素養(yǎng)提升微專題(二)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的函數(shù)構(gòu)造技巧第一編規(guī)律方法近幾年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解答題,多以導(dǎo)數(shù)為工具來證明不等式或求參數(shù)的取值范圍,這類試題具有結(jié)構(gòu)獨特、技巧性高、綜合性強等特點,而構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問題最基本的方法,以下對在處理導(dǎo)數(shù)問題時構(gòu)造函數(shù)的規(guī)律方法進行歸類總結(jié),并舉例說明.1.具體函數(shù)的構(gòu)造根據(jù)所給代數(shù)式(等式、不等式)中數(shù)學(xué)運算的相同點或者結(jié)構(gòu)的相同點,構(gòu)造具體的函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)從而解決問題.2.抽象函數(shù)的構(gòu)造當(dāng)題目是以抽象函數(shù)為背景且題設(shè)條件或所求結(jié)論中具有

特征式時,通常將上述式子的外形結(jié)構(gòu)特征與導(dǎo)數(shù)運算法則結(jié)合起來,合理構(gòu)造出相關(guān)的可導(dǎo)函數(shù),然后利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題.(1)利用f(x)與x(xn)構(gòu)造

(2)利用f(x)與ex(enx)構(gòu)造

(3)利用f(x)與sinx,cosx構(gòu)造由于sinx,cosx的導(dǎo)函數(shù)存在一定的特殊性,所以也是重點考查的范疇,?？嫉膸追N形式:F(x)=f(x)sinx,F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx;考查角度角度一

具體函數(shù)的構(gòu)造

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c答案A

[例1-2]已知實數(shù)a,b,c∈(0,e),且3a=a3,4b=b4,5c=c5,則(

)A.a<c<b B.b<c<aC.c<b<a D.a<b<c答案C

x=e,所以f(x)在區(qū)間(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,因為e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即f(a)>f(b)>f(c).又a,b,c∈(0,e),所以a>b>c.故選C.技巧點撥構(gòu)造具體函數(shù)解決問題的關(guān)鍵是分析所給代數(shù)式的結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)相同的部分,對代數(shù)式進行合理地轉(zhuǎn)化和變形(移項、通分、取對數(shù)、拆分、常數(shù)代換等),以便發(fā)現(xiàn)它們的共同點,從而構(gòu)造函數(shù).A.x+y=1 B.xy=1C.x+y>2 D.x+y>3答案C

角度二

抽象函數(shù)的構(gòu)造[例2-1]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)+xf'(x)<0,若f(2)=0,則不等式xf(x)>0的解集為(

)A.{x|-2<x<0或0<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-2<x<0或x>2}D.{x|x<-2或0<x<2}答案D

解析

令F(x)=xf(x),則F(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,F'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,所以函數(shù)F(x)在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.又f(2)=0,則F(-2)=F(2)=0,于是xf(x)>0可化為F(x)>F(-2)或F(x)>F(2),則x<-2或0<x<2.故選D.[例2-2]設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),且滿足xf'(x)-2f(x)>0,若△ABC是銳角三角形,則(

)A.f(sinA)sin2B>f(sinB)sin2AB.f(sinA)sin2B<f(sinB)sin2AC.f(cosA)sin2B>f(sinB)cos2AD.f(cosA)sin2B<f(sinB)cos2A答案D

名師點析利用f(x)與x

(或xn)構(gòu)造函數(shù)的技巧(1)f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型①對于f'(x)+g'(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+g(x).②對于f'(x)-g'(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x).③對于f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x).④對于f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)

特別地,對于xf'(x)+f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x).特別地,對于xf'(x)-f(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)

(2)xf'(x)±nf(x)型①對于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x).②對于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)

[例2-3]已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且對任意x∈R滿足f(x)+f'(x)<0,則下列結(jié)論正確的是(

)A.e2f(2)>e3f(3)B.e2f(2)<e3f(3)C.e2f(2)≥e3f(3)D.e2f(2)≤e3f(3)答案A

解析

令g(x)=exf(x),則g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故選A.A.(e205,+∞) B.(0,e205)C.(e205e,+∞) D.(0,e205e)答案

D

[例2-5]若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,則不等式f(x)>e2x的解集為

.

答案

{x|x>0}

名師點析利用f(x)與ex(enx)構(gòu)造函數(shù)的技巧

答案AD

技巧點撥利用f(x)與sin

x,cos

x構(gòu)造函數(shù)的技巧(1)對于f'(x)sin

x+f(x)cos

x>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)·sin

x.(2)對于f'(x)sin

x-f(x)cos

x>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)(3)對于f'(x)cos

x+f(x)sin

x>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)

(4)對于f'(x)cos

x-f(x)sin

x>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)cos

x.對點演練A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,1)答案D

答案D

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b答案A

答案B

答案D

6.已知f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù),f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),若xf(x)+x2f'(x)=ex,f(1)=e,則f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)(

)A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有極大值D.有極小值答案A

7.已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且cosxf'(x)<(cosx+sinx)f(x)成立,則下列各式一定成立的是(

)A.f(0)=0B.f(0)<0C.f(π)>