考前必備100條

數學江湖樂逍遙

1.集合瞻前顧后

(I)區(qū)分集合中元素的形式(瞻前)

{x\y=\gx}—函數的定義域;

{y\y=lg^}—函數的值域;

{(N，y)0=lgN}—函數圖象上的點集

\____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________/

如

(1)4={x\y=lgx},B={y\y=lgg},C={{xyy)\y=lgx},AHB=AQC=

(2)設集合M={x\y=x+3},集合N={y\y=x2+l,x6M},則MPlN=

(答：[l,+8))；

(3)設集合U=RyA={x\y=Iog3(c-1)},JB={y\y=2①},(C必)AB=

X

設集合U=RtA={x\y=log3(a;-1)},B={x\y=2},(CuA)PIB=

設集合U=R、A={y\y=log：/。-1)},B={y\y=2"},(。必)C\B=

設集合/={3，g)|g=a'2,0>O},8={3，g)|g=2)},AAB=

《II)注意后面對于元素的各種限制(顧后):

2

U=RyA={x\x>0)},B={x\x—4<0,rr6Z},(Gp4)AB=

U=R,A={xEZ|0<x<3},B={①W《9},AAB=

[III)集合元素求參數范圍:

ClyM={a\y=\g(ax2-x+a)的定義域為/?},求M；

(2)N={a|y=lg(ad-c+a)的值域為7?}。(M=(J,+8)；N=[(),J])

2.小心空集與分式：

（1）條件為AGB,在討論的時候不要遺忘了A=<p的情況。

如：A={x\ax2-2x-1=0},如果AClR+=9,求a的取值范圍。（答：a<0）

（2）分式出現(xiàn)準沒好，一定要提高警惕。切記！

A={（a;,y）=11，B={（x,y）\y=x+3},AnCb'B=

X~T~/J

3.補集思想

處集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。

如：（1）已知函數/3）=4/-28一2位一2332-2+1在區(qū)間［一1,1］上至少存在一個實數以使/化）>0,求

實數p的取值范圍。（答：（一3,★））

每天一刻鐘，數學點點通■1?

(2)已知集合A={x|—1<x<O},B={x\ax+fe-2T—K0,0<a<2,0<b<3},

則AnB#p的概率為(答：■)

4.子集個數公式

AUBo若多64則cCB；稱/為B的子集,注意真子集的意義

含幾個元素的集食的工集念數為2"，

真子集個數為2n—1,

非空真子集個數為2"—2；

如：

⑴滿足{1,2}{1,2,3,4,5}集合M有個。(答：7)

(2)滿足{1,2}：M={1,2,345}集合“有個

⑶滿足{1,2}UMU{1,2,3,4,5}集合M■有個

(4)從集合A={aba2,a3,—,a?}到集合B={瓦也也，…，鼠}的映射有m"個。

(5)集合4={(2,？)|子+卷=1},B={(x,y)\y-'ix},AClB的非空子集個數為個

備忘錄：

AC\B—{x\xEAxEB}?,B—{x|rc€A或:rC3}

Cl;A={x\xeU但c€A}；CV(AC3)=CVAUCVB-.C^AUB)=CVAClCbB-,

An3=AoAU3=3=GHoACC“B=0oCl;AU8=U

5.命題

①原命題：p=q；②逆命題：qnp；③否命題：10=rq；④逆否命題：rq=>rp；

互為逆查的陽渝題是笠仇政"

注意命題p=q的否定與它的否命題的區(qū)別：

①命題p=q的否定是p=rq；②否命題是~ipnrq；

③命題“p或q”的否定是“1P且1Q”;④“p且q”的否定是“1P或1Q”一

如“若a和b都是偶數，則a+b是偶數”的否命題是“若a和b不都是偶數，則a+b是奇數”:否定是“若a和b

都是偶數，則a+b是奇數”。

6.充要條件：

①充性送p=q冽0是q充分彖q=p例p是g

③充要條件澇p=q餌Q=>p冽p是q充要條件-④若P=>g且g片>P；則P是q的充分非必要條件

(或°是P的必要非充分條件)

如:“sina豐sin0”是“a豐0”的條件。(答:充分非必要條件)

7.解不等式：

(!),二元三次丕笠式aa?+bx+c>0(或V0)：

?2?

