2023-2024學(xué)年河北省邯鄲市永年二中高二(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知復(fù)數(shù)z=1-21,則5在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)

2.已知向量為=(3,—2),方=(m,9)，若五JL?，則實(shí)數(shù)m=()

A.-8B.8C.—6D.6

3.某超市舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，活動(dòng)中設(shè)置一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、幸運(yùn)獎(jiǎng)三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，其中中幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率為0.3,

中二等獎(jiǎng)的概率為0.2,不中獎(jiǎng)的概率為0.38,則中一等獎(jiǎng)的概率為()

A.0.16B.0.22C.0.12D.0.1

4.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且8==3,a=V"石，則4=()

A.WB.弓C.黑D,7

64122

5.若］為一條直線，a,氏y為三個(gè)互不重合的平面，則下列命題正確的是()

A.aly,B.若/〃a,a上0=>Iu0

C.a1y,0〃y=>a1/?D.若，〃a,a_L￡=，_L￡

6.在△48C中，cos?l=I，AB=2,AC=3,。是線段上BC靠近。的一個(gè)三等分點(diǎn)，則而?前=()

A."B.一等C.D.

9999

7.定義：我們把每個(gè)數(shù)字都比其左邊數(shù)字大的正整數(shù)叫做“漸升數(shù)”，比如258,123等.在二位“漸升數(shù)”

中任取一數(shù)，則該數(shù)比48小的概率為()

A.JB.1C.|D.|

8.某鐘樓的鐘面部分是一個(gè)正方體，在該正方體的四個(gè)側(cè)面分別有四個(gè)時(shí)鐘，如果四個(gè)時(shí)鐘都是準(zhǔn)確的，

那么從零點(diǎn)開始到十二點(diǎn)的過程中，相鄰兩個(gè)面上的時(shí)針?biāo)傻慕菫?0。的位置有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.下列各對(duì)向量中，共線的是()

——?13

A.a=(2,3),b=(4,-6)B.a=(2,-3),b=

C.a=(1,AT2)5=(<2,2)D.五=(4,一1)石=(1,V-2)

10.設(shè)zi，z2,Z3為復(fù)數(shù)，z1#0,則下列命題正確的是()

A.右肉|=Nl，則Z2=±Z3

B.若Z1Z2=Z1Z3,則Z2=z3

C.若Zi，Z2互為共輾復(fù)數(shù)，則Z1Z2為實(shí)數(shù)

D.若i為虛數(shù)單位，九為正整數(shù)，則i"+3=i

11.一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為2、3、3、X、10、13,若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的|倍，則下列說法正

確的是（）

A.%=5B.眾數(shù)為3C.30%分位數(shù)為5D.方差為當(dāng)

12.已知一圓錐的母線長為2,底面半徑為r,其側(cè)面展開圖是圓心角為，？兀的扇形，A,B為底面圓的一條

直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)，則（）

A.r=y/~3

B.從4點(diǎn)經(jīng)過圓錐的表面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離為

C.該圓錐的體積為兀

D.過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面積的最大值為門

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知向量五=（1,0）5=（一2,2，3），則向量,在向量方上的投影向量為.

14.甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行籃球投籃練習(xí)，甲同學(xué)一次投籃命中的概率為強(qiáng)乙同學(xué)一次投籃命中的概率為;,

假設(shè)兩人投籃命中與否互不影響，則甲、乙兩人各投籃一次，恰有一人命中的概率是.

15.在AABC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=2,A4BC的面積為門，c=3,則b=.

16.已知在三棱錐D-ABC中，AD1平面4BC,且BC=4D=2,/-BAC=p則三棱錐D-ABC的外接球的

體積為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知向量五=（1,3）方=（2,-1）.

（1）若向量日+2。與kZ+B垂直，求實(shí)數(shù)k的值；

（2）若向量萬滿足（五+方）〃工且信|-）26,求向量1的坐標(biāo).

18.（本小題12.0分）

某工廠在加大生產(chǎn)量的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查產(chǎn)品質(zhì)量.該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)

抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：[40,50),[50,60),[60,70),…，[90,100].得到如下頻率分布

直方圖.

(1)求出直方圖中山的值；

(2)利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和60%分位數(shù)(同一組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，60%分位數(shù)精確到0.01).

19.(本小題12.0分)

從條件①sinC=浮(0<C<今，②a=10中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答.在△4BC中，角4B,

C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c=6,A+3C=n,,求b.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答.按第一個(gè)解答計(jì)分

20.(本小題12.0分)

如圖，在三棱臺(tái)DEF-4BC中，AB=2DE,G,H分別為4C,BC的中點(diǎn).

