三、考點(diǎn)縱橫一一6大常考考點(diǎn)之神思妙解

?？键c(diǎn)1最值問題的5大解法

方法1函數(shù)法

（1）利用已知函數(shù)性質(zhì)求最值

根據(jù)已知函數(shù)解析式,直接利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性等）是函數(shù)法的主要類型之一.

典例1函數(shù)y=cos2x+2cosx的最小值是.

思路點(diǎn)撥利用余弦倍角公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.

3

答案工

解析y=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx-l

I1\23

cosx+--

=212）-2,

13

當(dāng)且僅當(dāng)cosx=-2時(shí)，函數(shù)取得最小值-2.

（2）構(gòu)建函數(shù)模型求最值

很多最值問題需要先建立函數(shù)模型,然后使用函數(shù)性質(zhì)求解.建立函數(shù)模型的關(guān)鍵是找到一個(gè)變量，

利用該變量表示求解目標(biāo),變量可以是實(shí)數(shù),也可以是一個(gè)角度（如果使用弧度制實(shí)際上也可以看作一個(gè)

實(shí)數(shù)），還可以是一個(gè)變量不等式等,建立函數(shù)模型需要注意建立的函數(shù)模型的定義域.

3L

-BCII

典例2在4ABC中，點(diǎn)D滿足BD=4，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)時(shí)，若AE=AAB+口AC,則

土=（入-1）2+口2的最小值是（）

A.10B.4C.10D.8

思路點(diǎn)撥根據(jù)點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng),利用共線向量定理設(shè)出變量X,建立求解目標(biāo)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

系后利用函數(shù)性質(zhì)求解.

答案C

解析設(shè)AE=xAD（0WxWl）,

313III31-13

IIIII-BCI-II-AB-ACI-I-I

因?yàn)锳D=AB+BD=AB+4=AB+4(AC—AB)=4+4，所以AE=4xAB+4xAC,

13

IIIII-

又AE二入AB+口AC,且AB,AC不共線，所以x=4X)=4X,

[x-1V崗2122

所以t=(A-l)2+li244幾[4J=8(5x2-4x+8),在x=5時(shí)取得最小值10.故選c.

方法2不等式法

(1)利用基本不等式求最值

基本不等式是求最值的常用方法之一,使用基本不等式時(shí)要注意:①基本不等式的使用條件和等號(hào)

是否能夠成立;②變換已知不等式使之符合使用基本不等式的條件.

典例3已知圓0的半徑為1,HM,HN為該圓的兩條切線,M,N為兩切點(diǎn)，那么HM.HN的最小值

為.

思路點(diǎn)撥以/0HM為變量建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系后,通過變換使用基本不等式.

答案2詞-3

711

II)——

解析連接OH,0M,0N,設(shè)N0HM=N0HN=9,0<0<2,則|HMRHN[stanG,

III

所以HM?HN=|HM|?HN.cos29

1+cos20

------------,cos20

2

2

cos20COS0COS20]_cos20

=tan20=sin20=2

COS220+cos20(1-cos20)2+3(cos20-1)+2

二1一cos20=1-cos20

2

二(1-cos20)+1-cos20—322在-3,

2

當(dāng)且僅當(dāng)1-cos2。-cos2。,即cos2。=1-應(yīng)時(shí)等號(hào)成立.

⑵建立求解目標(biāo)的不等式求最值

把求解目標(biāo)歸入一個(gè)不等式,通過解不等式得出目標(biāo)的最值,是求最值的常用方法之一.

典例4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx+2上至少存在一點(diǎn),使

得以該點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最小值是.

思路點(diǎn)撥根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系建立關(guān)于k的不等式,解不等式得k的取值范圍即可得出其最

小值.

4

答案.

解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+y2=l,

|4k+2|

由題意知只要圓C的圓心(4,0)到直線kx-y+2=o的距離不大于2即可,即出十1W2,

44

解得-3WkW0,故k的最小值為-3.

22

3L

22

典例5已知圓Cid+Zcx+yJ。，@1C2:x-2cx+y=0,橢圓C:a2+b』(a〉b>0),c>0,且心1-』若圓G,C2

都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的最大值為.

思路點(diǎn)撥根據(jù)橢圓與圓的位置關(guān)系,建立關(guān)于e的不等式即可求出e的最大值.

