2023北京中考數(shù)學一模分類匯編一一代數(shù)綜合

1.(2023?海淀區(qū)一模)在平面直角坐標系xQy中，點A(xo.m),B(xo+4,〃)在拋物

線y—xi-2bx+1上.

(1)當b=5,xo=3時，比較相與〃的大小，并說明理由；

(2)若對于3WxoW4,都有求6的取值范圍.

2.(2023?西城區(qū)一模)已知拋物線y=M+〃x+4的對稱軸為直線x=r.

(1)若點(2,4)在拋物線上，求f的值；

(2)若點Cxi,3),(X2,6)在拋物線上，

①當，=1時，求a的取值范圍；

②若且X2-X1N1,直接寫出a的取值范圍.

3.(2023?東城區(qū)一模)已知拋物線)，=〃/-2at(aWO).

(1)求該拋物線的頂點坐標(用含a的式子表示)；

(2)當a>0時，拋物線上有兩點(-1,s),(k,力,若s>f時，直接寫出k的取值

范圍；

(3)若A(m-1,yi),B(m,y2),C(m+3,y3)都在拋物線上，是否存在實數(shù)

使得-a恒成立？若存在，求出〃?的取值范圍；若不存在，請說明理由.

4.(2023?朝陽區(qū)一模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線)=0?+(2m-6)x+1經(jīng)過點

(1,2w-4).

(1)求a的值；

(2)求拋物線的對稱軸(用含〃?的式子表示)；

(3)點(-m,)“)，(.m,y2),(，〃+2,y3)在拋物線上，若”Vy3Wyi,求〃？的取

值范圍.

5.(2023?豐臺區(qū)一模)在平面直角坐標系xOy中，點A(-3,yi),B(〃+1,絲)在拋

物線y=/-2ax+\上.

(1)當a=2時，求拋物線的頂點坐標，并直接寫出yi和”的大小關系；

(2)拋物線經(jīng)過點C(小，>3).

①當〃7=4時，若yi=”，則。的值為;

②若對于任意的4W〃?W6都滿足)，］>*>",求a的取值范圍.

6.(2023?石景山區(qū)一模)在平面直角坐標系xO.y中，拋物線y=o?+加:+c(n>0)的對稱

軸為兩個不同點(3,加)，(r+1,〃)在拋物線上.

(1)若機=〃，求f的值；

(2)若幾<m<c,求f的取值范圍.

7.（2023?通州區(qū)一模）在平面直角坐標系xOy中，已知點（-1,,（2,0）在二次

函數(shù)y=-x^+bx+2的圖象上.

（1）當"=。時，求b的值；

（2）當（2-”）（〃-p）>0,求b的取值范圍.

8.（2023?平谷區(qū)一模）在平面直角坐標系xOy中，點（1,yi）,（3,在拋物線y=

x2-litvc+m2上.

（1）求拋物線的對稱軸用含（根的式子表示）；

（2）若yi<”，求機的取值范圍；

（3）若點（w,加）在拋物線上，若存在-l<xo<O,使yi<yo<｝，2成立，求朋的取值

范圍.

9.(2023?門頭溝區(qū)一模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax1-2ax+a-4(〃#0).

(1)求該拋物線的頂點坐標；

(2)當拋物線y=a/-2以+〃-4(aKO)經(jīng)過點(3,0)時:

①求此時拋物線的表達式；

②點yi)，N(2〃+3,”)在拋物線上，且位于對稱軸的兩側，當時,

求〃的取值范圍.

y八

5-

4

3

2

1

0

一5-4-3-2-112345力

-1

-2

-3

-4

-5

10.(2023?房山區(qū)一模)已知拋物線y=7-2ox+A經(jīng)過點(1,1).

(1)用含。的式子表示人及拋物線的頂點坐標；

(2)若對于任意a-lWxWa+2,都有yWl,求。的取值范圍.

