第二章立體的投影2－1立體及其表面上的點與線常見的基本幾何體平面基本體曲面基本體點的可見性規(guī)定：若點所在的平面的投影可見，點的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取點與在平面上取點的方法相同。一、平面基本體1.棱柱⑵棱柱的投影圖（從這里開始，在投影圖中都不畫投影軸）⑶棱柱面上取點

a

a

a

(b

)

b⑴棱柱的組成

b

由兩個底面和幾個側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。在圖示位置時，六棱柱的兩底面為水平面，在俯視圖中反映實形。前后兩側(cè)棱面是正平面，其余四個側(cè)棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，與六邊形的邊重合。()

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2.棱錐⑵棱錐的投影圖⑶在棱錐面上取點

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abc

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⑴棱錐的組成

n

由一個底面和幾個側(cè)棱面組成。側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點——錐頂。同樣采用平面上取點法。

棱錐處于圖示位置時，其底面ABC是水平面，在俯視圖上反映實形。側(cè)棱面SAC為側(cè)垂面，另兩個側(cè)棱面為一般位置平面。圓柱面的俯視圖積聚成一個圓，在另兩個視圖上分別以兩個方向的輪廓素線的投影表示。二、回轉(zhuǎn)體1.圓柱體⑵圓柱體的投影圖

⑶輪廓線素線的投影與曲面的可見性的判斷

⑷圓柱面上取點

a

a

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圓柱面上與軸線平行的任一直線稱為圓柱面的素線。⑴圓柱體的組成由圓柱面和兩底面組成。

圓柱面是由直線AA1繞與它平行的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。A1AOO1直線AA1稱為母線。利用投影的積聚性利用45°線作圖在圖示位置，俯視圖為一圓。另兩個視圖為等邊三角形，三角形的底邊為圓錐底面的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的兩條輪廓素線的投影。圓錐面是由直線SA繞與它相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。

S稱為錐頂，直線SA稱為母線。圓錐面上過錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面的素線。O1O⑴圓錐體的組成

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●

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●2.圓錐體⑵圓錐體的投影圖⑶輪廓線素線的投影與曲面的可見性的判斷⑷圓錐面上取點

k

★輔助直線法★輔助圓法

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)s●n

k(n

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k

●由圓錐面和底面組成。SA如何在圓錐面上作直線？過錐頂作一條素線。圓的半徑？三個視圖分別為三個和圓球的直徑相等的圓，它們分別是圓球三個方向輪廓線的投影。3.圓球圓母線以它的直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。⑵圓球的投影圖⑶輪廓線的投影與曲面可見性的判斷⑷圓球面上取點

k

輔助圓法

k

k

⑴圓球的形成圓的半徑？需要自習(xí)內(nèi)容P49－52環(huán)的投影和環(huán)上面的點。截切：用一個平面與立體相交，截去立體的一部分。截平面——用以截切物體的平面。截交線——截平面與物體表面的交線。截斷面——因截平面的截切，在物體上形成的平面。討論的問題：截交線的分析和作圖。2-2平面與平面立體表面相交平面體的截切一、平面截切的基本形式截交線是一個由直線組成的封閉的平面多邊形，其形狀取決于平面體的形狀及截平面對平面體的截切位置。截交線的每條邊是截平面與棱面的交線。求截交線的實質(zhì)是求兩平面的交線截交線的性質(zhì)：二、平面截切體的畫圖⒈求截交線的兩種方法：★求各棱線與截平面的交點→棱線法?！锴蟾骼饷媾c截平面的交線→棱面法。關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。⒉求截交線的步驟：☆截平面與體的相對位置☆截平面與投影面的相對位置確定截交線的投影特性確定截交線的形狀★空間及投影分析★畫出截交線的投影分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。截交線的形狀1.分析截平面與立體的相對位置以決定截交線形狀：多邊形，其邊數(shù)取決于截平面截到的棱面數(shù)。2.分析截平面與投影面的相對位置以決定截交線的投影形狀。例1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。3

2

1

(4

)1

●2

●4

●3

●1●2●4●★空間分析交線的形狀？3●★投影分析★求截交線★分析棱線的投影★檢查尤其注意檢查截交線投影的類似性截平面與體的幾個棱面相交？截交線在俯、左視圖上的形狀？例1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。我們采用的是哪種解題方法？棱線法！例2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。121

(2

)Ⅰ、Ⅱ兩點分別同時位于三個面上。三面共點：2

●1

●

注意：要逐個截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。例2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。例3:求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。P