(1)求證：BD〃平面FGH；

(2)若CF_L平面ABC,AB1BC,CF=DE,484c=45。，求二面角尸-GH-C的大小.

21.(本小題12.0分)

甲、乙兩位同學(xué)參加某知識(shí)闖關(guān)訓(xùn)練，最后一關(guān)只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每道題的概率都為p,乙同

學(xué)答對(duì)每道題的概率都為q(p>q),且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知同一題甲、乙至少一人答

對(duì)的概率為兩人都答對(duì)的概率為;.

o3

(1)求p和q的值；

(2)試求最后一關(guān)甲同學(xué)答對(duì)的題數(shù)小于乙同學(xué)答對(duì)的題數(shù)的概率.

22.(本小題12.0分)

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中底面4BCD是邊長為2的菱形，NZMB=全面PAD_L面4BC0,PA=PD=

<10.

(1)證明：PB1BC；

⑵求點(diǎn)4到平面PBC的距離.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：由5=1+21,得5在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2).

故選：A.

根據(jù)共軻復(fù)數(shù)的定義與復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.

本題主要考查共規(guī)復(fù)數(shù)的定義與復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由五=(3,—2)范=(m,9),方J.B，得五不=3巾一18=0，

所以m=6.

故選：D.

由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得結(jié)果.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：由于獎(jiǎng)項(xiàng)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)，幸運(yùn)獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)四個(gè)事件是相互互斥的,

且構(gòu)成事件為必然事件，故中一等獎(jiǎng)的概率為1-0.3-0.2-0.38=0.12.

故選：C.

根據(jù)事件間的關(guān)系，利用概率公式，可得答案.

本題主要考查互斥事件的概率加法，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：因?yàn)锽=Q=3,a=4，

所以由正弦定理有：號(hào)=芻，

sinAsinB

<6_3

即而?=亙，

2

所以sinZ=?，

又因?yàn)閍<b,

所以0<4<8=*

故4=I

故選：B.

根據(jù)正弦定理結(jié)合三角形邊角性質(zhì)求解即可.

本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：對(duì)A，若aly,01y，a,/?可能相交也可能平行，故A項(xiàng)不正確;

對(duì)BD,，〃a,a_!./?,則可能有〃/氏故8,D項(xiàng)不正確；

對(duì)C,a_Ly,B〃Y，則必有a13，故C項(xiàng)正確.

故選：C.

根據(jù)線面，面面的平行及垂直的性質(zhì)與判定判斷即可.

本題考查了線面，面面的平行及垂直的性質(zhì)與判定，屬于中檔題.

6.【答案】4

【解析】解：建立如圖坐標(biāo)系，cosA=3，AB=2,AC=3,

以4=60°,

則力(0,0),B(2,0),C(|,亨)，F(xiàn)C=(-1,^),

。是線段上BC靠近C的一個(gè)三等分點(diǎn)，前=(-3，？)，AD=

(|，O，

所以荷?前=

22

9

故選：A.

通過建系，求解B,。的坐標(biāo)，然后利用向量的數(shù)量積公式求解即可.

本題考查向量的數(shù)量積的求法，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：十位是1的“漸升數(shù)”有12,13，…，19,共8個(gè)，

十位是2的“漸升數(shù)”有23,24,29,共7個(gè),

十位是7的“漸升數(shù)”有78,79,共2個(gè)，

十位是8的“漸升數(shù)”有89,共1個(gè).

故二位“漸升數(shù)”共有8+7+…+1=36個(gè),

比48小的共有3+8+7+6=24個(gè)，

所以由古典概率的計(jì)算公式得所求的概率為|.

故選：D.

根據(jù)古典概型公式求解概率即可.

本題主要考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】。

【解析】解：在正方體中，相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所成的角為60。，如圖所示：/---------才

所以這樣的位置有4個(gè).------Tic/

故選:D.W/

根據(jù)題意，由正方體相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線夾角為60。，即可得到結(jié)果.

本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問題，也考查了空間中直線的位置關(guān)系應(yīng)用問%

題，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】BC

【解析】解：設(shè)方==(如乃＞則2〃方＜=＞xry2=

選項(xiàng)A中，2x(-6)*3x4；選項(xiàng)B中，2x(-6=；x(-3)；

選項(xiàng)C中，1X2=CX，N；選項(xiàng)。中，羊(-1)x1,滿足上述等式的只有B,C項(xiàng).

故選：BC.