11.（2023?延慶區(qū)一模）在平面直角坐標系尤Oy中，點A（4,m）在拋物線-26x+l

上.

（1）當m=1時，求。的值；

（2）點（刈，n）在拋物線上，若存在OVxoVb,使得機=〃，直接寫出人的取值范圍.

y八

5-

4-

3-

2-

1

??????

-5-4-3-2-1012345x

-1

12.（2023?大興區(qū)一模）在平面直角坐標系，中，點（-2,y\）,（2,”）,（3,”）

在拋物線y=f-2次+J+1上.

（1）拋物線的對稱軸是直線（用含，的式子表示）；

（2）當y\=y2,求t的值；

（3）點（"2,”）（機#3）在拋物線上，若y2〈y3〈yi,求f取值范圍及根的取值范圍.

13.(2023?順義區(qū)一模)已知：拋物線y=o?-4"-3(。＞0).

(1)求此拋物線與y軸的交點坐標及拋物線的對稱軸；

(2)已知點A(myi),B(〃+1,”)在該拋物線上，且位于對稱軸的同側.若|”-劉

W4,求a的取值范圍.

14.(2023?燕山一模)在平面直角坐標系X。)，中，拋物線)，=以2-4ar+5(a70)與)，軸

交于點C.

(1)求點C的坐標及拋物線的對稱軸；

(2)已知點(-1,yi),(2,*),(6,y3)在該拋物線上，且yi,”中有且只

有一個小于0,求a的取值范圍.

2023北京中考數(shù)學一模分類匯編一一代數(shù)綜合

參考答案與試卷解析

1.(2023?海淀區(qū)一模)在平面直角坐標系xOy中，點A(xo,w),B(xo+4,”)在拋物

線y=x2-2bx+\上.

(1)當6=5,xo=3時，比較，"與〃的大小，并說明理由；

(2)若對于3WxoW4,都有求匕的取值范圍.

【分析】(1)拋物線的解析式化成頂點式，即可求得對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可

判斷；

(2)求得拋物線與直線)，=1的交點，即可求得對稱軸，由對于3<xoW4,都有機<“<

X0+X0+4>

%-2<3

1得到《2解得b-2<xo<2b-4,從而得到,解得4<b<

x0+4<2b2b-4>4

5.

【解答】解：(1)由題意可知4(3,m),B(7,")在拋物線10x+l上,

10x+l=(x-5)2-24,

拋物線開口向上，對稱軸為直線x=5,

(3,m),B(7,〃)到對稱軸的距離相同，

??"2=/!;

(2)當y=l時，貝!J-2級+1=1,

解得尤1=0,X2=2b,

???拋物線經(jīng)過點(0,1),(2。，1),

???對稱軸為直線

?.,對于3WAOW4,都有m<n<l9

.'^^>b

??44f

x0+4<2b

解得b-2<m<2h-4,

.%-2<3

…2b-4>4

解得4</?<5.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的性

質是解題的關鍵.

（2023?西城區(qū)一模）已知拋物線y=〃/+法+4的對稱軸為直線x=t.

（1）若點（2,4）在拋物線上，求f的值；

（2）若點（XI,3）,（X2,6）在拋物線上，

①當f=l時，求a的取值范圍；

②若且直接寫出a的取值范圍.

【分析】（1）將點（2,4）代入拋物線表達式得：4=4“+26+4,貝l"=-2a,即可求解；

（2）①當a>0El寸，拋物線的頂點在y=3之下，即a-2a+4W3,即可求解；當a<0H寸，

拋物線的頂點在y=6之上，同理可解；

②將點G1,3）、（X2,6）代入拋物線表達式得：整理得到。（x2-xi）（xi+x2-2r）=

3,進而求解.