若a>(),則對于解集不是全集或空集時,

對應的解集為“大兩邊，小中間”。

①普>o=gg㈤>0；②怒<E3)-g3)V。；

/(x)-g(x)^0f(x)了㈤?9(工)40

③^M>0o。㈤*。:④初<°=

9(立)g(c)豐o

(3)絕對值不等式:

①幾何法(圖像法)②定義法(零點分段法);③兩邊平方;

④公式法：1/3)1>g(z)Q1/3)1<g(c)=___。

⑤含有絕對值的不等式：

當a>0時，有|z|<aQx2<a2^—a<x<a；

㈤>ao/〉/=劣>a或：rV—a。

如：當工1<g,(z—為)(①一鈾)V0<=>Zi<cV叫；(7一刈)(c—電)>0=z>G或7V4卜

(4)高次不等式:

通分因式分解后用根軸法(穿線法)注意奇穿偶不穿。

(5)指對不等式:

/(^)>0

①當a>1時>a"&)o/(c)>g｛x)；loga/(x)>loga5(x)<=>g(c)>o；

/㈤>g3)

f/(x)>0

②當0VaV1時,a/?>a!,(x]今f(z)<g(x)；log?/(x)>log“g(a;)<=><g(x)>0

[flx)<g(x)

如

(1)解不等式Q+3)Q—+2)2>0o(答：｛劍c>1或tW—3或t=-2｝)；

⑵解不等式￡>/(aeH)

(答:a=0時，㈤/V0｝；a>0時，｛2也>十或a;V0｝；aV0時，｛:r!1Vo;Vo｝或a;VO｝)

a

8.復數的概念⑴相笠復數：a+bi-c+di<^a-c,b-d\a,b,c,dER)；

⑵MMz=a+妨的摸:\z\=\a+bi\^Va-+b'2.

(3)共枷復數；

當兩個復數的實部相等,虛部互為相反數時，這兩個復數互為共輒復數.如a+杭與a-bi(a,b€H)互

為共輒復數；

(4)對虛數單位i,有i“"+i=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4n=1；

1o(s-1)(〃+。+1)=0qs=1或s=-■!■士字i.

(6)復平面上的兩點間的距離公式t

d=\zx-z2|="(，一的尸+(例一%)2(zi=x}+%i,Z2=x-2+仇i)；

9.復數的運算：

(1)復數的乘法的運復建:對于任何Zi，Z2，Z3d。，有

每天一刻鐘，數學點點通-3-

①交換律：Z1?&=g?為；

②結合律：⑵?&)?z3=z}?(z2?馬)；

③分配律：21?(出+勿)=21?芻+21?23o

(2)復數的四則運算法虬

①(a+bi)+(c+di)=(Q+c)+(b+d)i；

②(Q+bi)—(c+di)=(Q—c)+(b—d)i；

③(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i；

④(a+bi)4-(c+di)=+"+年~萼i(c+d￡W0)

c+ac+d

10.指數式、對數式：

(1)a^=y/a^fa一"=(以上a>0,772,九GN*,且九>1)。

a亓

a0=1,logal=0,logaa=1,lg2+lg5=1,loge^=In。，

6

(2)a=7V?\ogaN=b(a>0,QWLN>0)；

(3)lo葭MN)=logJW+logaM

(4)log0普=logJW-lo&N；

n

(5)loga^=^-loga6；

(6)對數恒等式:4°&w=N；

(7)對數的換底公式：log“N=署?。

(8)化簡與比較大小

如仁廣的值為(答:言)

比較大小x=ln2,y=log=3,z=log>5

n.二次函數：

①開口方向,討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關系；如：

若函數y=一2H+4的定義域、值域都是閉區(qū)間［2,2b］,則仁(答：2)

②實根分布:畫圖再研究△>0、軸與區(qū)間關系、區(qū)間端點函數值符號；

12.線性分式的前世今生

⑴對稱中心:反比例函數：方家丑。)平移ny=a+Uy(中心為(b,a))

⑵單調性

(3)值域

13.對勾函數

14.單調性：

(I)定義法：設0、/2￡NiWg,那么

(為一—/(g)］>0。勺)-儼>00/(,)在［a4［上是增函數;

31—t2)［/(0)-/32)］<00/(以_」<0。/㈤在［a,b］上是減函數。

Xj—色3

?4?

