黃金卷03（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知，則.2．集合，集合，則集合中元素的個數(shù)為()3．已知等差數(shù)列的前n項和為，對任意的，均有成立，則的值的取值范圍是()A．B.C．D.4．為進(jìn)一步在全市掀起全民健身熱潮，興義市于9月10日在萬峰林舉辦半程馬拉松比賽.已知本次比賽設(shè)有4個服務(wù)點，現(xiàn)將6名志愿者分配到4個服務(wù)點，要求每位志愿者都要到一個服務(wù)點服務(wù)，每個服務(wù)點都要安排志愿者，且最后一個服務(wù)點至少安排2名志愿者，有種分配方式A．540B．660C．980D．12005．設(shè)函數(shù)，且函數(shù)在恰好有5個零點，則正實數(shù)的取值范圍是()6．如圖所示，是雙曲線的左、右焦點，的右支上存在一點滿足與雙曲線左支的交點滿足，則雙曲線的離心率為()7．已知函數(shù)，設(shè)，則的大小關(guān)系為()8．設(shè)函數(shù)，直線是曲線的切線，則的最小值為()A．B.C．D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．在的展開式中，各項系數(shù)的和為1，則()A．B．展開式中的常數(shù)項為C．展開式中的系數(shù)為160D．展開式中無理項的系數(shù)之和為10．如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，為棱的中點，分別在棱上，且滿足取得最小值．記四棱錐、三棱錐的體積分別為，則()11．已知拋物線的準(zhǔn)線為，焦點為F，過點F的直線與拋物線交于，兩點，于，則下列說法正確的是()A．若，則B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)，則D．過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條12．泰勒公式通俗的講就是用一個多項式函數(shù)去逼近一個給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個泰勒展開式由此可以判斷下列各式正確的是().Ai是虛數(shù)單位）Bi是虛數(shù)單位）C．D.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)向量在向量上的投影向量為，則.14．四個面都為直角三角形的四面體稱之為鰲臑．在鰲臑中，平面鰲臑的四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積是.15．已知圓，過點的直線交圓于兩點，且，請寫出一條滿足上述條件的直線的方程.16．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為偶函數(shù)且，則.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．在（123）這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足(2)若的外接圓周長為，求邊上的中線長.18．若數(shù)列的前項和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，證明：對任意的正整數(shù)，都有.19．2023年9月8日，第19屆亞運會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在杭州西湖景區(qū)涌金公園廣場成功舉行．火炬?zhèn)鬟f首日傳遞從杭州西湖涌金公園廣場出發(fā)，沿南山路—湖濱路—環(huán)城西路—北山街—西泠橋—孤山路傳遞，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亞運會火炬首日傳遞共有106棒火炬手參與.(1)組委會從全省火炬手中隨機抽取了100名火炬手進(jìn)行信息分析，得到如下表格：性別年齡總計滿50周歲未滿50周歲男4560女53540總計200.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，試判斷全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關(guān)聯(lián)；(2)在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽．某電視臺隨機選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請問這位火炬手是男性的概率為多少？20．如圖，在直三棱柱中D為的中點.(2)若點到平面的距離為，求平面與平面的夾角的正弦值.21．已知雙曲線，直線過雙曲線的右焦點且交右支于兩點，點為線段的中點，點在軸上，.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若，求直線的方程.22．已知函數(shù).(1)若函數(shù)在點處的切線與函數(shù)的圖象有公共點，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點，求實數(shù)的取值范圍.（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678CBBBBDAC二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9BCABDABCACD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．114．15答案不唯一，也滿足）16．6四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。1710分）【答案】【答案】(1)所選條件見解析(2).所以，而，則，所以；選（2則，所以，而，則；選（3則所以，所以，則，而，則.結(jié)合（1）易知：為頂角為的等腰三角形，如下圖，是中點，的外接圓周長為，若外接圓半徑為，則，所以，而，所以，則，即求邊上的中線長為.1812分）【答案】【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）證明：由，當(dāng)時，可得；當(dāng)時所以，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）證明：由（1）知∴,因為，所以，所以即成立.