1

答案2

2c<a,i

5[e《，1

—+—<1,<2:

解析由題意得導(dǎo)b2可得?-3e2+lN0,結(jié)合ed(0,l),可得0〈eW2.，e的最大值為

1

2.

方法3導(dǎo)數(shù)法

(1)直接使用導(dǎo)數(shù)求最值

三次函數(shù)、含有指數(shù)、對(duì)數(shù)與其他函數(shù)綜合的函數(shù)，求最值時(shí)要利用導(dǎo)數(shù)法.基本步驟:確定單調(diào)性

和極值,結(jié)合已知區(qū)間和區(qū)間的端點(diǎn)值確定最值.

典例6已知函數(shù)f(x)=-x3+ax"4在x=2處取得極值，若m,n?[T,1],則f(m)+f'(n)的最小值

是.

思路點(diǎn)撥分別求出f(m),f'(n)的最小值相加即可.

答案T3

解析f'(x)=-3x?+2ax,

根據(jù)已知得f'(2)=0,得a=3,

所以f'(x)=-3x?+6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,

當(dāng)x〈0時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)0〈x<2時(shí)，f'(x)〉0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x〉2時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以f(m)在[-1,1]上的最小值為f(0)=-4,

又f'(n)=-3n，6n在aL口上單調(diào)遞增,

所以f'(n)的最小值為f'(-1)=9.

故[f(m)+f'(n)](m)mi?+f'(n),.i?=-4-9=-13.

(2)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值

不等式恒成立問題的一個(gè)基本處理方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值,需要通過構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)最值,而求函

數(shù)最值中導(dǎo)數(shù)方法是最有效的.注意使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的基本步驟.

rl

典例7已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.若存在x￡,e.(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)

使不等式2f(x)(x)成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.

3rl3

——e—

思路點(diǎn)撥2f(x)2g(x)可變形為aW21nx+x+x,xe[eJ,由題意可知a小于或等于21nx+x+x的最

3rl

大值，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)=21nx+x+x,x￡1e'的最大值問題.

rl3rl

—e——

解析由題意知2xlnx^-x2+ax-3,x^Le［即aW21nx+x+x,Le

3rl2￡(x+3)(x-1)H、

令h(x)=21nx+x+x,x￡1eJ,則h'(x)=x+『x=x，當(dāng)x￡【e)時(shí),h'(x)<0,此時(shí)h(x)單

調(diào)遞減；

當(dāng)x￡(1,e]時(shí),h'(x)>0,此時(shí)h(x)單調(diào)遞增.

(h[-lh(e)j

e

所以h(x)max=maxI\/J,

rl

因?yàn)榇嬖趚￡[e'],使2f(x)2g(x)成立，

/h12

所以aWh(x)max,又hU/=-2+e+3e,h(e)=2+e+e,

所以hO-h(e)=-4+2e-e>0,

故hiJ〉h(e),所以aW：+3e-2.

1

即a的最大值為e+3e-2.

方法4數(shù)形結(jié)合法

(1)曲線上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值

求與直線不相交的曲線上的點(diǎn)與該直線上的點(diǎn)的距離的最值的最直觀方法就是“平行切線法”(數(shù)

形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)).

典例8設(shè)點(diǎn)P在曲線丫=/+1&20)上，點(diǎn)Q在曲線y=S「(x》l)上，則|PQ|的最小值為()

思路點(diǎn)撥根據(jù)圖象的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為求曲線上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)之間的最近距離.

答案B

解析在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，可知兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.考

15

慮函數(shù)y=x2+l(x^0)圖象上某點(diǎn)處斜率為1的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)，由y'=2x=l,得x=2,進(jìn)而尸4,即函數(shù)

3

/￡5x4_3^2

y=x?+l(x20)圖象上在點(diǎn)卜力處的切線斜率等于1,該點(diǎn)到直線x-y=O的距離為的=g,這個(gè)距離的二倍

3出

即為所求的最小值,即|PQ|的最小值為4.故選B.

(2)根據(jù)求解目標(biāo)的幾何意義求最值

把求解目標(biāo)的代數(shù)表達(dá)式賦予其幾何意義,就可以把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題、函數(shù)問題.常見的目

標(biāo)函數(shù)的幾何意義有:兩點(diǎn)連線的斜率、兩點(diǎn)間的距離等.