(II)導數法:設函數y=/Q)在某個區(qū)間內可導，

如果，Q)>0,則/(X)為增函數;如果/'(Z)W0,則/(c)為減函數。

如：已知函數/(⑼=/-a/在區(qū)間[1,+8)上是增函數，則a的取值范圍是(答：(-8,3])；

注意：

(1)y3)>0能推出/(⑼為增函數,但反之不一定.

如函數/(立)=43在(-8,+8)上單調遞增，但/(多)>0,

.?J'3)>o是/Q)為增函數的充分不必要條件。

(2)函數單調性與奇偶性的逆用了嗎？

(①比較大小;②解不等式;③求參數范圍).

如已知奇函數/Q)是定義在(-2,2)上的減函數，若/(m—1)+/(2m—1)>0,求實數m的取值范圍。(答:

-y1<1m<1y2)、

(3)復合函數由同增異減判定：

(4)圖像判定；

(5)作用：比大小，解證不等式。

如函數J=log式-i+2c)的單調遞增區(qū)間是(答：(L2))。

2

(6)單調區(qū)間之間不能用符號“U,或”

15.奇偶性：

(1)定義：f(G是偶函數0/(-⑼=f(x)=/(㈤)；/(⑼是奇函數?/(-X)=一/3)；定義域含零的奇函數過

原點(/(0)=0)；定義域關于原點對稱是為奇函數或偶函數的必要而不充分的條件。

(2)奇偶函數的圖象特征：

奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于V軸對稱；

反過來，如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數;如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那

么這個函數是偶函數.

⑶多項式函數尸(rr)=a,o"+冊_任"7.|■…+a()的奇偶性：

P(x)是奇函數oP(x)的偶次項(即奇數項)的系數全為零；P(x)是偶函數QPQ)的奇次項(即偶數

項)的系數全為零。

(4)常見奇偶函數認領

ax+11a:+1,b

7r'9=1。&門'9=。"+三

n

y=x9y=sina;y=COST

f(x)=ax+L,/(1)=ax—d~x

X2+XQVO)

/㈤=N—Lf(c)=

八,|c+3|-3八,—x2+x(T>0)

f(x)=lg(x+Vx2+l),f(x)=ln(Vta2+1±3x)

/(a?)=|x+2|+|x-2|；

(5)任意定義在A上函數fQ)都可以唯一地表示成一個奇函數與一個偶函數的和。

即/(必)=9(0；)+713)

f(x)+f(-x)

其中g3)=是偶函數，”2)=是奇函數

22

(6)抽象函數速判奇偶性一一三板斧。

每天一刻鐘，數學點點通?5?

若te五，/(⑼滿足/(c+g)=/3)+/(9),則/3)的奇偶性是(奇)；

若2e兄/(⑼滿足/(3/)=f(￡)+f(y)，則/(⑼的奇偶性是(偶)；

練習：

〃？>0

\“八,/(3a—1)>8f(a),則a的取值范圍

{-x,x<0

16.周期性：

由周期函數的定義“函數f(c)滿足/3)=/(a+M(a>0)Mi］/Q)是周期為a的周期函數”得:

⑴函數/㈤滿足一/㈤=/(a+z),則/㈤是周期為2a的周期函數；

(2)若/(c+a)=J,；)(a7^0,f(x)*0)恒成立，則T—2a；

(3)7rf(x+a)=—/1)(a片0,/(⑼r0)恒成立，則T=2a。

(4)9+"㈤-產㈤=心+。)(加)e[0,1])恒成立，則T=2a。

(5)f(rc)=1--771r(/(a:)W0)恒成立，則T=3a。

f[x+a)

(6)f(x+a)=f(x)—f(x+a),則T=6a。

/(電)+/(g)