所以對任意的正整數(shù)，都有得證.191912分）【答案】(1)全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關(guān)聯(lián)）(2)【詳解】（1）解：零假設(shè)為全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關(guān)聯(lián)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)定為成立，全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關(guān)聯(lián)）.（2）解：設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，所以這位火炬手是男性的概率約為.2012分）【答案】(1)證明見解析(2).連接,因為四邊形為正方形，所以.在直三棱柱中，平面平面，由得，又平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）以為原點所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則設(shè)為平面ABD的一個法向量，則，即，得，令，則，則，即，得，令，則，由題意解得，設(shè)為平面BCD的一個法向量，則，即，令，則即，平面ABC的一個法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，所以，所以平面和平面的夾角的正弦值為.212112分）【答案】(1)(2)或或【詳解】（1）由題知所以雙曲線的漸近線方程為.（2）雙曲線的右焦點坐標(biāo)為，由題知，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線方程為，代入雙曲線中，化簡可得設(shè),則.則∴線段中點的坐標(biāo)為，直線方程為.（i）當(dāng)時，點恰好為焦點，此時存在點或，使得.此時直線方程為.（ii）當(dāng)時，令可得，可得點的坐標(biāo)為，由于所以，化簡可得，解出，由于直線要交雙曲線右支于兩點，所以，即，故舍去.可得直線的方程為.可得直線的方程為.綜上：直線方程為或或.22.（12分）2212分）【答案】【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，則在點處的切線斜率為，所以切線方程為，即.由得，即.因為函數(shù)定義域為，所以方程有非零實數(shù)根，當(dāng)時符合題意，當(dāng)時，則，即，且，所以實數(shù)a的取值范圍是.（2）因為函數(shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點，所以，即無實根，所以當(dāng)時，無實根，因為，即是偶函數(shù)，所以在上無實根.,記則，.①當(dāng)時又，則，所以，滿足在上無實根.②當(dāng)時，在上有實根，不合題意，舍去.③當(dāng)時所以在單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，滿足在上無實根.④當(dāng)時，因為在單調(diào)遞增，且則存在唯一的，使，列表得--00++↘↘極小值極小值↗↗所以當(dāng)時所以當(dāng)時則在單調(diào)遞減，則，又因為，且在上連續(xù)，所以在上有實根，不合題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知，則.【答案】【答案】C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的模的公司及即可得解.【詳解】由，得，則，所以.故選：C.2．集合，集合，則集合中元素的個數(shù)為()【答案】【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的意義求出即得.【詳解】集合則，所以集合中元素的個數(shù)為3.故選：B3．已知等差數(shù)列的前n項和為，對任意的，均有成立，則的值的取值范圍是()A．B.C．D.【答案】【答案】B【分析】根據(jù)已知得出，公差，然后返和(即)分類計算.【詳解】由題意知是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，必有，公差，若，此時是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，此時，即，則；若此時是等差數(shù)列的前n項和中的最小值，綜上可得：的取值范圍是，故選:B.4．為進(jìn)一步在全市掀起全民健身熱潮，興義市于9月10日在萬峰林舉辦半程馬拉松比賽.已知本次比賽設(shè)有4個服務(wù)點，現(xiàn)將6名志愿者分配到4個服務(wù)點，要求每位志愿者都要到一個服務(wù)點服務(wù)，每個服務(wù)點都要安排志愿者，且最后一個服務(wù)點至少安排2名志愿者，有種分配方式A．540B．660C．980D．1200【答案】【答案】B【分析】按照最后一個服務(wù)區(qū)有2名志愿者和3名志愿者進(jìn)行分配，即和，分別求出其方法種數(shù)，即可得出答案.【詳解】由題知可按照最后一個服務(wù)區(qū)有2名志愿者和3名志愿者進(jìn)行分配，共有（種）.故選：B.55．設(shè)函數(shù)，且函數(shù)在恰好有5個零點，則正實數(shù)的取值范圍是()【答案】B【分析】先化簡為，當(dāng)時，得到.若函數(shù)在恰好有5個零點，只需函數(shù)在區(qū)間上恰有5條對稱軸．結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可建立，求解即可.令，得，因為函數(shù)在恰好有5個零點，所以函數(shù)在上恰有5條對稱軸.令，則在上恰有5條對稱軸，如圖：所以，解得.故選：B.6．如圖所示，是雙曲線的左、右焦點，的右支上存在一點滿足與雙曲線左支的交點滿足，則雙曲線的離心率為()【答案】【答案】D【分析】利用正弦定理及已知可得，令，由雙曲線定義及，應(yīng)用勾股定理列方程求得，進(jìn)而求離心率.【詳解】中，中，所以又，則，又，所以，令，則可得，即.