二項式系數(shù)的性質(zhì)

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式。

二項展開式中的叫做二項展開式的通項，

用來表示。即通項為展開式的第r+1項。

其中叫做二項式系數(shù).

二項展開式特征：

（1）共有n+1項；二項式定理:（2）各項里a的指數(shù)從n起依次減小1，直到0為止；b的指數(shù)從0起依次增加1，直到n為止。每一項里a、b的指數(shù)和均為n.溫故知新新知探究這個表在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的?詳解九章算法?一書里就出現(xiàn)了,所不同的只是這里的表用阿拉伯?dāng)?shù)字表示,在這本書里記載的是用漢字表示的形式,還說明了表里?“一”?以?外的每一個數(shù)?都等于它肩上兩個數(shù)的和,楊輝指出這個方法出于?釋鎖?算書,且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲?(約公元11世紀(jì))?已經(jīng)用過它.

是我國古代數(shù)學(xué)的一個重要成果，這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀(jì),在歐洲,這個表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡(????????????????????????,(1623~1662)?首先發(fā)現(xiàn)的?,他們把這個表叫做帕斯卡三角.這就是說,楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右,由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.我們把這個數(shù)表稱為楊輝三角，

表中從第二行起,每一個數(shù)與它肩上兩數(shù)的關(guān)系是:問題1.(1)

填出下列各二項展開式的二項式系數(shù);

(2)

歸納二項式系數(shù)的規(guī)律;(3)

說明你歸納結(jié)論的正確性.(a+b)1…(a+b)2………………(a+b)3……………(a+b)4…………(a+b)5………(a+b)6……………11111111111123456345661010151520根據(jù)上面性質(zhì),能很快寫出表中以下的一些行嗎?教材P31探究14641111211331151010511615201561問題3:將上表寫成如下形式,你又能發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)有什么新的規(guī)律嗎?學(xué)習(xí)新知(1)每行兩端的數(shù)都是1；(2)與兩端等距離的項的系數(shù)相等；(3)在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和,等等.二項式系數(shù)的性質(zhì)探究1：對給定的正整數(shù)n，設(shè)函數(shù)，r∈{0，1，2，…，n}，（1）當(dāng)n＝6時，函數(shù)f(r)的圖象是什么？新知探究因為

展開式的二項式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以k為自變量的函數(shù),其定義域是：對于確定的n，我們還可以畫出它的圖象，例如，當(dāng)n=6時，其圖象是右圖中的7個孤立點．教材P32探究（2）對于確定的n=7，8，9時，我們還可以畫出它的圖象，比較它們的異同，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？探究2：一般地，函數(shù)，r∈{0，1，2，…，n}的圖象是什么？它具有怎樣的對稱性？n＋1個孤立的點，關(guān)于直線對稱探究3：在二項式系數(shù)中，哪些二項式系數(shù)是相等的？與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.新知探究探究4：相鄰兩個二項式系數(shù)的大小關(guān)系如何？從理論上如何確定與的大??？

探究5：通過上述分析，二項式系數(shù)的增減性與最大值分別是什么？二項式系數(shù)的前半部分是遞增的，后半部分是遞減的，且在中間取得最大值.新知探究探究6：當(dāng)n分別為偶數(shù)和奇數(shù)時，第幾項的二項式系數(shù)最大？當(dāng)n為偶數(shù)時，第項的二項式系數(shù) 為最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，第的二項式系數(shù)和第項的二項式系數(shù)相等，且同時為最大.探究7：在二項式定理中，a，b可以任意取值，特別地，當(dāng)a＝b＝1時，可得什么結(jié)論？新知探究2n

所有二項式系數(shù)的和為2n.例1：求證在(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和．分析：由(a+b)n的展開式可知，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為由于因此，我們可以通過對a，b適當(dāng)賦值來得到上述兩個系數(shù)和。新知探究證明：即所有二項式系數(shù)之和等于2n，所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和與所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，且都等于2n－1.小結(jié)：二項式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值當(dāng)n為偶數(shù)時，

中間一項即項的二項式系數(shù)取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時，

中間兩項即的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值。

（3）各二項式系數(shù)的和（4）奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和

（1）對稱性:與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.

例2.已知的展開式中，第4項的二項式系數(shù)是倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)的7倍，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.探究系數(shù)與二項式系數(shù)的最值問題

例2.已知的展開式中，第4項的二項式系數(shù)是倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)的7倍，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.解：依題意整理得∴展開式中二項式系數(shù)最大的項為：設(shè)展開式中第r+1項的系數(shù)最大，則解得∴展開式中系數(shù)最大的項為：變式：

的展開式中二項式系數(shù)最大的項為第__項，系數(shù)最大的項為________.解：因為

的展開式中二項式系數(shù)的最大值為

，所以二項式系數(shù)最大的項為第4項.因為

的展開式的通項為所以展開式中系數(shù)最大的項為奇數(shù)項.展開式中第1,3,5,7項的系數(shù)分別為

，即1,60,240,64，所以展開式中系數(shù)最大的項為240x－8y2.賦值法的應(yīng)用一般地，對于多項式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n的展開式中各項的系數(shù)和為g(1)，(a＋bx)n的展開式中奇數(shù)項的系數(shù)和為[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展開式中偶數(shù)項的系數(shù)和為[g(1)－g(－1)].3.求的展開式中項的系數(shù).變式練習(xí)23801.在(1－2x)10的展開式中，各項系數(shù)的和是__.析：令x＝1可得各項系數(shù)的和為(1－2)10＝1.2.若已