(7)f(xt+x2)-且/(a)=l(y(xt)*/(x2)1>0<|x]—x2|<2a)，則T=4a。

如:①設/(x)是(-8,+8)上的奇函數,f(x+2)=—/Q),

當0&c41時，/(re)=°,則/(47.5)等于(答：—0.5)；

②定義在R上的偶函數/Q)滿足/(c+2)=/Q),且在［-3,—2］上是減函數，若a,6是銳角三角形的兩

個內角，則/(sina)J(cos0)的大小關系為(答：/(sina)>/(cos^))；

類比“三角函數圖像”得：

(1)若y=f(力圖像有兩條對稱軸*=a,*=b(aWb),

則n=f(G必是周期函數，且一周期為T=21a-b\；

(2)若夕=f?圖像有兩個對稱中心A(a,0),B(b,0)(aWb),

則y=/Q)是周期函數，且一周期為T=2|a-b\；

(3)如果函數9=/(c)的圖像有一個對稱中心A(a,0)和一條對稱軸;r=b(a#b),則函數y=/(t)必是

周期函數，且一周期為T=4|a—b|；

如：已知定義在R上的函數/(/)是以2為周期的奇函數,則方程/(力)=0在［—2,2］上至少有

個實數根(答：5)。

17.常見的圖象變換：

ULSMy=f(x+a)y=f(x)工Mte(a>o)(a<0)3EMa

如：

①耍得到y(tǒng)=lg(3-0的圖像，只需作y=Igx關于一軸對稱的圖像，再向—平移3個單位而得到(答：

-6-

U；右)；

②函數/(無)=x?lg(o;+2)-1的圖象與*軸的交點個數有___個(答：2)。

y=f(x)土a^/(⑹yMlaLt(a>0)^laEE(a<o)3E&a

Ma1

如：

將函數y=+a的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位，

所得圖象如果與原圖象關于直線y=c對稱，那么

(A)a=-1,6￥0(B)a=-1,6ER(C)a=l,bW0(O)a=0,b￡R(答:C)

f3j^y=f(aX)(a>0)敢圖球把&數y=/Q)的ffl氮曲期蜿為原轆I5獴到M

如：

①將函數U=/(⑸的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼目v坐標不變)，再將此圖像沿2軸方向向左平

移2個單位，所得圖像對應的函數為(答：/(3c+6))；

②如若函數沙=/(2L1)是偶函數，則函數沙=/(2劣)的對稱軸方程是(答：2=一/).

y=af(x)(a>0)n=f(力Va

18.對稱：

(I)點、曲線的對稱性:

⑴點Q,y)關于y軸的對稱點為(一⑨5；函數y=/3)關于沙軸的對稱曲線方程為y=f(-x)；

(2)點(2,9)關于工軸的對稱點為(x,-y)；函數y=f(x)關于①軸的對稱曲線方程為y=一/3);

(3)點(⑨沙)關于原點的對稱點為(一心一切；函數沙=/(工)關于原點的對稱曲線方程為y=-/(-x)；

(4)點(為夕)關于直線y—+x+a的對稱點(土(y—a),±3；+a)；

曲線/(⑨妨=0關于直線y=±x+a的對稱曲線的方程為了(土(y-a),+x+a)=0。

特別地,點3，9)關于直線y—x的對稱點為(g,c)；

曲線/(⑨5=0關于直線9=工的對稱曲線的方程/("述)=0；

點(c,夕)關于直線y——x的對稱點為(一夕,一C)；

曲線/(應妨=0關于直線9=-x的對稱曲線的方程為了(一夕,一①)=0。

如己知函數/(⑼=或二：；,(cW等)，若夕=心+1)的圖像是G，它關于直線V=H對稱圖像是GG

關于原點對稱的圖像為G,則。3對應的函數解析式是—(答：U=一焉普)；

(5)曲線/Q,妨=0關于點(a,6)的對稱曲線的方/(2a-x,2b-y)=0

如若函數g=%2+/與y=g(^x)的圖象關于點(—2,3)對稱，則g[x)=____(答：-"—7x—6)

⑹形如夕=巖普(c#0,ad#兒)的圖像是雙曲線,對稱中心是點(一(■,￡■)。

如已知函數圖象C與C-.y(x+a+1)=ac+<?+1關于直線y=x對稱，且圖象。'關于點(2,-3)對

稱，則a的值為(答：2)

(7)|/(宓)|的圖象先保留/(⑼原來在立軸上方的圖象，作出宓軸下方的圖象關于/軸的對稱圖形，然后擦

去。軸下方的圖象得到；

/(㈤)的圖象先保留/Q)在y軸右方的圖象，擦去U軸左方的圖象，然后作出沙軸右方的圖象關于y軸的

對稱圖形得到。

每天一刻鐘，數學點點通-7-

如①作出函數U=|log2(6+1)1及9=log2|t+1|的圖象；

②若函數/(')是定義在R上的奇函數，則函數尸(0=|/(x)|+/(H)的圖象關于對稱(答：。軸)

(1)函數圖像本身的對稱姓:.

