第21課時(shí)解直角三角形的應(yīng)用

1.會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題. 2.運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題. 3.了解俯角、仰角、方位角、坡角、坡度等概念.4.了解近似數(shù)；在解決實(shí)際問題中，能用計(jì)算器進(jìn)行近似計(jì)算，并按問題的要求對(duì)結(jié)果取近似值.

1.從________看，視線與________的夾角叫作仰角.2.從________看，視線與________的夾角叫作俯角.3.坡面的鉛垂高度(h)和水平長(zhǎng)度(l)的比叫作___________________，記作i，即i＝________.下往上水平線上往下水平線坡面的坡度(坡比)i

4.坡面與水平面的夾角叫作坡角，記作α，tanα＝________＝________.坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 5.指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角為________.方向角

6.一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.仰角與俯角

1.如圖，小麗為了測(cè)旗桿AB的高度，小麗眼睛距地面1.5米，小麗站在C點(diǎn)，測(cè)出旗桿A的仰角為30°，小麗向前走了10米到達(dá)點(diǎn)E，此時(shí)的仰角為60°，求旗桿的高度.解：由題意，∠ADG＝30°，∠AFG＝60°，DF＝10，∴∠DAF＝∠AFG－∠ADG＝30°.∴∠FAD＝∠FDA.∴DF＝AF＝10.坡角2.如圖，一水庫(kù)迎水坡AB的坡度i＝1∶，則該坡的坡角α＝________.答案：30°

3.如圖，水池的橫斷面為梯形ABCD，迎水坡BC的坡角B為30°，背水坡AD的坡度i＝1∶1.2，壩頂寬DC＝2.5m，壩高CF＝4.5m.求：(1)迎水坡BC的長(zhǎng).(2)迎水坡BC的坡度.(3)壩底AB的長(zhǎng).(結(jié)果精確到0.1)解：如圖，作DE⊥AB于點(diǎn)E，(1)∵CF＝4.5，∠B＝30°，∴BC＝2CF＝9.方位角

4.(2023·郴州)如圖，在某次軍事演習(xí)中，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在出發(fā)地A測(cè)得小島C在它的北偏東60°方向；2小時(shí)后到達(dá)B處，測(cè)得小島C在它的北偏西45°方向.求該船在航行過程中與小島C的最近距離(參考數(shù)據(jù)：結(jié)果精確到0.1km).解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.由題意得，AB＝40×2＝80，∠CAD＝30°，∠ABC＝45°，∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴該船在航行過程中與小島C的最近距離約為29.2km.

運(yùn)用勾股定理和銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題

5.(2023·深圳)如圖，若某人爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能(1.025－cosα)J.某人爬了1000m，該坡角為30°，A.58JB.159JC.1025JD.1732J答案：B

6.某市在“舊城改造”中計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖的三角形空地上移植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買這種草皮至少需要()A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元答案：C

與解直角三角形有關(guān)的應(yīng)用問題逐步成為命題的熱點(diǎn)，其主要類型有輪船定位問題、堤壩工程問題、建筑測(cè)量問題、高度測(cè)量問題等，解決各類應(yīng)用問題時(shí)要注意把握各類圖形的特征及解法，適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形.

1.(2021·深圳)如圖所示，在點(diǎn)F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達(dá)點(diǎn)E，即EF＝15米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則建筑物的高CD用三角函數(shù)表示為()A.15sin32°B.15tan64°C.15sin64°D.15tan32°答案：C

2.如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”.下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)智慧三角)形三邊長(zhǎng)的一組是(答案：D米米

3.(2023·南充)如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距()A.

xsinαB.

xcosαC.(x·sinα)米D.(x·cosα)米答案：B

4.(2023·日照)日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù).數(shù)學(xué)小組的同學(xué)要測(cè)量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測(cè)得燈塔最高點(diǎn)A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前進(jìn)至點(diǎn)C處測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，則燈塔的高度AD大約是(結(jié)果精確到A.31mB.36mC.42mD.53m答案：B10m，則樹AB的高度是()答案：B

6.(2021·濟(jì)南)無人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測(cè).如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機(jī)對(duì)一塊試驗(yàn)田進(jìn)行監(jiān)測(cè)作業(yè)時(shí)，在距地面高度為135m的A處測(cè)得試驗(yàn)田右側(cè)邊界N處的俯角為43°，無人機(jī)垂直下降40m至B處，又測(cè)得試驗(yàn)田左側(cè)邊界M處的俯角為35°，則M，N之間的距離為(參考數(shù)據(jù)：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，結(jié)果保留整數(shù))()A.188mB.269mC.286mD.312m答案：C

7.(2023·濟(jì)寧)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量一建筑物的高度，如圖，他們?cè)诮ㄖ锴暗钠降厣线x擇一點(diǎn)A，在點(diǎn)A和建筑物之間選擇一點(diǎn)B，測(cè)得AB＝30m，用高1m(AC＝1m)的測(cè)角儀在A處測(cè)得建筑物頂部E的仰角為30°，在B處測(cè)得仰角為60°，則該建筑物的高度是____________.

