放縮技巧

(高考數(shù)學備考資料)

證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能

全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素

材,這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進

行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：

一、裂項放縮

例1.(1)求宮/的值;⑵求證:寸＜2.

￡氏23

解析：(1)因為2=?=—所以=i_=3_

4?2-1(2n-l)(2n+1)2n-i2/7+1臺4/_12〃+12〃+1

⑵因為I14(11"斤以￡3<1+20」+…+/

/<丁丁一才二T-2[罰-五工yj合匕[352?-12"+”33

4

技巧積累

：⑴1二4<4J1______!_]⑵12=1_______1_

n24n24n2-112〃一12n+\)C：+|C；+w(w-l)n(n+1)

⑶丁…1〃！111I1/、、

I14+i=C：——=------------------<—<-----------=------------(r>2)

川"nrr!(w-r)!nrr!r(r-l)r-1r

(4)(i+—)n<1+1+-1—+—1—+...+——J——5

<—

n2x13x2n(n-1)2

(5)11____1_⑹?/——<+2-4n

2"(2"-1)2w-i-rJ〃+2

(7)2(J〃+1—>[n)<<2(Ji?—J〃_1)(8)M______1]1_1___________1

(2〃+l2n+3)2”-(2〃+1)?2"-|(2n+3)-2w

k(n+1—Ar)\n+i-kkJn+\n(n+\+k)左+1(〃n+l+k

(10)n1_____1(11),

=2五二2

(〃+1)!一而一(〃+1)!-f=<V2(V2/i+1—J2"l)=

T+v2?-i-IrIr

1〃——

V2V2

(11)=—二—<一—=_亡—=」______Li

(2n-l)2(2"-1)(2”一1)(2"-1)(2"-2)(2z,-l)(2w-l-l)2H-'-12"

(12)I_]I」/]]

y/n^-yjn-n2—1)(〃+1)[J-1)”(■+1)J+1--1

11

J“一1J〃+1

(13)2ff+,=2-2'=(3-l)-2n>3=>3(2n-1)>2"=>2n-1>—=>—!―<—

32n-13

(14)"2二11(15)]=<-y/n-\(n>2)

也(〃+1)!+(〃+2)!一(％+1)!―(2+2)!J〃(〃+1)

(15)==i+j

?

i-jO-J)(VZ+T+A//+I)/7T+廳+I

例2?⑴求叫+身導…+小-2)

(2)^<iiE:l+—+—+???+—!—<---

416364/7224〃

(3)求證:J.+L1+卜35+，.+13?5??…(2〃T)<7^77_1

22-42-4-62-4-6......2n

⑷求證”內(nèi)一i方身<V2(V2/?+i-r)

解析：(1)因為11彳11>所以V1>]+。1I1)

------>-----------=------------/-----T〉[■)-()>1+—(--------)

(2n-l)2(2H-I)(2M+I)2\2n-\2n+\)7^(2/-I)2232?+1-----232?-1

⑵L—+...+S,(1+1+.”)<昂+1

416364/422n24n

(3)先運用分式放縮法證明出135..…(2,LI)<I，再結(jié)合?—「進行裂項，最后就可以得到答案

；<層,,---<Vw+2-Vrt

2n,4-62〃y/2n+1J〃+2

(4)首先102(向-歷所以容易經(jīng)過裂項得到2(內(nèi)-1)<1+3+；+…+《

yjny/n+\+y/nJ2J3

再證而由均值不等式知道這是顯然成立的，

-5=<72(72/1+1-=丁涯.一=2

4nJ2〃+I+J2〃-1|I+_1

所以1+3+3+…+3<叔以+1-1)

V2v3

11

例3.求證：6〃-<+-+-+15

49—<-

(M+I)(2W+1)n23

解析:

11

另一方向：-+-+

49H—r>1H-------1-------1-…-I-----------=1--------=------

n2x33x4n(n+1)〃+1〃+1

當n>3時,/_二6〃，當n=1時,____竺____=i+l+l+...+J.

n+1(n+l)(2w+1)(n+1)(2H+1)49n2

當〃=2時，6〃<1.11.1,

(〃+l)(2〃+l)49n2

所以綜上有一些一<1+1+1+...+±<5

(n+l)(2n+l)49n23

例4.(2008年全國一卷)設(shè)函數(shù)/(X)=x-xInx.數(shù)列｛6｝滿足o<q<1.…?設(shè)be(哂，整數(shù)4與紅心.證