/x+y<2,

)2x-3y<9,

典例9(1)(2016山東,4,5分)若變量x,y滿足Ix>0,則x'+y'的最大值是()

A.4B.9C.10D.12

a-2ea1-c

(2)已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足b=d-1=1,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則(a-c)2+(b-d)2的最小值為

()

A.4B.8C.12D.18

思路點(diǎn)撥(1)點(diǎn)(x,y)為平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),/+/的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方.

(2)將(a,b),(c,d)看作點(diǎn)的坐標(biāo),則這兩個(gè)點(diǎn)各自在一條曲線與一條直線上，(a-c)2+(b-d)?的幾何

意義是曲線上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的平方.

答案⑴C(2)B

解析(1)作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示(包括邊界),

/+/表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，由圖易知平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A(3,T)與原點(diǎn)的距離最

大，所以x2+y2的最大值是10,故選C.

a-2ea1-c

(2)由b=d-1=1,得b=a-2e\d=-c+2.(a-c)?+(b-d)?的幾何意義是曲線y=x-2e'上的點(diǎn)(a,b)與

直線y=-x+2上的點(diǎn)(c,d)的距離的平方.對(duì)y=x-2e>求導(dǎo),得y=l-2ex,令『2eX=-1,解得x=0,故曲線

y=x-2e'在x=0處的切線的斜率等于-1,此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),該點(diǎn)到直線y-x+2的距離即為曲線

4

y=x-2/與直線y=-x+2上點(diǎn)距離的最小值,此時(shí)的最小距離為企=2也故所求的最小值為(2企)2.

方法5構(gòu)造法

(1)構(gòu)造函數(shù)求最值

任意實(shí)數(shù)a,b,當(dāng)bWO時(shí),一定存在實(shí)數(shù)X，使得a=Xb,用它可以把某些以比值形式出現(xiàn)的二元不等

式轉(zhuǎn)化為一元不等式.

典例10若不等式x?+2xyWa(x2+y2)對(duì)于一切正數(shù)x,y恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為()

m+13祖+1

A.2B.2c.2D.2

思路點(diǎn)撥分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,對(duì)含變量X,y的表達(dá)式構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)最值.

答案D

x2+2xy

解析不等式x?+2xyWa(x2+y2)對(duì)于一切正數(shù)x,y恒成立等價(jià)于a》x+y恒成立,即

/x+2xy\

2inax

a*x2+y/.

x2+2xy1+2t

令尸tx,則/+y2=l+t；

m-1

令m=l+2t(m>l),則t=2,

4

1+2t4m4m5

)m一2

則1+1=4+(m-1)=m-2m+5=m.

4

41+J5

mH—-2----------

m-2=2,

1+,1+,

故a22.故a的最小值為2，選D.

(2)構(gòu)造模型求最值

根據(jù)求解目標(biāo)的特點(diǎn)，通過聯(lián)想已知知識(shí)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?如正方形、正方體、函數(shù)、數(shù)列等)求解

最值.

典例11函數(shù)y=/2-2X+2+&-6x+13的最小值為.

思路點(diǎn)撥聯(lián)想兩點(diǎn)間的距離公式,構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)圖形模型,根據(jù)幾何意義求解.

答案屈

解析將函數(shù)化為y=J(x-1產(chǎn)+(0-1汽小6-3產(chǎn)+(0-2產(chǎn),則問題可以轉(zhuǎn)化為在x軸上找一

點(diǎn),使它到A(1,1),B(3,2)兩點(diǎn)距離之和最小的幾何模型問題.

將點(diǎn)A(l,1)關(guān)于x軸對(duì)稱,得A'(1,-1),連接A'B交x軸于點(diǎn)P,則線段A'B的長(zhǎng)就是所求的最小值，

22

即|A'B|-3)+(-1-2)=A/i3,故填病.

?？键c(diǎn)2范圍問題的6大解題妙招

方法1構(gòu)建函數(shù)模型法

選定一個(gè)變量建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)的性質(zhì)得出其取值范圍,這是求范圍問題最為

基本、應(yīng)用最為廣泛的方法.