故選：D7．已知函數(shù)，設(shè)，則的大小關(guān)系為()【答案】【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再判斷自變量的大小，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，比較大小.【詳解】依題意，得的定義域為，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，而，因為，所以，即，因為在上為增函數(shù)，且，所以，,,因為，所以，所以，所以，所以，故選：A.8．設(shè)函數(shù)，直線是曲線的切線，則的最小值為()A．B.C．D.【答案】【答案】C【分析】先設(shè)切點寫出切線方程，再求的解析式，最后通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性求出最小值.【詳解】令的切點為，因為，所以過切點的切線方程為，即，所以，所以，令，則，所以當(dāng)時恒成立，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時恒成立，此時單調(diào)遞增，所以，所以，故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．在的展開式中，各項系數(shù)的和為1，則()A．B．展開式中的常數(shù)項為C．展開式中的系數(shù)為160D．展開式中無理項的系數(shù)之和為【答案】【答案】BC【分析】先根據(jù)各項系數(shù)和結(jié)賦值法得判斷A，然后結(jié)合二項式展開式的通項公式求解常數(shù)項、含的系數(shù)及無理項系數(shù)之和判斷BCD.【詳解】根據(jù)題意令，得的展開式中各項系數(shù)和為，則，A錯誤；又的展開式的通項為所以展開式中的常數(shù)項為，B正確；含的項為，其系數(shù)為含的項為，其系數(shù)為160，C正確；展開式中無理項的系數(shù)之和為，D錯誤.故選：BC.10．如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，為棱的中點，分別在棱上，且滿足取得最小值．記四棱錐、三棱錐的體積分別為，則()【答案】【答案】ABD【分析】根據(jù)三棱柱的體積公式即可判斷A,根據(jù)平面展開圖可得線段最短時，即可根據(jù)錐體體積公式判斷BCD.【詳解】正三棱柱的體積為，由圖可知，所以，所以A正確；沿著側(cè)棱將棱柱展開得到一個矩形，連接，因為取得最小值，即線段，由于四邊形為邊長為3的正方形，所以，因為為的中點，所以,所以B正確，C不正確，D正確.故選:ABD.11．已知拋物線的準(zhǔn)線為，焦點為F，過點F的直線與拋物線交于，兩點，于，則下列說法正確的是()A．若，則B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)，則D．過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條【答案】ABC【分析】根據(jù)過焦點的直線與拋物線的相交的交點坐標(biāo)關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，所以，拋物線C的方程為，焦點為，過作于，則由拋物線的定義可得，故A正確；,則以PQ為直徑的圓的半徑，線段PQ的中點坐標(biāo)為，則線段PQ的中點到準(zhǔn)線的距離為，所以以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，故B正確；拋物線的焦點為當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)三點共線時取等號，所以，故C正確；對于D，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，與拋物線只有一個交點，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立消去x，并整理得，當(dāng)時，方程的解為，此時直線與拋物線只有一個交點，當(dāng)時，則，解得，綜上所述，過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線有3條，故D錯誤.故選：ABC.12．泰勒公式通俗的講就是用一個多項式函數(shù)去逼近一個給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個泰勒展開式由此可以判斷下列各式正確的是().Ai是虛數(shù)單位）Bi是虛數(shù)單位）C．D.【答案】【答案】ACD【分析】對于A、B，將關(guān)于的泰勒展開式兩邊求導(dǎo)得的泰勒展開式，再驗證結(jié)論是否正確；對于C，由，再代入關(guān)于的泰勒展開式驗證是否成立；對于D，由，證明即可.【詳解】對于A、B，由，兩邊求導(dǎo)得，,,,對于C，已知，則.因為，則，即成立，故C正確；故C正確；對于D，,，,所以，所以成立，故D正確.故選：ACD.【點睛】利用泰勒公式證明不等式方法點睛：應(yīng)用泰勒公式時要選好，有時可能需要結(jié)合題目給出信息進(jìn)行相關(guān)變形，再代入驗證，利用展開項的特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，證明不等式成立.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)向量在向量上的投影向量為，則.【答案】【答案】1【分析】利用向量在向量上的投影向量計算公式建立方程，解出即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為故答案為：14．四個面都為直角三角形的四面體稱之為鰲臑．在鰲臑中，平面鰲臑的四個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積是.【答案】【答案】【分析】根據(jù)題意，把鰲臑補成一個長方體，則長方體的外接球即是鰲臑的外接球，從而求出鰲臑的外接球半徑為，再利用球的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】把鰲臑補成一個長方體，如圖所示：則長方體的外接球即是鰲臑的外接球，長方體的外接球半徑，鰲臑的外接球半徑為，鰲臑的外接球半徑為，則該球的表面積是，15．