2023屆云南省玉溪市江川一中高三下學期5月考數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.數(shù)列｛??｝的通項公式為an=\n-（\（neN*）.貝心c<2”是“｛??｝為遞增數(shù)歹！J”的（）條件.

A.必要而不充分B.充要C.充分而不必要D.即不充分也不必要

2.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和加個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取5次，設摸得白球數(shù)為X,

已知￡（X）=3,則。（X）=（）

3,古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數(shù)”

分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28恰好在同一組

的概率為（）

4.在等腰直角三角形ABC中，ZC=-,CA=2V2,。為AB的中點，將它沿8翻折，使點A與點8間的距離

2

為2百，此時四面體A8CQ的外接球的表面積為（）.

A.5兀B.型叵萬C.12萬D.20%

3

5.已知機為實數(shù)，直線4：+y-1=0,l2：（3m-2）x+my-2=0,貝!J=1”是“4//《”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)Z=2+i,ZR=5,貝！］|Z|=

A.1B.亞

C.5D.5百

7.某人用隨機模擬的方法估計無理數(shù)。的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點A（1,O）作x軸的垂線與曲線

y="相交于點8,過8作》軸的垂線與）'軸相交于點C（如圖），然后向矩形Q43C內投入M粒豆子，并統(tǒng)計出

這些豆子在曲線y="上方的有N粒（N<M）,則無理數(shù)。的估計值是（）

8.過點/2指,2指）的直線/與曲線發(fā)=，13-1交于A,B兩點，若2PA=5AB，則直線/的斜率為（）

A.2>B.2+6

C.2+G或2-GD.2-6或M-1

9.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰

爻，，------，，.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦至少有2個陽爻的概率是（）

75711

D.

646416

10.已知等差數(shù)列僅“｝滿足q=2,公差〃工（），且成等比數(shù)列，則4=

B.2C.3D.4

11.達芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好

者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角AC處作圓弧的切

線，兩條切線交于B點，測得如下數(shù)據(jù)：AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392czn（其中@=。,866）.根據(jù)測量得到

2

的結果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于（）

12.“紋樣”是中國藝術寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面

積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內，并向該正方形內隨機投擲200個點，己知恰有80個點落在陰影部分據(jù)此

可估計陰影部分的面積是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.角a的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P（l,2）,則一，汕e一域/的值是.

14.如果復數(shù)二滿足i-z=l+i,那么忖=（i為虛數(shù)單位）.

15.設函數(shù)/（x）='+2019,“40,則滿足〃X2—4）>/（_3用的x的取值范圍為.

16.已知平面向量“、b的夾角為費，且卜+。|=1,貝U3J+2a/的最大值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）（本小題滿分12分）已知橢圓C：盤+m二二>二」的離心率為二，連接橢圓四個頂點形成的四邊

形面積為4?.二

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)過點A(1,0)的直線與橢圓C交于點M,N,設P為橢圓上一點，且三一三三=二二二二O為坐標原點,

當三二」二時，求t的取值范圍.

J

18.(12分)某公園有一塊邊長為3百米的正三角形ABC空地，擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域，用來種植三種花

卉.方案是：先建造一條直道。E將AABC分成面積之比為2:1的兩部分(點O,E分別在邊AB,AC上)；再取DE

的中點M,建造直道AM(如圖).設AD=x,DE=%,AM=y2(單位：百米).

(1)分別求％,為關于X的函數(shù)關系式；

(2)試確定點。的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.

19.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。，AD//BC,ZABC=90°,

A8=BC=1AO=LPB=2,￡為心的中點，b是PC上的點.

(1)若〃平面PAO,證明：所_1_平面A45.

(2)求二面角6—PD-。的余弦值.

2

c

20.(12分)已知在AA5C中，角A,B,C的對邊分別為。，h,c,AABC的面積為-----.

2cosC

(1)求證：tanC=sinAsin3；

(2)若C=三,求cos(A-B)的值.

21.(12分)心形線是由一個圓上的一個定點，當該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時，這個定

點的軌跡，因其形狀像心形而得名，在極坐標系。x中，方程。=。(1-sin。)(?！?)表示的曲線G就是一條心形

線，如圖，以極軸Qr所在的直線為x軸，極點。為坐標原點的直角坐標系xQy中.已知曲線。2的參數(shù)方程為

(1)求曲線G的極坐標方程；

(2)若曲線G與相交于A、。、B三點,求線段AB的長.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=e*(ax+l),aeR.