(1)y=/(①)的圖象關于直線①=a對稱

o/(a+x)-f(a-x)of(2a-x)=f(x)；

(2)y=/(⑹的圖象關于直線c=a對稱。

/(a+。)=f(b-Go/(a+b-①)-f(x):

如已知二次函數f(c)=ax2+bx(a*0)滿足條件/(5-x)=f(x-3)且方程f(2)=x有等根,則/(x)=—

_(答:-"yX2+X)；

(3)y=/3)的圖象關于點(a,0)對稱<=>/3)=-/(2a-x)O/(Q+/)+f(a-x)=0；

(4)y=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱

o/Q)=2b—f(2a—x)Q/(a+x)+/(a—c)=2b；

(I!!)您函數圖像的對稱工

(1)函數9=/3)與函數9=/(一/)的圖象關于直線2=0(即u軸)對稱；

(2)函數y=/(/—a)與函數g=/(a—2)的圖象關于直線2=a對稱；

⑶函數J=/Q)的圖象關于直線①=a對稱的解析式為y=/(2a-⑼；

(4)函數沙=/(劣)的圖象關于點(a,0)對稱的解析式為夕=-/(2a-2)；

⑸函數y=/(c)和函數9=尸(⑼的圖象關于直線U=c對稱。

b-a

(6)兩函數沙=/(。+⑦)與y=/(b—2)圖像關于直線對稱。

2

但若/(a-x)=f(b+x),則/(re)圖像關于直線x=""對稱;

提醒:證明函數圖像的對稱性,即證明圖像上任一點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;如：已知

函數/3)=e滅)。求證：函數/Q)的圖像關于點M(a,-1)成中心對稱圖形。

19.幾類常見的抽象函數：

(1)正比例函數型：

于(G=kx[k#0)------f{x±y)=f(x)±于(y),/(0)=0,/(l)=c；

(2)基函數型：

f(G=xa------f(xy)=f(x)f(y)"信)=光^，「⑴=&；

(3)指數函數型:

/3)=ax------f(x+9)=，f(x-y}=>/(!)=a(a片0)；

(4)對數函數型:

/3)=lo&Q------f(xy)=/(2)+f(y)式力一，(力，且/(?)=l(a>0,aW1)；

(5)三角函數型：

①/㈤=cosc,g(x)=sine,f(x-y)=f(初(9)+gQ)g(y)

②/㈤=tanx/Cx+妨=￡(:湍。

如已知/Q)是定義在A上的奇函數，且為周期函數,若它的最小正周期為T,則/(-千)=—(答：0)

?8?