截交線的形狀？ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ1

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4

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截交線的投影特性？2

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求截交線15476328分析棱線的投影檢查截交線的投影例3:求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。2.3平面與回轉(zhuǎn)體表面相交一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式截交線的性質(zhì)：截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及

截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置。截交線都是封閉的平面圖形（封閉曲線或由直線和曲線圍成）。二、求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般步驟

⒈空間及投影分析☆分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置，以便確定截交線的形狀?！罘治鼋仄矫媾c投影面的相對位置，明確截交

線的投影特性，如積聚性、類似性等。找出截交線的已知投影，予見未知投影。⒉畫出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為：☆將各點光滑地連接起來，并判斷截交線的可見性?！钕日姨厥恻c，補充中間點。㈠圓柱體的截切截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置垂直圓橢圓平行兩平行直線傾斜PVPPVPPVP例1：求左視圖★空間及投影分析★求截交線★分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對位置截平面與投影面的相對位置●●解題步驟：同一立體被多個平面截切，要逐個截平面進(jìn)行截交線的分析和作圖。●●例1：求左視圖★空間及投影分析★求截交線★分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對位置截平面與投影面的相對位置解題步驟：例2：求左視圖●●●●例2：求左視圖例3：求俯視圖例3：求俯視圖截交線的已知投影？●●●●●●●●●●●●例4：求左視圖★找特殊點★補充中間點★光滑連接各點★分析輪廓素線的投影截交線的側(cè)面投影是什么形狀？截交線的空間形狀？例4：求左視圖★找特殊點★找中間點★光滑連接各點★分析輪廓素線的投影橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的變化而改變。45°什么情況下投影為圓呢？截平面與圓柱軸線成45°時。例5：求左視圖例5：求左視圖虛實分界點㈡圓錐體的截切根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。過錐頂兩相交直線PV圓PVθθ=90°PV橢圓αθθ＞α拋物線PVθαθ=α雙曲線PVαθ=0°＜α例:圓錐被正垂面截切，求截交線，并完成三視圖。截交線的空間形狀？截交線的投影特性？★找特殊點如何找橢圓另一根軸的端點？★補充中間點★光滑連接各點★分析輪廓線的投影例:圓錐被正垂面截切，求截交線，并完成三視圖。㈢球體的截切平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，其截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。兩個側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘼鑿?fù)合回轉(zhuǎn)體的截切●●●●●●首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。例：求作頂尖的俯視圖

小結(jié)

一、平面體的截交線一般情況下是由直線組成的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與棱面的交線。求截交線的方法：棱線法棱面法二、平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截平面與被截立體軸線的相對位置。截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時，要先找特殊點，再補充中間點，最后光滑連接各點。注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。⑵分析截平面與被截立體對投影面的相對位置，以確定截交線的投影特性。⒉求截交線三、解題方法與步驟⒈空間及投影分析⑴分析截平面與被截立體的相對位置，以

確定截交線的形狀。⒊當(dāng)單體被多個截平面截切時，要逐個截平面進(jìn)行截交線的分析與作圖。當(dāng)只有

局部被截切時，先按整體被截切求出截

交線，然后再取局部。

⒋求復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線，應(yīng)首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本

回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。HomeworkP92,4;P103,6;P112;P1224678P1342.4兩回轉(zhuǎn)體表面相交平面體與回轉(zhuǎn)體相貫回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫多體相貫一概述1.相貫的形式兩立體相交叫作相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫做相貫線。

本章主要討論常用不同立體相交時其表面相貫線的投影特性及畫法。2.相貫線的主要性質(zhì)其作圖實質(zhì)是找出相貫的兩立體表面的若干共有點的投影?！锕灿行浴锉砻嫘韵嘭灳€位于兩立體的表面上。相貫線是兩立體表面的共有線?！锓忾]性相貫線一般是封閉的空間折線（通常由直線和曲線組成）或空間曲線。1.相貫線的性質(zhì)

相貫線是由若干段平面曲線（或直線）所組成的空間折線，每一段是平面體的棱面與回轉(zhuǎn)體表面的交線。二平面體與回轉(zhuǎn)體相貫2.作圖方法分析各棱面與回轉(zhuǎn)體表面的相對位置，從而確定交線的形狀。求出各棱面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線。連接各段交線，并判斷可見性。求交線的實質(zhì)是求各棱面與回轉(zhuǎn)面的截交線。例1：補全主視圖