(1)求曲線y=/(x)在點例(O,/(O))處的切線方程;

(2)求函數(shù)“X)的單調區(qū)間；

(3)判斷函數(shù)/(X)的零點個數(shù).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的特點可知4M-4>0,解得。<〃+/,由此得到若｛0“｝是遞增數(shù)列，則。<2,根據(jù)推出關系可確

定結果.

【詳解】

若“(??｝是遞增數(shù)列“，則aII+i-an=\n+l-c\-\n-c\>0,

即(〃+l—c)~>—C)-,化簡得：c<〃+g,

33

->-<-

又〃eN*，—22

2

則c<2%｛%｝是遞增數(shù)列，｛4｝是遞增數(shù)列nc<2,

，“c<2”是“｛??｝為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：A.

【點睛】

本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調性求解參數(shù)范圍，屬于基礎題.

2、B

【解析】

由題意知，X~5(5,-^-),由EX=5x-^-=3,知*~8(5=)，由此能求出。(X).

m+3m+35

【詳解】

3

由題意知，X?3(5,」二)，

722+3

3

??.EX=5x^—=3,解得m=2,

加+3

???X~8(5,1),

D(X)=5x-x(l--)=-.

555

故選:B.

【點睛】

本題考查離散型隨機變量的方差的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的靈活運用.

3、B

【解析】

推導出基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，由此能求出6和28恰好在同一組的概率.

【詳解】

解：將五個“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，

基本事件總數(shù)〃=C；C；=10,

6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)m=+C｝C\=4,

42

，6和28恰好在同一組的概率〃=—=；；；=工.

n105

故選：B.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

4、D

【解析】

如圖，將四面體ABCQ放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上

下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據(jù)幾何關系，求外接球的半徑.

【詳解】

△ABC中，易知AB=4,CD=AD=BD=2

翻折后AB=2瓜

22+22-(2V3?i

cosZADB=-------————'

2x2x22

ZADB=12Q，

設3)3外接圓的半徑為「，

=2r=4，：.r=2,

sin120

如圖：易得CD_L平面曲，將四面體ABC。放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設幾何體

外接球的半徑為R,

22222

7?=r+l=2+1=5,

四面體ABCD的外接球的表面積為S=4萬R2=20乃.

故選：D

C

1

1

A0】

【點睛】

本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑

時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，

比如三條側棱兩兩垂直的三棱錐，或是構造直角三角形法，確定球心的位置，構造關于外接球半徑的方程求解.

5^A

【解析】

根據(jù)直線平行的等價條件，求出m的值，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

當m=l時,兩直線方程分別為直線h：x+y-1=0,h：x+y-2=0滿足h〃L,即充分性成立,

當m=0時，兩直線方程分別為y-1=0,和-2x-2=0,不滿足條件.

+4rM〃3m-2m-2

當m#0時，則h〃k=>-----=-W—，

m1-1

3m—2m_.3一

由t------=一得m?-3m+2=0得m=l或m=2,

m1

由;W彳得m#2,則m=L

即“m=l”是“h〃L”的充要條件，

故答案為：A

【點睛】

(1)本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能

力.(2)本題也可以利用下面的結論解答，直線4工+4>+。=。和直線％工+%>+。2=0平行，則。也一%々=0且兩

直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.

6、B

【解析】

由Z-Z1=5可得2=』，所以lz|=J=高9%=-^=石，故選B.

Z||Z|I|2+1|V5

7、D

【解析】

利用定積分計算出矩形。鉆C中位于曲線V=/上方區(qū)域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關于e的等式，

解出e的表達式即可.

【詳解】

在函數(shù)y=e'的解析式中，令x=l,可得》=e,則點8(1,e),直線8c的方程為》=?,

矩形OABC中位于曲線y=e'上方區(qū)域的面積為S=J(e-e*)公=(ex-e')|；=1,

0

矩形。鉆C的面積為lxe=e,

N1M

由幾何概型的概率公式得一=一，所以，e=一.

MeN

故選：D.

【點睛】

本題考查利用隨機模擬的思想估算e的值，考查了幾何概型概率公式的應用，同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域

的面積，考查計算能力，屬于中等題.