20.求解析式

（1）待定系數法一一已知所求函數的類型

如：已知/3）為二次函數，且/（Z—2）=/（-①一2）,且/（0）=1,圖象在多軸上截得的線段長為2，,求/3）

的解析式。（答"（6）=■+2*+1）

（2）代換（配湊）法一一已知形如/（g（t））的表達式，求/（⑼的表達式。如：

①已知/（l-cosx）=sin2x,求/（i）的解析式（答：/（立2）=—"+2/2,3；e［―V2,V2］）：

②若爾一工）=/+9則函數加一1）=（答：*2-2立+3）；

③若函數/3）是定義在滅上的奇函數，且當/G（0,+8）時，/（x）=X（1+9）,那么當4e（-OO.0）時，/（。）

=（答：一盟））。

（3）方程的思想一一對已知等式進行賦值,從而得到關于/（2）及另外一個函數的方程組。

如:①已知/（⑼+2/（—x）=3劣-2,求/㈤的解析式（答：/（2）=—3a;--1-）；

②己知/（X）是奇函數，gQ）是偶函數，且/（⑼+g（0=—p則/3）=一（答：年?。?。

21.求定義域：

（1）使函數解析式有意義（如:分母？偶次根式被開方數？對數真數？底數？零指數幕的底數？）；

（2）實際問題有意義；

（3）若丹g（z）］定義域為［a,b］,則/（c）定義域相當于①6［a,b］時g（H）的值域;如：

①若函數y=/3）的定義域為侏2］,則f（\og2x）的定義域為（答：｛引方<x<4｝）；

②若函數/（/+1）的定義域為［—2,1）,則函數/（2）的定義域為（答：［1,5］）。

22.求值域：

（1）配方法:如:求函數y=/—22+5,26［-1,2］的值域（答：［4,8］）；

（2）逆求法:如：,=4^（答：（0,1））；

1IJ

（3）換元法：

如:①V=2sin2：r-3cosc—1的值域為（答：［一幺4］）；

②U=+1+的值域為（答：［3,+8））（注意新元方范圍）；

（4）三角有界法:轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域;如：夕=學嗎g的值域

1+cos3

（答:（―8號］）；

（5）不等式法一一利用基本不等式a+b>2Vab（a,bGR+）求函數的最值。如設立,為42，U成等差數列，

力,仇,兒,3成等比數列，則（。廣的）的取值范圍是（答：（-8,0］U［4,+8））。

（6）單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。如求j=/一▲（1V2V9）,y=sin2a:+

X

每天一刻鐘，數學點點通-9-

不言石，9=2d-log3（5—t）的值域為（答：（0,空）、［2,9］、［0,+8））；

（7）數形結合:根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。如①已知點P（c,妨在圓/+婚=1

上，求一及9一2劣的取值范圍（答：［一?^^?，-^^］、［―；

XI乙LJJ」

②求函數y=—2）2+JQ+8尸的值域（答:［10,+oo））;

（8）判別式法:

如①求V=屋笆的值域（答：【一/，；

②求函數沙=,煞,：的值域（答：［0,y］）

如求沙=攵2或尹的值域（答:（一8,-3］U口,+8））。

（9）導數法;如：

求函數/3）=2爐+4。2-4（比，土底［―3,3］的最小值。（答：—48）。

①片：士景力丘［-1,1］）

②?=叁尹^,土€（-8,0）；

③，二37'‘,土正（-8,o）

23.常見函數的導數：

函數y=/（H）在點而處的導數的幾何意義：函數？=/（①）在點的處的導數是曲線！/=/（⑼在P（附,/（電）））處

的切線的斜率/'（&），相應的切線方程是y-坊=/'（3）（2-3）

⑴過某點的切線不一定只有一條；

如：己知函數/（⑼=/_36過點P（2,—6）作曲線y=f（x）的切線，求此切線的方程（答：+9=0或

24a;-?/-54=0）,

⑵研究單調性步驟:分析沙=/3）定義域;求導數;解不等式尸3）得增區(qū)間；解不等式產（。）wo得減區(qū)

間;注意?3）=0的點；

如:設a>0函數/（0=/—如在［1,+8）上單調函數,則實數a的取值范圍（答：0Va&3）；

⑶求極值、最值步驟：求導數;求/'廿）=0的根;檢驗尸（⑹在根左右兩側符號，若左正右負，則/（7）在該根處

取極大值;若左負右正，則/Q）在該根處取極小值;把極值與區(qū)間端點函數值比較,最大的為最大值,最小的

是最小值.

如:①函數y=2/-3/-12。+5在［0,3］上的最大值、最小值分別是―（答：5；-15）；

②己知函數/（劣）=x3+bx2+cc+d在區(qū)間［-1,2］上是減函數，那么b+c有最值答：大，

③方程/一6a?+9立-10=0的實根的個數為_（答:1）

特別提醒

■10?

(I)*0是極值點的充要條件是g點兩側導數異號，而不僅是r(g)=0,/(3)=0是g為極值點的必要

而不充分條件。

(II)給出函數極大(小)值的條件，一定要既考慮r3。)=o,又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉

化,否則條件沒有用完，這一點一定要切記！

如：函數/(⑼=x3+ax2+bx+o?在a;=1處有極小值10,則a+b值為(-7)