典例1(1)已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),且左、右焦點(diǎn)分別為件,F2,兩曲線在第一

象限的交點(diǎn)記為P,4PFFz是以PFi為底邊的等腰三角形.若|PF」=10,橢圓與雙曲線的離心率分別為&,e2,

則e?的取值范圍是()

/一,+oo\（一,+oo

C.【3）D.b

⑵在銳角4ABC中,AC=6,B=2A,則BC的取值范圍是

思路點(diǎn)撥（1）橢圓和雙曲線的公共元素為半焦距C,以其為變量建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,然后

求解；（2）求出角A的取值范圍，以其為變量表示出BC,利用三角函數(shù)性質(zhì)得出其范圍.

答案（1）C⑵（2也3也）

C

解析（1）根據(jù)已知可知|PF2]=2C,在橢圓中，根據(jù)定義知2c+10=2ai,ai=c+5,則離心率ei=c+5,在雙

c

曲線中，根據(jù)定義知10-2c=2az,a2=5-c,則離心率e2=5-c.由于p,F2三點(diǎn)構(gòu)成三角形,所以2c+2c>10,

5525

——7

即c>2,根據(jù)10-2c=2&〉0可得0<c<5,故2〈c〈5,所以0〈c*3,

1

c2251

------2~1~

所以e.=25-c'=c2〉3.故選C.

ACBC

（2）根據(jù)正弦定理，得sinB=smA,又B=2A,

6BC3

所以sin2A=sinA,所以BC=cosA.

兀兀

由于4ABC為銳角三角形,所以B=2A<2,即A〈4,

兀兀兀兀

又A+B=3A〉2,所以A〉6,所以6〈A〈4,

在由241

所以2〈cosA〈2,所以3<cosA<^

3

所以2g〈cosA〈3也即BC的取值范圍為（2由,3偽.

方法2分離參數(shù)法

在方程有解、不等式恒成立等問題中求參數(shù)取值范圍時(shí),如果參數(shù)能夠分離出來,即方程或不等式的

一端為參數(shù)，另一端為某個(gè)變量的代數(shù)式,則只要研究其相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)即可根據(jù)問題的具體設(shè)問得出

參數(shù)的取值范圍.

11

典例2已知f(x)=(-x2+xT)e；g(x)=3x3+2x2+ni,若y=f(x)與y=g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)

數(shù)m的取值范圍.

思路點(diǎn)撥函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程f(x)=g(x)有三個(gè)不同的實(shí)根,分離參

數(shù)之后，即可以將所求解的問題轉(zhuǎn)化為直線y=-m與某函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題進(jìn)行求解.

解析函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)=g(x)有三個(gè)不同的實(shí)根,即

1111

-mXx'-x+De'+Bx'+Zx。有三個(gè)不同的實(shí)根,亦即直線y=-m與函數(shù)h(x)=(xJx+l)e*+3x3+2x2的圖象有三個(gè)

不同的交點(diǎn).

11

對(duì)h(x)=(x-x+1)4+3/+2*2求導(dǎo),得h'(x)=x(x+1)(ex+l)，則函數(shù)h(x)在(—,-1］上單調(diào)遞增,在

(-1.0)上單調(diào)遞減,在［0,+8)上單調(diào)遞增.

31

所以h(x)極大值=h(-1)=e+6,h(x)極小值=h(0)=1,

3131

結(jié)合圖象知l〈-m〈e+6,解得

1

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為Ie6').

1

典例3已知函數(shù)f(x)=2x2+a］nx(a￡R).當(dāng)x>l時(shí)，f(x)>lnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思路點(diǎn)撥分離參數(shù)后,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

1

解析依題意知f(x)-lnx>0,即Zx'alnx-lnx>0,

(a-1)Inx>-2x2,Vx>l,/.Inx>0,Inx,

a_l>\/.

1.1

----2xlnx+-x1

22

令g(x)=Inx,則g，(x)=(Inx)2,

1

2

令g(x)=0,解得X二e,

11

當(dāng)l〈x?22時(shí),g，(x)>0,g(x)在(1,e72)上單調(diào)遞增；

11

當(dāng)x>e2時(shí),g'(x)<0,g(x)在(e22,+-)上單調(diào)遞減.

1

2

??g(x)max-g(e)--e,

/.a-l>-e,即a>l-e,即a的取值范圍是(be,+8).

方法3參數(shù)與變量整體處理法

當(dāng)參數(shù)與變量交織在一起,分離參數(shù)不方便時(shí),把參數(shù)作為常數(shù),構(gòu)成一個(gè)含參數(shù)的函數(shù)、不等式、

方程等,根據(jù)問題的實(shí)際情況從整體上得出參數(shù)滿足的條件,得出其取值范圍.

