2023-2024學(xué)年湖南省永州市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合題目要求.

1.下列直線經(jīng)過(guò)第一象限且斜率為-1的是()

A.x+y+l=0B.x+y-l=0

C.x-y-\=0D.x-j^+1=0

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意利用直線方程的斜截式即可選出答案.

【詳解】滿足題意的直線方程通式為：y=-x+6nx+y-b=()e>0)

故選：B

2.已知a=(1,—2,—2),b—(2,2,1—w),且4_1_3，則"2=()

A.5B.4C.3D.2

【正確答案】D

【分析】利用向量垂直充要條件列出關(guān)于加的方程，解之即可求得用的值.

【詳解】a=(1,-2,-2),3=(2,2,1-m)，且Z'B，

則a?6=0,貝?。?x1+2x(―2)—2(1-加)=。,解之得加=2

故選：D

Y21

3.若雙曲線C：T—%=l(a>01>0)的虛軸長(zhǎng)為8,漸近線方程為歹=±萬(wàn)工，則雙曲

線C的方程為()

A.3=122

B,匕-匕=1

164416

c-y2-1

6416

【正確答案】C

【分析】根據(jù)虛軸、漸近線的定義求解.

26=8

b=4,所以雙曲線方程為三—二

【詳解】由題可得，2_J_解得，1，

Q=86416

a2

故選:c.

4.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若q=l,a“+I=2S,+l(〃eN*),則生=()

A.27B.64C.81D.128

【正確答案】C

【分析】利用題給條件即可依次求得的，%,%，%的值.

【詳解】數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，q=l,%+|=2S,,+l

則a2=2S]+1=2q+1=3,ay-1S2+1=2(<2(+a2)+l=9,

a4=2s3+1=2(。]+%+°3)+1=27,

a5=2s4+l=2(al+a2+a3+a4)+l=81.

故選：C.

5.如圖，在四面體力BCD中，E,F,G,，分別是BC,CD,的中點(diǎn)，點(diǎn)”是EG

和a/的交點(diǎn)，對(duì)空間任意一點(diǎn)。都有方+礪+雙+/=左的，則左=()

【正確答案】D

【分析】證明出四邊形EFG”為平行四邊形，M為EG中點(diǎn)，利用空間向量基本定理求

解即可.

【詳解】E,F,G,，分別是BC,CD,。力的中點(diǎn)，

故.EHI/BD,EFHGH,

所以瓦RG,“四點(diǎn)共面，且四邊形EFG”為平行四邊形，

故M為EG中點(diǎn)，

因?yàn)閍+方=2礪，0C+0D^20G^

所以萬(wàn)+歷+反+歷=2(歷+而)=4<^7,

故4=4

故選：D

6.已知拋物線C的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,過(guò)尸的直線機(jī)與C交于1、8兩點(diǎn)，點(diǎn)力在/上的

....\AF\

投影為￡>,若|/3|=忸q,則扇=()

35

A.—B.2C.-D.3

22

【正確答案】B

【分析】結(jié)合圖像，分析出點(diǎn)〃為4。的中點(diǎn)，從而利用拋物線的定義即可求得結(jié)果.

【詳解】過(guò)點(diǎn)8作,垂足為E,作BH工AD,垂足為“，如圖，

又因?yàn)樗运倪呅?EO〃為矩形，所以忸?=QM，

因?yàn)閨/可=怛0，BH1AD,所以點(diǎn)”為NO的中點(diǎn),

所以|。叫=?司，故=*=2忸河,

由拋物線的定義可得|/F卜|4D|,|3尸|=忸同,所以可=2忸目，即回

|即=2.

故選：B.

7.已知?(-3,0),3(1,0),7是圓O：X2+J?=上上的動(dòng)點(diǎn),則尸外接圓的周長(zhǎng)的

最小值為()

15兀17%19K23兀

A.——B.---C.---D.

444~4~

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意確定圓O：/+^2=16和圓a：(x+iy+(y—a)2=/+4,

有公共點(diǎn)，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系列出不等式可求解.

