（3〃-1）X2"“

=4+3——~~^-（3〃-1b2"+|=-8-0/1-4>2M+,

所以乙=8+（3〃-4>2叫

22.如圖，橢圓W+￡=l(a>6>0)的離心率為且，其短軸和長軸的端點分別為4

a2b-2

B,C,D,且|/8|=2.

(1)求橢圓的方程:

(2)尸是橢圓上位于x軸上方的動點，直線“，OP與直線/：x=4分別交于G、，兩點.若

\GH\=4,求點尸的坐標；

(3)直線加分別與橢圓交于E,F兩點，其中點"，T滿足且,貢石.若BME

面積是尸面積的5倍，求￡的值.

2

【正確答案】⑴二y+/=1

4

(2)尸(0,1)或P(,|)

(3"=±1

【分析】(1)根據短軸，離心率的定義與橢圓的基本量的關系求解即可.

(2)設直線CP的方程為y=k(x+2),化>0),聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理表示出

點戶的坐標，從而得到點G,4的坐標，根據|G〃|=4列出方程即可得到結果.

(3)分別設直線4W，直線3以的方程，聯(lián)立橢圓的方程，再利用三角形的面積公式表達出

BME面積是AMF面積的5倍,再代入韋達定理求解即可.

C6

a2。=4

【詳解】(1)由題意可知4/同=26=2,解得〃=1

a2=h2+c2c2=3

2

所以橢圓的方程為土■+/=1

（2）設直線CP的方程為^=%（尤+2）,化>0）

x=4,、

由，尸-X+2)得G(4,的

y=左(x+2)

聯(lián)立直線C尸的方程與橢圓方程丁消去歹可得(1+4〃卜2+16人+16公一4=0

14.

16〃-4后2-884k、

設戶（/，九），則（一2）%=e-r-K|2—824k