3a2

典例4已知函數(shù)f(x)=x+x-2alnx在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

思路點(diǎn)撥由題意知f;(x)在(1,2)上恒成立，化為一元二次不等式在(1,2)上恒成立,結(jié)合函數(shù)

圖象分類討論其成立時(shí)a的取值范圍.

b

-1,-

答案3]

3a22ax?-2ax-3a2

解析f'(x)=l-x2-―x=2X.

函數(shù)f(X)在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)等價(jià)于f'(x)，。在(1,2)上恒成立,即x?-2ax-3a在(1,2)±

恒成立.

1

令g(x)=x2-2ax-3a2.當(dāng)aWl時(shí),g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，只要g⑴=l-2a-3a峰0,解得TWaW3；

當(dāng)Ka<2時(shí),只要g(a)=-4a2^0,無解；

2

當(dāng)a》2時(shí),g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,只要8(2)=4-42-3120,即3a+4a-4^0,解得-2WaW3,與a22

矛盾.

b

-11-

綜上可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)時(shí),a的取值范圍是I3]

方法4數(shù)形結(jié)合法

(1)直接使用數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是廣泛使用的一種數(shù)學(xué)方法.在求參數(shù)范圍問題中，使用數(shù)形結(jié)合的思想就是通過圖形

位置的變化找到滿足題意的參數(shù)所需要的條件,進(jìn)而得出參數(shù)的取值范圍.

(x2+3,x>0,

典例5已知函數(shù)f(x)=[l+4xcos(2兀-Tix),x<0,g(x)=kx+l(xWR),若函數(shù)y=f(x)-g(x)在

xe[-2,3]內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

思路點(diǎn)撥已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,主要考查考生的數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想.

本題先考慮x=0時(shí)的情形,再考慮xWO時(shí)的情形:把函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有四個(gè)實(shí)根,化簡(jiǎn),構(gòu)造

兩個(gè)新函數(shù),它們的圖象有四個(gè)交點(diǎn),畫圖得結(jié)論.

答案C

解析當(dāng)x=0時(shí),顯然有f(x)Wg(x),即x=0不是y=f(x)-g(x)的零點(diǎn).

當(dāng)xWO時(shí),y=f(x)-g(x)在xG[-2,3]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程f(x)=g(x)(-2WxW3)的實(shí)根的個(gè)數(shù).

2

當(dāng)0〈xW3時(shí),有kx+l=x2+3,即k=x+x；

當(dāng)-2Wx<0時(shí)，有kx+l=l+4xcos兀x,

即k=4cos兀x.

2

x+0<x<3,

■X

所以y二f(x)-g(x)(-2WxW3)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)尸k與4cos兀x,-2<x<0的圖象的交點(diǎn)

個(gè)數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖所示，

11

由圖知2施〈kW3,故選C.

(2)根據(jù)幾何意義構(gòu)造圖形

給數(shù)學(xué)表達(dá)式賦予一定的幾何意義，把"式”的問題轉(zhuǎn)化為“幾何圖形”的問題，以形助數(shù)是數(shù)形

結(jié)合法的一個(gè)重要方面,其關(guān)鍵是熟悉一些數(shù)學(xué)公式、法則的幾何意義.

典例6若不等式(x-a)2+(x-Lna)2>m對(duì)任意xdR,ae(0,+8)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.!12)B.('2)c.(-°°,A/2)D.(-8,2)

思路點(diǎn)撥根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得出(x-aV+GTna)2的幾何意義，然后求解.

答案A

解析式子(x-a)2+(x-ln@)2的幾何意義是直線尸*上的點(diǎn)儀,*)到曲線尸1口x上的點(diǎn)(a,Ina)距

11

離的平方.y=lnx的導(dǎo)函數(shù)為y'=%令x」,得x=l,即曲線y=lnx上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線平行于直線

皿

y二x,此時(shí)切點(diǎn)(1,0)到直線y二x的距離最小,最小值為2,此即為曲線y=lnx上的點(diǎn)與直線y二x上點(diǎn)的距

1

22

離的最小值,所以[(x-a)2+(xTna)]min=,不等式(x-a)2+(xTna)”m對(duì)任意x￡R,(0,+8)恒成立，

只需m〈;，故m的取值范圍是(一8'；【故選A.

