位似

——第二十七章相似教學(xué)目標(biāo)01.了解位似圖形及其相關(guān)概念

重點(diǎn)02.掌握位似圖形的性質(zhì)

重點(diǎn)

04.掌握平面直角坐標(biāo)系中位似圖形的坐標(biāo)變化規(guī)律

重點(diǎn)

03.掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形的方法將一個(gè)圖形放大或縮小

難點(diǎn)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)圖形就叫相似圖形，如果兩個(gè)圖形形狀相同，但大小不一定相等，那么這兩個(gè)圖形相似.（相似的符號(hào)：∽）之前我們學(xué)習(xí)了相似圖形，大家回憶一下什么叫相似圖形？相似圖形的性質(zhì)有哪些？相似圖形的性質(zhì)：1、兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例2、相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

欣賞下列兩張圖片，你有什么發(fā)現(xiàn)？這樣的放大或縮小，沒有改變圖形形狀，經(jīng)過放大或縮小的圖形，與原圖是相似的。在日常生活中，我們經(jīng)常見到這樣一類相似的圖形、例如，放映幻燈片時(shí)，通過光源，把幻燈片上的圖形放大到屏幕上.在照相館中，攝影師通過照相機(jī)，把人物的影像縮小在底片上.這樣的放大或縮小，沒有改變圖形形狀，經(jīng)過放大或縮小的圖形，與原圖形是相似的，因此，我們可以得到真實(shí)的圖片和照片.

下面我們開始研究這類相似的圖形觀察下列圖形，小組討論回答以下問題：

1.圖中有相似多邊形嗎？2.如果有，這種相似有什么特征？圖中每組多邊形都是相似多邊形，且每組相似多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn).位似圖形的概念：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)就叫位似中心，這時(shí)我們說這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)位似.位似圖形的性質(zhì)：（1）位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離的比等于相似比；（2）位似圖形的所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線相交于一點(diǎn)這個(gè)點(diǎn)就是位似中心；（3）位似圖形對(duì)應(yīng)邊平行（或在同一條直線上）；（4）位似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；（5）兩個(gè)圖形位似，則這兩個(gè)圖形一定相似，其相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.【思考】相似圖形一定是位似圖形嗎？相似圖形不一定是位似圖形，但位似圖形一定相似【注意】位似圖形必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）兩個(gè)圖形是相似圖形；（2）兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于同一點(diǎn).利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小.例如，要把四邊形ABCD縮小到原來的DABC3.分別在射線OA，OB，OC，OD上取點(diǎn)A'，B'，C'，D'，使得4.順次連接點(diǎn)A'，B'，C'，D'，所得四邊形A'B'C'D'就是所要求的圖形．ODABCA'B'C'D'作圖步驟：1.在四邊形外任選一點(diǎn)O（如圖）如圖所示，將四邊形ABCD縮小為原來的.2.過O點(diǎn)分別作射線OA,OB,OC,OD;【思考】對(duì)于上面的問題，還有其他方法嗎？如果在四邊形外任選一個(gè)點(diǎn)O，分別在OA，OB，OC，OD的反向延長線上取A'，B'

、C'、D'

，使得呢？如果點(diǎn)O取在四邊形ABCD內(nèi)部呢？試著分別畫出得到的四邊形.ODABCA'B'C'D'ODABC利用位似，可以將一個(gè)圖形放大或縮小，主要方法有兩種：方法一：在圖形外取一點(diǎn)作為位似中心，按要求將圖形放大或縮?。环椒ǘ涸趫D形內(nèi)取一點(diǎn)作為位似中心，按要求將圖形放大或縮小.【總結(jié)】畫位似圖形的一般步驟：（1）確定位似中心，并找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（2）分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長；（3）根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（4）順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形.【注意】1.位似中心可以在兩個(gè)圖形內(nèi)部，兩個(gè)圖形之間，兩個(gè)圖形的同一側(cè)，也可以在一個(gè)圖形的一條邊上或某一頂點(diǎn)上.2.畫位似圖形時(shí)，要弄清相似比，即分清是原圖形與新圖形的相似比，還是新圖形與原圖形的相似比3.一般情況下，畫位似圖形的結(jié)果不唯一.1.如圖，△OAB和△OCD是位似圖形，AB與CD平行嗎？為什么？【練習(xí)】解：AB∥CD，理由如下：∵△OAB和△OCD是位似圖形∴△OAB∽△OCD∴∠OBA=∠ODC∴AB∥CD2.如圖，以O(shè)為位似中心，將△ABC放大為原來的3倍.【練習(xí)】解：連接OA、OB、OC，并分別延長OA、OB、OC，在延長線上分別取A'，B'，C'三點(diǎn)，使OA'=3OA，OB'=3OB，OC'=3OC.順次連接A'，B'，C'，所得△A'B'C'就是所要求的圖形.我們知道，在直角坐標(biāo)系中，可以利用變化前后兩個(gè)多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系表示某些平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱）.類似地，位似也可以用兩個(gè)圖形坐標(biāo)之間的關(guān)系來表示.

在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A(6，3)，B(6，0).以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把線段AB縮小，觀察對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間坐標(biāo)的變化.如圖，把AB縮小后A，B的對(duì)應(yīng)為A′(，)，B'(，)；A"(，)，B"(，).2120－2－1－20xy24682468-2-4-6-8-2-4-6-8OABA'B'A〞B〞xy24682468-2-4-6-8-2-4-6-8O1012-9-10-12ACA'C'A"C"如圖所示,△AOC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,4),O(0,0),C(5,0).以點(diǎn)O為位似中心,相似比為2,將△AOC放大.觀察對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化,你有什么發(fā)現(xiàn)?如圖，把△AOC放大后A，O，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'(

8，8

)，O

(

0

，0)，C'(

10，0

)；A"

(

-8，-8

)，O

(

0，0

)，C"

(-10

，0

).一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫出一個(gè)與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)或(-kx，-ky).【總結(jié)】【注意】上面的坐標(biāo)的變化規(guī)律是以原點(diǎn)為位似中心的位似變化中圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律.【例題練習(xí)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0).以原點(diǎn)O為位似中心，畫出一個(gè)三角形使它與△ABO的相似比為3:2.2462－2－4xyABO【分析】畫三角形關(guān)鍵是確定它各頂點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)前面的歸納可知，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為即(－3，6)，類似地，可以確定其他頂點(diǎn)的坐標(biāo).還有其他畫法嗎？自己試一試.2462－2－4xyABO解：利用位似中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，分別取點(diǎn)A′(－3，6)，B′(－3，0)，O(0，0).A′B′

順次連接點(diǎn)A′，B′，O，所得的△A′B′O就是要畫的一個(gè)圖形.至此，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了四種變換：平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和位似，總結(jié)它們的坐標(biāo)變化規(guī)律①平移變換：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)加上（或減去）平移的單位長度②軸對(duì)稱變換：以x軸為對(duì)稱軸則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；以y軸為對(duì)稱軸則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。③旋轉(zhuǎn)變換：一個(gè)圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。④位似變換：當(dāng)以原點(diǎn)為位似中心時(shí)，變換前后兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之比的絕對(duì)值等于位似比。嘗試總結(jié)位似與平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)三種變換的聯(lián)系和區(qū)別位似、平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)都是圖形變換的基本形式，它們的本質(zhì)區(qū)別在于：平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)三種圖形變換都是全等變換，而位似變換是相似（擴(kuò)大、縮小或不變）變換.在如圖所示的圖案中，你能找到平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和位似這些變換嗎？【分析】：觀察的角度不同，答案就不同.如：它可以看作是一排魚順時(shí)針旋