【詳解】Z8中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=—1,所以/8P外接圓的圓心在％=-1上，

設(shè)圓心為。(7,0,則半徑為廠=/?="+42,

2

圓心距d=OO[=[a+1,

圓O]:(x+1)~+(y—a)~=+4,

又因?yàn)槭趫A。上，所以圓。與圓a有公共點(diǎn)，

所以47a2+4<y/a2+1<4+V?2+4,

11+144+，。2+4顯然成立,

4-J/+44J—+1兩邊同時(shí)平方可得,

16+4+a2-8V4+a2<a2+b所以8“+」219,

所以14+片之12,所以72里,

88

當(dāng)且僅當(dāng)4+/,解得a=更叵時(shí)取得等號(hào),

18廣8

所以周長(zhǎng)的最小值為2無(wú)x，=V,

84

故選:C.

8.如圖，瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年通過(guò)構(gòu)造圖形描述雪花形狀.其作法是：從一個(gè)正三角

形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉

底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原正三角形(圖①)的邊長(zhǎng)為

1.則圖④中圖形的面積為()

【正確答案】A

【分析】設(shè)圖①、②、③、④中正三角形的邊長(zhǎng)分別為%、%、%、%，圖形面積依次記

為岳、邑、S3、54)圖形分別記為、M2,M3、M4,圖形的邊數(shù)分別記為N1、N2、

華、N4,易得N“=3X4"T,牝=已］,s“八—S”=2xN“xa\\，利用累加法可求

得S4的值.

【詳解】設(shè)圖①、②、③、④中正三角形的邊長(zhǎng)分別為q、的、。3、%，

圖形面積依次記為岳、昆、S3、S”圖形分別記為加;、M］、M3、M4,

圖形的邊數(shù)分別記為N|、N］、$、N4,

觀察圖形可知］"=；（〃=1,2,3）,且q=l,N“+1=4N,,（〃=1,2,3）,且N|=3,

由題意可知，數(shù)列｛N,,｝是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列，則N.=3-4"T,

1/1、〃T

數(shù)列｛6,｝是首項(xiàng)為1公比為一的等比數(shù)列，%=L,

3\3/

由圖可知，圖形用是在圖形M”的每條邊上生成一個(gè)小三角形（去掉底邊），

共增加了N“個(gè)邊長(zhǎng)為a?+1的正三角形,

由累加法可得S4=￡+（$2-Sj+（S3-邑丹⑸-邑）

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得

2分.

9.已知a,h,c為非零實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.2b=a+c,是a,b,c成等差數(shù)列的充要條件

B.6=4是a，b,。成等比數(shù)列的充要條件

C.若a,b,c成等比數(shù)列，則1,工成等比數(shù)列

abC

D.若a,b,c成等差數(shù)列，則,，［成等差數(shù)列

abC

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可得出答案.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)等差中項(xiàng)即可得出2b=a+c是a,b,c成等差數(shù)列的充要條件,

故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：6=疝，即〃=ac，又〃，b,C為非零實(shí)數(shù)，所以根據(jù)等比中項(xiàng)即可證明

a,b,c成等比數(shù)列，

a,b,c成等比數(shù)列，只能證明/=ac，即6=疝是。，b,c成等比數(shù)列的充分不必要

條件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：若a,b,c成等比數(shù)列，則〃=ac，則=-x~,則L1成等比

1b)acabc

數(shù)列，故C正確：

對(duì)于選項(xiàng)D：若q,b,c成等差數(shù)列，則2b=a+c,無(wú)法得到故D錯(cuò)誤;

bac

故選：AC.

10.如圖，一個(gè)底面半徑為道的圓柱被與其底面所成的角為。的平面所截，截面為橢圓，

若6=60°,則()

A.橢圓的短軸長(zhǎng)為2百

B.橢圓的離心率為也

2

22

C.橢圓的方程可以為土+匕=1

4812

D.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為2行-3

【正確答案】ABD

【分析】利用圖中的幾何性質(zhì)即可求出a,b,c,即可判斷A,B,C的正誤，利用二次函數(shù)的性

質(zhì)即可求出橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值.