利用平面向量共線的條件即可解決.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

10.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于4項(xiàng)，取Z2=1,z3=I,滿足。|=%],但是Z2=±Z3不成立，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)Z1Z2=Z]Z3時(shí)，有Z1(Z2-Z3)=0,又Z]#。，所以Z?=Z3,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，z1=a+bi,Z2=a-bi互為共軌復(fù)數(shù)，則(a+bi)(a-bi)=a?+匕2,

即Z1Z2為實(shí)數(shù)，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于。項(xiàng)，[4n+3=13=一3故。項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)乘法、共初復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘方等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的I倍，

所以。(2+3+3+X+10+13)=,x岑，

OLL

解得x=5,故A項(xiàng)正確；

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3,故8項(xiàng)正確；

由6X30%=1.8不是整數(shù)，故30%分位數(shù)為該組數(shù)據(jù)的第2個(gè)數(shù)字，即為3,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

1

平均數(shù)為：X(2+3+3+5+10+13)=6,

O

方差為上［(2-6)2+(3-6)2+(3-6)2+(5-6)2+(10-6)2+(13-6月=等，故。項(xiàng)正確.

故選：ABD.

利用中位數(shù)的定義求出式的值，可判斷4選項(xiàng)：利用眾數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用百分位數(shù)的定義可判斷C

選項(xiàng)；利用方差公式可判斷。選項(xiàng).

本題主要考查了中位數(shù)、眾數(shù)、方差和百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,一圓錐的母線長為2,底面半徑為r,其側(cè)面展開圖是圓心角為「兀的扇形，由等=⑸,得r=C，

所以A正確；

對(duì)于B,假設(shè)該圓錐的軸截面將該圓錐分成兩部分，將其中的一部分展開，

則其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為整的扇形，

所以從4點(diǎn)經(jīng)過圓錐的表面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離為2x2xsin竽=4s譏攀H故B不正確；

對(duì)于C,因?yàn)閞=C，母線長為2,所以該圓錐的高為1,所以其體積為：兀(/耳)2*1=兀，故C正確；

對(duì)于。，過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面為腰長為2的等腰三角形，

設(shè)其頂角為。，則該三角形的面積為S=：x2x2s出仇

故當(dāng)。=］時(shí)，Smax=|x2x2xl=2^yj~3,故。不正確.

故選：AC.

根據(jù)題意，結(jié)合圓錐的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.

本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，涉及圓錐的體積、表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】(T，?)

【解析】解:由題意,阿?蒜.1r需?旌需(一2,20=(+，?),

故向量d在向量讓的投影向量為(-；,與).

故答案為：(一支年).

山投影向量的定義，結(jié)合向量夾角公式計(jì)算可求結(jié)果.

本題主要考查投影向量的定義，基礎(chǔ)題.

14.【答案】|

【解析】解：設(shè)4B分別表示事件“一次投籃中甲命中”和“一次投籃中乙命中”

所以P(4)=g,P(B)=3

則恰有一人命中的概率為「(而UAB)=P(AB)+P(AB)=x(1-1)+(1-^)xi=|.

故答案為:

根據(jù)互斥事件與獨(dú)立事件的概率運(yùn)算公式求解即可得所求事件的概率.

本題考查互斥事件與獨(dú)立事件的概率運(yùn)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】或，虧

【解析】解：因?yàn)閍=2,AZBC的面積為，石，c=3,

所以△4BC的面積S=1acsinB=gx2X3sinB=>/-5.

可得sinB=?，

可得cosB=±V1-sin2^=±-,

由余弦定理可得Z?2=Q2+c2_2Q?c?cosB=22+32-2X2X3X(±|)=13±8,

則b=721或b=，虧，經(jīng)檢驗(yàn)滿足構(gòu)成三角形.

所以b=721或b=H

故答案為：721或，.

由已知利用三角形面積公式可得S譏8=?，平方關(guān)系求其余弦值，再利用余弦定理可求b的值.

本題考查了三角形的面積公式，余弦定理以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】

【解析】解：底面三角形4BC的外接圓的半徑為r,可得2r=森=2/乏，所以「=「，

4

外接球的半徑為R,R=J12+(f2=C，

三棱錐。一4BC的外接球的體積為：與xR3=4，？兀.

故答案為：4V-3TT.

求解外接球的半徑，然后求解外接球的體積.