In6

明:q”>b-

解析：由數(shù)學歸納法可以證明｛”“｝是遞增數(shù)列，故若存在正整數(shù)使%26,則2b,

2

若a,“<b(,"V"),則由0<qVa?</><1知ia”,lna“Mqlna”<ajnb<0,a-=4In%=q-之a(chǎn)”In/，

M"l

因為為43nam<代qInb)，于是4+i>a［+k\ax\nh\>a}+(h-ai)=b

m=l

m+I

例5.已知n,m€N*,x>=1"+2+3"+?-?+?"，求證：<(m+1)5?<(n+1)?-1-

解析:首先可以證明：(l+x)">1+77X

”M+I=，產(chǎn)i"+i+(”_iy?+i__2尸+…+r-i_o=f6向-(*-1)”口所以要證

*=|

<(，"+1)S,<("+1)”田-1只要證:

-(*-1尸］<(加+1這〃"<("+1嚴-1=("+-ri嚴H+心”-5-1)"'"+■?■+2mtl=￡［(*+1)?*'-V］

Jt=l

故只要證f—4_］嚴］<(rn+1這丁<￡［伏+1嚴-km+i］，

*=|

即等價于L-(?-1嚴<(m+1)4-?<(*+尸-km,

即等價于1+*<0而正是成立的，所以原命題成立.

例6.已知%=4"-2",刀T，求證：彳+7；+4+…+北彳

a,+a2+???+??

解析：［,=4i+42+43+...+4”-(2i+22+...+2")=^^-^^=g(4--l)+2(l-2")

所以

2"2"2n3232”

T,44

；(4.T)+2(1_2")_72-2n+,

33+33

=32"

2(2?2"-1)(2"-1)2

從而7；+%+1+...+7；15

+-7+,+2"-1-27

233

例7?已知g，x.二〃(〃二2左-1,%2),求證：

〃一1(〃=2k,kGZ)+#x「Xs++在死》*1

證明：11近,

"2/2”+11(2”1)(2〃+1)#4〃2-1#4/，41?4n14n

2

因為冊<新+內(nèi),所以-7^=>A>^_=A/2(V^T-^)

gx2nx2gl2y/n+l

所以

>>/2(yln+1-1)(〃eN*)

二、函數(shù)放縮

例8.求證：In2］n3ln4ln￡?_5?+6

++++<3(nGN").

2343"6

解析:先構(gòu)造函數(shù)有i<,Inx1,從而In2Jn3Jn4>Jn3"一”,

inxsx—Io=s1------1-----1----+…-i-----<J—1—(ll...±)

x2343"2+3++3"'

3

causei1inpiiiin(i]\k5if33Vf991,.3"'

5+34??+謔七+§卜匕+英+,+§+,卜…+『+^71+…F6ul9)118l27)12.3"T3")6

所以皿+垣+小++跑<3.「包

2343066

例9.求證:(1)。之2++2；/~??-1(n>2)

52a3。na2(〃+1)~

解析:構(gòu)造函數(shù)日,得到m〃“小〃?，再進行裂項皿<]_J_v1_「，求和后可以得到答案

函數(shù)構(gòu)造形式：InxVL。4〃。-1322)

例10.求證:_L+4+…+」一<3"+1)<1+，+--+1

23?+12n

2.7:+1.n._

解析:提示：|n(“+l)=ln3.」一—=In----+In----+…+In2

nn-1nn-1

函數(shù)構(gòu)造形式：

X

當然本題的證明還可以運用積分放縮

如圖,取函數(shù)“G」，

X

首先：$3<jL從而,Li<Inx|"_.=Inw-ln(n-z)

3》n

取i=1有」<]n〃-ln(〃-1)，

n

所以有l(wèi)<in2,-<In3-In2????>—<Inzz-ln(w-l)5—!—<ln(n+l)-ln/z?相加后可以得到：

23nw+1

>+>+...+-L<ln(w+l)