【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為。，短半軸為6,

由已知可知cos600=—＞解得a=26，

2。

：6=百，???橢圓的短軸長(zhǎng)為2百，故A正確；

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+'=1,故C不正確；

123

Vc2=a2-b2=9'c—3＞e=—=—=^~，故B正確：

a2V32

橢圓上的一點(diǎn)為一(々,九),其中一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(3,0)，且呼=3-a，

則吐「=伉一3『+y；=彳；一6/+9+3一段-6%+12卜2月Mx。＜273)

該拋物線的對(duì)稱軸為x=4,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)飛=26有最小值，此時(shí)|P用二=21-1273=3?-12萬(wàn)+=(2^-3

即歸;九"=2行一3,故D正確.

故選：ABD.

11.已知雙曲線C：/—券=i的左、右焦點(diǎn)分別為F2,過(guò)點(diǎn)馬作直線與雙曲線。的

右支交于A,B兩點(diǎn)，若/6/8=90°,則()

A.|J^|=V5-1B.點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為坐

C.直線的斜率左=±±且D.6的內(nèi)切圓的面積

2

S=(6-2灼兀

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)雙曲線的定義得到方程組，求出|4周、周，即可判斷A,再由等面積法求

出小/，代入雙曲線方程求出X”，即可判斷B,再求出直線的斜率，即可判斷C,利用直

角三角形即內(nèi)切圓的性質(zhì)求出內(nèi)切圓的半徑，即可判斷D

【詳解】由雙曲線C：匕=1可得〃=162=2/2=3，

2

|力用一|/周=24=2

盟卜氐1

如圖所示，由題意知＜|公6|=2。=2百，解得，',故A正確;

|"『+?父=忸月p\AF,\=y/5-1

在Rt鳥(niǎo)中，由等面積法知:周=；|￡用|”|，解得|”|=亞，

代入雙曲線方程得x：=l+[=g,又因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線的右支上，故肛=半，故B正確;

\AFJ\V5-13-V5

由圖知當(dāng)點(diǎn)A在第一象限，k=tan//^E=H=，一=—^一,

AF\AF^V5+12

由對(duì)稱性可知，若點(diǎn)A在第四象限，則乜.=一三衛(wèi)，故C不正確；

傷2

設(shè)6的內(nèi)切圓為P,圓尸切/耳,45,8耳于己。,。，連接PE,PD,PC

易得PE1AF^PD1AB,PC1BFt,

\PE\=\PD\=\PC\,\A^=\AD\\EF^=|西網(wǎng)=\CB\,

四邊形力。尸石是正方形，

故ABFX的內(nèi)切圓半徑

〃=；（|期|+|明-忸周）

=；（|9|+|/用+|叫卜忸片|）=；（6+1+6-1-2）=有-1,

對(duì)應(yīng)面積為兀.（指-1『=（6-2斯）兀，故D正確.

故選：ABD

12.在長(zhǎng)方體相C。一44GA中，AB=BC=2AA=2,E,E為的兩個(gè)三等分點(diǎn),

點(diǎn)尸是長(zhǎng)方體力BCD-44Goi表面上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

3

A.而.而的最小值為‘B.而.而的最大值為2

4

C.NE尸E的最小值為30。D.NEPE的最大值為90。

【正確答案】BD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，得到瓦尸點(diǎn)的坐標(biāo)，分析出尸位于長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面時(shí)情

況相同，尸位于長(zhǎng)方體的上下兩個(gè)平面時(shí)情況相同，分兩種情況進(jìn)行求解出而.而，得到

最值，并分析出NE/小'的最大值，舉出反例得到C錯(cuò)誤.

【詳解】以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x,〉,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)閆8=8C=2/4=2,所以8（2,0,0）,Q（0,2,1）,

—1——--2——(421、<242、

不妨設(shè)BE=：BDi，BF=}BDi，故同彳,；,F,

33<333；<333)

由對(duì)稱性可知：P位于長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面時(shí)，所處情況相同，

不妨設(shè)尸(0,%")，加w[0,2],“€[0,1],

——<421W242)88、2

J1IJPE-PF――,——m,——n?—,——m,——n=—H-----2m+m24-----n+n2

(333八333J999

1______3

故當(dāng)加=1,"=-時(shí)，pE.pp的最小值為一，此時(shí)