本題考查空間幾何體的外接球的體積的求法，是中檔題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)橄蛄啃?(1,3),b=(2,—1)，

所以五+2b=(5,1),k五+b=(k+2,3k—1)，

又因?yàn)橄蛄?+2石與ka+3垂直，所以0+2b)-(fca+K)=0，

Q

所以5k+10+3k-1=0,解得k=一\

O

(2)設(shè)m=由丘+石=(3,2)，且@+石)〃乙得3n=2m,

又|小=E，所以巾2+於=26,解得［血=3g或［機(jī)=-32，

所以^=(34,2，^)或下=(一3，-￡一2，7).

【解析】(1)根據(jù)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求得益+2石與k,+B的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即

可得實(shí)數(shù)k的值；

(2)設(shè)守=(m,n),根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算及模長公式列方程即可得設(shè)rn,n的值,從而得向量，的坐標(biāo).

本題考查了平面向量坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：⑴由10x(0.01+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1,得m=0.030.

(2)平均數(shù)1=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71,

設(shè)60%分位數(shù)為n,則由0.1+0.15+0.15=0.4<0.6,0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.6,

可得n在［70,80)上,由0.1+075+0.15+(n-70)x0.03=0.6,?76.67.

故可以估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71,60%分位數(shù)為76.67.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，建立方程即可得答案；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)與百分位數(shù)的計(jì)算方法即可得答案.

本題考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、分位數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬中檔題.

19.【答案】解：選條件①：由4+3C=兀，得B=2C,

又sinC=竽(0<C<今，

所以cosC=71-sin2c=-y-?

故sinB=sin2C=2sinCcosC=2x?x?=

所以由正弦定理得：力=等=4，？；

選條件②：由力+3。=兀，得B=2C,

因?yàn)閏=6,Q=10,

所以由正弦定理捻=短，

得3si九4=5sinC,

因?yàn)?+B+C=兀，

所以3s譏4=3sin(B+C)=^sinBcosC+3cosBsinC=SsinC,

因?yàn)?=2C,

所以3sin2CcosC+3cos2CsinC=5sinC,

因?yàn)?<CVTT,所以sbiCHO,

所以6cos2c+3cos2C=12cos2c-3=5,

解得COS2c=I，

由于0VB=2CV7i,

故0VC<*

所以sinC=?,

所以sinB=2sinCcosC=三?，

由正弦定理得：力=等=4門.

sinC

【解析】選擇條件后，根據(jù)三角恒等變換、正弦定理等知識(shí)求得b.

本題考查三角恒等變換和正弦定理，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴證明：在三棱臺(tái)。EF-ABC中，由=2DE,知BC=2EF,又H為BC的中點(diǎn)，可得

BH=EF,

故四邊形BHFE為平行四邊形，則BE〃“凡因?yàn)锽EC平面GHF,FHu平面G"F,故BE//平面GHF.

在AABC中，G為AC的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，

所以GH〃48,因?yàn)?BC平面GH尸，GHu平面GHF,故AB〃平面GHF.

又GHCHF=H,AB,BEu平面ABED,

所以平面FGH〃平面ABED.

因?yàn)锽Du平面ABED,所以8D〃平面FG".

(2)由FC_L平面ABC,GHu平面4BC,得GH1FC,

又4B1BC,GH//AB,則GH1BC,

又FCCBC=C,FC,BCu平面HCF,

所以GH_L平面HCF,又FH,HCu平面HCF,故GHJ.FH,GH1HC.

又平面GHCn平面G”F=GH,故4FHC為二面角尸-GH-C的平面角.

-1

又4B1BC,/.BAC=45°,所以C〃=GH="B,5LAB=2DE,CF=DE,所以CF=CH,

故tanziFHC=1,即二面角尸—GH-C的大小為45。.

【解析】(1)根據(jù)題意可得BH〃EF,BH=EF,進(jìn)而可得BE〃HF,再根據(jù)面面垂直的判定可得平面FGH〃

平面ABED,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明即可；

(2)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定可得NFHC為二面角F-GH-C的平面角，再根據(jù)幾何關(guān)系可得CF=C”即

可得.

本題考查空間中直線與平面的平行的證明，考查二面角大小的求法，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)根據(jù)題意，設(shè)4=｛甲同學(xué)答對(duì)第一題｝,B=｛乙同學(xué)答對(duì)第一題｝,則PQ4)=p,P(B)=q.

由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以4與B相互獨(dú)立，

所以1一P(AB)=1-PQ4)P(B)=l，PQ4B)=P(A)P(B)=東

卜一(1-q)(l-p)=|f2

叫四是,解得

(2)設(shè)n分別表示最后一關(guān)甲、乙兩位同學(xué)