考點突破練9立體幾何中的位置關(guān)系證明、翻折及探索性問題1.(2023山西統(tǒng)考模擬)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥平面ABCD,△PAD是邊長為2的等邊三角形,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.解

(1)取AD的中點O,連接PO,OC.∵△PAD是等邊三角形,∴PO⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD,∴PO⊥OC.∵BC∥AO,BC=AO,∴四邊形ABCO是平行四邊形,∴AB∥OC.∵AB⊥AD,∴OC⊥AO.如圖所示,以點O為坐標(biāo)原點,直線OC,OD,OP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,2.(2023安徽黃山二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,且AD=AB=BC=2,平面PCD⊥平面ABCD,且△PDC是以∠DPC為直角的等腰直角三角形,其中E為棱PC的中點,點F在棱PD上,且PF=2FD.(1)求證:A,B,E,F四點共面;(2)求平面PAB與平面PBC所成銳二面角的余弦值.3.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別為BD和BB1的中點,P為棱C1D1上的動點.(1)是否存在點P使PE⊥平面EFC?若存在,求出滿足條件時C1P的長度并證明;若不存在,請說明理由.(2)當(dāng)C1P為何值時,平面BCC1B1與平面PEF所成銳二面角的正弦值最小.解

(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以點D為坐標(biāo)原點,直線DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因為點E,F分別為BD和BB1的中點,點P為棱C1D1上的動點,則4.如圖1,在矩形ABCD中,點E,F分別是線段AB,CD的中點,AB=4,AD=2,將矩形ABCD沿EF翻折.圖1圖2圖3(1)證明

由題設(shè)易知,四邊形BEFC是邊長為2的正方形,BF,EC是正方形BEFC的對角線,所以BF⊥EC,又平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,DF⊥EF,DF?平面AEFD,所以DF⊥平面BEFC,又EC?平面BEFC,則DF⊥EC,又DF∩BF=F,則EC⊥平面BDF.5.(2023廣東汕頭一模)如圖,在多面體ABCDFE中,四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,DA⊥平面ABEF,AB⊥AF,AD=AB=2BC=2BE=2.(1)已知點G為AF上一點,且AG=2,求證:BG與平面DCE不平行;(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為,求該多面體ABCDFE的體積.(1)證明

因為DA⊥平面ABEF,AB,AF?平面ABEF,所以DA⊥AB,DA⊥AF,又AB⊥AF,所以AD,AB,AF兩兩垂直.如圖,以點A為坐標(biāo)原點,以直線AF,AB,AD分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,2,0),E(1,2,0),C(0,2,1),D(0,0,2),G(2,0,0),6.(2023河南焦作二模)如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=

,E為BC的中點,F為AB上一點,且EF⊥AB.現(xiàn)將△BEF沿EF翻折到△B'EF,如圖2.圖1圖2(1)證明

翻折前,在△ABC中,EF⊥AB,翻折后有E