24

當(dāng)〃=0或2,〃=0或1時(shí)，而.而的最大值為2,

由對(duì)稱性可知：P位于長(zhǎng)方體的上下兩個(gè)平面時(shí)，所處情況相同,

不妨設(shè)P（s,f,0）,se[0,2]"e[0,2],

8c28c22

——2s+s+——2t+t+—

999

=(S-1)2+(-1)2,

故當(dāng)s=l,z=l時(shí)，麗.師的最小值為0,

當(dāng)s=0或2,/=0時(shí)二方.而的最大值為2,

綜上：而?麗的最小值為0,而.而的最大值為2,A錯(cuò)誤，B正確;

因?yàn)槎?而的最小值為0，故cosDEPF的最小值為0,

因?yàn)榭桑訬EP尸的最大值為90。，D正確；

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，此時(shí)NEPE=0。，C錯(cuò)誤.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知直線x+y—2=0與圓％2+丁=8交于A,8兩點(diǎn)，則|幺8|=

【正確答案】2G

【分析】求出圓心到直線的距離d,再由M@=2/2一儲(chǔ)計(jì)算可得.

【詳解】圓d+V=8的圓心坐標(biāo)為（0,0）,半徑r=2立，

|0+0-2|廠

圓心到直線x+y-2=0的距離d=l/'=<2,

Vl2+12

所以=2^Jr2-d2=2,（2匈2一（匈2=2瓜.

故26

ana為偶數(shù)

14.已知數(shù)列｛。“｝滿足：a”wZ,%=1,。“+1=<255，則％=

3a〃+1,—為奇數(shù).

【正確答案】1或8

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，對(duì)巴分奇偶即可逐項(xiàng)求解得.

【詳解】①若4為偶數(shù)，則由4=1可得%=￡=>。3=2,

若生為偶數(shù)，則由。3=2可得生=3-=>。2=4,進(jìn)而/=與=>%=8或者

4=34+1=。］=1,均滿足要求，

若生為奇數(shù)，則由%=2可得%=34+1=>%=；，不符合要求，舍去，

②若%為奇數(shù)，則由%=1可得。4=3%+1=生=0,不符合要求，舍去，

綜上q=8或q=1,

故1

15.《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下

底市，且均為扇環(huán)形(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，,

BB]CC,,0"均與曲池的底面垂直，且14=2,每個(gè)底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分

另UX2,對(duì)應(yīng)的圓心角為90。，則直線/片與49所成角的余弦值為.

4

A

1

CD

答案[2^2##—Vio

[JI

1010

【分1建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求得直線z4與4A所成角的余弦值.

【說(shuō)】延長(zhǎng)48交CD于。，過(guò)點(diǎn)O作OT，平面ABCD,

以C原點(diǎn)，分別以O(shè)。，OA,。7所在直線為x,〃z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

貝心2,0),4(0,2,2),5,(0,1,2),￡),(2,0,2),

則7=(0,-1,2),4^=(2,-2,0),

2A/10

則C

272x75-10

V10

則直

lo"

L

------>

CDX

故二

16.已知雙曲線C：二一占=l（a>0,6>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,尸是C在第一象

a2b~

限的圖象上的點(diǎn)，記N尸=,NPBA=0,N4P8=y,若tana+tan/?+4tany=0,

則雙曲線。的離心率e=.

【正確答案】2

【分析】設(shè)點(diǎn)2（相,〃），則〃?〉0,〃>0,且牛—烏=1,分析可得tana=A^,

cib

tan（i=-kPB,tany=-tan（a+6），根據(jù)tana+tan夕+4tan/=0可求得雙曲線C的

離心率的值.

2222

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（加,〃），則〃?>0,〃>0,且4—%=1,可得機(jī)2=/+寧，易知

點(diǎn)4（-40）、B（a,o）,

〃n

期以，tancc=kpA—,tan0——kPB~~

m+am-a

22

Qnn￡

?tanatan4=--,~r=--—

則m-aana2

cnn2na八

tana+tan胃=-------------=----z-----w0,

m+am-am-a

tan…ngi)=Tan(a+止一:二院舞tan?+tan/?

tanatany9-1

2na

加2

1+7

2na42na

tana+tan/?+4tany=一222=0

所以,m-a^h~m2-a2

1+—

4?i------

b~，則1+4'=4，可得e=Jl+J=2.

所以,

1+—a1ya2

a

因此,雙曲線。的離心率為e=2.

故答案為.2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

17.如圖，在正方體NBCD-44GA中，E為。2的中點(diǎn).

