第三章圓錐曲線及其標準方程3.2.1雙曲線及其標準方程問題情境雙曲線是具有廣泛應用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定定位等都要用到雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)我們將類比橢圓研究方法研究雙曲線的有關問題?；仡櫯f知

焦點在x軸：焦點在y軸：其中，a>b>0，且a2=b2+c21.橢圓的定義2.橢圓的標準方程問題1：

如果把橢圓定義中“距離的和”改為“距離的差”那么動點的軌跡會發(fā)生怎樣的變化？新知探究探究1：如圖，在直線l上取兩個定點A、B,P是直線l上的動點，在平面內(nèi)，取定點F1、F2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.

橢圓（1）當點P在線段AB上運動時，如果|F1F2|>|AB|，兩圓不相交，不存在交點軌跡;（2）如果|F1F2|<|AB|，那么兩圓相交，其交點M的軌跡是

.新知探究改變條件：如圖，當點P在線段AB外運動時，在|F1F2|>|AB|的條件下，這時動點M滿足什么幾何條件?兩圓的交點M的軌跡是什么形狀?新知探究當點M靠近定點F1時，|MF2|-|MF1|=|AB|當點M靠近定點F2時，|MF1|-|MF2|=|AB|;總之，點M與兩個定點F1,F2距離的差的絕對值|AB|是個常數(shù)(|AB|<|F1F2|).這時，點M的軌跡是不同于橢圓的曲線，它分左右兩支.||MF1|-|MF2||=|AB|，雙曲線

概念生成

平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.2.雙曲線的定義

這兩個定點叫做雙曲線的焦點，

兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距=2c，

焦距的一半稱為半焦距.MF1F2||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)概念辨析（1）如果定義中去掉“絕對值”三個字會有什么影響？思考：（3）如果把定義中的“非零常數(shù)”（小于|F1F2|）變?yōu)橄铝星闆r，軌跡是什么？①2a=|F1F2|：②2a>|F1F2|:兩條射線不表示任何軌跡F1F2如果不加絕對值，那得到的軌跡只是雙曲線的一支.（2）定義中為什么強調(diào)距離差的絕對值為非零常數(shù)？如果等于0，點M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線新知探究探究2：類比求橢圓標準方程的推導過程，我們?nèi)绾谓⑦m當?shù)淖鴺讼?，得出雙曲線的方程?

建系：取經(jīng)過兩焦點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系Oxy.

設點：設M(x，y)是雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為2c(c>0)，那么，焦點F1、F2的坐標分別是(-c，0),(c，0).

列式：設||MF1|-|MF2||=2a(a為大于0的常數(shù))，則MF1F2Oyx新知探究a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)思考：你能在y軸上找一點B，使得|OB|=b嗎?MF1F2Oyx新知探究3.雙曲線的標準方程焦點在x軸上：?焦點坐標：焦點在y軸上：F1(-c,0)、F2(c,0)a,b,c關系：c2=a2+b2F1(0,-c)、F2(0,c)MF1F2OyxOF2F1yxM新知探究問題：雙曲線標準方程從形式上看有什么的特征？①方程用“－”號連接，左邊是兩個分式的平方差，右邊是1；②分母是a2,b2,且a>0,b>0，但a,b大小不定；③

如果

x2的系數(shù)是正的，則焦點在x軸上；

如果

y2的系數(shù)是正的，則焦點在y軸上.記憶口訣：化成標準式，焦點跟著正項走根據(jù)上述討論，判斷下列方程是否是雙曲線，焦點位置在哪個軸上？典例講解例1已知方程

表示雙曲線，求m的取值范圍.典例講解例2已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(-5,0)、F2(5,0)，雙曲線上一點P與F1、F2的距離差的絕對值等于6,求雙曲線的標準方程.方法歸納(1)求雙曲線標準方程的步驟：

①定位:確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下,確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定方程的形式.

②定量:確定a2、b2的值，常由條件列方程組求解.(2)雙曲線標準方程的兩種求法：

①定義法:根據(jù)雙曲線的定義得到相應的a、b、c,再寫出雙曲線的標準方程.

②待定系數(shù)法:先設出雙曲線的標準方程，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù),代人方程即可.若焦點位置不確定,可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解.課堂小結(jié)橢圓雙曲線定義圖形方程焦點a、b、c的關系位置(±c,0)(±c,0)a>0，b>0，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2(0,±c)(0,±c)xF2F1OyyF2F1Ox