23zi+1

另一方面,、jL從而有」；1

^ABDE)f-=InxI；.,=In-ln(?-i)

n-1n-iX

取，=1有,—>lnM-ln(w-l),

n-1

所以有l(wèi)n("+l)<l+jF所以綜1g+；++強<皿"+1)<1+；++

例11.求證:“+(+八八|?和“I、“I、廠.解析:構(gòu)造函數(shù)后即可證明

0+/匕),?…("R<e0+/+媼??…。+支)<五

2-33

例12.求證:(l+lx2>(l+2x3)??…[l+n(n+l)]>e"解析:1n““+|+|>2，疊加之后就可以得到答案

ln[n(n+l)+l]>2-”("+])+|

函數(shù)構(gòu)造形式：入.，3,i+w+x)3,0、(加強命題)

ln(x+1)>2------(x>0)o--------------->(x>0)

x+1xx+1

例13.證明：ln2In3In4Inw〃1),…*八

345H+l4

4

解析:構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(x-l)-(x-l)+l(x>l),求導，可以得到：

<(v)=J__]==，令/'(x)>0有1<x<2,令/(x)<0有x>2,

x-1x-1

所以/。)4/(2)=0,所以儂工一1)?工一2,令1=〃2+1有,1〃24〃2一1

所以In”所以ln2In3In4\nnM(W-1)八

221<ZL_1——+——+——+…+------<---------(weN*,n>1)

n+l-2345M+14

例14已知—。+土證明一?

解析:

=(1++---<(1+----------+--)(1

n(n+l)"T〃(〃+1)2”

然后兩邊取自然對數(shù)，可以得到，,?、，

皿山+訴1+寸1|吟

然后運用ma+x)<x和裂項可以得到答案)

放縮思路：II,,II,

°..isa+“2&ln(】+.+“+?)+=

。于是

Ina+--1-+—1lna_.-In?<>-1+一1,

n2+w2""7n"/+〃2”

?-1?-1||["(；)"T||

Z(lna-(--;+—)=>lna?-Ina,<1--+i-=2---徜<2?

ltl/-Il+lZn?_1w2

2

即lna?-Ina,<2=>%<e2.

注：題目所給條件|n(l+x)<x(》>0)為?有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用;

當然，本題還可用結(jié)論2">-1)(”>2)來放縮：

。+^ijK+^ij=a-+1￡(,+備E*g

1I""I"-I1],

\n(an+i+l)-ln(^,+l)<ln(l+—~~-)<―—=2山伍村+1)-ln(4+1)]<%=>\n(an+l)-ln(?2+1)<I--<1

〃(/L1)W(M-1)MM，(1T)n

2

即ln(a“+1)<1+In3=>tzw<3e-\<e.

例16.(2008年福州市質(zhì)檢)已知函數(shù)/a)=xinx.若a>0,力〉0,證明：/(a)+(a+b)ln22j\a+b)-1'(b).

解析:設(shè)函數(shù)g(x)=/a)+//-x),(k>0)

,/f(x)=xlnx,/.g(x)=xInx+(A-x)ln(A—x),

x

/.0<x<k.,:g'(x)=lnx+1-In(4-x)-1=In----,

k-x

令g'(x)>0,則有‘一>1=>生吆>0=>*<x<%.

k-xk-x2

函數(shù)g(x)在g,%)上單調(diào)遞增，在(0,勺上單調(diào)遞減.“⑴的最小值為g(g)，即總有g(shù)(x)\

而gg)=/§)+邠告=左峙=MlnIn2)=/伏)一Hn2,

.-.g(x)>f(k)-k\n2,

令x=4,攵-x=b,則k=a+b.

/.f(a)+f(b)>/(a+6)-(a+b)In2.f(a)+(a+b)\n2>f(a+b)-f(b).

5

例15.(2008年廈門市質(zhì)檢)已知函數(shù)/(x)是在(0,+8)上處處可導的函數(shù)，若％.八外>/⑶在x>0上恒成立.

⑴求證：函數(shù)g(x)=/l￡2在(Oy)上是增函數(shù)：(II)當再>0,x2>0時,證明:/(再)+f(x2)<f(x]+x2)?