（1）證明：直線8?！ㄆ矫鍭CE；

（2）求直線與平面ZCE所成角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）先利用中位線定理證得8口〃￡。，再利用線面平行的判定定理即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出國(guó)與平面ZCE的法向量從而利用空間向量夾

角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

連接直線80,設(shè)直線8。交直線ZC于點(diǎn)。，連接E。，如圖，

因?yàn)樵谡襟wZ3CD-44Goi中，底面/BCD是正方形，所以。為8。中點(diǎn),

又因?yàn)镋為。。的中點(diǎn)，所以BD0EO,

又因?yàn)镋Ou平面ZCE,BRa平面4CE,

所以直線8R〃平面力CE.

【小問(wèn)2詳解】

根據(jù)題意，以D4為x軸，。。為y軸，。"為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖,

不妨設(shè)正方體48。。一44G〃的棱長(zhǎng)為2,則〃（0,0,2）,Z（2,0,0）,C（0,2,0）,

￡(0,0,1),

故西=(0,—2,2),就=(-2,2,0),通=(—2,0,1),

/、AC-n=0—2x+2y—0

設(shè)平面/CE的法向量〃=(”z),則＜一

AEn=0—2x+z=0

令x=l,則y=l,z=2,故〃=(1,1,2),

設(shè)直線CD,與平面ACE所成角為。，則sin0=|cos（西

所以直線CD,與平面ZCE所成角的正弦值為

6

18.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且用=25,4=2q+L

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）令c“=%+2"，,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和T?.

【正確答案】(1)an=2M-1

22

(2)T?=n2+--4n——

"33

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解公差和首項(xiàng)，進(jìn)而可求通項(xiàng),

（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

,.15a.+10（y=25

設(shè)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為q,公差為d,由題意得jq+1'

解得：d=2,ai-1

所以%=2n-1

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)镃“=2〃-1+22“T

32,,-|

所以7；=c,+c2+---+c?=［1+3+---+（2/?-1）］+（2+2+---+2）

一（1+2〃-1）〃31-4"）_島242

21-433

19.已知拋物線C：/=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸［0，0）在C上，且|PO|=|P尸］（。

為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（。,0乂。<0）的直線與拋物線C交于點(diǎn)/,8兩點(diǎn)，若由+函為定值，求實(shí)

數(shù)”的值.

【正確答案】（1）y2=4x

（2）a=-\

【分析】（1）由|PO|=|PR|先表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線。的方程求P,得出拋物線C

的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)（氏0）的直線為了=左（》-。）仕W0）,與拋物線C的方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理及

11

判別式大于零，把韋達(dá)定理代入內(nèi)+罰為定值，求出實(shí)數(shù)。的值.

\AF\\BF\

【小問(wèn)1詳解】

已知點(diǎn)網(wǎng)飛,@在c上，且司，/則點(diǎn)尸在線段o尸的中垂線上，即

尸］，句，把點(diǎn)尸代入拋物線C的方程_/=2內(nèi)，則2=。，P>0，

解得p=2,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為j?=4x.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)過(guò)（。,0）的直線為J=比（工一。）（左中0）,Z（X1,凹），B（x2,y2）

2_4

聯(lián)立《、，得％2/一(2。左2+4)x+%%2=0,

y=k[x-a)'7

則A=(2ak2+47-4a2k4=16ak2+16>0，BPak2+l>0>

2ak2+4c42

且$+=2tz4——，王》2—a

~ie-k2

1,1_1,1X1+X2+2—X,+X2+2_2a+2+/

\AF\\BF\為24

+1X2+I(x,+l)(x2+l)X,X2+X]+X2+12a+a+l+

k2

11

因?yàn)槲骺▏?guó)為定值’

所以2a+2=2a+/+1,a<0>解得a=-l或a=l(舍去)

當(dāng)a=-l,左w(—l,0)U(0,l)時(shí)A>0,

11

所以當(dāng)y\AyF百\+=\BF\為定值時(shí)，a=-l.

20.如圖，在三棱錐P—Z8C中，AB1BC,平面尸48_L平面Z3C,AB=BC=2,

尸/=6，PB=1.

