等差數(shù)列的前n項(xiàng)和知識(shí)回顧已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，回答下列問題：（1）通項(xiàng)公式an=

.（2）如果m+n=p+q(m,n,p,qN+)，則

.這節(jié)課我們將要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

的求法.an=a1+(n-1)d新知探索實(shí)例1：如圖所示，用相同的圓木料，堆成如圖所示的正三角形垛，若堆了100層，那么用了多少根圓木料？設(shè)x=1+2+3+...+100=100+99+98+...+1,這兩個(gè)等式上、下對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和均為101，即2x=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(100+1)=101×100，解得x=5050“數(shù)學(xué)王子”高斯根據(jù)題意，各層圓木料數(shù)比上一層多一根，故其構(gòu)成等差數(shù)列：1,2,3,...,100設(shè)所用圓木料數(shù)為S100，則S100=1+2+3+…+100，這是一個(gè)等差數(shù)列求和問題.實(shí)例2：你能根據(jù)高斯的算法，計(jì)算當(dāng)正三角形垛有n層時(shí)，總共用了的圓木數(shù)嗎？設(shè)n層的正三角形垛用的圓木數(shù)為Sn，則你能說說這樣計(jì)算依據(jù)的原理嗎？等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的證明設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，即再把項(xiàng)的次序反過來(lái)，由等差數(shù)列性質(zhì)把(1)，(2)等號(hào)兩邊分別相加，可得等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式首項(xiàng)為a1，末項(xiàng)為an，項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和這個(gè)公式表明：等差數(shù)列前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半，其原理參見右圖.將an=a1+(n-1)d代入上式，得典例分析例1求前n個(gè)正奇數(shù)的和.解：前n個(gè)正奇數(shù)分別為1,3,5,7,.......,2n-1.變式：求前n個(gè)正偶數(shù)的和.練習(xí)

在我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì)。例如北京天壇圓丘的地面由扇圓形的石板鋪成，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共9圈。請(qǐng)問：(1)第9圈共有多少塊石板；(2)前9圈一共有多少塊石板.1.兩個(gè)公式均為等差數(shù)列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五個(gè)量.通常已知其中三個(gè),可求其余兩個(gè),而且方法就是解方程(組),這也是等差數(shù)列的基本問題形式之一.例2

已知等差數(shù)列{an}中,(2)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d.整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去負(fù)值).即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.【變式訓(xùn)練1】

(1)已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1=,S2=a3,則a2=

;Sn=

.

(2)在等差數(shù)列{an}中,已知公差d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.例3

在等差數(shù)列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.變式訓(xùn)練(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=-2018,S6-2S3=18,則S2020=(

)A.-2018 B.2018C.2019 D.2020(2)(多選題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N+),當(dāng)