【解答】解：（1）將點（2,4）代入拋物線表達式得：4=4a+2H4,

貝ijb=-2a,

則t=--=1；

2a

（2）①當t—\時，b--2a,

則拋物線的表達式為：尸。/-2亦+4,

當〃>0時，拋物線的頂點在y=3之下，

即a-2a+4W3,

解得:

當時，拋物線的頂點在y=6之上，

即a-2.+4N6,

解得：aW-2,

故。21或aW-2；

②將點（XI,3）、（A2,6）代入拋物線表達式得：

3=ax*i+4,如+4，

則(x2-xi)[a(%2+xi)+切=3,而f=-

2a

則。(%2-Xi)(xi+x2-2r)=3,

X2-xi'l,

則X2+xi-2f22xi+l-2t2l,

fWxi<JC2,

則X2-xi>0,

貝!I(%2-xi)(xi+%2-2r)21,

則.W3,

故0<“W3.

【點評】本題為二次函數(shù)綜合運用，涉及到解不等式、二次函數(shù)的圖象和性質等，熟悉

二次函數(shù)圖象和性質是本題解題的關鍵.

3.(2023?東城區(qū)一模)已知拋物線丫=加-20r(a/0).

(1)求該拋物線的頂點坐標(用含。的式子表示)；

(2)當”>0[1寸，拋物線上有兩點(-1,s),(k,t),若s>f時，直接寫出k的取值

范圍；

(3)若A(，〃-1,>,1),B(.m,y2),C(m+3,y?)都在拋物線上，是否存在實數(shù)，小

使得yi<y3<*W恒成立？若存在，求出根的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)將拋物線y=or2-2or化為頂點式，即可求解；

(2)當〃>0時，結合二次函數(shù)的圖象以及拋物線的對稱性即可求解；

(3)由yi<y2<*W可得拋物線開口向下，根據(jù)拋物線對稱軸為直線x=I,結合圖

象求解.

【解答】解：(1)拋物線y—ax1-2ax=a(x-1)2-a,

二拋物線的頂點坐標為(1,-a)；

(2)當a>0時，如圖，

X的增大而減小,

??,拋物線的頂點坐標為（1，-4），

???拋物線的對稱軸為為直線X=\，

???點（-l,s）關于直線X=1的對稱點為（3,S）,

,點（-1,s），（k,t）,s>tf

：.-\<k<3；

（3）存在實數(shù)相，使得yi-。恒成立，

TyiV*Vy2<-。，拋物線的頂點坐標為（1,-〃），

???拋物線開口向下，

?'aVO,

如圖，當5（〃?，*）,C（〃任3,”）關于拋物線對稱軸對稱時，空生3=1,

解得m=--1,

.,./?!>-2時,-a,

2

當A(m-1,yi),3(加，")關于拋物線對稱軸對稱時，嗎+血=1,

解得m=3,

2

.,.m〈旦時，yi<y2^-a,

2

當A(m-1,yi),C(m+3,”)關于拋物線對稱軸對稱時，m~1+m+3-l,

2

解得〃2=0,

時，yiV*W-〃，

綜上，存在實數(shù)機，使得yiVy3〈y2W-n恒成立，加的取值范圍為-上V〃?<0.

2

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的頂點坐標，二次函數(shù)的圖象以及拋

物線的對稱性，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)與方程及不

等式的關系.

4.(2023?朝陽區(qū)一模)在平面直角坐標系中，拋物線(2m-6)x+\經(jīng)過點

(1,2/77-4).

(1)求1的值；

(2)求拋物線的對稱軸(用含機的式子表示)；

(3)點(-加，yi),(〃?，>2),(/n+2,*)在拋物線上，若"Vy3Wyi,求的取

值范圍.

【分析】(1)代入點(1,2^-4)即可求解；

(2)利用對稱軸公式即可求解；

(3)利用二次函數(shù)的性質即可得出關于機的不等式組，解不等式組即可.