8、A

【解析】

利用切割線定理求得利用勾股定理求得圓心到弦AB的距離，從而求得NAPO=30。，結合NPQx=45，

求得直線/的傾斜角為15，進而求得/的斜率.

【詳解】

曲線y=J13—f為圓人+尸二夏的上半部分,圓心為(0,0),半徑為JR.

設PQ與曲線y=二7相切于點。，

則|PQ『=|PA|MM=|P4|.(|PA|+|AB|)=(|PA『=|PO『一|。。『=35

所以|Z4|=5,|AB|=2,

2^/31

0到弦AB的距離為V13-1=2百，sinZAPO西二樂7r于所以乙針0=30。'由于"缶=45’

所以直線/的傾斜角為45-30=15'斜率為tanl5=tan(45-3。1=懸|就簿=2-君.

故選：A

本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.

9、C

【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件，即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率，再根據(jù)兩對立事件的概率和為1

求解即可.

【詳解】

設“該重卦至少有2個陽爻”為事件A.所有“重卦”共有26種；“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件X是“該重卦沒有陽

爻或只有1個陽爻”，其中，沒有陽爻(即6個全部是陰爻)的情況有1種，只有1個陽爻的情況有C：=6種，故

1+67757

P(A)=--=—，所以該重卦至少有2個陽爻的概率是P(4)=1-P(A)=1--=—.

26646464

故選：C

【點睛】

本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎題.

10>D

【解析】

先用公差”表示出的，生，結合等比數(shù)列求出d.

【詳解】

“2=2+4%=2+41,因為q,g,生成等比數(shù)列，所以(2+4)2=2(2+44),解得"=4.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項公式.屬于簡單題，化歸基本量，尋求等量關系是求解的關鍵.

11、A

【解析】

由已知AB=BC=6,設/鉆C=26.可得sin。=三的=0.866.于是可得。，進而得出結論.

【詳解】

解：依題意AB=BC=6,設ZA8C=26.

貝！Isin0=°,*=0,866?.

72

：,e=-,ie=—.

33

設《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為a.

貝（Ja+2。=?，

71

CC=——?

3

故選：A.

【點睛】

本題考查了直角三角形的邊角關系、三角函數(shù)的單調性、切線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

12>D

【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計算得到答案.

【詳解】

14■皿?S80?18

根據(jù)幾何概ra型：p=—=——,故5=三.

920（）5

故選：D.

【點睛】

本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學生的計算能力和應用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、撞

5

【解析】

1_75逝，所以答案應填:

試題分析：由三角函數(shù)定義知cosa又由誘導公式知cos（萬一a）=-cosa=

7H5

考點：1、三角函數(shù)定義；2、誘導公式.

14、0

【解析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后利用復數(shù)模的計算公式求解.

【詳解】

Vz-z=l+z,

i-i

:.|z|=V2,

故答案為：0.

【點睛】

本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)的模的求法，屬于基礎題.

15、(l,4w)

【解析】

當xWO時，函數(shù)單調遞增，當x>0時，函數(shù)為常數(shù)，故需滿足V一4>—3X，且—3X<0,解得答案.

【詳解】

ev+2019x<0

/(x)=(”一，當x<0時，函數(shù)單調遞增，當x>()時，函數(shù)為常數(shù)，

2020,x>0

/(/-4)>/(—3x)需滿足》2一4>一3X，且一3x<0,解得x>l.

故答案為：(1,+8).

【點睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)單調性解不等式，意在考查學生對于函數(shù)性質的靈活運用.

16、3+2百

【解析】

建立平面直角坐標系，設NA0C=6,可得=進而可得出|。,=25畝。，|。4|=25皿］系一。)由此將

3二+2ad轉化為以。為自變量的三角函數(shù)，利用三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可得出結果-

【詳解】

根據(jù)題意建立平面直角坐標系如圖所示，設a=OA，匕=08,以。4、。8為鄰邊作平行四邊形。4C8,則OC=a+》，

6

=2sin。，

|OA|i

在AQ4C中，由正弦定理.(5萬一V-T.得W|=2sin*6,即W=2sin*6

叫《一”JSin6''

a=\a\a?6=忖?忖cosg=2sin8?2sin-6卜os=一26sin0sin-0

則

3a+2a-ft=3x2sin^-^--^-4\/3sin^sin^-^--^=12sin2^-^--^^-4\/3sin^sin^-^--^

1-COS：---20/r~

=6l--cos2^+—sin26>-6sin2^->^sin26>

二12x------------------45/3sin0——sin^+—cos^

222

=6-3cos20+36sin20-6x--0cls-6sin28=3+2百sin23,

2

當sin20=l時，31+2。力取最大值3+26.