(HI)已知不等式皿1+x)<X祗>T衣工。時恒成立，

2222

求證._L]n2+_L]n3+_J_|n4+?+——!--ln(/1+1)>-----------

223242(H+1)22(”+1)(〃+2)

解析:⑴，,、/*WX-/W”,所以函數(shù)人幻，上是增函數(shù)

g(V)=----------2-------->0g(x)=〃-^在(0.+OC)

(II)因為綱.3在@也上是增函數(shù)，所以

X

3<”…也nf(x.)<-/(x,+x,)

X|XI+x2xt+x2

3<"*'+*)=.f(X2)<-f(x,+x2)

x2X|+x2X|+X2

兩式相加后可以得到f(Xy)+f(X2)</(X1+X2)

(3)/(X|):/(占+.+…+X”)=/aj:.

?/(再+與+…+x”)

X|占+々+…+x”1為+4+…+5

/區(qū))</(再+乙+???+/)n/(X,)<?/a+巧+…+x”)

X2X]+X24--??+X?陽+x2+???+工〃

Jf(x?)f(x.+Xy+---+A：?),,.xn\

"<土」——=------nf(xn)<------------------------/(X|+x2+---+XJ

I七+超+…+怎玉+%2+…+X〃

相加后可以得到:f(xi)+f(x2)+???+f(xn)<f(xi+x2+…+x”)

所以再lnX|+x21nx2+*3In/+…+x〃Inx“<(M+工2+…+x”)111(內(nèi)+x2+???+)

令?,有一身22+/32+'42+...+■3"+斗伎+**+...+看卜侮+導...+舟)

n

2(〃+1)(〃+2)

所以與In22+《In32+二In42+…+——!■--ln(w+1)2>---------(〃GN*).

223242(〃+1)22(〃+1)(〃+2)

(方法二)In(〃+>ln(〃+l)2>ln4

(W+1)2(M+l)(rt+2)-(/I+1)(M+2)

所'-^-ln22+-vln32+-yin42+…+---71n(n+1)2>ln4(《--nIn4

223242(〃+l)2(2〃+22(〃+2)

又|n4>l>強，所以刑2TM3、*“+...+--5-7ln(/t+1)2>----(wGy,).

(n+1)22(〃+1)(〃+2)

三、分式放縮

6

姐妹不等式：2＞處％（6＞〃〉。,"〉。）和^〈處二似〉/,〉。血〉。）

aa+maa+m

記憶口訣”小者小，大者大”

解釋:看b,若b小，則不等號是小于號，反之.

例19.姐妹不等式：（］+1）（1+』）（1+_1）...（1+」一）＞萬不和

352n-l

0fl〈號T也可以表示成為

2?4?6…?2〃>J2〃+~1和L3.5(2〃-1)<]

1-3-5...(2n-1)2-4-6...2nJ2〃+1

解析：利用假分數(shù)的一個性質(zhì)幺〉”2伯>〃>0網(wǎng)>0)可得

aa+m

I.il...2n>3572?+l_l352?-l

1352n—I2462n2462n

-^-)2>2n+l^(1+1)(1+-)(1+-)??-(1+-^—)>V2?+l.

2n-\352w-1

例20.證明：(1+1)(1+1)(1+；)???(1+-J—)>#3〃+l.

解析：運用兩次次分式放縮：

2583n-\3693〃(加1)

T'47..…3n-2>2*58……3w-l

2583w-l47103〃+1(力口2)

7-4-7...3/?-2>36"73〃

相乘，可以得到：

(2583n-1V47103/7+1_1473n-2

1T.屋亍……3n-2)....3?-l-2,5*83w-l

所以有a+i)a+J_)(i+_L)...(i+—!—)>U3〃+i.

473n-2

四、分類放縮

例21.求證：］+_［+_!■+…+」一＞”

23T-12

111III

析11

解z\

++^++++—+

+-+-++>-+(\FFF/+

23r-24

二+,+?./)」」+(—

2"2"2"2"22"2

例22.（2004年全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試改編）在平面直角坐標系xoy中，y軸正半軸上的點列⑷與曲線

y=岳（XK））上的點歹U陽滿足的“|=|”卜_1，直線4班“在x軸上的截距為a“.點8”的橫坐標為6“,”eM.

（1）證明”￡“?；（2）證明有％eN，,使得對＞%都有b+如…+芻_+姐＜"-2008.