空間分析：四棱柱的四個棱面分別與圓柱面相交，前后兩棱面與圓柱軸線平行，截交線為兩段直線；左右兩棱面與圓柱軸線垂直，截交線為兩段圓弧。

投影分析：由于相貫線是兩立體表面的共有線，所以相貫線的側(cè)面投影積聚在一段圓弧上，水平投影積聚在矩形上。例1：補全主視圖例2：求作主視圖例2：求作主視圖1.相貫線的性質(zhì)相貫線一般為光滑封閉的空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線。三回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫2.作圖方法

利用投影的積聚性直接找點。用輔助平面法。先找特殊點。⒊作圖過程補充中間點。確定交線的彎曲趨勢確定交線的范圍例1：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。●●●●●●●●●

空間及投影分析：小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上。求相貫線的投影：利用積聚性，采用表面取點法?！钫姨厥恻c☆補充中間點☆光滑連接例1：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。當(dāng)圓柱直徑變化時，相貫線的變化趨勢。交線向大圓柱一側(cè)彎交線為兩條平面曲線（橢圓）例2：補全主視圖●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交線◆兩外表面相貫◆一內(nèi)表面和一外表面相貫★內(nèi)形交線◆兩內(nèi)表面相貫例2：補全主視圖無輪是兩外表面相貫，還是一內(nèi)表面和一外表面相貫，或者兩內(nèi)表面相貫，求相貫線的方法和思路是一樣的。小結(jié)：兩圓柱正交時的相貫線例2：證明兩圓柱正交時，在其對稱面上的投影為雙曲線。軸線為側(cè)垂線的圓柱面方程軸線為鉛垂線的圓柱面方程（1）（2）因正面投影不含y坐標(biāo)，（1）—（2）消去得相貫線的正面投影方程接上頁（1）R>r時，正面投影為以z軸為實軸的等軸雙曲線（2）R=r時，正面投影為通過原點，且與軸線成角的兩直線（空間相貫線為兩橢圓）。接上頁（3）R<r時，正面投影仍為雙曲線，但以x軸為實軸接上頁（3）R<r時，正面投影仍為雙曲線，但以軸為實軸例2：求內(nèi)外圓柱正交時的相貫線（用簡化畫法）分析與作圖與上例完全相同，但應(yīng)注意：這時的大圓柱軸線為鉛垂線，小圓柱軸線為側(cè)垂線，所以相貫線正面投影方向不同，而且有兩支。另外，圓柱內(nèi)表面的輪廓線投影應(yīng)畫成虛線。以上證明：當(dāng)圓柱正交時，相貫線在兩圓柱公共對稱面上的投影（此時為正面投影）為雙曲線。當(dāng)兩圓柱直徑相差較大時，允許采用近似畫法，即用圓弧代替雙曲線。內(nèi)外圓柱正交簡化畫法內(nèi)、外圓柱表面正交●例3：求主視圖●●●●●相切處無線×外表面與外表面相貫，內(nèi)表面與內(nèi)表面相貫。分別求其相貫線。例3：求主視圖例4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影?！艨臻g及投影分析：相貫線為一光滑的封閉的空間曲線。它的側(cè)面投影有積聚性，正面投影、水平投影沒有積聚性，應(yīng)分別求出?！艚忸}方法：輔助平面法輔助平面法：根據(jù)三面共點的原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點，從而畫出相貫線的投影。作圖方法：

假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體，分別得出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線。由于截交線的交點既在輔助平面內(nèi)，又在兩回轉(zhuǎn)體表面上，因而是相貫線上的點。輔助平面的選擇原則：

使輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線的投影簡單易畫，例如直線或圓。一般選擇投影面平行面例4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。假想用水平面P截切立體，P面與圓柱體的截交線為兩條直線，與圓錐面的交線為圓，圓與兩直線的交點即為交線上的點。P●●●●●例4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。●●●●●●●●●●●●解題步驟：★求特殊點★用輔助平面法求中間點★光滑連接各點例4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。解題步驟：★求特殊點★用輔助平面法求中間點★光滑連接各點123例5：補全主視圖●●●●●●●●這是一個多體相貫的例子，首先分析它是由哪些基本體組成的，這些基本體是如何相貫的，然后分別進(jìn)行相貫線的分析與作圖。由哪些立體組成呢？哪兩個立體相貫？１與２１與３2與3例5：補全主視圖三面共點●●●作圖時要抓住一個關(guān)鍵點，相貫線匯交于這一點。哪個點呢？●●●●●●●●●●例6：求俯視圖●●●●●●●●例6：求俯視圖

小結(jié)

一、本節(jié)的基本內(nèi)容⒈立體表面相貫線的概念⒉求相貫線的基本方法相貫線的性質(zhì)：表面性共有性封閉性二、解題過程⒈交線分析⑴

空間分析：⑵投影分析：是否