故答案為：3+26.

【點睛】

本題考查了向量的數(shù)量積最值的計算，將問題轉化為角的三角函數(shù)的最值問題是解答的關鍵，考查計算能力，屬于難

題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)9?￥=/：(2)Ze[-L-^u(y./].

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解

決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，先利用離心率、==二：十二:、四邊形的面積列出方程，解出a和b

的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，討論直線MN的斜率是否存在，當直線MN的斜率存在時，直線方程與橢

圓方程聯(lián)立，消參，利用韋達定理，得到二+二.、二,.：：；，利用三一二E二二三二'列出方程，解出二（二二，代入到橢

圓上，得到，的值，再利用三一二一二,計算出二:的范圍，代入到二的表達式中，得到t的取值范圍.

試題解析：（D二=二..二；=.：-==%二==，即二：=二:.

aU4AJJ

又二"X二*二=八1二二=二、二：,二一，二7=4.

*

...橢圓C的標準方程為二+==:.

?J

（2）由題意知，當直線MN斜率存在時，

設直線方程為二=匚:二一『,，二二7，二.二，二1二小二二二，

（正4_空_；

聯(lián)立方程、一:'消去y得二十二；；二；-4二；二十二二；-二=0,

（二=二仁一7），

因為直線與橢圓交于兩點，

所以一=1二---：-恒成立，

又三+二=二比,

因為點P在橢圓亍++=；上，所以

即:二：=二七+;二:），,"二

又zz-ziz

RPZZI<—；.、i+二1二L二|<匚，整理得：/+丁?寧多

化簡得：1二'-F二；一一；〉0,解得二.>二或二'<一（（舍），

二：=/一7^，.弓<二：<」，即-y）u（7，I）.

當直線MN的斜率不存在時，二；：二二，此時二=±2,

-e[-2.一冷應風

考點：橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系.

18、（1）_X]=—弓—6,xe[2,3].%=J——>,xe[2,3].

VxV4x2

（2）當AO="百米時，兩條直道的長度之和取得最小值[而+忖一）百米.

【解析】

2

（D由SMDE=]SMBC，可解得AE.方法一：再在AADE中，利用余弦定理，可得“關于x的函數(shù)關系式；在MDE

和AA￡M中，利用余弦定理，可得曠2關于1的函數(shù)關系式?方法二：在八4。七中，可得。E=AE-A。，則有

DE2=AE2-2AEAD+AD2>化簡整理即得；同理AW=，AO+AE）,化簡整理即得.（2）由（1）和基本不等

式，計算即得.

【詳解】

2

解：（I）^AADE=-^C*AABC是邊長為3的等邊三角形，又AQ=x,

/.—AD-AE.sin—=——x32xsin—AE=-.

233（23）x

0<AD=x<3

由，,得2<x<3.

0<AE=-<3

x

法1：在AAD石中，由余弦定理，得

DE2=AD2+AE2-2ADAE-COS-=X2+^--6.

3x2

故直道DE長度y,關于x的函數(shù)關系式為y.XG[2,3].

在AM處和AAEM中，由余弦定理，得

AD2=DM2+AM2-2DM-AM-cosZAMD①

AE2^EM2+AM2-2EMAM-COS(7T-ZAMD)②

因為M為?！甑闹悬c，所以。M=

2

由①+②，得=。加2+石用2+222

AfP+AE?AM=LDE^+2AM,

2

所以V+jg]=#元2+彗_61+2AM2,所以4加2=土+乂+。.

%2)4%22

所以，直道AM長度為關于X的函數(shù)關系式為

%=xe[2,3].

法2：因為在AADE中，DE=AE—AD，

山1、1.2-2--2|667T2)36,

所以DE=AE-2AE.AD+AD=H-2--XCOS-+X=X+-,-6.

所以，直道長度/關于x的函數(shù)關系式為弘={/+三一6,xe[2,3].