(HI)導數與函數的單調性的關系：

(1)rQ)>0與，(⑼為增函數的關系：/'(4)>0能推出/(0為增函數，但反之不一定。如函數f(z)="在(

-8,+8)上單調遞增，但f\x)>0,.?J'3)>0是f(z)為增函數的充分不必要條件。

(2)廣3)>0與/Q)為增函數的關系：f(x)為增函數,一定可以推出/'(c)>o,但反之不一定，因為/'(⑹>

o,即為/(c)>0或(3)=0。當函數在某個區(qū)間內恒有/'(⑼=o,則/Q)為常數，函數不具有單調性。

(。)>0是/(工)為增函數的必要不充分條件。

24.定積分：

Q)生頓-來布尼茲公式:設f他)是區(qū)間必向上的連續(xù)函數，F(xiàn)(x)是函數/(⑼在區(qū)間[a,b]上的任一原函

數，即方3)=/(%),則:[f[x]dx=F(6)—F(a)

Ja

注意化簡的應用/sin有cos有

JoZZ

/A/4—x2dx

Jo

rV2______

/V4—2x2dx

Jo

(3)奇偶性求值的應用

①若/(力)是奇函數，則[/3)di=0(aW0)。如：匕R*----d%=0；

J-aJ~~20十COS2?

7T

②若/(⑼是偶函數，則/f(x)dx=2[/Q)dz(QW0)。如:if

1rcosxdx=2cosa;da;=2sin/2=2；

J-aJO-2JO0

備忘錄

Q)韭常亦加二

①C'=0(C為常數)，②[xny=nxn~x(nGQ),③(sinx)"=cosx,

x

④(cos?)'=—sine⑤(lnc)'=L,(10goM'=工10隨6，⑥9，)'=6工，(a\=(flna.

XX

(2)可導函數四則運算的求導法則；

uvUV

①(〃±。)'=±",②(tw)'=u'。+uv',{Cu)'-Cv!?=2(v/0)。

(3)復合函數的求導法則：點雙⑹)=/'(")“3)。

(4)

①/。"d*=^-1；=黑-黑(neR,n^-l)；②/?de=ln|c||：=ln|b|-ln|a|;

③Lsinxdx=(一cosa;),=cosy?—cosa；④/cosxdx=sine,=sin￡—sina；

每天一刻鐘，數學點點通?11?

⑤/%'d計備一懸：⑥

25.點線面位置和符號:注意語言的轉化

①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法

②直線與平面:a//a>aAa=X（a（Za）>aCa

③平面與平面以〃S、an￡=a

a//ba_L￡]

〃a〃6

常用定理:①線面平行bu。=a〃a；"0=Q〃a；a_L￡}oa〃a；

aU￡

aQa.a（tct）

a//a\a〃￡

..,a.La〃LQ〃b

②線線平行:aU0：=Q〃b；心I=a〃b；aCl/=ana〃b；a//cnc〃b；

aA^=b]b,La

6n7=，

aUa,bUa

aA.a

③面面平行:aClb=O>=a〃0;=Q〃7；

Q_L￡

a〃0,b〃8

PO±a

④線線垂直:=>a_Lb；所成角90°；aUa>naJ_PA；

bUa

a±AO^

aUa,bUaa±13

aHB\.a//b

⑤線面垂直:?！?=01=2_La；aC\=1oo=b_La；

na"a，『"aJ_a

l_Lafl-LbjaCa,a_LI,

⑥面面垂直:二面角90°；a%,a〃6

"6D；J=>a_L￡；

a,La

26.求空間角：

（1）范圍：ee（0,母；⑵求法:平移以及補形法、向量法。

如:①正四棱錐P-ABCD的所有棱長相等，E是PO的中點,那么異面直線BE與PA所成的角的余弦值

等于—（答：雷）；

②在正方體AC,中，M■是側棱OA的中點，O是底面ABCD的中心，P是棱A}B}上的一點，則OP與AM

所成的角的大小為—（答：90°）；（11）直線和平面所成的角;

（1）范圍：［0°,901；

（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。

（3）求法:作垂線找射影或求點線距離（向量法）；

如:正方體ABCD-4BQQ］中，E、R分別是AB、的中點，則棱45與截面4ECF所成的角的余

弦值是（答：［）;

（ni）二面仁面角的求法:定義法、三垂線法、垂面法、面積射影法：s射=$原"。5氏即面積射影定理:s

=蓋）（平面多邊形及其射影的面積分別是s、s',所在平面所成銳二面角的為。）、轉化為法向量夾角。

如:正方體ABCD-ABC。中,二面角B-A.C-A的大小為（答：60°）

MBaMOS&i.