【解答】解：(1)由題意得：。+(2/H-6)+1=2加-4,

解得：a=1；

(2),?Z=1,

.?.產(chǎn)/+(2m-6)x+1,

二拋物線的對稱軸為：直線》=空攵=3-,"；

2X1

(3)當，%>0時，可知點(-%,yi),(zzz,y2),(/n+2,”)從左至右分布，

?.,"〈”Wyi,

°、-m+m+2，

3-rn^-----------

解得1V，%<2；

當mVO時，

A一〃？V-fn+3,

不合題意，

綜上，根的取值范圍是1V〃ZW2.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函

數(shù)的性質是解題的關鍵.

5.(2023?豐臺區(qū)一模)在平面直角坐標系xOy中，點A(-3,yi),B(a+1,*)在拋

物線y=j?-2以+1上.

(1)當。=2時，求拋物線的頂點坐標，并直接寫出yi和”的大小關系；

(2)拋物線經(jīng)過點C(如*).

①當m=4時，若yi=”，則a的值為_

-2―

②若對于任意的4W〃z<6都滿足yi>”>y2,求a的取值范圍.

【分析】(1)由配方法可求出頂點坐標，x=-3時，yi=22,x=3時,”=-2,則可得

出答案；

(2)①由題意得出方程9+6a+l=16-8〃+1,求出。的值即可；

②分兩種情況，當-3Va+lVm時，當-3<加<〃+1時，由二次函數(shù)的性質可得出答

案.

【解答】解：(1)當。=2時，y=7-4x+l=(x-2)2-3,

???拋物線的頂點坐標為(2,-3),

**x=-3時，yi=9+12+1=22,

x=3時，*=9-12+1=-2,

(2)①當加=4時，yi=y3,

???9+6。+1=16-8。+1,

J.a=—,

2

故答案為：—;

2

②..,對于任意的4W/?W6都滿足yi>y3>>2,

...點A,B,C存在如下情況：

情況1,如圖1,當時，<a,

...o+m<、a<nr］，

解得3<<3；

2

情況2,如圖2,當-3<山<〃+l時，m+a+l〈小

2

：.a>m+l,解得a>7,

綜上所述，3<“<3或a>7.

2

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上的點的坐標特點、

二次函數(shù)的增減性，熟練掌握二次函數(shù)圖象上的點的坐標特點及二次函數(shù)的性質是解題

的關鍵.

6.（2023?石景山區(qū)一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線（a>0）的對稱

軸為x=f,兩個不同點（3,加），（/+1,n）在拋物線上.

（1）若"?=小求，的值；

（2）若〃求f的取值范圍.

【分析】（1）由機=〃得，點（3,,〃）與G+1,”）關于對稱軸x=r對稱，由中點坐標

公式求出r的值即可.

（2）分，<0,f=0,r>0結合圖形進行討論，只有f>0時符合題意，當r>0時，根據(jù)

點（3,w）到對稱軸x=z的距離要大于點（什1,ri'）到對稱軸x=z的距離，得到|3-/|

>1,由機<c,得到3<2f,從而得到r的范圍.

【解答】解：（1）；加=〃，

.?.點（3,m）與（Z+1,n）關于對稱軸x=f對稱，

??3?+t+l―一I,

2

；*=4.

（2）①如圖1,當fVO時，當x=3時，m>c,不符合題意.

②當1=0時，c?是最小值，不符合題意.

③如圖2,當，>0時，

tn<c,

：.3<2t,

2

?,?點（3,m）到對稱軸的距離要大于點（什1,〃）到對稱軸冗=，的距離，

當，>3時，r-3>l,

Ar>4,

當f<3時，

綜上得，/的取值范圍為：3<f<2或f>4.

2

~卜3

圖1

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質以及點的坐標特征，掌握數(shù)形結合思想是解題關

鍵.

7.（2023?通州區(qū)一模）在平面直角坐標系xOy中，已知點（-I,〃），（2,/?）在二次

函數(shù)y=-/+云+2的圖象上.

（1）當〃="時，求b的值；

（2）當（2-〃）（〃-p）>0,求b的取值范圍.