方法5轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)值比較法

(1)參數(shù)與函數(shù)的最值比較

求不等式恒成立、等式恒成立等問題中參數(shù)范圍的主要方法之一就是化為參數(shù)與函數(shù)最值的比較，

得出參數(shù)滿足的不等式求得其范圍.

X2-x,x￡(0,1),

1

Xe[1,2],

典例7定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=2f(x)-2,當(dāng)x￡(0,2]時(shí)，f(x)=1x

7t

當(dāng)x￡(0,4]時(shí),t?-2Wf(x)W3-t恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

5]5]

2,-1,-

A.[1,2]B.2]c.2]D.[2,+8)

7

思路點(diǎn)撥由題意知F-ZtWf(X)min且f(x)maxW3-1.

答案A

1\rlI

-一,0|1

解析易知函數(shù)f(x)在(0,2]上的值域?yàn)閇4白12[.當(dāng)乂金⑵組時(shí)，f(x)=2f(x-2)-2,其中

[-—2)

乂-26(0,2],故函數(shù)￡&)在出4]上的值域?yàn)閇2

57t

綜上可知，函數(shù)f(x)在(0,4]上的最小值為-2,最大值為1.不等式t2-2^f(x)W3-t對(duì)xe(0,4]恒成

7

立等價(jià)于/-2tWf(X)min且f(x)maxW3-t,

75

即2且1^3-t,

5

即lWtW2且tW2,即lWtW2.

故實(shí)數(shù)t的取值范圍是[1,2].故選A.

⑵參數(shù)與函數(shù)值域的端點(diǎn)值比較

在函數(shù)、數(shù)列問題中有些函數(shù)不存在最值,該類問題中參數(shù)值就要與值域的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，值得注

意的是“等號(hào)”能否取得.

典例8已知數(shù)列區(qū)｝的通項(xiàng)公式為a?=2n-l,記數(shù)列tanan+1J的前n項(xiàng)和為T?,若對(duì)任意的nGN*,不

等式4T?<a2-a恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

思路點(diǎn)撥求出4T?的范圍,解不等式即可.

答案(-00,-1]U[2,+oo)

1

—aa——

解析nn+u(2n-1)(2n+l)=2\2n-12n+1/,

1/11111\1/1\1

所以Tn=213352n-12n+l/=212n+l/<2；4Tn<2,

<_

由4TnCa-a,得2Wa"-a,

解得aWT或a》2,

即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,-1]u[2,+8).

(3)參數(shù)與臨界值比較

已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍時(shí),把函數(shù)分解為兩個(gè)函數(shù)(其中一個(gè)不含參數(shù),另一個(gè)含參數(shù))，

利用數(shù)形結(jié)合法確定含參數(shù)的函數(shù)圖象與不含參數(shù)的函數(shù)圖象的位置，通過臨界位置得出參數(shù)滿足的條

件，即可得出參數(shù)的取值范圍.

典例9設(shè)f(x)=11gx|,若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,4)上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

EH與

思路點(diǎn)撥問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x),y=ax的圖象在(0,4)上有三個(gè)不同交點(diǎn)，作出圖象,根據(jù)圖象確

定實(shí)數(shù)a滿足的條件.

答案B

解析在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=f(x),y=ax的圖象(如圖)，函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,4)

上有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于上述兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,4)上有三個(gè)交點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象可知，只要直線y=ax

的斜率a介于直線0A(A(4,21g2))與直線OB(B為切點(diǎn))之間即可.

lg2lge

直線OA的斜率為2,當(dāng)xd(1,4)時(shí)，f'(x)=x,設(shè)B(x。,lgx。)，則直線0B的方程為y-lg

lgelge

Xo=x0(X-Xo),該直線過坐標(biāo)原點(diǎn),所以0-lgXo=X。(O-Xo),解得Xo=e,

lge

即直線OB的斜率為e,

/lg2lg_e\

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是12'e|故選B.

方法6不等式法

(1)利用二次函數(shù)、二次不等式

在導(dǎo)數(shù)中有一類問題可以化歸為二次函數(shù)是否存在零點(diǎn)、二次不等式在某區(qū)間上恒成立等,可以利

用“二次”函數(shù)問題得出參數(shù)滿足的條件，求得參數(shù)的取值范圍.