ABI

sin0=|cos（AB,m）|=，其中洗為平面a的法向量。

\AB\?\m\

?12?

關.我關.完

cosff=卜os（病，亢）|,故夕=arccos或夕=兀一arccos其中抗、亢為平面a、￡的法向量。

|利?|n|威卜同

27.平行六面體T直平行六面體-長方體T正四棱柱T正方體間聯(lián)系

三棱錐中:側棱長相等（側棱與底面所成角相等）=頂點在底面射影為底面外心;側棱兩兩垂直（兩對對棱

垂直）O頂點在底面射影為底面垂心;斜高相等（側面與底面所成相等）=頂點在底面射影為底面內心；正

棱錐各側面與底面所成角相等為9,則S^cosO=S底;

正三角形四心？

內切外接圓半徑？

28.空間距離：

①異面直線間距離:找公垂線；

②平行線與面間距離（兩平行面間距離）一點到面題離:直接法、等體積、轉移法、垂面法、向量法4=

PA-n

③點到線距離:用三垂線定理作垂線后再求；

空間兩點間的.距離公式;.若A（Zl，%,Zi）B32，g2,Z2）,則

dA.B-J（g—a：i）2+（二一%）2+（Z2—Z1）2.

點且妣面a的跟隨：d=另為平面a的法向量，A3是面a的一條斜線，力Ca。

29、求球面兩點4、B距離

①求\AB\

②算球心角N4O3弧度數

③用公式力球而距離=。球心角x7?；緯線半徑r—J?cos緯度。

S球=4元%*=言兀/?'；

常用轉化思想:①構造四邊形、三角形把問題化為平面問題②將空間圖展開為平面圖③割

補法④等體積轉化⑤線線平行O線面平行Q面面平行⑥線線垂直O(jiān)線面垂直O(jiān)面面垂

直⑦有中點等特殊點線.用“中位線、重心”轉化。

30.傾斜角aC[0,兀），a=90。斜率不存在；

MMk=tana=，其中E（刈,%）、2（如紡）；

直線的方向向量方=（a,b）,則直線的斜率為k=5（aW0）。

直線專程:點斜式：“一%=KQ-?）（直線I過點R3i，%），且斜率為k）；

斜截式：y^kx+b（b為直線I在y軸上的截距）：

一般式：Ax+By+。=0（其中A、B不同時為0）；

兩點式：匕R（RQ1,%）、烏（色,他）◎豐x2,功’3）；

截距式：5■+卷=1（其中a、b分別為直線在z軸、y軸上的截距，且a片0,bW0）；求直線方程時要防止由于

零截距和無斜率造成丟解。

每天一刻鐘，數學點點通?13?

31.兩直線平行和垂直

①若斜率存在l1.y=kxx+bitli-y—k2H+昆則l\H120kllfc2,6i豐b2；

_L，2卜區(qū)2~—1；

②若l}：A}x+B、y+G=0,li.A,x+B>y+G=0,則I、_L1)oAyA>+B}B>=0，

③若A、A?、耳、星都不為零/"/"o等"—蟄'w裳"；

④?！āt化為同區(qū)9系數后距離d=IG-GI

^/A2+B2

|Aa:()+B?4)+C|

32.點線距d=

VA2+S2

33.圓的方程:

①標準方程：(x-a)2+(i)2=產；

②一般方程：/+娟+De+E“+F=0(。2+E--4F>0)

(x=a+rcos0

③參數方程:

[y=b-\-rsinO

④直徑式方程(x-Xi)(x-x2)+(g—劭)(沙一例)=0(A(g,gJ、B(g,g2)圓的直徑的端點)。

34.圓中有關重要結論：

⑴若P(X0,為)是圓/2+才=r2上的點，則過點P(x0,為)的切線方程為XX0+7/T/o—〃；

(2)若P(*o,統(tǒng))是圓(a;—a)2+(g—b)2=72上的點，則過點p(的,防)的切線方程為(%—a)(x—a)+

(為一b)("一》=〃。

⑶若P(*o,統(tǒng))是圓/+才=72外一點，由p(g,如)向圓引兩條切線，切點分別為4B,則直線4B的方

程為,為=72。

(4)若P(Xo，n°)是圓3-a)2+(y-b)2=/2外一點，由P(g,仇)向圓引兩條切線,切點分別為43,則

直線AB