"b?bn_}bn

解析:⑴依題設(shè)有：4（0小回取:）他）0），叫。紇|=產(chǎn)

。也=*也=再又直線.在x軸上的截距為〃，，滿足

7

(…)(辰(…)°"=r^e—，>o也+2=大

〃,二』=羋卓1千+冬也+2+所“口+"阮醫(yī)

1一九J241-2〃bnnbnn^bnv?'VVn-

顯然，對于0，右＞a.+]＞4,〃wN，

(2)證明：設(shè)5M，則

5+1

-1

2”+11

爐+2〃+l

(叫25H+f

:(2〃+1)(〃+2)-2(〃+1)，=n>0,.*.cn>—!—,?GN*

〃+2

設(shè)S”=q++…+￡N*，則當〃=2*-2>1(后￡N,)時，

1

"1+…+4+1++…+

"342*-12k,…+!)21+1

>2—-+2?—r+,?,+2A1?—

22232*2

所以，取〃。=？4009。，對血＞〃。都有:

4017-1

4-----1-1J—^Sil=5>S“>=2008

Ib””“o2

故有％+%+...+紅+姐＜”-2008成立。

瓦b2b,jbn

例23.(2007年泉州市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)/(x)=x2+bx+c(b±l,ceR),若/“)的定義域為[T，0],值域也

為[-1,0].若數(shù)列｛〃,｝滿足也=△?(〃”)，記數(shù)列應(yīng)｝的前〃項和為7；，問是否存在正常數(shù)4使得對于

"/J

任意正整數(shù)〃都有7；〈力？并證明你的結(jié)論。

解析:首先求+./(?)n2+2nI

0n~3-3>

nnn

?,,,,,111-?11111111,11

■.T0=h+b)+A+.—F>14-----1----1-----1—,?—?—>2x_=_，-H----1-----1—>4x—=―

2323n3442567882

1故當""時，3+1，

+,+???+——>

2*-,+12^+22k

因此，對任何常數(shù)A,設(shè)機是不小于A的最小正整數(shù),

則當〃"，必有T+.…

故不存在常數(shù)A使[時所有〃＞2的正整數(shù)恒成立.

8

x>0,

例24.(2008年中學教學參考)設(shè)不等式組丫>0,表示的平面區(qū)域為

y<-nx+3〃

設(shè)。內(nèi)整數(shù)坐標點的個數(shù)為乙.設(shè)S當時，求證：JJ1-+

勺+1%+2a2n%。2%ar36

解析：容易得到〃=3"，所以，要證I1I17〃+“只要證S=1+W..+L31,因為

n-----1-------1------1------1------>-----------2"今20"-1今

a.a、a,a,.3623212

，="；+(泊+("???+(露+焉+…T國+*也+…+j*+*T)=智，所以原命題得

證

五、迭代放縮

例25.已知x_x,,+4X求證:當”22時,

xn+\-.?xi-12Jx,-2區(qū)2-2”

Xn+11=!

解析:通過迭代的方法得到氏_2|《白，然后相加就可以得到結(jié)論

例26.設(shè)q=sin1!sin2!包里,求證:對任意的正整數(shù)左，若行〃恒有：|S〃+LS，2

°-2,222"n

解析：,sin(?+1)!sin(/?+2)!sin(/;+k)

I-H-+-—+…+-pi-?

sin(/7+1)!sin(/7+2)!sin(〃+A)?111

-'2?+i?+'2"+2?12"+￡區(qū)市+產(chǎn)+…+正

=±(i+4+...+±)=±.(i-±)<±

2"2222A2n2、2"

又2"=(1+1)"W+…+C：>n所％…k*

六、借助數(shù)列遞推關(guān)系

彳列27?liE-J_+J_+J_35J_------——vj2〃+2—l

22-42-4-62-4-6.....2n

解析：設(shè)135.?…(21)則

a=------

'2,4-6.....2n

%+i=a=>2(/i+l)a"+i=2nan+aJ從而

2(〃+1)

an=2(〃+l)〃〃+i-2%,相加后就可以得到

a.+a,+???+%=2(n+\)a.-2a.<2(n+1)?…j]-I<(2〃+2)-?-1

y/2n+3V2n+2

所以11-31-3-51-3-5.?…(2n-l)

—+——>+——+…+^―<12〃+2-1

22-42-4-62-4-6.....2n

例28.求證：1?卜3?135??135.?…