11

2

典例10已知|a|二2|b|,|b|W0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=3乂421a|x+a?bx在R上有極值,則a與b的

夾角的范圍為()

7l\/7l/7T2兀1/71

0,--71---71

A.I。B,\31C.\33]D.\6

思路點(diǎn)撥f'(x)存在變號(hào)零點(diǎn).

答案B

11

金解析函數(shù)f(x)=3x^+2ax2+abx有極值的充要條件是其導(dǎo)數(shù)存在變號(hào)零點(diǎn).

f(x)=x2+1a|x+a,b,則△二|a12-4a?b>0,設(shè)a,b的夾角為。，則41bl?-4X2|b|?|b|?cos0>0,

1/7l

一I-,兀

即cos。<2,由于?！闧0,兀],所以9金[3J.故選B.

典例11若函數(shù)f(x)=x4-ax3+x2-2有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

思路點(diǎn)撥f'(x)有且只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

[一屹當(dāng)

答案I3’3]

解析f'(x)=4x3-3ax?+2x=x(4x2-3ax+2),函數(shù)f(xAx'-ax'+x'-Z有且只有一個(gè)極值點(diǎn)的充要條件是

4在4在

函數(shù)y=4x2-3ax+2不存在變號(hào)零點(diǎn)，即9a2-32^0,解得-3WaW3.

(2)利用基本不等式

基本不等式是求最值和范圍問題最常用的工具之一，在使用時(shí)注意使用條件(一正、二定、三相等).

11

典例12若a>l,設(shè)函數(shù)f(x)=a*+x-4的零點(diǎn)為m,g(x)=logax+x-4的零點(diǎn)為n,則m+n的取值范圍是

()

A.(3.5,+8)B.[1,+8)

C.(4,+8)D.(4.5,+8)

思路點(diǎn)撥利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn),得出m+n=4,進(jìn)行常數(shù)代換后利用基本不等式求

解.

答案B

x

解析直線y=x與直線y=4-x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),函數(shù)y=a,y=logax與直線y=4-x的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)

111/I1\1/nm\1

——_I—H—I-12H------11-

(2,2)對(duì)稱,所以兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)之和為4,即111+11=4,所以1口+畦4(111+11)?[111n/=4\mn/^4x(2+2)=1,

11

其中當(dāng)a=加時(shí)可以使m=n=2,故可以取得等號(hào)，即m+n的取值范圍是[1,+8).故選B.

(3)建立求解目標(biāo)的不等式(組)

建立求解目標(biāo)的不等式(組)，通過解不等式(組)得出求解目標(biāo)的取值范圍是求解范圍問題的一個(gè)基

本方法,很多問題均可使用這個(gè)方法解決,如一元二次方程的實(shí)根問題、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題

<X>1,

x+y<2,

典例13(1)已知實(shí)數(shù)X,y滿足(x-yS2,若不等式ax-yW3恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

()

(3-

I—00—

A.(-8,4]B.\2.

「3

一、2

C」2D.[2,4]

(2)雙曲線a?-b?=i心>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,以F為圓心,過點(diǎn)A的圓交雙曲線的一條漸近

線于P,Q兩點(diǎn)，若|PQ|不小于雙曲線的虛軸長(zhǎng),則該雙曲線離心率的取值范圍是.

思路點(diǎn)撥(1)只要ax-y在不等式組表示的平面區(qū)域的頂點(diǎn)處的取值不大于3即可；(2)建立關(guān)于雙

曲線離心率的不等式求解即可.

答案(1)B(2)(1,3]

/X>1,

x+y<2,

解析(1)不等式組k-yS2表示的是平面直角坐標(biāo)系中以點(diǎn)(1,1),(2,0)為頂點(diǎn)的三角

p-1<3,

a+1<3,

形及其內(nèi)部，由題意知，只要ax-y在上述三點(diǎn)處均不大于3即可,所以實(shí)數(shù)a滿足不等式組I2a<3,

3

解得aW2,

31

3.故選B.

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為

(2)設(shè)F(c,0),則圓心坐標(biāo)為(c,0),因?yàn)閳AF過點(diǎn)A,所以半徑為a+c,取雙曲線的一條漸近線方程

|bc|

bx+ay=0,則圓心到該直線的距離d=N+a?』，

則|PQ|=2,(a+c)2-b?22b,

故(a+c)2》2b；

BPc2-2ac-3a2^0,

即e；2e-3W0,

解得TWeW3,

又e>l,所以所求的雙曲線的離心率的取值范圍是(1,3],

?？键c(diǎn)3數(shù)列問題的5大常用技巧

技巧1整體利用數(shù)列的性質(zhì)

等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式中均涉及多個(gè)量，解題中可以不必求出每個(gè)量,從整體上

使用公式.