8.如圖，某河道要建造一座公路橋，要求橋面離地面的高度AC為4米，引橋的坡角∠ABC為15°，則引橋的水平距離BC的長(zhǎng)是__________米.

9.如圖，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測(cè)到燈塔M在北偏東60°的方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)到燈塔M在北偏東30°的方向上，那么該船繼續(xù)航行______分鐘可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置.答案：15

10.(2023·赤峰)為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對(duì)A地和B地之間的一處垃圾填埋場(chǎng)進(jìn)行改造，把原來A地去往B地需要繞行到C地的路線，改造成可以直線通行的公路AB.如圖，經(jīng)勘測(cè)，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，則改造后公路AB的長(zhǎng)是__________千米(精確到0.1千米，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，答案：9.9

11.(2021·包頭)某工程隊(duì)準(zhǔn)備從A到B修建一條隧道，測(cè)量員在直線AB的同一側(cè)選定C，D兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，如圖.測(cè)得AC長(zhǎng)為∠CDB＝135°(點(diǎn)A，B，C，D在同一水平面內(nèi)). (1)求A，D兩點(diǎn)之間的距離. (2)求隧道AB的長(zhǎng)度.解：(1)過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，如圖所示，則∠AEC＝∠AED＝90°.∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°，(2)由(1)得△ADE是等腰直角三角形，即隧道AB的長(zhǎng)度為3km.

12.(2022·廣州)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用太陽(yáng)光線下物體的影子和標(biāo)桿測(cè)量旗桿的高度.如圖所示，在某一時(shí)刻，旗桿AB的影子為BC，與此同時(shí)在C處立一根標(biāo)桿CD，標(biāo)桿CD的影子為CE，CD＝1.6m，BC＝5CD.(1)求BC的長(zhǎng).(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求旗桿AB的高度.條件①：CE＝1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角α為54.46°.(參考數(shù)據(jù)：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40)解：(1)∵BC＝5CD，CD＝1.6m，∴BC＝5×1.6＝8(m)，∴BC的長(zhǎng)為8m.(2)若選擇條件①：∴AB＝12.8，∴旗桿AB的高度為12.8m.若選擇條件②：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，則CD＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，∴AF＝DF·tan54.46°≈8×1.40＝11.2(m)，∴AB＝AF＋BF＝11.2＋1.6＝12.8(m)，∴旗桿AB的高度約為12.8m.

13.(2023·廣東)2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站.如圖中的照片展示了中國(guó)空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài).當(dāng)兩臂AC＝BC＝10m，兩臂夾角∠ACB＝100°時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間的距離.(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)解：如圖，連接AB，取AB中點(diǎn)D，連接CD.∵AC＝BC，點(diǎn)D為AB中點(diǎn).∴中線CD為△ABC的角平分線，在Rt△ACD中，∴AD＝10×sin50°≈7.66.∴AB＝2AD≈15.3(m).∴A，B兩點(diǎn)間的距離大約是15.3m.

14.(2022·威海)小軍同學(xué)想利用所學(xué)的“銳角三角函數(shù)”知識(shí)測(cè)量一段兩岸平行的河流寬度.如圖，他先在河岸設(shè)立A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，然后選定對(duì)岸河邊的一棵樹記為點(diǎn)M.測(cè)得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°.請(qǐng)你依據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)求出這段河流的寬度(結(jié)果精確到0.1m).解：如圖，過點(diǎn)M作MN⊥AB，垂足為N.設(shè)MN＝xm，在Rt△ANM中，∠MAB＝22°，在Rt△MNB中，∠MBN＝67°，∵AB＝50，∴AN＋BN＝50.∴x≈17.1(m).∴這段河流的寬度約為17.1m.

15.圖1是掛墻式淋浴花灑的實(shí)物圖，圖2是抽象出來的幾何圖形.為使身高175cm的人能方便地淋浴，應(yīng)當(dāng)使旋轉(zhuǎn)頭固定在墻上的某個(gè)位置O，花灑的最高點(diǎn)B與人的頭頂?shù)你U垂距離為15cm，已知龍頭手柄OA長(zhǎng)是10cm，花灑直徑AB是8cm，龍頭手柄與墻面的較小夾角∠COA＝26°，∠OAB＝146°.安裝時(shí)，旋轉(zhuǎn)頭的固定點(diǎn)O與地面的距離應(yīng)為多少？(結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49)圖1圖2解：如圖，過點(diǎn)B作地面的垂線，垂足為D，過點(diǎn)A作地面GD的平行線，交OC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，在Rt△AOE中，∠AOE＝26°，OA＝10，則OE＝OA·cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，在Rt△ABF中，∠BAF＝146°－90°－26°＝30°，AB＝8，∴OG＝BD－BF－OE＝(175＋15)－4－9＝177(cm).答：旋轉(zhuǎn)頭的固定點(diǎn)O與地面的距離應(yīng)為177cm.

16.脫貧攻堅(jiān)工作讓老百姓過上了幸福的生活.圖1是政府給貧困