（I）證明：PZ_L平面P8C；

7T

（2）若點(diǎn)。在線段4C上，直線PO與直線BC所成的角為一，求平面。8尸與平面C8P

4

夾角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

277

【分析】（1）由勾股定理證明241P8,由已知面面垂直證明線面垂直，再到線面垂直,

從而證得結(jié)果；

冗

(2)建立空間宜角坐標(biāo)系，由直線PD與直線8c所成的角一，求得。點(diǎn)坐標(biāo)，再求平面

4

08P與平面C8P的法向量，得出兩平面夾角的余弦值.

【小問(wèn)1詳解】

證明：在尸中，因?yàn)榱?=2,尸6=1,。/=、回，

所以/父二尸無(wú)+尸/，所以以1PB,

因?yàn)榱?13C,平面PAB±平面4SC,平面PABc平面ABC=AB,BCu平面ABC,

所以8cl平面P48,

因?yàn)槭琙u平面尸Z6,所以BC上P4,

又PA±PB,PBcBC=B,PB,BCu平面PBC,

所以平面尸8c.

【小問(wèn)2詳解】

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，8/為x軸正方向，8c為y軸正方向，過(guò)8垂直于平面/8C的直線為z

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系8-孫z,

由題意得8(0,0,0),Z(2,0,0),C(0,2,0),平面P/8J.平面力8C,平面尸/8c平面

ABC=AB,過(guò)點(diǎn)尸作尸〃J.Z8于點(diǎn)〃，則P〃_L平面Z8C,PH=—,HB=~,

22

咦呼，

__ULU--(1'

所以，4c=(—2,2,0),SC=(0,2,0),BP=-,0,y-,

設(shè)點(diǎn)。/￡)=44C(4,

貝ijAD=(一24,24,0)=(x-2,y,z),

所以x=2-2%,y=2A,2=0,

所以點(diǎn)。坐標(biāo)為(2—24,240),

3_

所以。p24—,-24,

2

解得見(jiàn)

2

所以點(diǎn)。坐標(biāo)為(1,1,0),則8。=(1,1,0).

設(shè)平面尸的法向量為％=(x”弘,zj

1,也

BP-n-0=011m、

則《}2、+2“I—，取X1=l,可得〃]=

BD-n=0''3

x芭+乂=07

因?yàn)開(kāi)L平面CBP,

——3c<3

所以平面CB尸的一個(gè)法向量為4=-,0,-^-,所以

7

COS（〃1,P/）2_22手

1+1+.'93-F

----1----

44

所以平面DBP與平面C8P夾角的余弦值馬區(qū).

7

21.設(shè)數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)之積為北，且滿足27；=1—a“(〃eN*).

1

(1)證明：數(shù)列〈，是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式;

1一4

(2)記S“=邛+以+…+12,證明：s“<；.

2〃一1

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析，an=-------

2M+1

(2)證明見(jiàn)解析

Z，〃=i1

1-U

【分析】(1)法一：根據(jù)氏=＜T?、。，得到%=-_■二，變形后得到

廣，〃221-%

4-1

1「一=1(〃22),證明出結(jié)論，并求出通項(xiàng)公式:

1一%1

法二：由題目條件得到21=1一楙"(〃之2),得到＜5＞以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差

I。[1

數(shù)列，求出1=-------，進(jìn)而求出q=―匕，并證明出數(shù)列——、是等差數(shù)列；

2//+12M+1[l-a?

(2)利用放縮法得到窗＜黑一止^|，裂項(xiàng)相消法求和，得到S〃＜；.

【小問(wèn)1詳解】

方法一：當(dāng)〃=1,得〃]=1,

3

當(dāng)“22時(shí)，2%電…=1一?！雹?/p>

2%。2…6I=1一%-1②

1—Q

兩式相除可得：an=-~~J

1—3

變形為：——一=1(〃》2),

1-4

13f13

因?yàn)?一=彳，所以——卜是以士為首項(xiàng)，1為公差的等比數(shù)列.

1-a,22

13,

所以^—=7+(〃-1)

[~an2

2〃一1

化簡(jiǎn)可得見(jiàn)=-----

2〃+1

法二：因?yàn)椤?，27；=1-a“(〃eN*),

所以27；=1-若(〃22)

11

即--------2(M>2)

]I、

令加=1,則(=一，--3

3T.

所以以3為首項(xiàng)，以