典例1⑴等比數(shù)歹U｛a?｝中，已知ai+a3=8,a5+a7=4,則ag+an+an+ais的值為()

A.1B.2C.3D.5

(2)設(shè)等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S?,若S6>S7>S5,則滿足SkSk+1<0的正整數(shù)k=.

思路點(diǎn)撥(1)可直接把a(bǔ)1+a3看作一個(gè)整體,利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解公比,然后代入即可;也可直

接將已知轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公比所滿足的方程,求出公比后再求和.(2)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì).

答案(DC(2)12

解析(1)解法一：因?yàn)椋鸻?｝為等比數(shù)列，所以a5+a7是ai+a3與a9+an的等比中項(xiàng)，所以

(as+a7)(ai+as)(ag+an),

a+a)2

(5742

a+a

故a9+an=l3=8=2.

同理雨+配是as+a7與ai3+ai5的等比中項(xiàng)，

所以(ag+aii)—(—5+37)(813+^15),

2

(a9+aH)心

a+a，7

故ai3+ai5=5=4=1.

所以a9+au+ai3+ai5=2+l=3.

解法二:設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,

貝！jas—HiQ4,a?—asq4,

a5+a741

所以q，=ai+a3=8=2.

件

又ag+dn—diQ+&3Q=(@1+@3)Q_8X\2/=2,

1212件

ai3+ai5=aiq+@3q=(ai+83)q—8X\2/=1,

所以a9+an+ai3+ai5=2+l=3.

(2)依題意得a6=S6-S5>0,

a7=S7-S6<0,

=z

a6+a7S7-S5>0,

116]+an)

則Su=2=lla6>0,

12(aj+a12)12(a6+a7)

S12=2=2>o,

13(a1+a13)

S13=2=13a7<0,

所以Si2Si3<0,即滿足SkSk+KO的正整數(shù)k=12.

技巧2奇偶項(xiàng)分類

當(dāng)題中涉及(-1尸或數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)具有不同的規(guī)律時(shí),按照n為奇數(shù)和偶數(shù)分別求解,最后

再整合求解結(jié)果.

n

典例2(1)已知數(shù)列｛③｝滿足a尸1,an+i?an=2(neN*),則S2ok.

4(n+1)

⑵若數(shù)列E｝的通項(xiàng)公式為a0=2”令b?=(-1嚴(yán).+1,則數(shù)列加｝的前n項(xiàng)和

Tn=.

思路點(diǎn)撥(1)由已知數(shù)列的遞推關(guān)系,利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后利用分組求和法進(jìn)行

求和.(2)分n為奇數(shù)和偶數(shù)分別求和.

11

答案(1)3X21008-3(2)3-(-l)n2n+3

nn+1

解析⑴由an+i?an=2,得an+i,an+2=2,

an+1*an+2an+2

則a^F+i=2,即an=2,

所以數(shù)列池a3,比,???,a2k+i,…是以以二1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；數(shù)列的a4,a6,…，弧，…是以④=2

為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列，則S2016=(@1+@3+a5+…+@2015)+(@2+@4+注+…+@2

1-210082(1-21008)

1008

016)=1-2+一—一二3X2-3.

4(n+1)

⑵由題意得b?=(-i)?-'log2anlog2an+1

4(n+1)/11]

=(-l)"-1(2n+1)(2n+3)=(-i)°42n+12n+3),

/Ih/Ih/11\/11A11

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),T」35M57/+...+\2n-12n+l/-\2n+12n+3上3-2n+3,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),T”=135H57/+..-Un-12n+U+[2n+l2n+3b3+2n+3,

11

所以T“=3-(-，2n+3.

技巧3分裂通項(xiàng)

裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和的基本方法之一,在通項(xiàng)為分式的情況下,注意嘗試裂項(xiàng),裂項(xiàng)的基本原則是

a?=f(n)-f(n+1).

典例3已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S?,④=3,若數(shù)列￡”+1｝是公比為4的等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

an+1