在AADE中，因為M為的中點，所以AW=g(AZ)+AE).

21/2+AE2\,36、

所以AM=W(AD+2A￡>.AE)=z卜2+三+6.

所以，直道AM長度％關于%的函數(shù)關系式為)，2=后?^，XW[2,3].

(2)由(1)得，兩條直道的長度之和為

DE+AM=兇+必=

>

，36

r-X~~

=卡+出(當且僅當42X即X=^時取

2x_9

,4x2

故當AO=#百米時，兩條直道的長度之和取得最小值卡+挈)百米.

【點睛】

本題考查了余弦定理和基本不等式，第一問也可以利用三角形中的向量關系進行求解，屬于中檔題.

19、(1)證明見解析(2)電畫

190

【解析】

(1)因為BC//AD,利用線面平行的判定定理可證出8C〃平面PAO,利用點線面的位置關系，得出BC7/PM和

EFHBC,由于24,底面AB8,利用線面垂直的性質，得出

PALBC,且最后結合線面垂直的判定定理得出8CJ_平面Q46,即可證出稗，平面小6.

(2)由(1)可知AB，AD，AP兩兩垂直，建立空間直角坐標系A-孫z,標出點坐標，運用空間向量坐標運算求

出所需向量，分別求出平面BDP和平面COP的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出3-PO-C的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因為8C〃AO,平面「AD,ADu平面Q4O,

所以BC〃平面PAD，

因為Pe平面P8C,Pe平面PAD，所以可設平面平面Q4Z)=nW，

又因為BCu平面P8C,所以BC//PM.

因為EF7/平面尸AD,EFu平面PBC,

所以EF//PM,從而得EF//BC.

因為底面ABCO,所以抬_L3C.

因為NABC=90°,所以AB,3c.

因為PAAB=A,所以8CJ?平面Q鉆.

綜上，EF_L平面

(2)解：由(1)可得AB，AD,AP兩兩垂直，以A為原點，AB，AD,AP所在

直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz.

因為AB=BC=^AD=gPB=2,所以pa=7PB2-AB2=2百，

則8(2,0,0),C(2,2,0),￡>(0,4,0),P(0,0,2?

所以麗=(一2,4,0),BP=(-2,0,2^),CD=(-2,2,0),CP=(-2,-2,2^).

設，〃=（X],y,zJ是平面的法向量,

加所0,取—2%|+4y1=0,

由，

m-BP=0,-2玉+2>/3Zj-0,

取玉=26，得/”=（2百,、四,2）.

設〃=（%2，x2*2）是平面CDP的法向量,

〃。=0,得V—2x、+2%—0,

由<

nCP=0,-2%—2%+2^/3z9—0,

取馬=有，得〃=（6,6,2）,

m-n__13yh9。

所以cos.,〃

|/n||n|190

即6-P￡>—C的余弦值為身叵.

190

【點睛】

本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計算，還運用線面平行的性質、線面垂直的判定定理、點線面的位置關系、

空間向量的坐標運算等，同時考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力.

20、（1）證明見解析；（2）正.

6

【解析】

2

c1

（1）利用，—=-absinC,利用正弦定理，化簡即可證明tanC=sinAsin8

2cosC2

(2)利用(1),得到當C=§時，sinAsin8=@

63

得出cos(A+8)=-cosC=-cos—=------，得出cosAcosB=------

626

然后可得cos(A—B)

【詳解】

c~1

證明：(D據(jù)題意，得‘一=-absinC9

2cosC2

c2=absinCcosC，

sin2C=sinAsinBsinCeosC-

又???Ce(O,〃)，

:.sinC-sinAsin5cosC,

:.tanC=sinAsin3?

解：(2)由(1)求解知，tanC=sinAsinB.

???當C=5時，sinAsinB-—?

63

:，cosAcosB-sinAsinB=------,

2

??cosAcos8=------，

6

:.cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

=---1--

63

一飛

【點睛】

本題考查正弦與余弦定理的應用，屬于基礎題

21、(1)，=一(peR)；(2)2a.

【解析】

(1)化簡得到直線方程為y=^x，再利用極坐標公式計算得到答案.

一3

(2)聯(lián)立方程計算得到A,計算得到答案.

【詳解】

X=1+\/3/r-