已知圓，過點的直線交圓于兩點，且，請寫出一條滿足上述條件的直線的方程.【答案】（答案不唯一，也滿足）【答案】（答案不唯一，也滿足）【分析】分別討論直線l斜率存在、不存在的情況，設(shè)C到直線的距離為d，由得，結(jié)合點線距離公式即可求解判斷.【詳解】由題意得，半徑故在圓外，設(shè)O到直線的距離為d，由得，即，解得，當(dāng)直線l斜率不存在時，即，此時，符合題意；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)為，即，則，即，解得，故直線為.故答案為答案不唯一，也滿足）1616．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為偶函數(shù)且，則.【答案】6【分析】根據(jù)為偶函數(shù)，可得，兩邊求導(dǎo)后可得，令，得，令，得；由，可得的周期為6，進(jìn)而得，從而可得答案.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，兩邊同時求導(dǎo)得，即，所以，即，令，得，令，得，又因為，所以，由，所以，所以的周期為6，則，而，所以，所以.故答案為：6.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．在（123）這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足(2)若的外接圓周長為，求邊上的中線長.【答案】(1)所選條件見解析(2).【分析】（1）根據(jù)所選條件，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角形面積公式、向量數(shù)量積定義、三角恒等變換化簡條件求角；（2）由已知易得為頂角為的等腰三角形，是中點，則，利用向量數(shù)量積的運算律求中線長度.所以，而，則，所以；選（2則，所以，而，則；選（3則所以，所以，則，而，則.結(jié)合（1）易知：為頂角為的等腰三角形，如下圖，是中點，的外接圓周長為，若外接圓半徑為，則，所以，而，所以，則，即求邊上的中線長為.18．若數(shù)列的前項和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，證明：對任意的正整數(shù)，都有.【答案】【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推式關(guān)系再寫一項做差，之后利用等比數(shù)列定義證明；（2）先求出的表達(dá)式，之后進(jìn)行裂項求和即可.【詳解】（1）證明：由，當(dāng)時，可得；當(dāng)時所以，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）證明：由（1）知∴,因為，所以，所以即成立.所以對任意的正整數(shù)，都有得證.19．2023年9月8日，第19屆亞運會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在杭州西湖景區(qū)涌金公園廣場成功舉行．火炬?zhèn)鬟f首日傳遞從杭州西湖涌金公園廣場出發(fā)，沿南山路—湖濱路—環(huán)城西路—北山街—西泠橋—孤山路傳遞，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亞運會火炬首日傳遞共有106棒火炬手參與.(1)組委會從全省火炬手中隨機抽取了100名火炬手進(jìn)行信息分析，得到如下表格：性別年齡總計滿50周歲未滿50周歲男4560女53540總計200.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，試判斷全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關(guān)聯(lián)；(2)在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽．某電視臺隨機選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請問這位火炬手是男性的概率為多少？【答案】【答案】(1)全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關(guān)聯(lián)）(2)【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得的值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，結(jié)合條件概率和全概率公式，即可求解.【詳解】（1）解：零假設(shè)為全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關(guān)聯(lián)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)定為成立，全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關(guān)聯(lián)）.（2）解：設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，所以這位火炬手是男性的概率約為.20．如圖，在直三棱柱中D為的中點.(2)若點到平面的距離為，求平面與平面的夾角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）由平面平面，得平面，得，又因得平面，進(jìn)而可證；（2）由向量法先根據(jù)到平面的距離為，求出的坐標(biāo)，再由向量法求平面與平面的夾角.連接,因為四邊形為正方形，所以.在直三棱柱中，平面平面，由得，又平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）以為原點所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則設(shè)為平面ABD的一個法向量，則，即，得，令，則，由題意解得，設(shè)為平面BCD的一個法向量，則，即，令，則即，平面ABC的一個法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，所以，所以平面和平面的夾角的正弦值為.21