【分析】（1）把點（-1,n）,（2,p）代入y=-x1+bx+2中得，n=-\-h+2,p=-

4+2b+2,解方程即可得到結論；（2）把點（-1,〃），（2,p）代入y=-7+云+2中

得，n--\-b+2,p=-4+2b+2,解不等式即可得到結論.

【解答】解：（1）把點（7,〃），（2,p）代入y=-/+6x+2中得，〃=-1-6+2,

p=-4+2》+2,

°：n=p,

A-1-b+2=-4+2H2,

解得b=1；

(2)把點(-1,”)，(2,p)代入y=-j^+bx+2中得，〃=-1-b+2,p=-4+26+2,

(2-n)(〃-p)=(2+1+6-2)(-1-6+2+4-2b-2)=-3廿+3>0,

解得-

故6的取值范圍為-

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確

地求出b的取值范圍是解題的關鍵.

8.(2023?平谷區(qū)一模)在平面直角坐標系xOy中，點(1,yi),(3,”)在拋物線y=

x2-Imx+m2上.

(1)求拋物線的對稱軸用含(機的式子表示)；

(2)若yiV中,求m的取值范圍；

(3)若點(xo,在拋物線上，若存在-1<刈<0,使yi<yo<”成立，求相的取值

范圍.

【分析】(1)利用對稱軸公式求得即可；

(2)由yiV中,得到1-2機+巾2<9-6，*+川，解不等式即可;

(3)由題意可知"，W9-6機+機2,_2m+〃p,解不等式組即可.

【解答】解：(1)；拋物線丫=/-2爾+序，

...拋物線的對稱軸為直線X=WL=W；

2X1

(2),點(1,yi),(3,y2)在拋物線y=/-2蛆+序上，且yi<”,

1-2tn+rn^<9-6m+tn，

(3)?.?點(兀()，>x))在拋物線上，存在-IVxoVO,使yiVyoV”成立，

.l+2m+l-2m+m^

m2：C9-6m+m2

解得

【點評】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次

函數(shù)的性質是解題的關鍵.

9.(2023?門頭溝區(qū)一模)在平面直角坐標系直刀中，拋物線y=o?-2奴+。-4(〃70).

(1)求該拋物線的頂點坐標；

(2)當拋物線丫=加--4(a#0)經(jīng)過點(3,0)時：

①求此時拋物線的表達式；

②點M(n-2,yi),N(2/?+3,”)在拋物線上，且位于對稱軸的兩側，當時,

求〃的取值范圍.

y八

5-

4

3

2

1

??[1??

-5-4-3-2-1012345a

-1

-2

-3

-4

-5

【分析】(1)把(3,0)代入)，=o?-2ox+a-4即可求得；把解析式化成頂點式即可;

(2)①把。=1代入解析式求解即可；

②分兩種情況討論，列出不等式組可求解.

【解答】解：(1)y—ax1-2ax+a-4—a(x-1)2-4,

工拋物線丫二奴2-2or+“-4(a#0)的對稱軸為直線x=l,頂點坐標為(1,-4)；

(2)①?.?拋物線y=a?-2ox+a-4(g0)過(3,0),

.,.9〃-6a+a-4=0,

解得4=1；

此時拋物線的表達式為-2x-3；

②；a=1,

拋物線開口向上，

若點M在對稱軸直線x=l的左側，點N在對稱軸直線x=l的右側時，

n-2V1

由題意可得，2n+3>1，

I-(n-2)>(2n+3)-1

3

若點N在對稱軸直線x=l的左側，點M在對稱軸直線x=l的右側時，

n-2〉1

由題意可得：<2n+3<1，

1-(2n+3)>(n-2)-1

不等式組無解，

綜上所述：-1

3

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質，一元一次不等式

組的應用，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵.

10.(2023?房山區(qū)一模)已知拋物線y=/-2辦+匕經(jīng)過點(1,1).

(1)用含。的式子表示b及拋物線的頂點坐標；

(2)若對于任意都有戶1,求a的取值范圍.

【分析】(1)把點(1,1)代入y=7-2ax+b計算可求得含a的式子表示b的代數(shù)式，

配方成頂點式，即可求解；

(2)由(1)知拋物線的對稱軸為直線x=“，拋物線開口向上，離對稱軸越遠函數(shù)值越

大，則當x=a+2時，代入計算，解不等式即可求解.

【解答】解：⑴?.?拋物線y=f-2ax+b經(jīng)過點(1,1),

.*.1=1-2a+b,

??Z?=2。，

".'y—x1-2ax+b—(x-a)2+2a-a2,

二拋物線的頂點坐標為(a,2a-a2)；

(2)''y=j？-2ax+b=(x-a)~+2a-a2,

.??拋物線的對稱軸為直線x=a,

???拋物線開口向上，離對稱軸越遠函數(shù)值越大，且a-lWxWa+2,

.,當尸。+2時，y最大二(a+2-a)2+2a-a2=4+2a-/4]，

即d-24-320,

???(。-3)(a+1)20,

.?.卜-3>0或卜-3<0,

[a+l)0la+l40

解得或aW-1.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

11.(2023?延慶區(qū)一模)在平面直角坐標系尤。)，中，點A(4,m)在拋物線丁=/-2法+1

上.

(1)當"?=1時，求。的值；

(2)點(M),〃)在拋物線上，若存在OVxoVb,使得加=〃，直接寫出。的取值范圍.

y八

5-

4-

3-

2-

1

-5-4-3-2-1012345x

-1

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解；

(2)構建不等式解決問題即可.

【解答】解：(1)當m=1時，點A的坐標為(4,1),

點A在拋物線y=/-2bx+\上，

J1=42-26X4+1上，

，6=2；

(2)；拋物線的對稱軸x=b,

觀察圖象可知，當x=6>2時，且8=4時，存在O<xo<b,使得機=〃，

；.6>2且b/4.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法，學會構

建不等式解決問題.

12.(2023?大興區(qū)一模)在平面直角坐標系xOy中，點(-2,yi),(2,”)，(3,

在拋物線y=x1-2fx+尸+1上.

(1)拋物線的對稱軸是直線(用含，的式子表示)；

(2)當yi=",求/的值；

(3)點(m,k)(mW3)在拋物線上，若"VyjVyi,求f取值范圍及機的取值范圍.

【分析】(1)利用對稱軸公式即可求解；

(2)根據(jù)拋物線的對稱性即可求解；

(3)利用二次函數(shù)的性質即可得出關于〃?的不等式組，解不等式組即可.

【解答】解：(1);拋物線丫=f-2a+於+1,

，拋物線的對稱軸是直線x=--2t=t；

2X1

(2)?點(-2,yi),(2,*),(3,”)在拋物線y=--2fx+P+l上，且yi=”，

???拋物線的對稱軸為直線x=22=o,

2

.*.Z=0;

(3),?,點(加，”)("W3)在拋物線上,

拋物線對稱軸為直線x=f=三生，

2

V)^2<y3<yi,

/<-2+3<t<2+3t即工<<5,

2222

.「2+3<m+3gp-2<m<2.

222

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次

函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

13.(2023?順義區(qū)一模)已知：拋物線丫=。/-4儀-3(a>0).

(1)求此拋物線與y軸的交點坐標及拋物線的對稱軸；

(2)已知點A(72,yi),S(n+L”)在該拋物線上，且位于對稱軸的同側.若|y2-yi|

W4,求〃的取值范圍.

【分析】(1)當x=0時，求出y的值，即可確定拋物線與)，軸交點坐標，根據(jù)對稱軸公

式尢=上求解即可；

2a

(2)根據(jù)點A(〃，yi),B(〃+1,y2)在該拋物線上，且位